Термокапиллярное движениетонкой пленки бинарногоспиртосодержащего раствора Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕХАНИКА

УДК 532.5

НАУЧНЫЙ ОТДЕЛ

Термокапиллярное движение

тонкой пленки бинарного спиртосодержащего раствора

Н. А. Иванова, К. А. Бородина

Иванова Наталья Анатольевна, кандидат физико-математических наук, профессор кафедры технической и экспериментальной физики, Тюменский государственный университет, Россия, 625003, г. Тюмень, ул. Семакова, д. 10, n.ivanova@utmn.ru

Бородина Ксения Алексеевна, аспирант кафедры фундаментальной математики и механики, Тюменский государственный университет, Россия, 625003, г. Тюмень, ул. Семакова, д. 10, k.a.borodina@mail.ru

Межфазная конвекция — широко распространенное явление, встречающееся в различных отраслях техники, включая химические технологии. Наибольший интерес в случае тонких пленок жидкости представляет конвекция Марангони. Фазовые переходы существенно влияют на конвективное течение, изменяя коэффициент поверхностного натяжения. В данной работе аналитически исследуется поведение тонкой пленки спиртосодержащего раствора при ее нагреве. Изменение температуры свободной поверхности вместе с уходом летучей компоненты приводит, как правило, к двум противоположным эффектам по направленности градиента поверхностного натяжения. Показано, что в рассматриваемой нестационарной задаче деформации пленки можно выделить четыре масштаба времени, связанных с развитием полей скорости, температуры и концентрации, а также с изменением высоты слоя. В зависимости от первоначальной толщины деформация пленки может как опережать развитие поля концентрации, так и отставать от него. В линейном приближении получены формулы для полей основных величин и деформации пленки.

Ключевые слова: термокапиллярное течение, конвекция Марангони, жидкая пленка.

Поступила в редакцию: 26.02.2019 / Принята: 05.05.2019/ Опубликована: 02.03.2020

Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution License (CC-BY4.0)

DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2020-20-1-64-78

ВВЕДЕНИЕ

Широкий обзор работ по межфазной конвекции приведен в [1,2]. Движение тонких пленок рассматривается, как правило, в рамках длинноволнового приближения [3,4]. Балансовые соотношения на границе раздела сред с учетом фазовых переходов приведены в [5,6]. Изучению конвекции Марангони с учетом испарения посвящены работы [7,8]. Движение бинарной смеси в плоских и цилиндрических слоях подробно рассмотрено в [9]. В монографии также описаны свойства инвариантных решений уравнений термодиффузии. В настоящей работе исследуется поведение тонкой пленки спиртосодержащего раствора при ее нагреве с учетом ухода летучей компоненты в разных масштабах времени. Эксперименты с подобными системами при воздействии лазерного излучения описаны в [10].

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Основные уравнения

Пусть тонкий слой однородного раствора расположен на плоской горизонтальной поверхности г = 0. Газ над пленкой содержит пары летучей компоненты, находящиеся в термодинамическом равновесии с жидкостью. В некоторый момент времени подложка мгновенно нагревается, что приводит к деформации пленки. Будем считать изменения температуры и концентрации раствора незначительными настолько, что к таким отклонениям чувствителен только коэффициент поверхностного натяжения. Параметры же, характеризующие саму жидкость, а также объем раствора, полагаем постоянными. На свободной поверхности г = Н(х,у,Ь) пренебрежем конвективным теплообменом с окружающей средой, сохранив затраты тепла на испарение. Имеем следующую систему уравнений и граничных условий [1,3]:

г = 0 :

г = Н :

Здесь V, р, р, Т — скорость, давление, плотность и температура жидкости соответственно; С — массовая концентрация летучей компоненты в растворе; Б, к и х — коэффициенты диффузии, теплопроводности и температуропроводности; ц, V = р/р — динамическая и кинематическая вязкости; 7 — коэффициент

^ . Ур „2

— + (V •У) V =--- + V У2 V + д,

дЬ р

ВС

— + V -УС = БУ2С, (1)

^ + V -УТ = хУ2 Т, У • V = 0,

V = 0, Т = Т., ^ = 0,

дг

- (р - Ра) + • п • п + 2кп7 = 0,

• п • т = У7 • т, (2)

-кп • УТ = 3Ьь, рБп -УС = -3 (1 - С).

