CC BY
38
Наука и Образование
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Сетевое научное издание
ISSN 1994-0408
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. №5. С. 205-217.
DOI: 10.7463/0515.0776224
Представлена в редакцию: 30.04.2015
Исправлена:
© МГТУ им. Н.Э. Баумана
19.05.2015
УДК 536.21
Теплопроводность композита с нетеплопроводными шаровыми включениями
Пугачев О. В.1'*, Хан 3. Т.1
1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
Рассмотрена задача оценки эффективного коэффициента теплопроводности материала с шаровыми включениями из материала с нулевой теплопроводностью, расположенными либо упо-рядоченно, либо хаотически. Разработанный метод нахождения эффективного коэффициента теплопроводности композитов применим для включений произвольного размера и формы. Процесс теплопроводности моделируется при помощи диффузионных процессов, т.е. случайных блужданий частиц тепла. Сформулирована удобно вычисляемая оценка теплопроводности, которая теоретически известна для однородного материала, и она статистически оценивается для композитного материала. Проведен вычислительный эксперимент, моделирующий теплопроводность слоя композита, к одной стороне которого приложен источник тепла, а на противоположной стороне тепло поглощается. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами аналитических методов.
Ключевые слова: композит, вычислительный эксперимент, эффективная теплопроводность, диффузионный процесс
Теплопроводность — одно из основных свойств материалов, используемых в технике. От значения коэффициента теплопроводности зависит температурное состояние технического устройства и его работоспособность.
В качестве конструкционных и строительных материалов, а также функциональных материалов в различных устройствах широко применяются композиты, состоящие из матрицы и включений различной формы. К композитам относится большинство применяемых в технике материалов, являющихся гетерогенными твердыми телами. Исследованию теплопроводности таких материалов посвящены многие работы 60-80-х годов прошлого века [1, 2, 3, 4, 5]. Расчетные формулы в этих работах получены, как правило, либо путем обработки экспериментальных данных применительно к конкретным материалам, либо путем априорного задания распределения температуры и теплового потока в моделях структуры гетерогенных тел.
Введение
Если включения в композите имеют близкие размеры во всех направлениях, то в первом приближении их можно рассматривать как шаровые. Форму, близкую к шару, имеют и некоторые наноструктурные элементы (в том числе фуллерены), которые в последнее время применяются как включения для композитов различного назначения [6]. Для композита с шаровыми включениями удается построить адекватные математические модели, достаточно достоверно прогнозирующие зависимость его эффективного коэффициента теплопроводности от теплопроводности матрицы и включений и от объемной концентрации включений.
В работах [7, 8, 9] были применены новые подходы к задаче оценки эффективного коэффициента теплопроводности материала с включениями определенной формы из другого материала. Использовались методы вариационного исчисления, при этом рассматривалась упрощенная модель окрестности включения. Из современных работ по этой теме отметим также [10, 11, 12, 13, 14, 15, 16].
Возросшая мощность современных компьютеров позволяет применить принципиально другой подход к решению задачи об эффективной теплопроводности. Процесс теплопроводности можно моделировать при помощи диффузионных процессов, т.е. случайных блужданий частиц тепловой энергии. Идея состоит в том, чтобы сформулировать удобно вычисляемую оценку температуропроводности, которая теоретически известна для однородного материала, и статистически оценивать ее для композитного материала.
В данной работе рассмотрен случай композита с шаровыми включениями нулевой теплопроводности. Проводится вычислительный эксперимент, моделирующий теплопроводность сквозь слой композита, если к одной стороне слоя приложен источник тепла, а на противоположной стороне тепло поглощается. Результаты сравниваются с полученными аналитическими методами.
Пусть пространство заполнено изотропным материалом с объемной теплоемкостью С (Дж/м3К) и коэффициентом теплопроводности Л (Вт/мК), тогда уравнение теплопроводности имеет вид
где u = u(t,x,y,z) — температура (отсчитываемая от некоторого выбранного нуля, не обязательно абсолютного); а = À/C (м2/с) — коэффициент температуропроводности.
Если известно начальное распределение температуры Uo(x, y, z), то можно получить [17] распределение температуры через время t при помощи свертки
1. Теплопроводность и винеровские процессы
U = aV2 u,
(1)
u(t, x, y, z) = u0 * pt(x, y, z),
(2)
где функция
(3)
есть плотность нормального распределения с нулевым средним, дисперсиями Юх = = Юу = Юг = 2аЬ и нулевыми корреляциями.
