CC BY
6Актуальные проблемы нефти и газа ■ Вып. 1(20) 2018 ■ http://oilgasjournal.ru
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВУХФАЗНЫХ ТЕЧЕНИИ В ПОРИСТЫХ
СРЕДАХ С УЧЕТОМ ДЕФОРМАЦИИ МЕЖФАЗНЫХ ГРАНИЦ
В.М. Максимов Институт проблем нефти и газа РАН e-mail: vmaks@ipng.ru
Введение
При исследовании гетерогенных (многофазных) систем необходимо учитывать, что деформация каждой фазы, определяющая ее состояние и реакцию, связана не только со смещением внешних границ выделенного объема (как в случае гомогенной смеси), но и со смещением межфазных поверхностей внутри выделенного объема смеси. Это требует дополнительного привлечения условий совместного деформирования и движения фаз, учитывающих смещение вещества а-фазы на поверхности раздела фаз.
С механической точки зрения поверхность раздела можно рассматривать как аналог растянутой мембраны. Однако при описании свойств поверхностей раздела нужно учитывать прилегающие объемы фаз и баланс физических величин между этими объемами и поверхностью. Если система не находится в термодинамическом равновесии, то межфазная поверхность является «неавтономной фазой» в том смысле, что характеризующие ее термодинамические функции зависят не только от параметров поверхности, но также и от характеристик объемных фаз. При использовании термодинамического подхода гипотезу «неавтономности» можно заменить гипотезой локального равновесия на ее макроскопически малых участках.
Учет межфазных границ привносит в решение задач гидродинамики и неравновесной термодинамики значительные трудности, поскольку в математическом описании задач эти границы проявляют себя не просто как граничные условия. Учет ряда явлений, возникающих при взаимодействии процессов переноса, и явлений, связанных с изменением межфазного натяжения, приводит к тому, что сами граничные условия могут содержать новые феноменологические коэффициенты1.
1 В тексте используется тензорно-диадная символика. Символ тензора обозначается двумя верхними чертами (П,Р,О и т.д.). Единичный тензор I имеет компоненты где
& = 1 при 1 = к и & = 0 при / ^ к\ 7о скалярный градиент, - векторный градиент;
Г .ч; Г Г - соответственно, векторная и тензорная дивергенция и т.д.
Отметим, что известные нам работы [1, 2], а также работы зарубежных авторов (D. Bedeaux, A. Albano, P. Mazur; R. Gefay, I. Prigogine, A. Sanfeld и др.) связаны с исследованием поверхностных явлений и динамики границы раздела двух фаз, движущихся в открытом пространстве. Учет динамики межфазных границ и капиллярного давления при фильтрации флюидов в пористой среде представляет более сложную задачу. Здесь мы рассмотрим макроскопический подход с использованием формализма термодинамики необратимых процессов.
1. Основные допущения и гидродинамические уравнения баланса Термодинамический подход основан на систематическом применении основных принципов термодинамики неравновесных процессов [3, 4]. Будем считать, что твердый скелет породы - недеформируемый и не реагирующий с жидкими фазами (предполагаем их несжимаемыми) - полностью смачивается жидкостью 1 (водой) и не взаимодействует с жидкостью 2 (нефтью). Пренебрегаем также адсорбцией на межфазных границах. Таким образом, рассматриваемая система состоит из пяти «фаз»: двух жидких фаз, твердой фазы (скелета породы), границы раздела между флюидами и границы контакта жидкости 1 с твердым скелетом. Для каждой фазы сформулируем уравнение баланса массы, импульса (обобщенные законы фильтрации) и обобщенной функции состояния Fa. заменяющей энтропию. Ввиду изотермичности процесса, в качестве таковой удобно ввести сумму свободной энергии Гельмгольца Fa и кинетической энергии, так что
= (а = 1, 2), (1)
где и — соответственно, внутренняя энергия и энтропия единицы массы а-фазы; Т= Т±= Т2 — температура фаз.
Для жидких фаз имеем уравнение неразрывности и уравнение баланса импульса (без учета силы тяжести) [3]:
cXim.p'lsJ - V ■ (mp^jj = 0 (2)
(а= 1,2),
v- («w-nj^» (з)
Здесь рц. и — соответственно, средняя и истинная плотности, ра и Пй. — давление и тензор вязких напряжений а-фазы; s^ — насыщенность а-фазы, s2 = 1.
Правая часть Дс уравнения (3) представляет межфазовый обмен импульсом за счет вязкости, который сводится к эффективной объемной силе, пропорциональной
относительной скорости движения фаз и имеющей вид: 2
Я* = - ¿Д
■ ■, _г = :'_г , ■-'.'= вследствие принципа Онзагера формализма неравновесной
термодинамики = 0 относится к твердому скелету породы).
Из (3) находим уравнение баланса кинетической энергии а-фазы
-,7-г; = - - (4)
При формулировке уравнений баланса на межфазных границах будем исходить из соответствующих уравнений на микроуровне (например, в масштабе поры). Переход к макроскопическим переменным выполнялся путем использования метода локального усреднения по объему и по площади [5].