поверхностного натяжения, Lv — скрытая теплота парообразования, pa — внешнее атмосферное давление, kR — кривизна свободной поверхности, D — тензор скоростей деформаций; n, т - нормальный и тангенциальный единичные векторы к свободной поверхности; g - ускорение свободного падения, J — интенсивность массообмена.

В силу принятых допущений о незначительном изменении объема жидкости вследствие ухода летучей компоненты кинематическое условие на свободной поверхности примем в виде

Л h

— + v •V (-z + h) = 0. (3)

dt

Начальные условия соответствуют однородной жидкости в состоянии покоя t = 0:

h = h0,

0 < z < h : v = 0, T = Tq, C = Cq.

Температуру подложки для определенности зададим в виде осесимметричного пятна с центром в начале координат:

9 l 9 I-

Ts = Ts (r) = Tq + #e-r /a , r = Vx2 + y2. (4)

Замыкающие соотношения

Коэффициент поверхностного натяжения запишем в линеаризованном виде

Y = Yt (Tj - Tq)+ Yc (Cj - Cq ), Yt = |Y (T = Tq, C = Cq) , Yc = JC (T = Tq, C = Cq) . Аналогично представим интенсивность массообмена. Согласно [1] имеем

/ M \1/2

(snRTï) [pvs (tj>c) - pvj] •

Давление насыщенных паров летучего вещества pvs определим как

Pvs (T, C) = x (C) pvo exp мольная доля растворенной компоненты

J =

I '1_ I in j

1 -1 R ITq T,

X (C )= CM

СМ№ + (1 - С) м/

Парциальное давление паров над свободной поверхностью ру/ будем считать равным первоначальному значению, соответствующему давлению насыщения

Ру/ = Ру. (То, Со).

Диффузию паров в данной задаче не рассматриваем. Разложив функцию 3 по степеням в окрестности (Т0,С0), получим в первом приближении

3 = зт (Т/ - То)+ за (С/ - Со),

. = / А/у \1/2 Со Ит рус Ьг

Зт асот ] СооМт + (1 - Со) Ыь ЯТо2 1

/ Мг ^1/2

Мм М

Зс = а

Л2пЯТоУ [СоМ^ + (1 - Со) Му]

7ру0 .

В приведенных формулах Т/ и С/ — температура и концентрация на свободной поверхности; асот — коэффициент коммодации; Му, Ми} — молярные массы летучей и основной компоненты раствора; Я — универсальная газовая постоянная, ру0 — давление насыщенного пара чистой компоненты.

Представленные ниже иллюстрации поведения жидкой пленки будут соответствовать водному раствору изопропанола (IPA), параметры которого примем как в [10]. Начальная температура То = 293 К, начальная массовая концентрация IPA Со = 0.35, молярная масса летучей компоненты М/РА = Му = 60 г/моль, воды — = 18 г/моль, плотность раствора р = 860 кг/м3, коэффициент вязкости ^ = 3 мПа • с, теплопроводности — к = 0.6 Вт/(м • К), диффузии — В = 10-9 м2/с, теплота парообразования Ьу = 756 кДж/кг, давление насыщенных паров ру0 = 4.1 кПа, коэффициент коммодации асот = 1, характерный размер зоны нагрева а = 10-3 м, повышение температуры 0 = 1 К. Для коэффициента поверхностного натяжения имеем 7Т = —10-4 Н/(м • К), 7С = -0.017 Н/м. Так как в работе рассматриваются только малые деформации тонкого слоя, то лапласовским скачком давления в данном исследовании будем пренебрегать.

Характерные времена

Проведем анализ уравнений движения, вводя малый параметр в виде отношения поперечной и продольной характерных длин. Для этой цели запишем уравнения в проекциях, выделив вертикальную координату г

V

V | + те.

д

д

д

+ — е^, У| =—еж + — еу. дг дх ду

Пусть I — продольная, й — поперечная характерные длины, причем I ^ й, так что 6 = й/1 представляет собой малый параметр системы. Характерные продольная и поперечная скорости ио и то связаны между собой соотношением то = био, которое вытекает из уравнения непрерывности. Характерное давление определим выражением ро = 1)/й2. Характерное время процесса обозначим как т, 0 — перепад температуры, соответствующий постановке задачи.

В уравнениях (1) с граничными условиями (2), (3) перейдем к безразмерным переменным

V

V! =

- V!

ио

т.,

х

х* Т1

т то

I

Р*

У* =

I'

Т.

