Теплопроводность однонаправленного волокнистого композита Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 536.2

Теплопроводность однонаправленного волокнистого композита

© Г.Н. Кувыркин

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Построена математическая модель переноса тепловой энергии в волокнистом композите, учитывающая наличие в матрице пор в виде удлиненных полостей между волокнами. Получены расчетные зависимости для эффективных коэффициентов теплопроводности матрицы после отверждения связующего и волокнистого композита с такой матрицей. Представлены формулы для двусторонних оценок и предельных значений возможной погрешности вычислений. Проведен параметрический анализ этих зависимостей и формул. Сравнение расчетных результатов с известными экспериментальными данными выявило необходимость уточнения математической модели в случае большого различия коэффициентов теплопроводности матрицы и волокон.

Ключевые слова: однонаправленный волокнистый композит, анизотропное волокно, тензор эффективной теплопроводности.

Введение. Волокнистые композиты являются достаточно широко применяемым современным конструкционным материалом [1, 2]. В большинстве случаев технологический процесс получения волокнистого композита как конструкционного материала совмещен по времени е изготовлением конструкции из этого материала [3, 4]. Среди волокнистых композитов большую группу составляют однонаправленные композиты. По структуре однонаправленный волокнистый композит представляет собой совокупность одинаково ориентированных в пространстве волокон, расположенных в отвержденном связующем, которое образует матрицу композита. При пропитке связующим волокон и его последующем отверждении возможно возникновение пор [1] (в частности в виде тонких удлиненных щелей, расположенных вдоль волокон [5]).

Для теплонапряженных конструкций, подверженных интенсивным механическим и тепловым воздействиям, наряду с механическими характеристиками важную роль играют и теплофизические свойства конструкционного материала (в том числе его теплопроводность). Однонаправленный волокнистый композит по отношению к свойству теплопроводности является анизотропным материалом, характеризуемым тензором второго ранга эффективной теплопроводности. Компоненты этого тензора зависят от ряда параметров, которые входят в математическую модель процесса переноса тепловой энергии в рассматриваемом композите.

Расчетные зависимости. Однонаправленный волокнистый композит примем состоящим из совокупности параллельно расположенных волокон, достаточно длинных по сравнению с их радиусом, и матрицы, содержащей параллельные волокнам поры в виде длинных тонких щелей. Размеры пор в поперечном направлении будем считать настолько малыми (порядка долей миллиметра), что допустимо пренебречь переносом тепловой энергии в их полости [6], т. е. коэффициент теплопроводности пор можно положить равным нулю.

Обозначим через Су объемную концентрацию волокон в композите. Волокна будем считать трансверсально изотропными [7] относительно их продольной оси. Коэффициент теплопроводности волокон поперек этой оси обозначим через 1ь а вдоль ее — через 13. Примем, что связующее после отверждения станет изотропным и будет иметь коэффициент теплопроводности 1м, но матрица композита вследствие наличия щелевых пор будет анизотропной. Поэтому на первом этапе построения математической модели переноса тепловой энергии в рассматриваемом композите необходимо найти главные значения тензора эффективной теплопроводности матрицы.

Щелевую пору можно рассматривать как сильно удлиненный эллипсоид с нулевым коэффициентом теплопроводности. Для композита с одинаково ориентированными нетеплопроводными включениями такой формы получено соотношение для главных значений (а = 1, 2, 3) тензора эффективной теплопроводности в виде [8]

а 1 - (1 - едва ''

Здесь Со — объемная концентрация включений, в данном случае равная объемной концентрации щелевых пор в матрице композита;

оо

по = М2&3 [ Ли

а 2 У (62 + и>/(и> ()

о

(Ьа — полуоси эллипсоида; /(и> = л/(Ь\ + и>(Ь"2 + и>(Ь"3 + и>, причем

В + В2 + В = 1).