Одномерный случайный процесс (и>т }тназывается стандартным винеровским [18], если /шт ~ N(0, т), и его приращения
тт2 - 'Шт1, ..., -Штк - 'Ытк_1, 0 ^ Т1 < Т2 < ... <тк
независимы. Параметр т имеет размерность квадрата расстояния.
Если компоненты пг, О трехмерного случайного процесса — независимые винеров-ские процессы с распределением N(0, 2аЬ), то плотность распределения случайной величины (£г,пг,(г) при заданном Ь > 0 выражается формулой (3). Следовательно, решение уравнения теплопроводности по формуле (2) может быть получено с использованием ви-неровского процесса: пусть трехмерная случайная величина (Хо,У0,^о) имеет плотность распределения и0(х, у, г), тогда трехмерная случайная величина с координатами
X = Хо + 6, Уг = Уо + пг, Zt = ^о + (г (4)
будет иметь плотность распределения и(Ь, х, у, г). В данной математической модели процесс теплопроводности представляется как случайное блуждание «частиц тепловой энергии», хотя сами эти «частицы» не имеют физического смысла: они рассматриваются как специальные формальные объекты, используемые при моделировании процесса распространения тепла. А именно, частицы представляют собой выборку из распределения, плотность которого в каждый момент времени пропорциональна плотности тепловой энергии, т.е. температуре, отсчитываемой от некоторого выбранного нуля, умноженной на объемную теплоемкость.
Если рассматривается ограниченное тело и, и на его поверхности нет теплообмена с окружающей средой путем теплопроводности или излучения, то к уравнению теплопроводности добавляется граничное условие
Уи • п = 0,
где п — единичный вектор внешней нормали. Начальное распределение ио(х,у,г) задается только внутри тела и. Решение уравнения теплопроводности при помощи случайных процессов также можно модифицировать для такой ситуации: траектории случайных точек (Хг,Уг, Zt) должны отражаться от теплоизолируемой поверхности. Скажем, если имеется полупространство {(ж, у, г): х > 0}, то можно взять случайный процесс (Хг, Уг, Zt) для всего пространства, полученный по формуле (4), а затем заменить его на процесс
(|Хг|,Уг,^). (5)
При сложной форме поверхности тела и не удастся задать случайный процесс явной формулой, но при его компьютерном моделировании проблема легко решается: нужно запрещать случайной точке при выборе очередного шага покидать область и.
2. Теплопроводность слоя
Для того чтобы найти эффективную теплопроводность композитного материала, проводится вычислительный эксперимент, результат которого сопоставляется с теоретически известным результатом для однородного материала. Будем рассматривать неограниченный слой
{(x, y, z): 0 < x < b} .
В качестве критерия теплопроводности рассмотрим вероятность P того, что частица тепла, стартующая на поверхности {x = 0}, дойдет за время, меньшее T, до поверхности {x = b}. Рассчитаем эту вероятность для однородного материала с коэффициентом температуропроводности а.
Пусть {wt}t^0 — стандартный винеровский процесс. Будем обозначать символом Tb первый момент достижения значения b = 0, т.е.
Tb = min {t > 0: wt = b} .
Согласно принципу отражения [18], процесс {Rbwt}, полученный отражением {wt} отточки b при первом попадании в нее, т.е.
\ wt, t G [0,Tb]; RbWt = <
I 2b — wt, t G (ть, то),
также будет стандартным винеровским. Пользуясь этим свойством винеровских процессов, найдем распределение случайного момента
Tb = min {t > 0: |wt| = b} , b > 0.
Сначала заметим, что при T > 0 и b > 0
Р{ть < T} = P{wT + RbwT = 2b} = P{wT ^ b} + P{RbwT ^ b} =
oo
= vin / = 2 — 2Ф(^) =2Ф(— ).
b/VT
где Ф — функция стандартного нормального распределения, так как события {wT > b} и {RbwT > b} несовместны. Очевидно,
P{T-b < T} = P{Tb < T}.
Следовательно, по формуле сложения совместных событий
P{Tb < T} = P{Tb < T} + P{r_b < T} — P{Tb < T_b < T} — P{r_b < Tb < T} =
= 4Ф( — vT) — 2P{Tb <T_b <T}.