Ро

/С/

= 11 а

Т — То 0 '

г

т

- а

В целях поэтапного анализа выделим явно характерное время процесса движения т по аналогии с [11]:

а2 дV! „ 2 л

— —1 + Яеб2 (V 7Ут дг . \

V!) V! + т. ^

д 2 ?? *

— б2 Vi2v! = + ^

4

2 d2 dw* 4/ * dw*\ ^,2 2 d2w

e2--— + Ree4 (vl • Vl) w* + w* —— - б4V*2w* - б2

vt dt*

Pr d2 dC RePr 2 / * ^

---— +--j— e2 vl • Vl C + w*

Le vt dt* Le V

d2 dT /

Pr—^ + RePre2 ( vl • VlT* + w*

dz* / dp* Ga dz* Re '

dC dz* dT*

vt dt*

d

z*

Vl •vl +

dw* dz*

= 0.

z* = 0: v l = 0, w* =0, T* = Ts*, dC/dz* = 0,

z*

= h* :

dz*2

- e2 V*2 C =

d 2C dz2 '

e2 V*2 T = d 2 T* - e Vl T* = d^T" '

(5)

(6)

+2-

- (p* - pa )+

e4 Vlv l •Vl h* •Vl h* - e4 V>* • Vlh* - e2 dv l/dz* • Vlh* + e2 dw*/d

1+ e2 (Vl h*)2

RePr —e2 Vl vl • Vl h* - ez edvl/dz* • Vl h* + e2 Vl w* + edw*/dz*ez +

= 0,

^1 + e2 (Vl h*)

—e2 (Vl v l)T •Vl h* - ez e3 Vl w* • Vl h* + dv l/dz* + edw*/dz* ez

+ RePr

^1 + e2(Vl h* )

(7)

-2 RePr

e3Vl v l •Vl h* •Vl h* - e3Vj w* • Vl h* - edvl/dz* • Vl h* + edw*/dz*

1+ e2 (Vl h* )2 -eVl h* + ez

^1 + e2(Vl h* )

x

= Ma | eVl T* + f* ez - (-e* Vl T* • Vlh* + ^ * , +

1 l dz* V l l dz*/ 1 + e2 (Vl h* )

1 YC

dC

+Ma^ ( eVl C + ez - ( -e2 Vl C • Vl h* +

dC\ -eVlh* + e

в Yt

d

z*

dz*/ 1 + e2 (Vl h* )

-e2 Vl T* •Vl h* + dT*/dz* JLv d

^1 + e2 (Vl h* )2 кв

-e2 Vl C •Vl h* + dC/dz* J (1 - C ) d

^1 + e2 (Vl h* )

pD

l dh* Uqt dt*

+ vl • Vl h* - w* = 0.

l1*

Здесь использованы следующие обозначения для безразмерных комплексов:

Re =

Uq l

Pr =-, Ga = v X

и величин: Ts* = (Ts - Tq)/в, pa = Pa/po.

gd3

v

2

D ^ Yt в1 Le = —, Ma =

X

MX

2

2

2

2

Как следует из (5), (7), при деформации пленки раствора можно выделить четыре масштаба времени, связанных с развитием полей скорости, температуры и концентрации, а также с изменением толщины слоя. Введем следующие характерные времена:

12 _ 12 Рг12 I

Т1 = —, Т2 = Рг—, Тз = ---, Т4 = —, (8)

V V ье V п0

при этом

Т1 , Т1 Ье Т1 20 — ^ 1, — = —-, — = б2 Яе. Т2 Тз Рг Т4

Рассмотрим два предельных случая соотношений характерных времен: деформация пленки опережает развитие поля концентрации растворенной компоненты

Т4 з/ Ье

— ^ б <—> б ~ А - = б1 ,

Тз V РгЯе Ь

развитие поля концентрации опережает процесс деформации пленки

т3 Ье

— ~ б ^^ б ~ р р = б2. т4 РгЯе

Соотношения характерных времен будет соответственно

Т1 ^ Т2 < Т4 < Тз, Т1 ^ Т2 < Тз < Т4.

При б > б1 жидкую пленку условно назовем «термической», а при б < б2 — «диффузионной»; временной интервал, предшествующий видимой деформации, — «малыми временами». Для термической пленки малые времена I ~ т1 , для диффузионной —

I ~ Т3.

