Научная статья на тему 'Термодинамический вывод граничной задачи динамики и уравнений состояния для поляризуемых термоупругих материалов'

Термодинамический вывод граничной задачи динамики и уравнений состояния для поляризуемых термоупругих материалов Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
47
30
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Беляев А. К., Музаев А. А., Индейцев Д. А.

Показано, что динамическая граничная задача и уравнения состояния для простых поляризуемых термоупругих материалов могут быть получены из первого и второго законов термодинамики.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Derivation of the dynamic boundary value problem and state equations for polarized thermo-elastic materials

The dynamic boundary value problem and the state equations for simple polarized thermo-elastic materials are shown to be derivable from the first and second laws of thermodynamics

Текст научной работы на тему «Термодинамический вывод граничной задачи динамики и уравнений состояния для поляризуемых термоупругих материалов»

А. К. Беляев, А. А. Музаев, Д. А. Индейцев

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ВЫВОД ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ И УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ПОЛЯРИЗУЕМЫХ ТЕРМОУПРУГИХ МАТЕРИАЛОВ

1. Введение

Известно, что набор основных уравнений термомеханики включает в себя уравнения движения в виде баланса импульса и количества движения, уравнения состояния и два закона термодинамики. Цель настоящей работы — показать, что динамическая граничная задача и уравнения состояния для простых поляризуемых термоупругих материалов могут быть получены из первого и второго законов термодинамики. В следующем разделе приводятся базовые концепции механики деформируемого поляризуемого тела в рамках геометрически нелинейной механики сплошной среды. Третья часть посвящена основным законам термодинамики и электродинамики таких сред. Определение и уравнения состояния термоупругого материала даны в четвертой части. Динамическая граничная задача для поляризуемого термоупругого материала выведена из законов термодинамики в пятой части.

2. Основные уравнения «стареющего» поляризуемого термоупругого материала

Общая форма уравнения состояния поляризуемого термоупругого материала, например пьезоэлектрика, имеет вид

т = г (г, и., в, Ув, Уг, ж, р,г), ь = Ь (г, и., в, Ув, Уг, ж, р, г),

Р = Р (г, и,в, Ув, Уг, ж, р,г), 5 = 5 (г, и,в, Ув, Уг, ж, р,г), (2.1)

Е* = Е* (г, и, в, Ув, Уг, ж, р, г)

(см. [1-2]). Здесь т — тензор напряжений Коши, Ь — тепловой поток, Р — свободная энергия (термодинамический потенциал Гельмгольца) и Б — энтропия. Далее, интенсивность электродвижущей силы

Е* = Е + V х В

выражается через напряженность электрического поля Е и магнитную индукцию В. Величины в (2.1) являются функциями (или функционалами) следующих «определяющих параметров»: г и И — соответственно лагранжева и эйлерова координаты, V — скорость, в и Ув — соответственно температура и градиент температуры, р — вектор

О

поляризации, У и У обозначает оператор Гамильтона, соответственно, в актуальной и исходной конфигурации, [3]. Согласно принципу независимости от системы отсчета материальные скалярные величины инвариантны при повороте системы координат, например Р (Уг, р) = Р (Я • Уг, Я • р) для любого ортогонального тензора Я. Деформационный градиент Уг может быть представлен в виде Уг = жт • С-1/2, где ж —

© А. К. Беляев, А. А. Музаев, Д. А. Индейцев, 2007

ортогональный тензор сопровождающий деформацию и О = УК • УКТ — мера Коши-Грина. Если выбрать тензор Р так, что Р • Жт = I, где I — единичный тензор, то в силу

О

тождества Уг • УК = I получаем

Р (Уг, Р) = Р ^О-1/2, О-1/2 • |Ук • Р

Если ввести материальную меру поляризации р

О

рр = УК • Р, (2.2)

то меру Коши—Грина О и материальную меру поляризации можно рассматривать как определяющие параметры. Тогда уравнения состояния (2.1) принимают вид

т = г (г, К, 0, У0, О, Ж, р,£), Ь = Ь (г, К, 0, У0, О, Ж, р, £), р = Р (г, к,0, У0, о, ж, р,г), б = я (г, к,0, У0, о, ж, р,г), (2.3)

Е* = Е* (г, К, 0, У0, О, Ж, р, £).

Явная зависимость уравнений состояния (2.3) от времени £ позволяет рассматривать «стареющие» материалы, т. е. материалы, свойства которых зависят от времени.

3. Первый и второй законы термодинамики для поляризуемой термоупругой среды

Уравнения состояния материала должны удовлетворять двум законам термодинамики (см. [1-2]). Первый закон управляет обменом энергии и констатирует, что подобно массе, энергия неуничтожима [3]. В настоящей работе рассматриваются только механические, тепловые и электромагнитные явления, т. е. энергия химических и прочих превращений исключена из рассмотрения.