Вычислим последнюю вероятность. Как получена следующая формула, можно понять из рис. 1:
Р{ть < т-ь < T} = p{min {t: Rbwt = 3b} < T} -
- pmin {t: RbWt = 3b} < T, т-ь < ть < T} =
= 2ф( - (P{min {t: Rb R-bWt = -5b} < T} -
- pmin {t: RbR-bWt = -5b} < T, ть < т-ь < T}) = ...
/V
/Ч/ Rb Wt
" !
N
ж*
п w\/\ Т~ь т
Рис. 1
В итоге получаем
р№ <т} = 4 ^.(-^) = *( т )
где функция задана формулой
™ = 4 £(-1)к ф(-2±+1).
Для слоя {(х,у, г): 0 < х < 6} из однородного материала с коэффициентом температуропроводности а, в котором рассматривается движение частицы до первого попадания на поверхность {х = 6}, важно лишь отражение от поверхности {х = 0}, применим процесс (5). Поскольку X ~ N(0, 2а£), получаем
Р = р{ш1п {*: X = 6} < Т} = р{ш1п |Ы = < ^ = (•
Пусть теперь имеется слой {0 < х < 6} из композита, эффективную темпратуропро-водность а которого нужно оценить. Частицы будут стартовать с поверхности {х = 0}, их начальные координаты у, г распределены равномерно. Проведем п > 1000 вычислительных экспериментов, и пусть в т из них частица успела за время, меньшее Т, дойти
до поверхности {x = b}. Физический смысл такого эксперимента — приложив к поверхности {x = 0} равномерный источник тепла, оценить, насколько быстро оно доходит до поверхности {x = b}. Обозначим q = m/n. Согласно центральной предельной теореме [19] 95%-доверительный интервал для P имеет вид
Эффективную теплопроводность найдем, умножив эффективную температуропроводность на среднюю объемную теплоемкость:
где а — доля объема композита, занимаемая включениями. В случае нетеплопроводных включений следует считать С2 = 0.
Рассматривается композит, состоящий из матрицы — материала с объемной теплоемкостью C и коэффициентом теплопроводности Л — и шарообразных включений из нетеплопроводного материала. Можно заменить эти включения полостями, но лишь с оговоркой, что при рассматриваемых температурах теплообмен путем излучения пренебрежимо мал. Нужно получить отношение эффективной теплопроводности Л композита к теплопроводности Л материала матрицы. Поскольку это отношение не будет зависеть от конкретных значений C и Л, можно положить C =1 Дж/м3К и Л =1 Вт/мК.
Рассмотрим шаровые включения одинакового размера, расположенные в узлах кубической решетки, и будем оценивать эффективную теплопроводность вдоль одной из осей решетки, которую примем за ось Ox. Искомый безразмерный результат будет зависеть от единственного параметра — отношения r = R/D радиуса включения к шагу кубической решетки, 0 < r ^ 0,5. От самого значения D результат не будет зависеть, так что в вычислениях можем положить D = 1 м.
Смоделируем диффузионный процесс (Xt, Yt, Zt), описанный в параграфе 2. Толщина слоя должна быть намного больше расстояний между центрами включений. Возьмем толщину слоя b = 4 м (рис. 2).
Выберем время T так, чтобы для однородного материала матрицы (т.е. в случае r = 0) вероятность прохождения «частицы тепла» сквозь слой составляла F\(2aT/b2) = F\(1) = 0,629. Для этого нужно взять T = b2/2a = 8 c.
При сериях из n = 4300 блуждающих частиц с шагом времени At = 5 • 10-4 c нами были получены результаты, представленные в табл. 1. Здесь для вероятности P того, что
следовательно, 95%-доверительный интервал для Л имеет вид
I2F—1 (P\) < Л F-1(P2).
(6)
3. Результаты вычислительных экспериментов
Рис.2
«частица» пройдет сквозь слой за время менее Т, дан 95%-доверительный интервал
q - 0,03^q(1 - q) < P < q + 0,03^q(1 - q);
для отношения Л/a — доверительный интервал, полученный из него применением функции
F1 1; наконец, отношение Л/Л получено по формуле (6): Л = Л C(1 — a), где a
3 ,
т.е.
