Термоформование листов из частично кристаллических полимеров: моделирование и расчеты методом конечных элементов Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЫСОКОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ, Серия А, 2008, том 50, № 5, с. 841-849

УДК 541.64:539.3

ТЕРМОФОРМОВАНИЕ ЛИСТОВ ИЗ ЧАСТИЧНО КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ПОЛИМЕРОВ: МОДЕЛИРОВАНИЕ И РАСЧЕТЫ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

© 2008 г. A. Makradi*, S. Ahzi*, S. Belouettar**, D. Ruch**

*University Louis Pasteur, Institut de Mécanique des fluides et des Solides UMR 7507 2 Rue Boussingault, 67000 Strasbourg, France **LTI, Research Center Henry Tudor 70 Rue de Luxembourg, L-4221 Esch-sur-Alzette, Luxembourg

Предложена микромеханическая упруговязкопластическая модель процесса термоформования частично кристаллических полимеров, учитывающая зависимость свойств материала от температуры и скорости деформирования. Во время термоформования температура в листе пластика поддерживается постоянной, и ее изменение возникает только из-за адиабатического нагрева. Моделирование проведено для изотактического ПП методом конечных элементов. Толщина листа, ориентация молекул полимера и его степень кристалличности сильно зависят от температуры проведения процесса и геометрии формы для прессования. Также учтена аморфизация полимера при формовании.

ВВЕДЕНИЕ

Упрощенная схема процесса термоформования полимеров под давлением представлена на рис. 1. Процесс включает нагрев излучением и последующее вдавливание в форму тонкого листа пластика выше температуры его размягчения. Затем нагрев прекращают, и лист деформируют в пресс-форме. Давление либо прикладывают извне к верхней стороне листа, либо откачивают воздух из пространства между листом и пресс-формой. Перед снятием давления происходит "замораживание" -

полимер охлаждают ниже температуры стеклования для сохранения окончательной геометрии изделия и фиксации молекулярной структуры, сформировавшихся на горячей стадии деформирования. На поведение материалов в процессе термоформования сильно влияют уровень создаваемых напряжений, скорость их изменения и температура [1]. Для улучшения качества изделий эти факторы необходимо контролировать.

Модель термоформования полимерных материалов была предложена Aus Der Wiesche [2] с

Полимерный лист

Пpилoжeннoe дaвлeниe

Зaжим

Фopмa

l0 = 46 см :

Рис. 1. Cxeмa ^o^cca тepмoфopмoвaния пoлимepoв год дaвлeниeм.

E-mail: makradi@imfs.u-strasbg.fr (Ahmed Makradi).

A<

Упругость

Внутримолекулярное сопротивление

Течение

Ориентация [

B

Рис. 2. Схематическое разделение полного сопротивления деформированию на внутримолекулярную и сеточную части.

учетом вязкоупругих определяющих соотношений. Warby и соавторы [3] рассмотрели определяющие соотношения, в которых величины, входящие в модель, принимались не зависящими ни от температуры, ни от скорости деформации. Значения параметров модели получали из экспериментальных кривых напряжение-деформация при постоянной скорости деформации и температуре. Schmidt и соавторы [4] разработали трехмерный численный метод для моделирования и экспериментальную установку для измерения температуры листа полимера на стадии нагрева. Трехмерная микромеханическая упруговязкопластическая модель процесса термоформования аморфных полимеров была разработана Makradi с соавторами [5]. Они показали, что механические характеристики конечного изделия существенно зависят от температуры процесса и профиля приложенного давления.