Характерные скорости

Скорость п0 для термической и диффузионной пленок обозначим соответственно пт и пв. Примем также 1 = , I = а. Характерные скорости пт и пв определим при больших временах I ~ т4, когда деформации становятся существенными. В этом случае можно считать температуру однородной по высоте, и, как следствие,

Т/ = Т (г) = То + ^е-г2/а2.

В случае термической пленки концентрация еще не изменилась значительно С/ = = С = С0. Коэффициент поверхностного натяжения

7 - 70 = 7т (Т/ - Т) + 7с (С/ - С0) = 7т0е-'2.

Характерная скорость термокапиллярного течения п0 ^ 1 ^^, так что можно

^ I

принять

17т| ит = -.

Процесс деформации диффузионной пленки будем считать равновесным, что достигается уменьшением ее первоначальной толщины. В этом случае имеет место условие насыщения

3 = .7т (Т/ - Т0) + 7с (С/ - С0) =0,

Y - Yo = Yt (Tj - То) + yc (Cj - Cq) = (yt - jCYe) /fl2. В силу преобладания концентрационного эффекта характерная скорость

jT

UD = |YC| ---.

je Ma

Величины uT и uD определены для каждой из пленок, но только одна из них будет соответствовать характерной скорости.

Теперь можно конкретизировать введенные выше понятия. Пленка раствора проявляет термический эффект, если ее первоначальная толщина

и концентрационный (диффузионная пленка) — при

d < ' ^

|Yc | (jr /je ) 0'

В нашем случае 1 > 10 4 ми 1 < 10 6 м соответственно. Далее рассматриваются жидкие пленки с начальной толщиной 1 = <т и 1 = 1в, где <т = 10-4 м, 1в = 10-6 м.

2. РАЗВИТИЕ ПОЛЯ СКОРОСТИ. МАЛЫЕ ВРЕМЕНА

Рассмотрим процесс формирования поля скорости при нагреве слоя жидкости. Положим в уравнениях (5), (7) характерное время т = Т1 из (8). Пренебрегая членами порядка б и выше, будем иметь

дv 1 _ v* d2vi dp* Ga _ 0 ÖC - 0

dt* 1 * dzj ' dz* Re ' dt*

дт, d2 т* v* v * + dw* 0

d* _ w V1 • V1 + 9Z" _0'

Граничные условия:

z* _ 0 : v 1 _0, w* _0, T* _ T*, z* _ h* : p* _ pa,

(9)

RePröv!/dz, = eMa (VIT + yc/ (yt0) V!C), dT*/dz* = 0, dh*/dt* = 0.

Начальные условия t* = 0:

h* = 1, (10)

0 < z* < h* : v! = 0, w* = 0, T* = 0, C = Co. Затраты тепла на испарение на данном временном интервале не учитываем.

Решение задачи (u0 = uT)

Из кинематического условия на свободной поверхности следует постоянство тол щины пленки

дг = 0 ^ Л* = 1,

dt*

концентрация также неизменна

дС

т— = 0 ^ С = С0 = const, dt*

продольный градиент давления отсутствует

p* = (Ga/Re)(1 - z*)+ pj. Далее, решая задачу (9), (10) методом Фурье, находим поле температуры

1 / 1\

T* (x*, y*,z*, t*) = T* - 2T* ^ —е-пПsin (nnz*), Пп = n + - n,

n=0 Пп V

на свободной поверхности (z* = h* = 1)

+ / .\n о *

T* (i„ y*, t*) = T* - 2T* y; ^^e-nn, (z* = h*) = -V!T*.

n=0 nn '

Продольная составляющая скорости

n=0

(k=n)

i (x* ,y* ,z* Л) = <{ - ^ (-1)n+k-n2 (n2 - n2 )-sin(nnz*) +

n=0 k=0 nn (nk nn)

+4V —е-пПsin (nnz*) + (2V е-пП- 1 J z* 1V!T*, (11)

n=0 nn V n=0 nn У J

вертикальная компонента

nk ( e - e

w* (x*,y* ,z* ,i* H ^ (-1) -n3 (n2 - n 2 )- (1 - COs(nnz* )) -

n=0 k=0 Пп (nk Пп)

(k=n)

-4 g 4e-^ (1 - cos (nnz*)) - (£ ^e-nn- -) zjl Vi2T*. (12)

n=0 nn n=0 nn 2

При нагреве подложки по закону (4) в формулах (11), (12)

T* = e-r*, r* = ТХУЛУ2,

ViT* = fег = -2rte-r*er, Vi2T* = 1£) = 4 « - 1) ^,

поле скорости обладает осевой симметрией

v! = — = vr* er, v* = v* (r*, z*, t*).