а = а(1 - 4,189 г3). Л а
Случай г = 0, для которого известен точный ответ Р = 0,629, Л = Л, рассмотрен как тестовый.
Таблица 1
r P a/a Л/А
0 0,626 .. 0,654 0,99... 1,06 0,99... 1,06
0,2 0,601 . . . 0,630 0,94... 1,00 0,91... 0,97
0,3 0,604 . . . 0,633 0,95... 1,01 0,84... 0,90
0,4 0,542 .. 0,572 0,83... 0,88 0,61... 0,64
0,5 0,452 .. 0,481 0,68... 0,73 0,32... 0,35b
Чтобы проверить, что дискретный процесс не сильно отличается от непрерывного, сравним результаты, полученные при шаге времени Д£ = 5 • 10-4 с, с результатами при
А* = 10-3 с.
Теперь пусть включения радиусом Я ^ 0,5Д расположены хаотически с плотностью 1/Д3 (рис. 3).
Рис.3
Для каждой частицы заново задается в достаточно широком фрагменте слоя случайное расположение шариков, при этом не допускается их наложение одного на другой и на начало координат, из которого стартует частица.
Результаты вычислительных экспериментов для такой модели представлены в табл. 2.
Таблица 2
г Р а/а А/А
0,2 0,603... 0,632 0,94... 1,00 0,91... 0,97
0,3 0,583... 0,612 0,90... 0,96 0,80... 0,86
0,4 0,564... 0,594 0,87... 0,93 0,64... 0,68
0,5 0,519... 0,549 0,79... 0,84 0,38... 0,40
Сравним полученные нами результаты с результатами работы [8]. Согласно формуле
Т = 1 -—, (7)
Л 2 + а' ^
где а — объемная концентрация теплоизолирующих включений. В данной ситуации а = 4пг3/3. В табл. 3 сопоставлены величины Л/Л из табл. 1, 2 и по формуле (7).
Таблица 3
г Табл. 1 Табл. 2 (7)
0,2 0,91... 0,97 0,91... 0,97 0,95
0,3 0,84... 0,90 0,80... 0,86 0,84
0,4 0,61... 0,64 0,64... 0,68 0,65
0,5 0,32... 0,35 0,38... 0,40 0,38
В случае хаотического расположения включений результаты вычислительных экспериментов согласуются с полученными аналитически [8]. Нетрудно заметить, что в случае упорядоченных включений больших размеров эффективная теплопроводность получается меньше, это объясняется узкими проходами между теплоизолирующими шариками, лежащими упорядоченным слоем.
Заключение
Разработанный метод позволяет находить эффективные коэффициенты теплопроводности для композитов с включениями произвольной формы. В случае шаровых включений результаты согласуются с полученными другими методами. Открываются широкие возможности, ограниченные лишь мощностью компьютера.
В дальнеших работах планируется рассмотреть композиты с включениями различной теплопроводности и формы, а также включения из нескольких материалов.
Работа поддержана грантом Министерства образования и науки Российской Федерации, номер темы 1.2640.2014.
Список литературы
1. Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. Л.: Энергия, 1974. 264 с.
2. Миснар А. Теплопроводность твердых тел, жидкостей, газов и их композиций: пер. с франц. М.: Мир, 1968. 464 с.
3. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977. 399 с.
4. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. М.: Энергоатом-издат, 1983. 328 с.
5. Хорошун Л.П., Солтанов Н.С. Термоупругость двухкомпонентных смесей. Киев: Нау-кова думка, 1984. 111 с.
6. Кац Е.А. Фуллерены, углеродные нанотрубки и нанокластеры. Родословная форм и идей. М.: Изд-во ЛКИ, 2008. 296 с.
7. Головин Н.Н., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Оценки эффективного коэффициента теплопроводности композита, модифицированного фуллеренами // Композиты и наноструктуры. 2012. №4. C. 15-22.
8. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Эффективный коэффициент теплопроводности композита с шаровыми включениями // Тепловые процессы в технике. 2012. № 10. С. 470-474.
9. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Теплопроводность композита, армированного волокнами // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2013. №5. С. 75-81.
10. Зарубин В.С., Котович A.B., Кувыркин Г.Н. Оценки эффективного коэффициента теплопроводности композита с анизотропными шаровыми включениями // Известия РАН. Энергетика. 2012. №6. С. 118-126.
