Термоупругое состояние цилиндра с тонкой оболочкой на цилиндрической поверхности Текст научной статьи по специальности «Физика»

а(а + 1)с

720

—а +

(2-if

, ^30 = 0, Y30 = 0.

Дадим интерпретацию полученных выше результатов в задаче о движении гиростата, имеющего полости, заполненные вращающейся жидкостью. При выполнении условий п. 2 и равенства v2 = с стационарное решение (4) определяет равномерные вращения гиростата вокруг вертикали. Направление вектора угловой скорости ш в гиростате вычисляется с помощью второго и третьего равенств (4). Этот вектор лежит в главной плоскости у3 = 0.

Если начальное значение v Ф с, то соотношение (3) устанавливает связь зависимой переменной V от времени t при t £ [0, +да). Получим решение уравнений (1) в виде соотношений:

= Л2Т11к=0^к(а)т2к = А2Т12к=0грк(а)т2к

a>1=A11Гk=0Yk(a)тl«, = А22(Гк=0Гк(а) т™Г Я2т

Шз=А22(.Гк=0Гк(о)т^У (5)

= rk=0ßk(.g)T2k = П=Ма)т2к п (Гк=оУк(а)т2кГ Г2 (Гк=0Гк(а)т2кУ

= тХ1=оГк(а)т2к = Ä2t

Yз = (I.L»YkW<y, где т = л22 Вывод. Решение (5) описывает асимптотические равномерные движения гиростата и имеет в качестве предельной точки (при t ^ да) соотношение (4). Решение интересно тем, что переменные Эйлера - Пуассона являются элементарными алгебраическими функциями времени. Такая ситуация встречается крайне редко в известных случаях интегрируемости уравнений Эйлера -Пуассона [3].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Докшевич, А.И. Новое частное решение уравнений движения гиростата, имеющего неподвижную точку // Механика твердого тела. 1979. № 2. - С. 12-15

2. Илюхин, А.А., Колесников, С.А. Бифуркация стационарных решений системы уравнений Эйлера-Кирхгофа в случае симметрии // Механика твердого тела. 2005. № 35. - С.93-101

3. Илюхин, А.А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней. - Киев: Наук. думка, 1979. - 218 с.

4. Илюхин, А.А. Изгиб и кручение изотропного стержня с равными главными жесткостями при изгибе // Механика твердого тела. 1971. №. 3. - С. 161-164

5. Харламов, П.В. Лекции по динамике твердого тела. - Новосибирск: НГУ, 1965. - 222 с.

УДК 139,4 ББК 22.37

А.А Попова

ТЕРМОУПРУГОЕ СОСТОЯНИЕ ЦИЛИНДРА С ТОНКОЙ ОБОЛОЧКОЙ НА ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Аннотация. Рассматривается термоупругое состояние цилиндра относительно большой длины, цилиндрическая поверхность которого окружена предельно "мягкой" или предельно "же-сткой"оболочкой со скользящей заделкой. Показано, что материал оболочки со скользящей заделкой не оказывает влияния на осевые напряжения в цилиндре со свободными торцами.

Ключевые слова: цилиндр, термоупругое состояние, температурные напряжения, перемещения, деформации, оболочка.

AA Popova

THERMOELASTICITY STATE CYLINDER THIN-WALLED ON THE CYLINDRICAL SURFACE

Annotation. Thermoelastic state of a relatively long cylinder the cylinder surface of which is surrounded by a limiting "soft" and limiting "tough" shell with a slipping attachment is considered. It is shown that the shell material doesn't influence the axial stresses in a cylinder with free ends.

Key words: cylinder, thermoelastic state, temperature stresses, displacement, deformations, shell

В работе исследуются термоупругие напряжения, возникающие в сплошном цилиндре с покрытием на цилиндрической поверхности под действием нестационарных тепловых потоков. Выбор такой модели для исследования определяется, с одной стороны, тем, что цилиндр сам по себе является самой распространенной деталью в машиностроении, а с другой - элементы конструкций цилиндрической формы находят широкое применение в авиационной, химической, электротехнической и других отраслях промышленности. При рассмотрении напряженного состояния цилиндра, заключенного в тонкую оболочку (покрытие) со скользящей заделкой ее на поверхности цилиндра, учитываются два предельных случая, касающиеся материала оболочки. В первом случае оболочка считается предельно "мягкой", а во втором - предельно "жесткой" [2].

Рассмотрим напряженное состояние цилиндра радиуса Гс относительно большой длины

(длина цилиндра значительно больше его радиуса), на цилиндрической поверхности которого имеется тонкая оболочка со скользящей заделкой. Торцы цилиндра свободны от нагрузок. Нагревание или охлаждение цилиндра происходит таким образом, что его температура T зависит только от текущего радиуса r и времени t. Такие температурные поля исследованы в [3,4].