Рассмотрим материальный объем V с поверхностью В и предположим, что часть В1 поверхности неподвижна, тогда как другая, часть В2, подвержена действию внешней силы Е. Интегральная форма первого закона термодинамики для поляризуемой термоупругой среды такова (см. [1-2]):

^-[Т + и+ [ иейУ) - [ рК • — I ¥ ■ усШ =

¿і

'V JB

[ N • (—Е х Н + УМЄ) ¿V + / Ь^У — / N • ЫВ. (3.1) ■¡V -IV ■) в

Здесь К — вектор внешней объемной силы на единицу массы, N — вектор внешней нормали к В, Ь описывает подвод тепла в объем и Т обозначает кинетическую энергию. Внутренняя энергия и выражается через свободную энергию ^ и энтропию Б:

и = [ рм^У = [ р (/ + 0в) ¿V Jv ./V

IV .¡V

Здесь в, и и / обозначают, соответственно, удельные энтропию, внутреннюю и свободную энергии, а ие — удельную электромагнитную энергию:

ие = — (еоЕ • Е + роН • Н),

где E и H — электрическое и магнитное поля, £о и ро —диэлектрическая постоянная и магнитная проницаемость в вакууме, соответственно. Величина E х H известна как вектор Пойнтинга [2]. Скалярная величина N • (E х H) описывает поток электромагнитной энергии через поверхность B в окружающее пространство, тогда как скаляр N • vue представляет собой приток электромагнитной энергии, вызванный движением тела во внешнем электромагнитном поле.

Вычисление материальной производной от потока электромагнитной энергии позволяет переписать (3.1) в виде

d г / dE dH \ С С

Tt{T + u) + Jv[£oE'lh+^u'lh)dV-JvpK'vdV-JBF'vdB =

= i N • (-E х H + vue) dV + i bdV - i N • hdB. (3.2)

JV JV JB

Так как рассматривается диэлектрик, т. е. поляризуемый, но не намагничивающийся пьезоэлектрический материал, уравнения Максвелла принимают вид

dD dR

VxH= —, V х Е = ——, V • D = О, VB = 0. (3.3)

dt dt

Здесь D =eoE + P — электрическое перемещение и B =poH — магнитная индукция [2]. Поместив этот результат в (3.3) и применяя теорему Гаусса, мы имеем

4-(Т + С/) + / Е ~dV - [ pK-wdV- [ F-vdB = [ bdV - [ N -ЫВ. (3.4)

dt JV dt JV Jb JV Jb

Другая форма первого закона термодинамики — это локальная (дифференциаль-

ная) форма (см. [2])

pi — т : D — j • E + fL • v + V • h — b = 0, (3.5)

где j —плотность электрического тока, fL — сила Лоренца на единицу массы, и знак «:» означает двойное скалярное произведение.

Докажем, что уравнение (3.5) может быть записано в виде

*

pu — т : D — P • E* + V • h — b = 0, (3.6)

где Р — объективная производная Яуманна—Нолла вектора Р, а Е* —напряженность электрического поля

* дР

Р = - + V (V • Р) + V х (Р х у), Е* = Е + V х В.

д£

Поскольку материальный инвариантный электрический ток и сила Лоренца для диэлектрика имеют вид (см. [2])

дР * *

j = -Г- + V х (Р х V) = Р - V (V • Р), = - (Е + V х В) (V • Р) + Р х В,

д£

получаем

j • E

P — v (V- P)

*

E+ (V • P) E • v—P х B-v =P • E*,

что и завершает доказательство.

*

В механике сплошной среды второй закон термодинамики обычно берется в виде неравенства Клаузиуса—Дюгема (см. [1-2]):

I рЫУ > I —(IV — I —-—¿В. (3-7)

иу ]у 0 и В 0

После преобразования поверхностного интеграла в объемный и в силу произвольности объема V приходим к дифференциальной форме второго закона термодинамики

. Ь — V- Ь Ь -У0 „

/9в д оГ~ - °' (3'8)

4. «Стареющий» термоупругий пьезоэлектрический материал

Дадим следующее определение поляризуемого термоупругого материала. Материал называется поляризуемым и термоупругим, если его уравнения состояния являются функциями (а не функционалами) следующих «определяющих аргументов»: г, И., 0, V0, О, Ж, р, *. Подстановка (2.3) в (3.8) приводит к неравенству

д/ • т ~ ~ ,

+ Е* -Р-Р^Г -

д/ . д/ Ь ■ V0

д

др

д*

0

> 0, (4.1)

ди

где О = (Уу) , V = -т^- и6 = 2У1?. • О • ( УК ) . Это неравенство — линейная функ-

/о \

ция следующих скоростей 0,0, V, (^0) , Р, р, Ж. Не все обобщенные скорости являются

*

независимыми, т.к. Р и р связаны в силу соотношения Р = Vг■ рр, см. (2.2). Докажем, что эти скорости удовлетворяют тождеству

Р = Vг ■ рр.

