Научная статья на тему 'Термоупругие волны в полом круговом цилиндре'

Термоупругие волны в полом круговом цилиндре Текст научной статьи по специальности «Механика»

CC BY
20
5
Поделиться
Ключевые слова
цилиндрический слой / термоупругие волны / напряжения / метод характеристик

Аннотация научной статьи по механике, автор научной работы — Ю. В. Мастиновский

Рассматривается цилиндрический слой упругого изотропного материала, находящегося под действием нестационарных нагрузок: нормального напряжения и объемного термоудара. Получено численноаналитическое решение плоской задачи термоупругости, основанное на использовании термоупругого потенциала перемещений и разложения в ряд Фурье. Коэффициенты Фурье определяются численно с применением метода характеристик.

Thermo-elastic waves in hollow cylinder

Cylindrical layer of elastic isotropic material under non-stationary loads-normal stress and volumetric thermal shock – is being considered. Numerical analytical solution of plane thermo-elastic problem is based on thermoelastic displacement potential and development in Fourier series. Fourier coefficients being defined numerically by characteristics method have been obtained.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Термоупругие волны в полом круговом цилиндре»

УДК 539.3

Канд. техн. наук Ю. В. Мастиновский Запорожский национальный технический университет, г. Запорожье

ТЕРМОУПРУГИЕ ВОЛНЫ В ПОЛОМ КРУГОВОМ ЦИЛИНДРЕ

Рассматривается цилиндрический слой упругого изотропного материала, находящегося под действием нестационарных нагрузок: нормального напряжения и объемного термоудара. Получено численно-аналитическое решение плоской задачи термоупругости, основанное на использовании термоупругого потенциала перемещений и разложения в ряд Фурье. Коэффициенты Фурье определяются численно с применением метода характеристик.

Ключевые слова: цилиндрический слой, термоупругие волны, напряжения, метод характеристик.

Введение

Последствия температурных напряжений следует учитывать при решении многих инженерных задач, например, при разработке и эксплуатации ГТД, ядерных реакторов и др. [1-3]. Реакции различных материалов на механические воздействия ударного типа очень разнообразны и часто качественно и количественно отличаются от их реакций при статических нагрузках. Изучение термоупругого деформирования материалов при нестационарных силовых и тепловых воздействиях тесно связано с разработкой математических моделей их поведения [4, 5].

Имеющиеся в литературе аналитические решения динамических термоупругих задач получены обычно для полубесконечных и бесконечных тел и тел со сферической и цилиндрической симметрией. Классическим методом решения таких задач являются интегральные преобразования [3]. К недостаткам этого метода можно отнести сложности нахождения оригинала по изображению и необходимость заново проводить преобразования при изменении вида нагрузки. Трудности использования интегральных преобразований возрастают при расчетах элементов конструкций конечных размеров в случае распределенных нагрузок, приложенных к ограниченной части поверхности, и если рассматриваются сложные законы изменения внешней нагрузки по времени.

Известные в литературе аналитические решения динамических термоупругих задач настолько громоздки, что без численных расчетов невозможно провести качественный анализ напряженно-деформированного состояния конструкции.

Цель данной работы состоит в разработке упрощенной математической модели и методики расчета для использования в инженерной практике, позволяющих проводить исследования рассматриваемой конструкции при различных значениях геометрических и механических параметров, а также видов нагружения.

Постановка задачи

Рассмотрим в полярных координатах (г, ф) полый круговой цилиндр изотропного материала, ограничен© Ю. В. Мастиновский, 2015

ный цилиндрическими поверхностями г = а и г = Ь (а < Ь ). К поверхности слоя г = а внезапно прикладывается нормальное сжимающее напряжение

стг = -Р0Н(/) интенсивности р и одновременно производится объемный термоудар Т = Т0Н((). Здесь

Н (/) - единичная функция Хевисайда или иная функция, определяющая закон изменения нагрузки в зависимости от времени t. Считаем, что поверхность слоя г = Ь свободна от напряжений. В результате совместного воздействия нагрузок в цилиндрическом слое будут распространяться волны напряжений и смещений.

Математическая модель и методика расчета

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Используя термоупругий потенциал у [6], позволяющий определить перемещения для плоской деформации в полярных координатах, уравнение движения запишем в виде

^+1ду+- =рт, (1)

дг2 г дг г2 дф2 с2 д/2

где Р = а(3Х + 2ц)/(Х + 2ц) = а(1 + v)/(l - V),

а - коэффициент линейного расширения; X, Ц -параметры Ляме;

V - коэффициент Пуассона;

с2 = (X + 2ц)/р - квадрат скорости распространения радиальной волны,

р - плотность материала; / - время.

Радиальная и окружная компоненты перемещения в полярных координатах имеют вид

тт ду 1 ду

и я , К =_ . (2)

дг г дф

С использованием закона Дюамеля-Неймана выражение для напряжения стг определяется так:

МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕС1В В МЕТАЛУРПТ ТА МАШИНОБУДУВАНН1

E

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 -V2

дU V ^ дV | (л ч

-¡т+-\U+1-1-«!1+vw

дr т ^ д—

. (3)

Уравнение (1) будем решать при таких начальных и граничных условиях:

дУ а У =-= 0

дЛ

при Л = 0,

при т =а

при т = Ь.

стт = 0 при г = Ь . (4)

Температуру принимаем в виде

Т = То Н (().

В более общем случае распределение температуры несимметрично относительно оси, но не зависит от осевой координаты.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Разложим температуру и термоупругий потенциал в ряды Фурье по косинусам:

<» да

Т = Е Тп (т, л)со8 п—, У=^Уп ( л)С08 п— . (5)

п=0 п=0

Уравнение (1) для определения Уп примет вид

= РТп. (6)

^У п +1, д^п п

1 д\п

дг2 ' т дт т2 Уп с2 дЛ2 Вводя безразмерные величины

сЛ

\г,и,у}=1 {т,и V } ?