Соотношения, выражающие баланс импульса на межфазной границе на микроуровне, имеют вид [6]:
" = ; (5)
(6)
Равенство (5) отражает факт отсутствия переноса импульса в направлении нормали к поверхности, тогда как (6) устанавливает разрыв тензора давлений жидких фаз при переходе через граничную поверхность. Вводя поверхностное натяжение а на границах нефть - вода, можно представить тензор давлений на межфазной поверхности в виде:
^ = Г:- (7)
Определим тензор деформации О * границы раздела между жидкими фазами на микроуровне как отклонение ее от равновесной сферической формы:
Тогда (6) с учетом (7) принимает вид:
2 2
12=1
Результирующий макроскопический аналог уравнения баланса импульса на межфазной границе получается из (8) с помощью операции локального усреднения по
площади и имеет вид:
2 , 3
где О а — усредненный тензор деформации границы раздела, /с — макроскопическая сила
межфазного взаимодействия, А —площадь поверхности раздела между жидкими фазами.
2. Уравнение баланса обобщенной свободной энергии Гельмгольца и локальное «производство» диссипативной функции
Уравнение Гиббса относительно свободной энергии Гельмгольца жидкой а-фазы для величин, отнесенных к единице массы, в нашем случае имеет вид [4, 6]:
(а = 1 2). (10)
После использования уравнения неразрывности (2) с учетом несжимаемости фаз ^ '.'.. = С и соответствующих преобразований, из (10) находим
^"Чж I 1-т / - -Ч -
Рк —¿Г + У- ("■*«?«»«) = ~Р£ + "
Складывая последнее соотношение и (4), получаем окончательно уравнение баланса «обобщенной» свободной энергии (1) для жидких фаз:
Р* —Ь У- {пварага - га ■ Щ =
= ! (а = 1, 2). (11)
Постулируя уравнение Гиббса на межфазной границе, аналогично получаем уравнение баланса поверхностной свободной энергии Ра = Ра} которое имеет вид:
4е ^^ ^ ^ (12)
№ % )
Здесь и всюду верхний индекс «а» указывает на принадлежность к межфазной поверхности. Раскрывая оператор — с учетом условия Ра = а и затем, складывая
результат преобразования (12) с уравнением (9), скаляр но умноженным на
окончательно находим зСл/*)
Поскольку ни граница «скелет породы - флюид», ни твердая фаза, не дают вклад в диссипативную функцию, то, суммируя два уравнения (11) и (13), получим уравнение
результирующего соотношения дает выражение для локального производства £ функции F (аналог производства энтропии). Учитывая соотношение между насыщенностями жидких фаз = 1 — зг 5 = и вводя капиллярное давление рс = р2 — находим:
3. Линейные кинетические уравнения. Обобщенные законы фильтрации
Постулируем, что в первом приближении динамика межфазной границы дкА линейно связана с локальным распределением объемных фаз ЗДлв) и пропорциональна полной кривизне К межфазной поверхности, так что
где скалярная функция Ф характеризует внутреннюю структуру пористой среды и может зависеть от ее пористости, насыщенности, инвариантов тензора деформации, пространственных координат, времени и, возможно, других структурных параметров Использование теории размерности позволило бы сделать некоторые выводы о структуре этой функции. Здесь ограничимся сильными допущениями для получения качественных результатов.
Если межфазная поверхность в процессе вытеснения сохраняет форму, близкую к сферической (в а = 0), то равенству (15) можно придать наиболее простой вид:
&А „ -ту д (та?
Подстановка (15) в соотношение (14) дает следующее выражение для диссипативной функции:
(14)
(15)
= 2К
(16)
С помощью (16), используя формализм неравновесной термодинамики [6, 7], устанавливаются кинетические уравнения между независимыми потоками и термодинамическими силами. Если пренебречь перекрестными эффектами, кроме вязкостного взаимодействия потоков жидких фаз, то тогда из (16) вытекают следующие кинетические уравнения:
(17)
Рс-аКФ=11- .
(18)
^12 + + Р^ С™5) = + 112ь>2, (19)
V* = I,
1
Г + -
(20)
Па = («=1,2), (21)
сА Ва = ¿4^. (22)
Первые два из них соответствуют скалярным процессам. Уравнение (17) описывает изменение капиллярного давления в результате перераспределения объемных фаз в процессе вытеснения. Уравнение (18) связано со скоростью изменения «поверхностного» удельного объема ¡¿¿г? г?°, вызывающего изменение площади межфазной границы (это напоминает вклад второй вязкости в гидродинамике ньютоновских жидкостей).
Замыкающие тензорные соотношения (21)-(22) устанавливают связь компонент тензоров вязких напряжений жидких фаз Па и тензора деформации В° межфазной границы, соответственно, с компонентами симметричных тензоров иVva.