Пусть Ь3 — наибольшая полуось эллипсоида в направлении расположения волокон. Если в первом приближении принять поперечное сечение щелевой поры круглым, т.е. Ь\ = Ь2 < Ь3, то интегралы в формуле (2) можно выразить через элементарные функции [9]

В = В2 = ^___, 52 1п (1 + ^^V В3 = 1-201,

2(1 - Ь2> V Ь }

(3)

где Ь = 61/63 < 1. Для достаточно длинных и узких щелевых пор 6 ^ 1. Поэтому, пренебрегая величиной б2 по сравнению с единицей, вместо формул (3) можно записать [10, 11]

л; = о-, = 1 - р 2п(2/5), д; = 1 - 2щ. (4)

Согласно равенствам (1), при И" = Б2 матрица будет обладать свойством трансверсальной изотропии относительно оси, параллельной волокнам, а главными значениями тензора эффективной теплопроводности матрицы будут 1! = 12 и 13. В пределе при Ь ^ 0 из соотношений (4) получим = ^2 = 1/2 и 33 = 0. В этом случае равенства (1) примут вид

о о 1 1 о

- Л1 Л2 1 - С Аз Л п

11 = А" = А2 = + г , А3 = А3 = 1 - Со, (5)

Теперь можно перейти к нахождению главных значений 1" = 12 и 1* тензора эффективной теплопроводности однонаправленного волокнистого композита в целом, также обладающего свойством транс-версальной изотропии относительно оси, параллельной волокнам, поскольку и матрица, и волокна обладают этим свойством. В случае волокон, достаточно длинных по сравнению с их радиусом г0, достоверной оценкой коэффициента теплопроводности композита в направлении расположения волокон будет определяемое по правилу смеси [12] значение

1* = 13(1 - Су)+ 13Су. (6)

Для оценки значения 1" построим математическую модель процесса переноса тепловой энергии в композите применительно к представительному элементу его структуры в виде достаточно протяженной в направлении расположения волокон цилиндрической составной частицы. Поперечное сечение этой частицы включает соответствующий волокну круг радиусом г0, окруженный кольцевым слоем матрицы с внешним радиусом гм, причем (гм/г0)2 = 1/Су. Составная частица в тепловом отношении взаимодействует с неограниченным массивом однородного материала. Таким образом, модель структуры композита содержит три фазы: волокно, слой матрицы и неограниченный массив однородного материала. Перенос тепловой энергии будем рассматривать лишь в плоскости поперечного сечения составной частицы. Поэтому примем для волокна коэффициент теплопроводности 1", для слоя матрицы — 1", а для однородного материала — искомую величину 1*.

Центр поперечного сечения составной частицы поместим в начале полярной системы координат, обозначив через г и ф радиальную и угловую координаты соответственно. Примем, что на большом расстоянии г ^ гм от начала координат задан вектор градиента температурного поля в однородном материале, направленный по оси, от которой

происходит отсчет угловой координаты, т. е. при г ^ ж установившееся распределение температуры в этом материале описывает функция Тж (г, ф) = Gr cos 3, где G — модуль вектора градиента. Эта функция удовлетворяет уравнению Лапласа, которое в полярных координатах имеет вид

1 д ( дТ \ 1 д2Т _ Q г дг\ дг / г2 дф2

По мере приближения к составной частице температурное поле в однородном материале претерпевает возмущение, описываемое также удовлетворяющим уравнению (7) слагаемым AT (г, ф) = (В */г) cos ф, где В* — подлежащий определению постоянный коэффициент. Таким образом, температурное поле в однородном материале, удовлетворяющее заданному условию при г ^ ж и уравнению (7), определяет функция

, D * ч

Т *(г, ф) = Тж(г, ф) + AT (г, ф) = [Gr + — J cos ф. (8)

Аналогичные зависимости описывают распределения температуры в волокне

/ В\

Т(г, ф) = уАт + —J cosф, (9)

и в слое матрицы

Тм(г, ф)= (АмГ + cosф. (10)

В соотношении (9) коэффициент В = 0 в силу ограниченности температуры в центре волокна. Таким образом, в равенства (8)-(10) входят четыре неизвестных коэффициента В*, А, Ам и Вм, которые следует найти из граничных условий на цилиндрических поверхностях радиусами г0 и гм, предполагая тепловой контакт на этих поверхностях идеальным.

При г = Го из условий непрерывности распределения температуры и радиальной составляющей вектора плотности теплового потока получим

дТ

Т(го, ф) = Тм(го, ф) и h —

or

= l

r=ro

ВТ

м

1 дг

г=г о

Отсюда с использованием равенств (9) и (10) при В = 0 находим

А = + ^ и А = I1 {ам - (11)

' 0 Л1 х ' 0 7

Из аналогичных условий при г = гм с учетом формул (8) и (10) следует

А. + ^ = G + Ц* и Ам - ^ = - . (12)

т2 г2 г2 ЛТ V г2 /

m m

Последовательным исключением неизвестных из равенств (11) и (12) находим

в* = (11/11 - 1)(1;/1! + 1) - (1 + 11/1;)(1 - 1;дрсу (13)

