CC BY
11Процессы и аппараты
УДК 536.24
Yuri G. Chesnokov1
HEAT EXCHANGE IN PIPES AND CHANNELS ON ESTABLISHED SECTION IN THE EXISTENCE OF SLIPPING ON THE WALLS
St. Petersburg State Institute of Technology (Technical University), 26, Moskovsky Pr., St Petersburg, 190013, Russia. e-mail: ygchesnokov@yandex.ru
Formulas for calculating the Nusselt criterion that are valid in the area of stabilized heat exchange in the laminar flow of a fluid or gas in a tube ofcrrcular cross section and in a flat channel are obtained. These relations are suitable in the presence of liquid slipping on the walss of the channel. Formulas are obtained both at a fixed temperature on the channel wall and at a given heat flux on the wall.
Key words: heat exchange, forced convection, slip flow.
Введение
Теплообмен между потоком жидкости или газа и стенками трубы при ламинарном режиме течения жидкости относится к числу хорошо изученных проблем [1]. На некотором расстоянии от входа в трубу процесс теплоотдачи приобретает стабилизированный характер. Расчет теплоотдачи на стабилизированном участке теплообмена произведен при различных граничных условиях на стенке для труб с различной формой поперечного сечения [1].
На стенках трубы или канала выполняется условие прилипания - скорость жидкости на стенке равна нулю. Однако в некоторых случаях это условие может не выполняться. Явление проскальзывания на твердой поверхности наблюдается при течении разреженных газов. В этом случае на стенке скорость потока отлична от нуля и кроме того наблюдается скачок температуры. Как скорость проскальзывания, так и скачок температуры зависят в этом случае от величины числа Кнудсена. Теплоотдача при наличии проскальзывании газа на стенке и скачка температуры изучалась в работе [2].
Для капельных жидкостей и газов при малых значениях числа Кнудсена скачок температуры отсутствует. Как правило, условие прилипания жидкости к твердой стенке в этом случае тоже выполняется [3]. Однако в последние годы в результате изучения тече-
Ю.Г. Чесноков 1
ТЕПЛООБМЕН В ТРУБКАХ И КАНАЛАХ НА УСТАНОВИВШЕМСЯ УЧАСТКЕ ПРИ НАЛИЧИИ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ НА СТЕНКАХ
Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет), Московский пр-т, 26, Санкт-Петербург, 190013, Россия e-mail: ygchesnokov@yandex.ru
В работе получены формулы для расчета критерия Нуссельта, которые справедливы на участке стабилизированного теплообмена при ламинарном режиме течения жидкости или газа в трубке кругового поперечного сечения и в плоском канале. Эти соотношения выполняются при наличии проскальзывания жидкости на стенках канала. Формулы получены как при фиксированной температуре на стенке канала, так и при заданном тепловом потоке на стенке.
Ключевые слова: теплообмен, вынужденная конвекция, течение с проскальзыванием.
ний жидкостей в трубках малого диаметра выяснилось, что такое условие выполняется не всегда [3, 4]. Такого рода течения представляют большой практический интерес. Например, в компактных теплообменниках несмотря на то, что режим течения является ламинарным, коэффициенты теплоотдачи весьма велики благодаря большому поперечному градиенту температуры. В этих случаях на твердой поверхности вместо условия прилипания справедливо условие:
Здесь щ - скорость жидкости на стенке, г - радиальная координата, й - радиус трубки, Ь - длина проскальзывания. Длина проскальзывания может быть как очень малой [5], так и весьма большой [6, 7].
Проскальзывание жидкости на стенке наблюдается также в том случае, когда стенка является проницаемой для жидкости [8]. В этом случае на стенке для продольной составляющей скорости выставляется условие такого же типа, как (1), но длина проскальзывания пропорциональна корню квадратному из коэффициента проницаемости стенки. Такое условие использовалось, например, при изучении процесса ультрафильтрации в работах [9, 10] для описания движения жидкости в плоском и трубчатом мембранных каналах.