Цель настоящей работы - моделирование термоформования частично кристаллических полимеров. Различные микромеханические процессы, учитываемые в этой модели, базируются на экспериментальных данных по пластическому деформированию изотактического ПП [6-8]. В не-деформированном состоянии ПП имеет сферо-литную морфологию без преимущественной ориентации цепей. Сферолиты состоят из ради-ально ориентированных кристаллических ламе-лей, разделенных аморфными областями. Пластическое деформирование ПП при больших степенях вытяжки ведет к разрушению сферолитов и ламелей, что вызывает аморфизацию материала [6-8]. Для моделирования вклада кристаллической фазы в деформационное упрочнение счита-

ется, что оставшиеся кристаллиты препятствует вытяжке и складыванию цепей в аморфной фазе. Аморфизацию моделируют феноменологически для подгонки результатов к имеющимся экспериментальным данным [6-8].

Модель учитывает зависимость характера микромеханических процессов от температуры и скорости деформации. В предыдущей работе температуру процесса принимали постоянной и однородной, но допускали ее изменение из-за адиабатического нагрева. Пластичность полимера моделировали с помощью процедуры осреднения. Вклад от обеих фаз усредняли, и материал рассматривался как однородный континуум. Предложенную модель рассчитывали при помощи коммерческого программного обеспечения АЪадш [9].

ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ

Введем обозначения: Г - градиент тензора деформации, V - тензор вытяжки, К - тензор поворота, Ь - тензор градиента скорости, Б - тензор скорости деформирования, W - тензор спина, Т -тензор напряжений Коши, б - абсолютная температура, т - эффективное напряжение сдвига.

Трехмерные определяющие соотношения для больших деформаций базируются на работе Воусе с соавторами [10] и МакгаШ с соавторами [11, 12]. Вариант модели, используемый для описания деформационного поведения полимера (рис. 2), учитывает внутримолекулярное сопротивление А, действующее параллельно с сопротивлением полимерной сетки В. Полный градиент приложенной деформации Г равен внутримолекулярному ГА и сеточному ГВ градиентам деформации:

F = Fa = FB

(1)

Полный тензор напряжений Коши Т представляет собой сумму внутримолекулярных ТА и сеточных ТВ напряжений Коши

T = TA + TB

(2)

Сеточные напряжения: сопротивление В

Ориентация макромолекул полимера при больших деформациях вызывает появление внутренних напряжений в сетке зацеплений. Эти на-

сетки

пряжения представляют собой меру сопротивле- Таблица 1. Параметры модели ния пластическому течению из-за ориентации цепей. В настоящей работе сеточные напряжения моделировали моделью высокоэластичности Аг-гиёа и Воусе [13], в которой связь между вытяжкой и напряжениями задается выражением

Тв = 1 СкМгН-1 )В - (X)21],

1в X ^^

(3)

где В = Ев (Ев )т и Е в = /в)-1^ Здесь / = ёе^в) есть изменение объема сетки, I 1 - обратная функция Ланжевена, определяемая аппроксимирующей функцией I_1(х) ~х(3 - х2)/(1 - х2) [14], Ск -

модуль высокоэластичности, ¿Й = Х1осЫщ - предельная степень вытяжки. При моделировании считали, что кристаллиты ограничивают вытяжку полимерных цепей в аморфной фазе ПП. Аморфизация приводит к увеличению деформации перед деформационным упрочнением. Предполагается, что N возрастает с уменьшением степени кристалличности ф по закону

Параметр Уравнение Значение

ф0 (4) 0.52

(5) 0.4

Ь, К-1 (5) 0.0047

Уо, с-1 (10) 1.75 х 106

(13) 0.92

, с 1 (14) 0.45

т (14) 3

С (14) 0.1

(15) 60

0 °с (15) 65

к ктах (15) 0.55

0гф °С (18) 25

тЕ, МПа/К (18) 4

„Лр

ческую ЕА компоненты в виде мультипликативного представления градиента деформаций внутримолекулярного сопротивления ЕА:

N (ф) = йо(0)(Фо+1

(4)

ЕеА = V! КА

(7)

Здесь VАА - тензор упругой вытяжки, КА - тензор

(ф0 - исходная степень кристалличности полиме- упругого поворота. ра). Температурная зависимость Й(ф) выражается через Й0(0) по соотношению [15]

Й0 (9) = ЙА + Ь 0

(5)

Уравнение для напряжений Напряжения Коши задаются соотношением

Параметры материала ЙА и Ь приведены в табл. 1.