Ь Ь

и опуская в дальнейшем для простоты записи верхний знак «~», запишем (6) так:

^У п + Я дУ п -Т~ + кп =-2"

дт2 п дЛ2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(7)

где

Я» =

п- 1дТ - ^тУп -вТп, п = 0,1,2,.... (8) т дт т

Предположим, что заданные законы давлений на поверхностях цилиндрического слоя также разложены в ряд по формуле

стт = рс2 • £стп(л)соэп— .

п=0

(9)

Решения уравнений (7) находим при помощи метода характеристик [7, 8]. Уравнения характеристик и соотношения на них имеют вид:

Ст = ±СЛ,

дЛ

дт

.(10)

Для проведения расчетов область между прямыми т = т1 = а/Ь , т = 1 и т = Л + т1 покрывается сеткой характеристик (рис. 1):

Л

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

т1

Рис. 1.

Для расчета коэффициентов Уп используются формулы

У*п = У°п + 2А/•у,

где У % =%

дЛ

Значения коэффициентов во внутренних узлах сеточной области вычисляются по формулам:

1 (у

2 12 1 УпЛ =т1УпЛ + УпЛ + У«т -Упт +

1 (у

(( + Яп ) ), (( - я1 ))).

У пт = - (У 2 - У п + У 2т + У \т +

Значения выражений Яп находим по формулам (8).

При расчете значений коэффициентов в точках, лежащих на границах области, исключаются из рассмотрения узлы сетки, лежащие на характеристиках, выходящих из сеточной области. Определив по данной расчетной схеме все значения коэффициентов Уп и их производных УпЛ и Упт , можно вычислить коэффициенты напряжений стп и сами напряжения по формуле (9).

Результаты расчетов и обсуждения

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Для проверки работы вычислительной схемы были сделаны расчеты для случая, когда на внутренней границе цилиндрического слоя действует только нормальное напряжение, т. е.

ст

( )=(Х + 2ц>,

Т„ = 0;

стт =

0

1

т

а

1607-6885 Новi маmерiали i технологи в металурги та машинобудувант №1, 2015

101

Список литературы

1. Партон В. З. Методы математической теории упругости / В. З. Партон, П. И. Перлин // М. : Наука. главн. ред. физ.-матем. лит. - 1981. - 588 с.

2. Беляев Н. М. Методы теории теплопроводности. В 2-х частях / Н. М. Беляев, А. А. Рядно // Ч. 1. - М. : Высш. школа. - 1982. - 237 с.

3. Коваленко А. Д. Термоупругость / А. Д. Коваленко // К. : Вища школа - 1975. - 216 с.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

4. Bala Kiran. A Review of Two-Temperature Thermo-elasticity / Kiran Bala // International Journal of Modern Engineering Research (IJMER), Vol. 2, Issue 6. - 2012. -P. 4224-4227.

5. Шамровский А. Д. Термоупругие волны и скорость их распространения в динамической задаче взаимосвязанной термоупругости / А. Д. Шамровский, Г. В. Мерко-тян // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. Выпуск № 7 (53), Том 5. - 2011. - С. 41-45.

6. Тимошенко С. П. Теория упругости / С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер. - М. : Наука. - 1975. - 576 с.

7. Chou P.C. A Unified Approach One-Dimensional Elastic Waves by the Method of Characteristics / P. C. Chou, R. W. Mortimer // Journal of Applied Mechanics, Vol. 34, № 3. -1967. - P. 745-750.

8. Сагамонян А. Я. Волны напряжений в сплошных средах / А. Я. Сагамонян // М. : Изд-во МГУ. - 1985. - 416 с.

Одержано 03.04.2015 Мастиновський Ю.В. Термопружш хвилi в порожнистому цилiндрi

Розглядаеться цилгндричний шар пружного iзотропного матергалу, який перебувае nid Ыею нестацюнарних навантажень: нормального навантаження i об 'емного термоудару. Отримано чисельно-аналгтичнийрозв 'язок плоско'1 задачг термопружностг з використанням термопружного потенцгалу перемгщень та розкладаннг в ряд Фур 'е. Коефщгенти Фур 'е визначаються чисельно з використанням методу характеристик.

Ключовi слова: цилгндричний шар, термопружш хвилг, напруження, метод характеристик.

Mastinovsky Yu. Thermo-elastic waves in hollow cylinder

Cylindrical layer of elastic isotropic material under non-stationary loads-normal stress and volumetric thermal shock - is being considered. Numerical analytical solution of plane thermo-elastic problem is based on thermo-elastic displacement potential and development in Fourier series. Fourier coefficients being defined numerically by characteristics method have been obtained.

Key words: cylindrical layer, thermo-elastic waves, stresses, method of characteristics.

г1 = 0,8 ; Д/ = 0,01 - шаг по времени;

V = 0,3 - коэффициент Пуассона.

Полученные результаты хорошо согласуются с известными, полученными другими методами [3, 4].

Выводы

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Предложенная модель и методика расчета рассматриваемой конструкции позволяют проводить численные эксперименты по выявлению областей, наиболее расположенных к повреждениям, в результате действия на нее нестационарного давления и объемного термоудара . Задание других граничных условий не требует изменений расчетной схемы для внутренних узлов сетки. Проведение численных экспериментов, сравнение различных теорий и зависимостей дают возможность не только понять качественную картину распространения термоупругих волн, но и получить обоснованные рекомендации по практическому использованию конструкций данного вида.