На рис. 1 представлен процесс прогрева слоя жидкости и формирование поля скорости.

1 z *

z *

а / a

б / b

Рис. 1. Температура T* (г* = 0) и радиальная компонента скорости v** (г* = 1)

по высоте. Кривые 1-3 соответствуют моментам времени t* = 0.3, 0.7, 3 Fig. 1. The temperature T* (г* = 0) and the radial velocity component v** (г* = 1) in height. Curves 1-3 correspond to time instants t* = 0.3, 0.7, 3

Приведены зависимости температуры T* и радиальной компоненты скорости v* от вертикальной координаты z*. Температура указана на вертикальной оси r* = 0, а профили скорости — на некотором удалении от нее (r* = 1). Кривые 1-3 соответствуют моментам времени t* = 0.3, 0.7, 3. При построении графиков ряды были заменены конечными суммами с достаточным числом слагаемых, так что при дальнейшем их увеличении визуального изменения не наблюдалось.

За период характерного времени устанавливается однородное распределение температуры по вертикали и линейный профиль скорости, как при течении Куэтта. Поведение термической и диффузионной пленок при временах t ^ ti одинаково. Далее для термической пленки начинается процесс деформации, а для диффузионной малые времена продолжаются до t ^ т3, происходят изменение концентрации и перестраивание поля скорости.

Определим дальнейшее развитие поля скорости для диффузионной пленки, связанное с испарением летучей компоненты. Полагая в уравнениях (5), (7) характерное время t = т3 из (8), будем иметь

-VIp* +

д2 v

д2 T* dz2

дс dt *

= 0, ^ + ^ = 0,

dz* Re

= 0, V! ■ vi + ^ = 0.

dz*

д2 C dz2

(13)

Граничные условия (линеаризованные)

= 0: vI = 0, w* = 0, дО^* = 0, T* = Ts*, z* = h * : p * = p!,

ReP^vI^z* = 6Ma (VIT* + 7c/ (7т0) VIC), pD/ (jc (1 - Co) d) дС/д^ = - [(jT0/je) T* + (C - Co)], -k0/ (jeLvd) д^/д^ = (jT0/je) T* + (C - Co), дh */дt * = 0.

Начальные условия t * = 0:

h* = 1,

(14)

0 < z* < h* : C = Co.

0

0

1

*

Решение задачи (ио = , ё = )

Толщина пленки неизменна

дН*

Ж

0 ^ Н* = 1.

Интегрирование уравнения для температуры в (13) дает

д2 Т*

Т

^2 =0 ^ Т* = (Т/ - Т.) г* + Т.* ^ ^ = Т/ - Т..

Здесь Т/ = Т* (г* = Н*) пока неизвестная функция. Подставив это выражение в граничное условие

к0 7^0

- (Т/* - Т*) = ^гТ/* + (С/ - Со),

находим связь переменных Т/ и С/ = С (г* = Н*) на внешней поверхности пленки

к0Т*- заЬу (С/ - Со) ё

Т/

(к + 7тЬуё) 0

(15)

Используя (15) в граничном условии для С из (14), можно исключить температуру Т/

рР дС За (1 - Со) ё

(г* = 1) = -

^Т/ + (С/ - Со) I Зс

к

или

где

к + Зт Ьу ё

д (С - Со)

^Т.* + (С/ - Со) .7 с

(г* = 1) + Н [(С/ - Со) - и] = 0,

Н =

дг*

7с (1 - Со) ё к

и = - ^ Т*. рР к + 7т Ьу ё .За .

(16)

Таким образом, задача для концентрации из (13), (14) отделяется

д!!^, о<*.< 1, **>о,

д£ * дг2

£ * = 0 : (С - Со) = 0, г* = 0: д(С - Со)/дг* = 0, г* = 1 : д (С - Со)/дг* + Н [(С - Со) - и] = 0.