Рассчитаем температурные напряжения, возникающие в цилиндре вдали от торцов, где выполняется обобщенная плоская деформация (осевая деформация цилиндра не зависит от радиуса, а может зависеть только от времени).

В этом случае все величины, характеризующие термонапряженное состояние, зависят только от текущего радиуса и времени.

Для решения задачи запишем уравнение равновесия цилиндра [1]:

do<Jr, t) + О(r, t)-O„(r, t) = 0

dr r , (1)

где О rr (r, t ),О (r, t) - радиальное и окружное напряжения.

Связь между радиальной и окружной деформациями srr (r, t) , S (r, t) и радиальным перемещением u (r, t) имеет вид:

, ч du„ (r, t) , ч u„ (r, t)

Srr (r, t) = ' , ; , £w(r,t) = (2)

dr r

Осевая деформация sz (r, t) для обобщенной плоской деформации, как уже было сказано выше,

записывается в виде:

szz (r, t) = C3(t) , (3)

где неизвестная C3 (t) определяется в дальнейшем из граничного условия.

Запишем закон Гука в цилиндрической системе координат, имея в виду, что величины, характеризующие напряженное состояние, зависят от радиуса и времени:

Srr (r, t) = E Orr - v(ovv + CTZZ)]+ aT (T - TH) (4)

s w (r, t) = E O -v(°z + Orr)]+ат (T - тн) (5)

S (r, t) = EE 0 - v(Orr + )] + aT (T - TH ) , (6)

где E - модуль упругости материала цилиндра, v - его коэффициент Пуассона, aT - коэффициент линейного температурного расширения, TH - температура отсчета, при которой в цилиндре отсутствуют напряжения.

Разрешая выражения (4) - (6) относительно огг, О , Оzz и подставляя вместо деформаций. Srr (r, t) и S (r, t) соотношение (2), а вместо Szz (r, t) соотношение (3), получим:

Orr (r, t) =

°„(r,z) = 2M

Ozz ^ z) = 2M

du

- + -

v

i

dr 1 - 2v ur v r

aur,u. _ ] i+v

r + ~ + Q aT (T - TH )

v dr fdu

r

1 - 2v

C +

1 - 2v v

+ ^ + C3 I-—aT(T-TH) dr r J 1 - 2v

1 - 2v

dur>u ] 1 + v

—^ + + C3 I^—— aT (T - TH )

v dr r J 1 - 2v

E

- модуль сдвига материала цилиндра.

(7)

(8) (9)

2и =

1 + у

Подставляя (7),(8) в уравнение равновесия (1), получим дифференциальное уравнение относительно радиального перемещения

d_

dr

1 d

r dr

(rur)

1 + v d [T - TH ]

1 -v

а

dr

(10)

проинтегрировав которое дважды, получаем выражение для радиального перемещения

ur (r, t) = —^-aT f [T(p, t) - TH (p)]pdp + C4 (t)r + bü, (11)

где r0 - внутренний радиус цилиндра, если цилиндр полый.

Здесь предполагается, что температура отсчета TH зависит от радиуса.

В нашем случае цилиндр сплошной, т.е. r0 = 0, поэтому в (11) необходимо C5(t)

положить равной нулю, т.к. радиальное перемещение на оси должно быть ограниченной величиной.

Подставляя (11) в формулы (7), (8), имеем, если цилиндр полый с внутренним радиусом r0.

Orr (r, t) = -EaT- A" i [T(p, t) - TH (p)]pdp + ^ + ^, (12)

1 - v r J 2 r

r0

o„(r, t) = Ev { ^ i [T (p, t) - Th (p)]pdp-[T (r, t) - Th (r )]J + - , 0 (13)

Ozz (r, t) = EC3 (t)+vC, (t) - aT [T(r, t) - Th (r)J

1 -v

(14)

Оrz (r, t) = 0, (15)

где новые постоянные

= 2E) + vC3<t)], C](t) = ZECM . (|6)

(1 + v)(1 - 2v) 1 + v

Для сплошного цилиндра 0 < r < rc формулы (12) - (14) принимают вид

(г, t) = -

т ЕЕ 1 1

Ь^Т Г 0

)[т (г,t) -Тн (р)рр

+

(17) (г, /) = \ -1 ) Т(Р,') - Тн (р)]рр - Т (г,') - Тн (г)] 1 -V, I г *

• +

'1 |г 0

С_(0 2

С1 (t)

(18)

Е

а22 (г, t) = ЕСЪ(1) + уС^) - --« Т (г, t) - Т (г)]

1 -V

(19)

Здесь согласно (16) С2 (/) = 0 , поскольку С5 ^) = 0 .