Эффективная вытяжка каждой цепи сетки X (уравнение (3)) определяется как среднее квадратичное из приложенных к сетке деформаций

— — 1/2 X = [(1/3 )1г (В)]

(6)

Та = Яе [ 1п (V!)],

1А

(8)

Внутримолекулярное сопротивление А

Внутримолекулярное сопротивление включает в себя вклады от аморфной и кристаллической фаз полимера. Деформационный отклик состоит из начального упругого процесса и последующего течения. Модельно такой отклик можно представить как пружину в последовательности вязких элементов. Значит, деформацию аморфной фазы

можно разложить на упругую ЕА и термопласти-

где 1А = ёе!( ЕА) - изменение объема, - тензор четвертого порядка средних значений жесткости,

1п(VА ) - деформация по Генки. Здесь предполагается, что упругость изотропна, и сдвиговые модули кристаллической фазы выбирались в 5 раз большими, чем аморфной фазы. Для вычисления тензора четвертого порядка применяли метод самосогласования [16].

Эволюционное уравнение для еА : закон течения

Используя определение градиента скорости,

• мр

изменение ЕА во времени можно записать как

^thP T thPVthP F A = La F A

L Ahp = W AhP + D AP

WAP = 0,

DAhP = DP + P(0)01,

DP =

Ya

TA, TA = | 1TA T A

1/2

(9)

ну [1гасе(Т'Бр)] аппроксимировали произведением [тАур ]. Тогда результирующее уравнение для энергетического баланса принимает вид

0 =

т aY

Р Cp( 6))

(12)

где Р(0) - зависящий от температуры коэффициент термического расширения. Скорость сдвига при вязком течении уA определяется выражением аррениусовского типа, предложенным Argon [1] и модифицированным Boyce с соавторами [10, 17]. Заметим, что кристаллическая фаза предполагается жесткоупругой:

Ya = Yoexp

■A G ( 1 - TA/s )■ . k0 .

(10)

р Cp(0)0 - div (Г(0) grad(0)) = q,

(11)

Эволюция степени кристалличности

Вводя степень кристалличности ф с начальным значением ф0, можно определить степень амор-физации по формуле

ф = 2 фо — уфм,

(13)

Здесь у0 - референтная скорость сдвига, AG -энергетический барьер при течении, s - деформационное сопротивление, принятое равным 0.35Ga, где Ga - упругий модуль сдвига аморфной фазы. Отметим, что в литературе приводятся и другие модели, способные лучше описывать поведение материала, особенно для температур выше Tg и в более широком диапазоне скоростей деформации [15, 18]. Однако для простоты мы будем использовать модифицированную модель Argon, которая достаточно хорошо согласуется с экспериментальными результатами для малых и умеренных скоростей деформации [10-12, 19].

Адиабатический нагрев

При деформировании полимеров выделяется тепло. Баланс энергии в дифференциальной форме можно записать как

в которой у - степень превращения, а ф^ определена таким способом, чтобы (1 - ф^) соответствовала минимальной кристалличности при бесконечной деформации. Скорость превращения описывается феноменологическим выражением, выведенным Бо^ав с соавторами [22] на основе уравнения Аугаш1 и затем модифицированным АИ71 с соавторами [12] для учета влияния скорости деформирования. Эволюционное уравнение для скорости превращения у как функции достигнутых напряжений Коши Т и полного модуля сдвига Осот записывается как

dy £ е

У dt

■mKav (0)[—ln (1— y)]

(m — 1) /m

~-ref

x exp

tr T

(1—У)x (14)

где т - показатель степени Аугаш1, £ - безразмерный параметр, входящий в модель, б - температура (в °С), £ес1 - приложенная эквивалентная скорость деформации, £г^ - референтная скорость деформации и Кот(б) - функция, описывающая скорость превращения [20]:

где р - плотность, Ср(б) - удельная теплоемкость, Г(б) - теплопроводность, у - скорость выделения тепла, обусловленная только пластическим течением [20]. Она равна [1гасе(Т'Бр)]. Предполагается, что работа пластической деформации, связанная с тензором обратных напряжений, запасается в виде свободной энергии вследствие "замороженной" ориентации цепей [21]. При моделировании пренебрегали теплопроводностью и величи-

Kav (0) = Kmax exp | —4ln ( 2 )

0 — 0

D,

max 1 c—1

(15)

Здесь Ктах, бтах и Вт - материальные константы, приведенные в табл. 1. Эволюцию степени превращения у вычисляли на каждом временном шаге расчета с использованием неявной аппроксимации Эйлера: у1 + Аг = у1 + у( + Д(Дг с у1 = офг¥ = фо.

с

Свойства материала

Теплоемкость. Теплоемкость С+(б) является функцией степени кристалличности ф и абсолютной температуры: С+(б) = Ссф + Са(1 - ф), где Сс и Са - теплоемкость кристаллической и аморфной фаз соответственно. Эти параметры представлены как квадратичные функции температуры б согласно работе [22] следующим образом:

Таблица 2. Физические свойства изотактического ПП

Сс(б) = Сс 1 + Сс 2 б + Ссзб2 и Са (б) = Са1 + Са2 б + Сазб'

(16)

Р = Р сФ + Р а( 1-Ф)

(17)

(F1 = Е (Е АР )-1)(+ д.,

(19)

Плотность. Плотность р определяется из плотности и кристаллической Рс и аморфной Ра фаз, которые предполагаются не зависящими от температуры:

Параметр Уравнение Значение

СК, МПа (3) 12

Лв, Дж (10) 1.16 х 10-19

Сс1, кал/г °С (16) 0.2502

Сс2, кал/г °С (16) 7 х 10-4

Сс3, кал/г °С (16) 0

Са1, кал/г °С (16) 0.3243

СаЪ кал/г °С (16) 5.65 х 10-4

Са3, кал/г °С (16) 0

рс, кг/м3 (17) 950

Ра, кг/м3 (17) 850

Е(бг/), МПа (18) 400

Параметры уравнений (16) и (17) приведены в табл. 2.

Модули Юнга. Температурные зависимости модулей Юнга определяют из экспериментальных наблюдений, следуя Воусе с соавторами [10]:

Е(б) = Е(б«,) - тЕ(б - бге/) (18)

Параметры уравнения (18) приведены в табл. 1.

Процедура интегрирования

Предложенные упруговязкопластические определяющие соотношения для описания больших деформаций частично кристаллического полимера выше его температуры стеклования включены явным образом в коммерческое программное обеспечение АЪадш [9] с помощью процедуры УиМАТ. Данный раздел посвящен описанию структуры алгоритма и численному интегрированию на каждом временном шаге.

Для расчета внутримолекулярных напряжений Коши ТА в момент времени (г + Лг) из уравнения (8) необходимо вычислить упругий градиент

деформации ЕА :

лики для начала течения, то вязкопластические

деформации отсутствуют, Е А+ = I. Как только локальные напряжения Коши достигают порога течения, тензор е'1р перестает быть единичным и изменяется в соответствии с вязкоупругими определяющими соотношениями (уравнения (9) и (10)). Выражение для изменения градиента пластической деформации Е^+дгЛt сначала находится из равенства Еа+ = Б'Аре'Ар . Уравнение для об-

..„гкр,

новления (ЕА )г + Лг имеет вид

^ГА )г + Лг

= ( Е А )г + ( БАР Е А )г +

Лг

Л г

(20)

Вклад в полный тензор напряжений Коши от ориентации макромолекул Тв вычисляется по уравнению (3) на каждом временном шаге. Тогда же с использованием алгоритма левосторонних разностей корректируется значение температуры б,

■'г + Лг-

б, + л, = бг + бЛг,

(21)

где полный градиент деформации Е вычисляется из предполагаемой величины перемещений. Если локальные напряжения Коши Т недостаточно ве-

где скорость изменения температуры б определяется по уравнению (12).