Поле концентрации имеет вид

С (х *,у*,г*Д *) = Со + и

1 + 2УЧ-1)

„ Н./Н2 + У2

2=1

Рп [Н2 + Н + Р21

е-^*ооб (рпг*)

Здесь U и H определены формулой (16), — положительные корни уравнения ctg p = p/H. На свободной поверхности (z* = 1)

CI — Co —

jrO je

^v/F^T^n .-„nt

n=1

Mn [H2 + H + ^ ]

„П

cos pr

T*.

(17)

Остальные неизвестные находятся с помощью (15) и (17)

h * — const ^ VIp* — 0 ^

d2 v i

"dZ

— 0,

^ (z* — h* ) — -^ (viT/ +

dz* Ud V Yt 6

YC Vi C;

Профиль продольной составляющей скорости линейный по высоте

vi (x *,y*,z*,t *) — -UT fvit; + ViсЛ z*,

UD V yT6 /

вертикальная компонента скорости

w * (x *, y *, z *, t* ) —

uT Ud

Vi T;* + -Ye6 vi C;j y,

Yt 6

поле температуры

T* (x „y„z*,t * ) —(t; - t; )z* + t; . Как видно из (17), термодинамическое равновесие наступает за время

t * — — ~ —2 ^ Т3 Ml

d2

M D

Процесс деформации диффузионной пленки равновесный при условии т5 < т4. Данное требование выполняется.

На рис. 2 показаны динамика изменения концентрации и температуры на поверхности пленки, а также перестраивание ранее сформированного поля скорости.

с t * ci '11

0.98

0.96

0.94

V,

3

2

а / a

i

-0.2

-0.4-

б / b

Рис. 2. Концентрация С* = С//Со и температура Т/ при r * = 0 в зависимости от времени — кривые 1 и 2; радиальная компонента скорости v* (r* = 1) по высоте —

кривые 3-5 соответствуют моментам времени t* = 0.001, 0.3, 3 Fig. 2. Concentration С* = С//Со and temperature Т/ at r * = 0 depending on time are the curves 1 and 2; the radial velocity component v* (r * = 1) in height is the curves 3-5 which correspond to time instants t * = 0.001, 0.3, 3

rsj

2

1

t

0

4

*

Приведены зависимости С* = С//С0 и Т/ от времени £* в центре г * =0 — кривые 1 и 2 соответственно. Показано распределение радиальной компоненты скорости V* по вертикали при г * = 1; кривые 3-5 соответствуют моментам времени £* = 0.001, 0.3, 3. Как и ранее, сходимость рядов контролировалась визуально. Концентрация убывает со временем и стремится к новому равновесному значению. При этом температура поверхности пленки несколько понижена вследствие затрат тепла на испарение летучей компоненты. Горизонтальная составляющая скорости V! меняет свое направление на противоположное.

3. ДЕФОРМАЦИЯ ПЛЕНКИ РАСТВОРА

Рассмотрим динамику жидкой пленки. При т = т4 из (5), (7) следует

-V!р* + ^ = 0, дг + 1Г = 0, ^' V! + !г = 0, (18)

<9*2 д** Ре д**

** = 0 : V! = 0, т * =0, ** = к * : р * = р^, РеРг дV!/д** = еМа (V!Т* + 7с/ (7т0) V!С), (19)

дк */д£ * + V! • V!к * - т* = 0.

Вводя в (18), (19) среднюю по толщине продольную скорость и*, приходим к известным соотношениям

I* + ^ ■ (к*и.) = о, и. = -3|ек2Vlк* + 2^* + ^^с,) .

Для рассмотренных примеров линеаризованное уравнение эволюции принимает единую форму

£ - А (г: - 1) е- + в( £ + г1

но с различными значениями коэффициентов. Для пленки с начальной толщиной 3 = : А = 2, В = рд^Т/(3^аит), £ * = £/а; для пленки с 3 = : А = 2 (ит - )/ио, В = рдЗД/(3^аид), £* = £/а. Приходим к следующей постановке:

= А/ (г*) + ВДг.к *, / (г *) = (г 2 - 1) е"г*, Дг.к * = + -1^ * дг2 г* дг *

к * = к * (г *,£ *); г*> 0, £ *> 0; ()

к * (г *, 0) = 1, к * *) = 1.

Решая задачу (20) с помощью преобразования Ханкеля нулевого порядка, устанавливаем динамику изменения толщины пленки

А ( . 2, 1 Г г2 1\

А / 1 (г*,£*) = 1 - 4В («ф{- 1+4

* г - . , ехр

1 + 4В£ * Р \ 1 + 4В£ * / ) '

На рис. 3 представлена деформация пленки. Изображены зависимости толщины слоя жидкости к * = к/3 от радиальной координаты г *.