1. Чесноков Юрий Георгиевич, канд. физ.-мат. наук, доцент каф. процессов и аппаратов, e-mail: ygchesnokov@yandex.ru Yuri G. Chesnokov, Ph.D (Phys.-Maths.), Associate Professor, Department of Chemical Engineering
Дата поступления - 22 января 2019 года
Следует отметить, что уравнение, описывающее перенос теплоты в потоке и уравнение, описывающее изменение концентрации, совпадают с точностью до обозначений. Поэтому результаты изучения процесса переноса теплоты в каналах при наличии проскальзывания на стенках могут использоваться при описании мембранных процессов разделения.
В недавно опубликованной статье [11] изучался процесс теплообмена между потоком жидкости и стенками канала в трубке кругового поперечного сечения при наличии проскальзывания жидкости на стенке и отсутствии температурного скачка. Там описывался как теплообмен на начальном участке, так и на участке тепловой стабилизации. В последнем случае использовались методы численного интегрирования. При заданном потоке теплоты на стенке для расчета коэффициента теплоотдачи на участке тепловой стабилизации можно получить явные аналитические выражения. При заданной температуре на стенке также можно использовать аналитические методы, которые существенно упрощают расчет. Получение таких соотношений является целью данной работы. Для расчета теплообмена на начальном участке следует использовать другие методы [12, 13].
Теплоотдача при заданном потоке теплоты на стенке
Введем в рассмотрение цилиндрическую систему координат (г,<р ,г), ось г которой совпадает с осью трубы. Вдали от входа в трубу отлична от нуля только осевая составляющая скорости жидкости и профиль скорости жидкости является параболическим:
С1 — t\v
Ч
1+4b/Д
[( 1-Э+а-
Я( 1+4b/Д)
(т + 2 ь).
Коэффициент теплоотдачи а связан с удельным потоком теплоты следующим образом:
<7 = а(Ц -О. Введем в рассмотрение критерий Нуссельта:
„. 2Ка
N11 = —.
Я
Располагая выражениями для профиля скорости и профиля температуры, нетрудно вычислить входящие в формулу для средней по сечению температуры и в результате получить соотношение для расчета критерия Нуссельта:
Nu =
4 8 ( 1+4 b /Д)2 1 1+64 Ь/Д+96 b 2 /Д 2'
(2)
При отсутствии проскальзывания на стенке (Ь = 0 ), разумеется, получается известный результат: Vu = 48/ 1 1« 4. 3 6. При увеличении параметра Ь/й критерий Нуссельта, как и следовало ожидать, монотонно увеличивается и стремится к 8 при больших значениях указанной переменной.
Аналогичным образом расчеты можно сделать и для плоского канала. Обозначим через h полуширину канала. В качестве характерного линейного размера обычно используют так называемый эквивалентный диаметр, который для плоского канала равен . Поэтому критерий Нуссельта в этом случае определяется по формуле: Vu = 4ha/l. Формула для расчета этой величины на участке тепловой стабилизации при такова:
Здесь и - средняя по сечению трубы скорость жидкости. Обозначим через < удельный тепловой поток на стенке трубы, который предполагается постоянным, а через - температуру. Средняя по сечению трубы температура жидкости определяется по формуле:
£Ь = /0Я и £г е?г//0Я и г е?г.
На участке тепловой стабилизации перенос теплоты в потоке описывается при помощи уравнения:
2l — iJL(
dz г дг\ дг/г
где а - коэффициент температуропроводности. условии имеем:
При
dt_ dz '
dtb_ dz
21 Д i/p с'
Здесь - плотность жидкости, - удельная теплоемкость. Тогда уравнение переноса теплоты легко интегрируется и для профиля температуры получаем следующее выражение:
t =
4 q
ДЯ( 1+4b/Д)
LV Д J 4 16Д2.
+ СЛ
Nu = -
( / )
( / / / )
(3)
Критерий Нуссельта монотонно увеличивается от 140/ 1 7 « 8 . 2 4 при Ь/ /г = 0 до 12.
Теплоотдача при заданной температуре стенки
Введем в рассмотрение новую независимую переменную:
tw tb
На участке тепловой стабилизации эта величина не зависит от z. Так как в рассматриваемом случае , то справедливо соотношение:
Ё1
dz
I ££ь
dz
Используя уравнение теплового баланса:
а( £„, — £Ь)2 7ГЙ = в ее? £й,
уравнение переноса теплоты в потоке преобразуем к следующему виду:
Здесь X - коэффициент теплопроводности, а постоянная интегрирования выражается через температуру жидкости на стенке по формуле:
! Lv Д) 'J r>dr> V ' dr>)
1+4 Ь/Д IV ДУ ] 77 сг?7 V сг?7>
В этих соотношениях в - массовый расход жидкости, ?7 = -. На стенке трубы выполняется соотношение:
0L=1 = 0 .