(4.2)

Вычисляя материальную производную Р по времени и учитывая уравнения непрерывности р + р (V•v) = 0, ^г)' = (Vv) ■ Vг, получаем

• . *

Vг ■ рр = Р — ^г)' ■ рр + Vг ■ рр = Р + Р ^^) + Р- (Vv) = Р,

что и требовалось доказать. Подставляя (4.2) в (4.1) имеем

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

т-2р(УИ.^) • ■!£ • УК

тл l'дf , ^ Ь слог

:В-р^ + Т~рт^-рд(ув){ ] '

~рш :д*т+р

Е* • Уг -

др

. 8/ 11 • та

р~р1н ё~ - ’

Так как коэффициенты при обобщенных скоростях не зависят от этих скоростей, это неравенство выполняется тогда и только тогда, когда эти коэффициенты обращаются в ноль и свободный член неотрицателен (см. [1-2]). В частности, д//дИ = 0,

о

*

д//д ^0) = 0, д//дЖ = 0 и число определяющих параметров в (2.2) уменьшается (/ = / (*, г, 0, О, р)), что немедленно дает следующие определяющие уравнения:

д/ (◦ \ д/ ◦

•--ТГГ Т = Ч™ (43)

д/ ° д/ ь •V0 (4.3)

Дальнейшее приложение законов термодинамики в механике сплошной среды обычно требует задания конкретного вида свободной энергии и теплового потока. В последнем разделе статьи будет показано, что граничная задача динамики для поляризуемого термоупругого материала может быть выведена прямо из законов термодинамики.

5. Граничная задача динамики

для поляризуемого термоупругого материала

Рассмотрим произвольный поляризуемый термоупругий материал. Первый закон термодинамики в интегральной форме дается уравнением (3.6). Подстановка (4.3) в (3.4) дает

(д/

,+“+м:6+!-р+(''-к)

¿V-

- / / (Ь-У-ЬЫУ- / Е-усШ = 0. (5.1)

7у д* 7у Зв

V

р

Справедливы следующие преобразования:

х ^? ^: {2™ ■с и! ^=

= У 2р ^УИ.^ • ^ • УИ.: БЙУ = т - шу = / т ■ ^ =

= [ [V ■ (т ■ V) — (V ■ т) ■ V] ¿V = — / (V ■ т) ■ vdV + [ N ■ (т ■ V) ¿В. 7у 7у Зв

(5.2)

Тензор напряжений предполагается симметричным, т. е. полярные среды [3] исключены из рассмотрения. Подставляя (5.2) в (5.1) и упрощая результат с помощью (4.3), мы получаем

дf , й-

+ Ь^ ■ Ь— {V ■ т — р (V — К)}

¿V-

+

у

р• р - Е-^ ) ¿V — I (14 • т — Е) -усШ

др

0.

р

V

В

Слагаемые, описывающие поляризационные эффекты, преобразуются следующим об-

разом:

і (Ф-Е'§) dV = l (lE.-Vrl-PP-E.f І äV-

Р Е* - Е-^-)dV= І [Е • V х (Р х v) - іь • v] dV

i N (P • E) • vdB - / fL • vdV. Je Jv

Убирая слагаемое р0в + Ь — V • Ь с помощью второго закона термодинамики (3.8), мы приходим к следующему неравенству:

[ [V • т + Чь + р (К — V)] • + / [К • т + N (Р • Е) — Е] •уЙВ <

■IV ■! В

Ь . \7Й 1

¿V. (5.3)

--

JV

' df h -V0'

рт+^~

Правая часть этого неравенства неотрицательна в силу (4.3), а левая часть — линейная функция обобщенных скоростей. Как показано выше, неравенство (5.3) выполняется тогда и только тогда, когда

г е V, V- т + ¡ь + р (К — V) = 0, г е В, [К • т + N (Р • Е) — Е] •у.

Получена граничная задача динамики поляризуемого термоупругого материала. Граничное условие следует понимать так, что частт границы неподвижна, а к остальной поверхности приложена внешняя сила

г е Вх, V = 0, г е В2, N • т + N (Р • Е) = Е.

6. Заключение

Показано, что первый и второй законы термодинамики могут быть непосредственно использованы для вывода определяющих уравнений и динамической граничной задачи для простых «стареющих» поляризуемых термоупругих материалов.

Summary

A. K. Belyaev, A. A. Muzaev, D. A. Indeitzev. Derivation of the dynamic boundary value problem and state equations for polarized thermo-elastic materials.

The dynamic boundary value problem and the state equations for simple polarized thermoelastic materials are shown to be derivable from the first and second laws of thermodynamics.

Литература

1. Truesdell C., Noll W. The Non-linear field theories of mechanics. Berlin: Springer-Verlag, 1992.

2. Parkus H. Magneto-thermoelasticity. Vienna: Springer-Verlag, 1972.

3. Лурье А. И. Нелинейная Теория Упругости. Москва: Наука, 1980.

Статья поступила в редакцию 15 марта 2007 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.