Контакт между литьевой формой и листом полимера описывается законом трения Кулона [9], в котором коэффициент трения ц принят равным 0.15.

Истинное напряжение, МПа

Истинная деформация

Рис. 3. Рассчитанные кривые напряжение-деформация при сжатии при инженерной скорости деформирования é = 0.0024 c-1 в сравнении с экспериментальными данными [6-8] (точки) при 25 (1) и 52°C (2).

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

Экспериментальные данные по изотактиче-скому ПП, необходимые для калибровки модели, могут быть найдены в литературе [6-8]. Для определения параметров модели предсказанные кривые истинное напряжение-деформация (рис. 3) и степень кристалличности-деформация (рис. 4) сравнивали с экспериментальными данными по плоскому деформированию на сжатие, выполненному при б = 25°C и постоянной инженерной скорости деформирования é = 0.0024 c-1 [6-8]. Материальные и модельные параметры приведены в табл. 1 и 2. Они используются для предсказания истинных кривых напряжение-деформация и изменения степени кристалличности при б = 52°C (рис. 3 и 4). По сравнению с б = 25°C после течения ПП при б = 52°C упрочнение оказывается менее значительным (рис. 3). Это может быть следствием роста скорости разрушения кристаллитов (аморфизации) с повышением температуры (рис. 4). Следует отметить, что результаты моделирования на рис. 3, 4 получены при постоянной истинной скорости деформации. Сравнение с экспериментальными данными Machado с соавторами [6-8] может быть не вполне адекватным, так как экспериментальные данные в настоящей работе получены при постоянной инженерной скорости деформирования. Предполагается, что найденные при таком методе подгонки параметры не

Истинная деформация

Рис. 4. Рассчитанная зависимость степени кристалличности ф от деформации при инженерной скорости деформирования е = 0.0024 с-1 в сравнении с экспериментальными данными [6-8] (точки) при 25 (1) и 52°С (2).

оказывают сильного влияния на результаты моделирования процесса термоформования методом конечных элементов.

Принималось, что литьевая форма имеет круглую конфигурацию с диаметром 10 = 0.6 м и глубиной с1 = 0.1 м (рис. 1). Полимерный лист имел вид круглого диска диаметра 0.6 м. Его часть в деформированном состоянии показана на рис. 5. При моделировании считалось, что приложенное давление линейно изменялось от центра к стенкам формы. Давление максимально в центре (р = 20 МПа) и равно нулю на краях. Контакт между листом и формой впервые появляется в центре последней и постепенно распространяется к стенкам. Поэтому влияние контактных сил и приложенного давления приводит к нелинейному радиальному профилю толщины листа (между центром и первым пиком, рис. 6). Первый и второй пики, показанные на рис. 6, появляются из-за контакта листа с краями формы. Первый находится на границе между основанием формы и ее стенками, второй - на границе между стенками и зажимами. Область между пиками соответствует зоне, в которой полимерный лист примыкает к стенкам. Между зажимами и стенками лист лежит на поверхности формы, и приложенное там давление равно нулю. Единственной причиной изменения толщины в этой области является растяжение из-за давления внутри формы.