а / a б / b

Рис. 3. Зависимость толщины пленки h* от продольной координаты r *. Кривые 1-3

соответствуют моментам времени t * = 0.1, 0.5, 1; d = dT (а), d = dD (б) Fig. 3. Dependence of the film thickness h * on the longitudinal coordinate r *. Curves 1-3 correspond to points in time t * = 0.1, 0.5, 1; d = dT (a), d = dD (b)

Кривые 1-3 соответствуют моментам времени t* = 0.1, 0.5, 1. Для термической d = dT и диффузионной d = dD пленок наблюдается разнонаправленное движение свободной поверхности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе изучено поведение тонкой пленки жидкости, содержащей летучую компоненту, при ее нагреве. Выделено четыре масштаба времени, связанных с развитием полей скорости, температуры и концентрации, а также с изменением высоты слоя. Определен характерный период, в течение которого устанавливается термодинамическое равновесие раствора с насыщенным паром. В зависимости от первоначальной высоты жидкого слоя прогиб поверхности пленки может как опережать развитие поля концентрации, так и отставать от него. В последнем случае наблюдается перестроение течения в пленке с изменением направления радиальной составляющей скорости до момента видимой деформации.

Библиографический список

1. Simanovskii I. B., Nepomnyashchy A. A. Convective Instabilities in Systems with Interface. L. : Gordon and Breach, 1993. 279 p.

2. Colinet P., Legros J. C., Velarde M. G. Nonlinear Dynamics of Surface-Tension Driven Instabilities. Berlin : Wiley-VCH, 2001. 522 p.

3. Oron A. Nonlinear dynamics of irradiated thin volatile liquid films // Physics of Fluids. 2000. Vol. 12, iss. 1. P. 29-41. DOI: https://doi.org/10.1063/L870282

4. Matar O. K., Craster R. V., Warner M. R. E. Surfactant transport on highly viscous surface films // Journal of Fluid Mechanics. 2002. Vol. 466. P. 85-111. DOI: https://doi.org/10.1017/S0022112002001106

5. Холпанов Л. П., Шкадов В. Я. Гидродинамика и теплообмен с поверхностью раздела. М. : Наука, 1990. 271 с.

6. Merkt D., Bestehorn M. Benard - Marangoni convection in a strongly evaporating fluid // Physica D : Nonlinear Phenomena. 2003. Vol. 185, iss. 3-4. P. 196-208. DOI: https://doi.org/10.1016/S0167-2789(03)00234-3

7. Бекежанова В. Б., Гончарова О. Н., Резанова Е. В., Шефер И. А. Устойчивость двухслойных течений жидкости с испарением на границе раздела // Изв. РАН. МЖГ. 2017. № 2. С. 23-35. DOI: https://doi.org/10.7868/S0568528117020062

8. Souche M., Clarke N. Interfacial instability in bilayer films due to solvent evaporation // The European Physical Journal E. 2009. Vol. 28, iss. 1. P. 47-55. DOI: https://doi.org/10.1140/epje/i2008-10399-x

9. Андреев В. К., Захватаев В. Е., Рябицкий Е. А. Термокапиллярная неустойчивость. Новосибирск : Наука, 2000. 278 с.

10. Tatosova K. A., Malyuk A. Yu., Ivanova N. A. Droplet formation caused by laser-induced surface-tension-driven flows in binary liquid mixtures // Colloids and Surfaces A : Physicochemical and Engineering Aspects. 2017. Vol. 521. P. 22-29. DOI: https://doi.org/10.1016/j.colsurfa.2016.07.004

11. Индейкина А. ЕРязанцев Ю. С., Шевцова В. М. Нестационарная термокапиллярная конвекция в слое неравномерно нагретой жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 1991. № 3. С. 17-25.