11. Зарубин B.C, Кувыркин Г.Н. Эффективные коэффициенты теплопроводности композита с эллипсоидальными включениями // Bестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2012. №3. С. 76-85.
12. Зарубин B.C, Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Сравнительный анализ оценок коэффициента теплопроводности композита с шаровыми включениями // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. №7. С. 299-318. DOI: 10.7463/0713.0569319
13. Зарубин B.C, Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Оценка эффективной теплопроводности композита с шаровыми включениями методом самосогласования // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. №9. С. 435-444. DOI: 10.7463/0913.0601512
14. Янковский А.П. Численно-аналитическое моделирование процессов теплопроводности в пространственно армированных композитах при интенсивном тепловом воздействии // Тепловые процессы в технике. 2011. Т. 3, № 11. С. 500-516.
15. Chen Y.-M., Ting J.-M. Ultra high thermal conductivity polymer composites // Carbon. 2002. Vol. 40, no. 3. P. 359-362. DOI: 10.1016/S0008-6223(01)00112-9
16. Nan C.-W., Birringer R., Clarke D.R., Gleiter H. Effective thermal conductivity of particulate composites with interfacial thermal resistance // Journal of Applied Physics. 1997. Vol.81, no. 10. P. 6692-6699. DOI: 10.1063/1.365209
17. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1999. 799 с.
18. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975. 320 с.
19. Печинкин А.В., Тескин О.И., Цветкова Г.М., Бочаров П.П., Козлов Н.Е. Теория вероятностей / под ред. В.С Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 456 с. (Сер. Математика в техническом университете; Т. XVI.).
Science i Education
Science and Education of the Bauman MSTU, 2015, no. 5, pp. 205-217.
DOI: 10.7463/0515.0776224
of the Bauman MSTU Received: 30.04.2015
Revised: 19.05.2015
© Bauman Moscow State Technical University
ISSN 1994-0408
Heat Conductivity of Composite Materials with Included Balls of Zero Heat Conductivity
Pugachev O. V.1*, Han Z. T.1 opugachev@yandex.ru
1 Bauman Moscow State Technical University, Russia
Keywords: composite, computer simulation, effective thermal conductivity, diffusion process
The problem under consideration is to estimate the effective coefficient of heat conductivity of a material with included balls of zero heat conductivity, being either in a cubic lattice order or chaotically.
The solution of heat conductivity equation can be obtained using a Wiener process. In this mathematical model, the process of heat conduction is represented by random motion of "heat particles", although these "particles" do not exist in a physical sense: they are special formal objects, they represent a sample of a distribution the density of which is proportional to the density of heat energy in each time moment. If one has a solid without heat exchange on its surface, the trajectories of randomly moving particles must reflect from the surface.
Consider a non-bounded flat layer of a composite with its effective heat conductivity to be evaluated. As a criterion of heat conductivity, consider the probability P, which may be that a heat particle, starting from one side of the layer reaches its other side for the time less than T. For a homogeneous isotropic material, this probability is calculated analytically.
Having performed a series of computing experiments simulating heat conductivity through the layer of a composite (the source of heat is applied to its surface, and on the opposite surface is heat absorbing) and processed the experiments' results statistically, one obtains confidence intervals for P, wherefrom appear the confidence intervals for the effective temperature conductivity (under what temperature conductivity a homogeneous material yields the same value of P). Finally, the effective coefficient of heat conductivity is calculated by multiplying the effective coefficient of temperature conductivity with the average volume heat capacity.
Various ratios of the inclusion radius to the cube lattice period (or the corresponding space densities of chaotic inclusions) were considered. For series of 4,300 randomly moving particles, the obtained results appear to agree with those obtained by analytical methods.
Our method allows finding the effective coefficient of heat conductivity for composites with inclusions of arbitrary shapes.
References
1. Dul'nev G.N., Zarichniak Iu.P. Teploprovodnost' smesei i kompozitsionnykh materialov [Heat conductivity of mixtures and composite materials]. Leningrad, Energiia Publ., 1974. 264 p. (in Russian).
2. Missenard A. Conductivite thermique des solides, liquides, gaz et de leurs melanges. Paris, Editions Eyrolles, 1965. (In French). (Russ ed. Missenard A. Teploprovodnost' tverdykh tel, zhidkostey, gazov i ikh kompozitsiy. Moscow, Mir Publ., 1968. 464 p.).