Для иллюстрации зависимости толщины листа полимера от температуры было проведено моделирование процесса термоформования при разных значениях температуры (рис. 6). Размягчение полимера приводит к относительному уменьшению толщины листа вокруг центра формы в области радиуса г - 7.5 см. Между центром формы и первым пиком кривые радиального изменения толщины от расстояния пересекаются (ближе к пику). Изменение толщины листов в этой зоне вызвано размягчением (или упрочнением) полимера и контактными силами (трением). Эти силы препятствуют свободному растяжению листа. При одной и той же контактной силе полимер лучше скользит по листу при 0 = 25°С (жесткий полимер), чем при 0 = 55°С (мягкий материал), что объясняет относительное уменьшение толщины между центром формы и первым пиком с увеличением температуры. Поскольку на стенках приложенное давление равно нулю, в области между пиками влияние сил трения мало. Единственным фактором, влияющим на толщину листа в этой зоне, является размягчение полимера, что объясняет уменьшение толщины с ростом температуры. В области, близкой к зажимам (г е [25-30] см), где приложенное давление равно нулю, увеличение температуры также ведет к уменьшению толщины. Действительно, чем полимер мягче, тем сложнее ему скользить по поверхности литьевой формы, и наоборот. Отметим, что с повышением температуры пики постепенно сливаются.

Изменение толщины листа, показанное на рис. 6, связано с ориентацией макромолекул по-

лимера, что продемонстрировано на рис. 7 в виде

зависимости эквивалентной вытяжки цепей Хп (уравнение (6)) от расстояния от центра. Заметим, что ориентация происходит не только благодаря растяжению, но и вследствие контакта листа с формой. В общем случае увеличение эквивалентной вытяжки сопровождается снижением толщины (рис. 6, 7). Однако контактные силы, действующие не только в радиальном направлении, могут изменять ориентацию цепей и вызывать небольшие колебания на кривых деформирования (рис. 7).

На рис. 8 показан радиальный профиль температуры полимерного листа для разной темпера-

Рис. 6. Рассчитанный профиль толщины 8 полимерного листа в зависимости от расстояния от центра формы г при 25 (1), 35 (2), 45 (5) и 55°С (4).

848

МЛККЛБТ и др.

г, см

Рис. 7. Рассчитанный профиль эквивалентной

вытяжки X макромолекул в зависимости от расстояния от центра формы г при 25 (7), 35 (2), 45 (3) и 55°С (4).

туры. Большие пластические деформации, особенно на краях формы и между ними, вызывают существенное повышение температуры из-за адиабатического нагрева. Относительное увеличение деформаций листа в области между краями формы с ростом температуры (рис. 7) приводит к возрастанию температурного пика (рис. 8).

Эволюция степени кристалличности вдоль радиуса формы для различных температур представлена на рис. 9. В результате разрушения кристаллитов (аморфизации) с увеличением деформации и температуры наблюдается минимум в области между краями формы, т.е. в той же области, в которой вытяжка максимальна. Два пика (рис. 9) соответствуют двум пикам на профиле локальной вытяжки (рис. 7). По мере повышения температуры они становятся менее выраженными.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Микромеханическая модель может быть с успехом применена для описания экспериментов по термоформованию частично кристаллических полимеров. Модель основывается на экспериментальных данных по изменению микроструктуры ПП при больших деформациях. Поведение полимера описывается чувствительными к температуре и скорости деформации упруговязкопластиче-скими определяющими соотношениями. Модели-

Т, К

330 - 4

320 3

310 - 2

300 7

......1....."1.....1 1 1 * " *|

0 5 10 15 20 25 30

г, см

Рис. 8. Рассчитанный профиль температуры Т в зависимости от расстояния от центра формы г при 25 (7), 35 (2), 45 (3) и 55°С (4).

рование проводили с использованием метода конечных элементов. Рассчитывали толщину полимерного листа, степень кристалличности и ориентацию макромолекул. Эти величины являются важными параметрами, определяющими зависимость механических свойств конечного изделия от температуры и геометрии литьевой формы. Ориентация полимерных цепей и степень аморфизации зависят от температуры и силы трения, которая возрастает по мере увеличения площади контакта листа с поверхностью формы.

Ф

г, см

Рис. 9. Рассчитанный профиль степени кристалличности ф в зависимости от расстояния от центра формы г при 25 (7), 35 (2), 45 (3) и 55°С (4).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Argon AS. // Phil. Mag. 1973. V. 28. P. 839.