(4)
Если искать неизвестную величину в в виде ряда:
e = Sn=oC2 п??2п, (5)
то постоянные с2 „ будут связаны между собой при помощи рекуррентных соотношений:
£2 2 Nu( 1+2 Ь/Я )
Nu \c2n-i
2 п2 ( 1+4 b/Я ) L с0
с2п_2 ( 1+2 b /Я )1
(п = 2 , 3 • •) . (6)
Как видно из этих формул, отношения с2 „/с0 быстро уменьшаются при увеличении . Поэтому расчет критерия Нуссельта при заданном значении параметра 2 Ь/й можно осуществить следующим образом. В выражении (5) ограничимся конечным числом членов. Каждый из коэффициентов выражается через и . Условие (4) будет выполняться только при некотором значении критерия , так что расчеты производятся до тех пор, пока (4) не будет выполняться с некоторой наперед заданной точностью. При Ь = 0 получаем известный результат: Мм = 3 .65 7. Результаты таких расчетов при различных значениях параметра 2 Ь/ й изображены на рисунке в виде точек. Кривая на этом рисунке построена по аппроксимационной формуле:
Nu =
3 .6 5 6+14 .99(4 b /Я ) 1+2 .5 92 (4 b /Я ) '
(7)
Рисунок Зависимость критерия Нуссельта от йг( 2 й /й ). Точки -расчет по формулам (4) - (6), кривая построена по приближенной формуле (7).
Как видно из рисунка данное дробно-линейное выражение хорошо описывает результаты расчетов. С ростом параметра 2 й/й критерий Нуссельта монотонно возрастает и при больших значениях этого параметра стремится к предельному значению 5.783. Формула (7) хорошо согласуется с приведенным в работе [11] графиком.
В случае плоского канала вместо формул (6) будем иметь:
£2 _ 3 Wu( 1+2 Ь /h) с0 8(1+3 Ь/h) '
£2п _ 3 Ли ["( 1+2 Ь /h) £2п_4 £2г
( )( / )
Расчеты показывают, что в этом случае при увеличении параметра Ь/ /г критерий Нуссельта монотонно увеличивается от 7.5407 до 9.8696. Данные расчетов хорошо описываются в рассматриваемом случае при помощи формулы:
Заключение
При наличии проскальзывания жидкости на стенках трубы или канала коэффициент теплоотдачи увеличивается. При фиксированном тепловом потоке на стенке критерий Нуссельта можно вычислить по формуле (2) в случае трубы кругового поперечного сечения или по формуле (3) в случае плоского канала. Получены соотношения, которые позволяют рассчитать процесс теплоотдачи при заданной температуре стенки. Расчет критерия Нуссельта может быть произведен при помощи приближенных формул (7) или (8) для круглой трубы и плоского канала соответственно.
Литература
1 Shah R.K., London A.L. Laminar flow forced convection in ducts: a source book for compact heat exchanger analytical data. Academic press. 2014. 492 p.
2. Sparrow E.M., Lin S.H. Laminar heat transfer in tubes under slip-flow conditions // J. Heat Transfer. 1962. V.84. N 4. P. 363-369.
3. Lauga E, Brenner M, Stone H Microfluidics: the no-slip boundary condition //Springer handbook of experimental fluid mechanics. Springer, Berlin, Heidelberg, 2007. P. 1219-1240.
4. Neto C, Evans D.R., Bonaccurso E, Butt H.-J, Craig V.S.J. Boundary slip in Newtonian liquids: a review of experimental studies // Rep. Prog. Phys. 2005. V. 68. P. 2859-2897.
5. Rothstein J.P. Slip on superhydrophobic surfaces // Annu. Rev. Fluid Mech. 2010. V. 42. N 1. P. 89-109.
6. Whitby M, Quirke N. Fluid flow in carbon nanotubes and nanopipes // Nat. Nano. 2007. V. 2. N. 2. P. 87-94.
7. Majumder M, Choppa N, Hinds B.J. Mass transport through carbon nanotube membranes in three different regimes: ionic diffusion and gas and liquid flow // ACS Nano. 2011. V. 5. N 5. P. 3867-3877.