Сг^ (11/1; + 1)(1?/11 + 1) + (1 -11/11)(1 - 1?/11)Су• ( )

Замена составной частицы равновеликим цилиндром с внешним радиусом гм и искомым коэффициентом теплопроводности 1* приведет к исчезновению возмущения температурного поля в окружающем ее однородном материале с тем же значением 1;. Тогда в равенстве (8) следует положить ДТ(г, ф) = 0, что равносильно условию В* = 0, которое с учетом формулы (13) приводит к соотношению

1; = И =1; 2 - (1 - ^1)(1 ^) , (14)

11 2 - (1 - 1;)(1 + Су)

где = 11/11.

Двусторонние оценки. Двойственная вариационная формулировка задачи стационарной теплопроводности в неоднородном теле [13, 14], содержащая два альтернативных функционала, достигающих на истинном решении задачи совпадающих значений минимума и максимума, позволяет построить двусторонние оценки значений 1*1 и 1*. Методика построения таких оценок подробно изложена в монографии [15]. Если для минимизируемого и максимизируемого функционалов принять в качестве допустимых однородные распределения соответственно температуры и плотности теплового потока, то для эффективного коэффициента теплопроводности композита в направлении, перпендикулярном расположению волокон, следуют оценки

1+1 = ад. +11(1- а,)»1;» Су/1, + (; _с..,/1» = 1Г. (15)

а для эффективного коэффициента теплопроводности композита в направлении расположения волокон — оценки

1+3 = 1зСу + 13(1 -Су) ^ 1* ^ а .. + (| С = 1-. (16)

Су/1з + (1 - Су)/1з

Отметим, что верхняя оценка 1+3 совпадает со значением 1*, определяемым формулой (6). Цепочки неравенств (15) и (16) переходят в равенства при Су = 0 и Су = 1, а также при 11 = 11 и 13 = 13.

Убедимся, что значение 11, определяемое формулой (14), удовлетворяет соотношению (15). Для этого приведем это соотношение к безразмерному виду и подставим в него формулу (14). В результате получим

Су + 11(1 -Су) ^ 111 + Су + 11(1 -Су) ^-1-. (17)

1 -Су +11(1+ Су) 1 -Су + ^Су

Знаменатель дроби в средней части цепочки неравенств (17) положителен. Поэтому после умножения левой части цепочки на этот знаменатель найдем

Су(1 - Су) + Х1(1 - Су)2 + Х:Су(1 + Су) + Х?(1 - С2) ^

^ Х1 (1 + Су) + Х2(1 -Су),

или эквивалентное неравенство (1 - Х1)2Су(1 - Су) ^ 0. Знаменатель правой части цепочки неравенств (17) также положителен, что после умножения средней части цепочки на этот знаменатель и умножения правой части на положительный знаменатель дроби в соотношении (17) позволяет записать

Х1<1 - Су + Х1СУ) (1 + Су + Х1(1 - Су)) ^ Х1 (1 - Су + Х1(1 + Су)).

Это неравенство эквивалентно неравенству Х1(1 - Х1)2Су (1 - Су) ^ 0.

Параметрический анализ. Прежде всего проведем сравнение значений параметров определяемых при ожидаемых значениях Ь соотношениями (3) и (4). На рис. 1 в полулогарифимических координатах представлены зависимости параметров и от значения 6, определяемые первыми формулами (3) и (4) соответственно.

Рис. 1. Зависимости параметров В\ и В\ от значения Ъ

Ясно, что уже при Ь < 0,1 различие пренебрежимо мало. При Ь < 0,01 с точностью 0,0003 из обеих формул следует = = 1/2. Таким образом, использование предельных значений обеспечивает достаточную точность для практических приложений.

При пропитке волокон связующим и его последующем отверждении концентрация пор в матрице композита может достигать значений С0 ~ 0,2... 0,25 [1]. На рис.2 представлены зависимости параметров 1,1 и 13 от объемной концентрации С0, рассчитанные по формулам (5). Из рисунка следует, что влияние пористости матрицы на ее теплопроводность более существенно в направлении, перпендикулярном волокнам.