Образец для цитирования:

Иванова Н. А., Бородина К. А. Термокапиллярное движение тонкой пленки бинарного спиртосодержащего раствора // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2020. Т. 20, вып. 1. С. 64-78. 001: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2020-20-1-64-78

Thin Film Thermocapillary Motion of Binary Alcohol-Containing

Solution

N. A. Ivanova, K. A. Borodina

Natalia A. Ivanova, https://orcid.org/0000-0002-4121-8765, Tyumen State University, 10 Semako-va St., Tyumen 625003, Russia, n.ivanova@utmn.ru

Kseniia A. Borodina, https://orcid.org/0000-0002-3847-0636, Tyumen State University, 10 Se-makova St., Tyumen 625003, Russia, k.a.borodina@mail.ru

Interphase convection is a widespread phenomenon that occurs in various branches of technology, including chemical technologies. The greatest interest in the case of thin liquid films is the Marangoni convection. Phase transitions significantly affect the convective flow, changing the coefficient of surface tension. In this paper, the behavior of a thin film of an alcohol-containing solution when it is heated is analytically studied. The change in the temperature of the free surface together with the escape of the volatile component leads, as a rule, to two opposite effects with respect to the directionality of the surface tension gradient. It is shown that four time scales associated with the development of velocity, temperature and concentration fields, as well as the change in layer height, can be distinguished in the considered non-stationary problem of a film deformation. Depending on the initial thickness deformation of the film can both advance the development of the concentration field, and lag behind it. In the linear approximation formulas for the fields of the basic quantities, and also for the asymptotics of the film deformation process are obtained.

Keywords: thermocapillary flow, Marangoni convection, deformation of a liquid film.

Received: 26.02.2019 / Accepted: 05.05.2019 / Published: 02.03.2020

This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution License (CC-BY 4.0)

References

1. Simanovskii I. B., Nepomnyashchy A. A. Convective Instabilities in Systems with Interface. London, Gordon and Breach, 1993. 279 p.

2. Colinet P., Legros J. C., Velarde M. G. Nonlinear Dynamics of Surface-Tension Driven Instabilities. Berlin, Wiley-VCH, 2001. 522 p.

3. Oron A. Nonlinear dynamics of irradiated thin volatile liquid films. Physics of Fluids, 2000, vol. 12, iss. 1, pp. 29-41. DOI: https://doi.org/10.1063/L870282

4. Matar O. K., Craster R. V., Warner M. R. E. Surfactant transport on highly viscous surface films. Journal of Fluid Mechanics, 2002, vol. 466, pp. 85-111. DOI: https://doi.org/10.1017/S0022112002001106

5. Holpanov L. P., Shkadov V. Y. Gidrodinamika i teploobmen s poverhnost'yu razdela [Hydrodynamics and heat transfer with the interface]. Moscow, Nauka, 1990. 271 p. (in Russian).

6. Merkt D., Bestehorn M. Benard-Marangoni convection in a strongly evaporating fluid. Physica D: Nonlinear Phenomena, 2003, vol. 185, iss. 3-4, pp. 196-208. DOI: https://doi.org/10.1016/S0167-2789(03)00234-3

7. Bekezhanova V. B., Goncharova O. N., Rezanova E. V., Shefer I. A. Stability of two-layer fluid flows with evaporation at the interface. Fluid Dynamics, 2017, vol. 52, iss. 2, pp. 189-200. DOI: https://doi.org/10.1134/S001546281702003X

8. Souche M., Clarke N. Interfacial instability in bilayer films due to solvent evaporation. The European Physical Journal E, 2009, vol. 28, iss. 1, pp. 47-55. DOI: https://doi.org/10.1140/epje/i2008-10399-x

9. Andreev V. K., Zahvataev V. E., Ryabickij E. Termokapillyarnaya neustojchivost' [Ther-mocapillary instability]. Novosibirsk, Nauka, 2000. 278 p. (in Russian).

10. Tatosova K. A., Malyuk A. Yu., Ivanova N. A. Droplet formation caused by laser-induced surface-tension-driven flows in binary liquid mixtures. Colloids and Surfaces A: Physicochemical and Engineering Aspects, 2017, vol. 521, pp. 22-29. DOI: https://doi.org/10.1016/j-.colsurfa.2016.07.004

11. Indeikina A. E., Ryazantsev Yu. S., Shevtsova V. M. Unsteady thermocapillary convection in a nonuniformly heated fluid layer. Fluid Dynamics, 1991, vol. 26, iss. 3, pp. 331-337. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01059000

Cite this article as:

Ivanova N. A., Borodina K. A. Thin Film Thermocapillary Motion of Binary Alcohol-Containing Solution. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2020, vol. 20, iss. 1, pp. 64-78 (in Russian). DOI: https://doi.org/10.18500/1816-9791-2020-20-1-64-78