2. Aus Der Wiesche // J. Appl. Thermal Engineering. 2004. V. 24. P. 2391.

3. Warby M.K., Whiteman JR., Jiang W.G., Warwick P., Wright T. // Mathematics and Computers in Simulation. 2003. V. 61. P. 209.

4. Schmidt F.M., Le Maoult Y, Monteix S. // J. Mater. Proc. Technol. 2003. V. 143-144. P. 225.

5. Makradi A., Belouettar S., Ahzi S., Puissant S. // J. Appl. Polym. Sci. 2006 (Submitted for publication).

6. Lima M.F.S., Vasconcellos M.A.Z., Samios D. // J. Polym. Sci., Polym. Phys. 2002. V. 40. P. 896.

7. Machado G, Denardin E.L.G., Kinast E.J., Gongalves M.C., De Luca M.A., Teixeira S R., Samios D. // Eur. Polym. J. 2005. V. 41. P. 129.

8. Samios D., Tokumoto S., Denardin E.L.G. // Int. J. Plasticity. 2006. V. 22. P. 1924.

9. Abaqus /explicit manuals version 6.5, Abaqus Inc., Rising Mills, 166 Valley Street, Providence, RI 02909 USA.

10. Boyce M.C, Socrate S., Llana P.G. // Polymer. 2002. V. 41. P. 2183.

849

11. Makradi A., Ahzi S, Gregory R.V., Edie D.D. // Int. J. Plasticity. 2005. V. 21. P. 741.

12. Ahzi S, Makradi A., Gregory R.V, Edie DD. // Mech. Mater. 2003. V. 33. P. 1139.

13. Arruda E.M., Boyce M.C. // J. Mech. Phys. Solids. 1993. V. 41. P. 931.

14. Cohen A. // Rheol. Acta. 1991. V. 30. P. 270.

15. Richeton J, Ahzi S., Daridon L, Remond Y. // Polymer. 2005. V. 46. P. 6035.

16. Wu Z, Boyce M.C, Ahzi S, Makradi A. // J. Mater. Sci.

2005. V. 40. P. 4605.

17. Richeton J., Ahzi S., Vecchio K.S., Makradi A. // J. Mech. Phys. Solids. 2006 (under review).

18. Mulliken AD, Boyce M.C. // Int. J. Solids Struct. 2006. V. 43. P. 1331.

19. Richeton J., Ahzi S., Makradi A., Vecchio K.S. // J. Phys.

2006. V. 4. P. 134.

20. Arruda E.M., Boyce M.C., Jayachandran R. // Mech. Mater. 1995. V. 19. P. 193.

21. Boyce M.C, Montagut EL, Argon A.S. // Polym. Eng Sci. 1992. V. 32. P. 1073.

22. Doufas A.K., McHugh A.J, Miller C. // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2000. V. 92. P. 27.

Thermoforming Process of Semierystalline Polymeric Sheets: Modeling and Finite Element Simulations

A. Makradi3, S. Ahzia, S. Belouettar", and D. Ruchb

a University Louis Pasteur, Institut de Mécanique des fluides et des Solides UMR 7507, 2 Rue Boussingault, 67000 Strasbourg, France

b LTI, Research Center Henry Tudor, 70 Rue de Luxembourg, L-4221 Esch-sur-Alzette, Luxembourg

e-mail: makradi@imfs.u-strasbg.fr (Ahmed Makradi).

Abstract—A micromechanically-based elastic-viscoplastic model for the thermoforming process of semierystalline polymer materials is proposed and implemented in a finite element code. This model takes into account the temperature and strain rate dependence. In this process the applied temperature is taken uniform throughout the sheet and its variation is due only to the adiabatic heating. The simulations are conducted for isotactic polypropylene using the finite element method. The polymer sheet thickness, the orientation of the polymer molecular chains, and the percent crystallinity show an important dependence on the process temperature (polymer softening) and the geometry of the mold. Based on recent experimental results in the literature, amorphiza-tion (decrease of crystallinity) is taken into account.