_____ Л

А-ь ?ь3

\

ч

уЧ 4 \ ?ь3

А V1

о о,1 Сп

Рис. 2. Зависимости параметров 1х и 13 от объемной концентрации включений С0

Согласно (6), величина 13 линейно зависит от объемной концентрации Су волокон в композите, изменяясь между значениями 13 и 13. Найдем наибольшую возможную погрешность этой формулы по отношению к среднему значению 13 = (1+3 + 1- )/2 верхней и нижней оценок, определяемых соотношением (16). Для предельной относительной погрешности получим

13 2

Л3 = — - 1 = 1--=-=-, (18)

13 с2 + (1 - Су)2 + Су(1 - Су)(13 + 1/13) + 1

где 13 = 13/13. Отметим, что = 0 при Су = 0 и Су = 1, а также при 13 = 13. Приравняв нулю производную д%/5Су, найдем значение С* = 1/2, при котором предельная относительная погрешность достигает максимума:

о

^ = 1 - 6 + 1 +1А- . (19)

6 + 13 + 1/13

По формуле (19) на рис. 3 в полулогарифмических координатах построена зависимость величины ^3 от параметра Х3. Ясно, что ^3 > 0,5 уже при 13 > 10 и Х3 < 0,1.

Л*

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

1 Ю11 10±2 10±3

Рис. 3. Зависимость максимального значения h3 от параметра

Структура соотношений (15) и (16) идентична. Поэтому формула для относительной погрешности hi = Х1/Х1 — 1, где Х1 = (1+! + Х-)/2, также идентична формуле для h3, а зависимость максимального значения hl этой погрешности от параметра Х1 = Х\/Х1 совпадает с зависимостью величины h3 от параметра Х3, представленной на рис. 3.

На рис.4, а, б по формуле (14) построены зависимости отношения Xi = Х1 /Х i от объемной концентрации волокон Су при различных значениях Х1. Ясно, что при наличии в композите связующего значение Су < 1. Предельно плотная укладка цилиндрических волокон с круговым поперечным сечением одинакового радиуса соответствует значению Су = я/(2л/3) « 0,907. Однако оптимальное из условия прочности при растяжении композита в направлении волокон значение Су < С{г [3].

Сравнение с экспериментальными данными. В первом томе справочника [1] приведены характеристики однонаправленного волокнистого композита с эпоксидным связующим и арамидным волокном кевлар-49, в том числе указаны значения 0,35 Вт/(м • K) и 3,22 Вт/(м • K) эффективных коэффициентов теплопроводности в перпендикулярном и параллельном волокнам направлениях соответственно при их объемной концентрации Су = 0,6. Там же представлены значения Хм = 0,133 Вт/(м • K) коэффициента теплопроводности связующего после отверждения и значения Х1 = 4,110 Вт/(м • K) и

Рис. 4. Зависимость параметра 11 от объемной концентрации волокон Су при значениях 11 = 0,01... 0,8 (а) и 11 = 1,5... 10 (б)

13 = 4,816 Вт/(м • ^ коэффициентов теплопроводности волокна соответственно в поперечном и продольном направлениях. Сведения о возможной пористости отсутствуют, указано лишь, что при отверждении связующего его объемная усадка составляет 4,4 %.

Если принять, что в матрице данного композита поры отсутствуют, т. е. в формуле (5) С0 = 0 и = 13 = 1м = 0,133 Вт/(м • ф, то из формулы (6) получим 1* = 2,943 Вт/(м • ф, а из формулы (14) — 11 = 0,475 Вт/(м • ф. В работе [16] при использовании указанных выше исходных данных получено такое же значение 1*, а эффективный коэффициент теплопроводности 11 композита в направлении, перпендикулярном расположению волокон, вычислен по формуле, совпадающей с нижней оценкой 1- в соотношении (15), что дало значение 0,317 Вт/(м • ф, более близкое к экспериментальному результату по сравнению с вычисленным по формуле (14). Отметим, что при 11 = 0,133/4,11 = 0,03236 и Су = 0,6 расчет по формуле, идентичной формуле (18), приводит к предельному значению = 0,7764 относительной погрешности. В данном случае погрешность расчета по формуле (14) по отношению к экспериментальному значению 0,35 Вт/(м • ^ составила 0,375, а по формуле для нижней оценки 1- — 0,094.