8. Beavers G.S., Joseph D.D. Boundary condition of a naturally permeable wall // J. Fluid Mech. 1967. V. 30. P. 197-207.
9. Singh R, Laurence R.L. Influence of slip velocity at a membrane surface on ultrafiltration performance - I. Channel flow system // Int. J. Heat Mass Transfer. 1979. V. 22, N 5. P. 721-729.
10. Singh R, Laurence R.L. Influence of slip velocity at a membrane surface on ultrafiltration performance - II. Tube flow system // Int. J. Heat Mass Transfer. 1979. V. 22, N 5. P. 731-737.
11. Haase A.S, Chapmen SJ, Tsai P.A,, Lohse D,, Lammertink R.G.H. The Graetz - Nusselt problem extended to continuum flows with finite slip // J. Fluid Mech. 2015. V. 764. P. R3-1.
12. Чесноков Ю.Г. Тепло- или массообмен на начальном участке канала при переменной температуре стенки или концентрации на стенке // Журн. прикл. химии. 1997. Т. 70. № 1 С. 115-122.
13. Чесноков Ю.Г. Тепло- или массообмен на начальном участке круглой трубы при переменной температуре стенки или концентрации на стенке // Журн. прикл. химии. 1997. Т. 70. № 1 С. 123-126.
References
1. Shah R.K., London A.L. Laminar flow forced convection in ducts: a source book for compact heat exchanger analytical data. Academic press. 2014. 492 p.
Nu =
7 .5 4 1+2 2 .8 69b /ft
1+2 .3 1 7 b / ft '
(8)
2. Sparrow E.M., Lin S.H. Laminar heat transfer in tubes under slip-flow conditions // J. Heat Transfer. 1962. V.84. N 4. P. 363-369.
3. Lauga E., Brenner M., Stone H. Microfluidics: the no-slip boundary condition //Springer handbook of experimental fluid mechanics. Springer, Berlin, Heidelberg, 2007. P. 1219-1240.
4. Neto C., Evans D.R., Bonaccurso E., Butt H.-J., Craig V.S.J. Boundary slip in Newtonian liquids: a review of experimental studies // Rep. Prog. Phys. 2005. V. 68. P. 2859-2897.
5. Rothstein J.P. Slip on superhydrophobic surfaces // Annu. Rev. Fluid Mech. 2010. V. 42. N 1. P. 89-109.
6. Whitby M., Quirke N. Fluid flow in carbon nanotubes and nanopipes // Nat. Nano. 2007. V. 2. N. 2. P. 87-94.
7. Majumder M., Choppa N., Hinds B.J. Mass transport through carbon nanotube membranes in three different regimes: ionic diffusion and gas and liquid flow // ACS Nano. 2011. V. 5. N 5. P. 3867-3877.
8. Beavers G.S., Joseph D.D. Boundary condition of a naturally permeable wall // J. Fluid Mech. 1967. V. 30. P. 197-207.
9. Singh R., Laurence R.L. Influence of slip velocity at a membrane surface on ultrafiltration performance - I. Channel flow system // Int. J. Heat Mass Transfer. 1979. V. 22, N 5. P. 721-729.
10. Singh R., Laurence R.L. Influence of slip velocity at a membrane surface on ultrafiltration performance - II. Tube flow system // Int. J. Heat Mass Transfer. 1979. V. 22, N 5. P. 731-737.
11. Haase A.S., Chapmen S.J., Tsai P.A., Lohse D., Lammertink R.G.H. The Graetz - Nusselt problem extended to continuum flows with finite slip // J. Fluid Mech. 2015. V. 764. P. R3-1.
12. Chesnokov Ju.G. Teplo- ili massoobmen na na-chal'nom uchastke kanala pri peremennoj temperature stenki ili koncentracii na stenke // Zhurn. prikl. himii. 1997. T. 70. № 1 S. 115-122.
13. Chesnokov Ju.G. Teplo- ili massoobmen na na-chal'nom uchastke krugloj truby pri peremennoj temperature stenki ili koncentracii na stenke // Zhurn. prikl. himii. 1997. T. 70. № 1 S. 123-126.