Для полого цилиндра гс < г < R формулы (12) - (14) принимают вид

(г, t) = - «ТЕ-1 ) Т(Р, t) - Тн (р)]рР 1 -V г -1

^„(г,') = «-V17 ) Т(Р,?) - Тн (р)]рр - Т(г, 0 - Тн (г)]

+ сдо + С2С)

■ +

2 г2

(20)

СЛ<) С2(?)

2 г

(г, Г) = ЕС3 () + С «) - А«т Т (г, t) - Тн (г)]

1 -V

(22)

Если сплошной цилиндр свободен от внешних нагрузок и окружен предельно мягкой оболочкой, то для нее выполнялось бы такое граничное условие:

(г, t) = 0 г = гс (23)

Вдали от торцов имело бы место интегральное граничное условие

'с

Ор t )РdР = 0

(24)

Из этих граничных условий находятся две неизвестные постоянные С1 ^) и С3 (^) . Для сплошного цилиндра напряжения имеют вид

. , -Е (г, t) =

1

) [Т (р, t) - Тн (Р)]рр - -1 ) [Т (р, t) - Тн (р)]Рр

°фф(г, t) =

1 -V «Е

СТ (г, t) =

1 -V «Е

1 гс 1 г

- ) [Т(р, t) - Тн (р)]Рр+- ) [Т(р, t) - Тн (р)]Рр - [Т(г, t) - Тн (г)]

1 -V

с 0 гс

2

'с 0

) [Т(р, t) - Тн (р)]рdр - [Т(г, t) - Тн (г)]

2

г

г

2

г

с 0

Из последних выражений видно, что если T (r, t) = Тн (r) = const, то все напря-

жения не зависят от

T .

Рассмотрим напряжения, возникающие в сплошном цилиндре, окруженном предельно "жесткой" оболочкой со скользящей заделкой ее на поверхности цилиндра. Это значит, что радиальное перемещение иг (г, t )в (11) на поверхности цилиндра равно нулю. Записав (11) в виде

1 1 г

иг (г, t) = - [ [Г(р, t) - Тн (р)рр + С4 ^)г, (26)

1 — V г г,

— V г '

0

приравняем при г = гс это выражение нулю.

1 + V 1 '

(r, t) = - f [г(р, t) - TH (p)\pdp + C4(t)

1 -V rc 0

+ C4 (t )r = 0 . (27)

Отсюда

C4((t) = -"г 1[Тp t) - th (P)lpdP .

Гс

1 —V г2 . (28)

с 0

Для определения напряжений по (17) - (19) необходимо найти постоянные С^) и С3^) . С3 (t) найдем из условия скользящей заделки цилиндрической поверхности. В этом случае осевая сила равна нулю.

гс

(р, t )рdр = 0 (29)

0

Подставляя (19) в (29), получим, что

Ur

Cs(t) = 4f [Т(P, t) - Тн (r, t)\pdp - £1 (30)

1 - V r J E

С1 (t) найдем подстановкой (28) и (30) в (16):

ад=Щс^^т=— £ 4} [т(р, о—т. (г, орр (31)

(1 + v)(1 — 2v) 1 — V г {

(1 + v)(1 — 2v) 1 — V гс а С3^) найдем, подставляя (31) в (30):

Сз ^) = 1 [т(р, t) — Тн (р)рр (32)

1 V гс 0

Наконец, подставляя С1^) из (31), в (17), (18), и С1^) из (31), С3^) из (32) в (19), получим выражения для напряжений

=- 11f [г (p. t) - Т„ (p)\pdp+-1 f L (р, t) - Т„ (p)\pdp

1-V 1 r 1 r'0 . (33)

^ = ^ 17:21T (Р, t) - TH (р)рр - J [T (р, t) - TH (р)рр - [T (r, t) - TH (r)] [, (34)

EaT 12 r

1-7 I r? 0

= i^J[T(p,t)-Th(p)]pdp-[T(r,t)-Th(r)][ (35)

Из последних выражений видно, что если TH (р) = TH = const, то orr (r, t), (r, t) зависят от T и только ст (r, t) не зависит от T .

н zz V ' х н

Кроме того, из (25) и (35) видно, что осевые напряжения при свободной от нагрузки цилиндрической поверхности и соединении с натягом одинаковые, что связано со скользящей заделкой цилиндрической поверхности во втором случае.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Жорник, А.И. Термоупругие процессы, происходящие в твердых телах с трещиноподобными дефектами /

А.И. Жорник. - Таганрог: Изд-во ТГПИ, 2002. - 260 с.

2.Жорник, В.А. Рост осесимметричных трещин при механических и тепловых воздействиях / В.А. Жорник, Э.М. Карташов. - Таганрог: Изд - во ТГПИ, 2003. - 143 с.

3. Карслоу, Г. Теплопроводность твердых тел / Г. Карслоу, Д. Егер. - М: Наука, 1964 - 476 с.

4. Лыков, А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков - М.: Высшая школа, 1967. - 600 с.