В работе [5] приведены результаты измерения эффективных коэффициентов теплопроводности 11 и 1* однонаправленного волокнистого композита с полимерным связующим, имеющим коэффициент

теплопроводности 1м = 0,1 Вт/(м • K). Композит армирован изотропными углеродными волокнами с коэффициентом теплопроводности 1 = 1260 Вт/(м • К). Определена объемная пористость С0 матрицы после отверждения связующего. Полученные результаты представлены ниже:

Су ..... 0,14 0,21 0,28 0,35 0,38 0,46 0,53 0,56

Со ...... 0,041 0,052 0,108 0,103 0,129 0,191 0,236 0,248

1*, Вт/(м • к)... 3,9 5,0 8,3 14,3 21,5 25,0 33,0 36,0

1*, Вт/(м • К)... 198 291 396 490 531 633 663 695

В данном случае отношение 1/1м = 12 600, что, согласно рис.3, соответствует максимальному значению возможной погрешности расчетов, близкой к единице, т.е. к 100%. Тем не менее целесообразно привести результаты расчетов по формулам (5), (6) и (14) c использованием данных для Су, С0 и значений 1м и 1, приведенных выше, приняв = 13 = 1:

Су ...... 0,14 0,21 0,28 0,35 0,38 0,46 0,53 0,56

1?, Вт/(м •К)... 0,092 0,090 0,081 0,081 0,077 0,068 0,062 0,060

1§, Вт/(м •К)... 0,096 0,095 0,089 0,090 0,087 0,081 0,076 0,075

1*, Вт/(м •К)... 0,122 0,138 0,143 0,169 0,172 0,184 0,201 0,214

1*, Вт/(м К)... 176 265 353 441 479 580 668 706

Ясно, что согласование измеренных и вычисленных значений 13 можно считать приемлемым, тогда как вычисленные значения 11 существенно меньше измеренных. Такое рассогласование вызывает необходимость построения более точной математической модели переноса тепловой энергии в волокнистом композите в направлении, перпендикулярном расположению волокон, применительно к ситуации, когда существует большое различие коэффициентов теплопроводности матрицы и волокна.

Заключение. Полученные на основе построенной математической модели переноса тепловой энергии в однонаправленном волокнистом композите расчетные зависимости позволяют с приемлемой для практических целей оценивать эффективный коэффициент теплопроводности такого композита в направлении расположения волокон. Однако для оценки этого коэффициента в поперечном направлении (особенно в случае большого различия коэффициентов теплопроводности матрицы и волокна, что характерно, например, для композита с полимерной матрицей, армированной углеродными волокнами) требуется построение уточненной модели.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ (проект НШ-255.2012.8).

ЛИТЕРАТУРА

[1] Справочник по композиционным материалам. Любин Дж., ред. Т. 2. Москва, Машиностроение, 1988, 584 с.

[2] Композиционные материалы. Справочник. Васильев В.В., Тарнополь-ский Ю.М., ред. Москва, Машиностроение, 1990, 512 с.

[3] Комков М.А., Тарасов В.А. Технология намотки композитных конструкций ракет и средств поражения. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011, 432 с.

[4] Калинчев В.А., Ягодников Д.А. Технология производства ракетных двигателей твердого топлива. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011, 688 с.

[5] Chen Y.-M., Ting J.-M. Ultra high thermal conductivity polymer composites. Carbon, 2002, vol. 40, pp. 359-362.

[6] Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. Ленинград, Энергия, 1974, 264 с.

[7] Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. Москва, Наука, 1977, 400 с.

[8] Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Эффективные коэффициенты теплопроводности композита с эллипсоидальными включениями. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2012, № 3, с. 76-85.

[9] Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. Москва, Изд-во иностр. лит., 1963, 248 с.

[10] Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. Москва, Наука, 1964, 488 с.

[11] Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Теплопроводность композита, армированного волокнами. Известия вузов. Машиностроение, 2013, № 5, с. 75-81.

[12] Головин Н.Н., Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Смесевые модели механики композитов. Ч. 1: Термомеханика и термоупругость многокомпонентной смеси. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2009, № 3, с. 36-49.

[13] Зарубин В.С. Инженерные методы решения задач теплопроводности. Москва, Энергоатомиздат, 1983, 328 с.

[14] Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008, 512 с.

[15] Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Теплопроводность композитов с шаровыми включениями. Saarbrücken, Deutschland, LAMBERT Academic Publishing, 2013, 77 с.

[16] Янковский А.П. Численно-аналитическое моделирование процессов теплопроводности в пространственно армированных композитах при интенсивном тепловом воздействии. Тепловые процессы в технике, 2011, т. 3, № 11, с. 500-516.

Статья поступила в редакцию 20.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Кувыркин Г.Н. Теплопроводность однонаправленного волокнистого композита. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 8. URL: http://engjournal.ru/catalog/mathmodel/material/889.html

Кувыркин Георгий Николаевич — д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. e-mail: gnk1914@mail.ru