3. Shermergor T.D. Teoriia uprugosti mikroneodnorodnykh sred [Theory of elasticity of micro-heterogeneous media]. Moscow, Nauka Publ., 1977. 400 p. (in Russian).
4. Zarubin V.S. Inzhenernye metody resheniia zadach teploprovodnosti [Engineering methods of solving problems of heat conductivity]. Moscow, Energoatomizdat Publ., 1983. 328 p. (in Russian).
5. Khoroshun L.P., Soltanov N.S. Termouprugost' dvukhkomponentnykh smesei [Thermo-elasticity of two-component mixtures]. Kiev, Naukova dumka Publ., 1985. 109 p. (in Russian).
6. Kats E.A. Fullereny, uglerodnye nanotrubki i nanoklastery. Rodoslovnaya form i idey [Fullerens, carbon nano-tubes and nano-clusters. The family-tree of form and ideas]. Moscow, LKI Publ., 2008. 296 p. (in Russian).
7. Golovin N.N., Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Estimation of effective heat conductivity coefficient of fullerene-modified composite material. Kompozity i nanostruktury = Composites and Nanostructures, 2012, no. 4, pp. 15-22. (in Russian).
8. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'evaI.Iu. The Effective Coefficients of Thermal Conductivity of Composites with Spherical Inclusions. Teplovye protsessy v tekhnike = Thermal Processes in Engineering, 2012, no. 10, pp. 470-474. (in Russian).
9. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Iu. Thermal Conductivity of Composite Reinforced with Fibers. Izvestiia vysshikh uchebnykh zavedenii. Mashinostroenie = Proceedings of Higher Educational Institutions. Machine Building, 2013, no. 5, pp. 75-81. (in Russian).
10. Zarubin V.S., Kotovich A.V., Kuvyrkin G.N. Estimates of the effective coefficient of heat conductivity of a composite with anisotropic ball inclusions. Izvestiya RAN. Energetika = Proceedings of RAS. Energetics, 2012, no. 6, pp. 118-126. (in Russian).
11. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Effective Coefficients of Thermal Conductivity of a Composite with Ellipsoidal Inclusions. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki = Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Ser. Natural sciences, 2012, no. 3, pp. 76-85. (in Russian).
12. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Iu. Comparative analysis of estimations of heat conduction of a composite with ball inclusions. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Bau-
mana = Science and Education of the Bauman MSTU,, 2013, no. 7, pp. 299-318. DOI: 10.7463/0713.0569319 (in Russian).
13. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Iu. Evaluation of effective thermal conductivity of composites with ball inclusions by the method of self-consistency. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2013, no. 9, pp. 435-444. DOI: 10.7463/0913.0601512 (in Russian).
14. Yankovskii A.P. Numerically-Analytical Modelling of Processes of Thermal Conductivity in Spatially Reinforced Composites at Intensive Thermal Action. Teplovye protsessy v tekhnike = Thermal Processes in Engineering, 2011, no. 11, pp. 500-516. (in Russian).
15. Chen Y.-M., Ting J.-M. Ultra high thermal conductivity polymer composites. Carbon, 2002, vol. 40, no. 3, pp. 359-362. DOI: 10.1016/S0008-6223(01)00112-9
16. Nan C.-W., Birringer R., Clarke D.R., Gleiter H. Effective thermal conductivity of particulate composites with interfacial thermal resistance. Journal of Applied Physics, 1997, vol.81, no. 10, pp. 6692-6699. DOI: 10.1063/1.365209
17. Tikhonov A.N., Samarskii A.A. Uravneniiamatematicheskoifiziki [Equations of mathematical physics]. Moscow, MSUPubl., 1999. 799 p. (in Russian).
18. Venttsel' A.D. Kurs teorii sluchainykh protsessov [Course of the theory of random processes]. Moscow, Nauka Publ., 1975. 320 p. (in Russian).
19. Pechinkin A.V., Teskin O.I., Tsvetkova G.M., Bocharov P.P., Kozlov N.E. Teoriia veroiat-nostei [Probability theory]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2004. 456 p. (Ser. Matematika v tekhnicheskom universitete [Mathematics in Technical University], vol. 16). (in Russian).