Из предыдущих рассмотрений вытекают обобщенные законы фильтрации для жидких фаз и межфазной границы. Выводя из (19) силы межфазного взаимодействия Д1 = Д1г 4 и Дг = Д21 = — Д12 и подставляя их в уравнение баланса импульса фаз (3), после преобразований находим:
—
Здесь АЕ = — V ■ ПЕ ■+ тз^у-р^ (я = 1, 2); — коэффициенты, которые
(23)
¡¡■с
выражаются через
Соотношения (23) обобщают закон фильтрации двух жидкостей в пористой среде, учитывая вязкостное взаимодействие флюидов, инерционные эффекты и тензор вязких напряжений фаз. Если не учитывать перекрестные члены в (19), то из (23) вытекает обобщенный закон Дарси для каждой фазы, включающий инерционно-вязкостные эффекты:
_ / ,¿4 У П \ (24)
где Кц = ¡№а = = 1,2).
При пренебрежении инерционным и вязкостным вкладом из (24) получается
двухчленный закон двухфазной фильтрации:
2
Ц=1
где Лар - подвижности фаз.
Аналогичное уравнение, описывающее взаимодействие на межфазной границе, выводится из (20) и (9) и имеет вид:
Это уравнение можно трактовать как аналог закона Дарси для движущейся усредненной межфазной границы в пористой среде. 4. Выводы и заключение
В рассмотренной модели неизвестными величинами являются пять скалярных параметров (давления в фазах ра, насыщенность 5 одной из фаз, площадь межфазной поверхности А, полная кривизна К межфазной границы); векторные характеристики 1?°, ДЕ, Д1Э и тензорные величины ПЕ и £> а.
Для их определения получена замкнутая система уравнений, состоящая из:
1) пяти скалярных уравнений - двух уравнений неразрывности (2), двух кинетических уравнений (17), (18) и соотношения (15);
2) шести векторных уравнений и трех уравнений баланса импульса (23), (24) и трех феноменологических уравнений (19), (20); трех тензорных соотношений, образованных кинетическими уравнениями (21), (22).
В соотношения (17)-(22) входят девять феноменологических коэффициентов включая три коэффициента в равенствах (19). Проблема оценки их вклада в
фильтрационные показатели и определения их значений находится за пределами макроскопического описания. Для коэффициентов которые могут быть выражены
через Л.ар в обобщенном двухчленном законе Дарси (25), имеются некоторые
экспериментальные данные и оценки [7]. Другие коэффициенты могут быть определены в результате физического или численного моделирования двухфазных течений на капиллярных или сеточных моделях.
Основные полученные результаты состоят в следующем.
Дано доказательство обобщенного закона фильтрации (23), учитывающего вязкостное взаимодействие между фазами и с твердым скелетом породы, инерционные и вязкостные эффекты. В качестве следствия получены частные выражения обобщенного закона Дарси (24) для каждой фазы и двухчленного закона фильтрации (25).
В отличие от обычно используемого соотношения Леверетта для капиллярного давления получаемого для стационарных равновесных условий, выведено
дифференциальное уравнение (17), описывающее изменение рс в результате нестационарного перераспределения объемных фаз и деформации межфазной границы в процессе вытеснения. Такая термодинамическая трактовка учета эффектов неравновесности дополняет известные подходы к данной проблеме [8-11].
Показано, что скорость перемещения межфазной поверхности в пористой среде подчиняется соотношению (26), аналогичному по структуре закону Дарси.
В низкопроницаемых коллекторах на больших глубинах динамика межфазных границ и процессы капиллярной пропитки и сорбции могут иметь первостепенное значение.
Статья написана в рамках выполнения Программы Президиума РАН № 47 «Углеводороды с глубоких горизонтов в «старых» нефтегазодобывающих регионах как новый источник энергоресурсов: теоретические и прикладные аспекты» (№ АААА-А18-118041090102-5).
ЛИТЕРАТУРА
1. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 336 с.
2. Auriault J.L., Sanchez-Palentia E. Remarques sur la loi de Darcy pour les ecoulements biphasiques en mileu poreux // J. of Mecanique Theorique et Appliquee. 1986. Numero special. P. 141-156.
3. Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964. 466 с.
4. Колесниченко А.В., Максимов В.М. Обобщенный закон фильтрации Дарси как следствие соотношений Стефана-Максвелла для гетерогенной среды. М.: Препринт Ин-та прикл. математ. им. М.В. Келдыша, 1999. № 45. 31 с.
5. Слеттери Дж.С. Теория переноса импульса, энергии и массы в сплошных средах. М.: Энергия, 1978. 448 с.
6. Пригожин И., Дефэй Р. Химическая термодинамика. Новосибирск: Наука, 1966. 509 с.
7. Максимов В.М. Основы гидротермодинамики пластовых систем. М.: Недра, 1994. 201 с.
8. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. 207 с.
9. Мирзаджанзаде А.Х., Максудов Ф.Г., Нигматулин Р.И. и др. Теория и практика применения неравновесных систем в нефтедобыче. Баку: Элм, 1985. 210 с.
10. Nikolaevsky V.N. Mechanics of Porous and Fractured Media. Singapore, New Jersey, Hong Kong: World Sci., 1990. 472 p.
11. Whitaker S. Flow on Porous Media II: The governing equations for immiscible two-phase flow // Transport in Porous Media. 1986. Vol. 1, No 2. P. 105-125.
