ТЕПЛООБМЕН В ПЛАСТИНЕ ПРИ ДЕЙСТВИИ ВНУТРЕННИХ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ ФУРЬЕ (Fo Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Томского политехнического университета. 2003. Т. 306. №2

УДК621.731.3.322-81:621.314.21.3.042, 681.142

ТЕПЛООБМЕН В ПЛАСТИНЕ ПРИ ДЕЙСТВИИ ВНУТРЕННИХ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ ФУРЬЕ (Fo<0,001)

В.С.Логинов

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Предложен простой аналитический приближенный способ решения задачи теплопроводности с внутренними источниками теплоты для малых чисел Фурье. Результаты расчетов по аналитической формуле сопоставлялись с численным расчетом температурного поля в обмотке индукционного малогабаритного бетатрона типа МИБ-6-200. При изменении значения тепловыделения, зависящего от времени на несколько порядков в пределах исследуемого промежутка времени имеет место хорошее согласие численного и аналитического расчетов.

В [1] рассмотрен приближенный метод решения уравнения теплопроводности в телах классической формы (пластина, цилиндр, шар) при малых числах Фурье (Ро<0,001) применительно к быстропротека-ющим процессам тепловой обработки материалов. В настоящей работе этот метод обобщается на случай задания в пластине распределения внутренних источников тепла от времени.

Постановка задачи. Искомое температурное поле в пластине описывается уравнением энергии:

дТ д2Т qv{x)

дх дх2 рср >т>0,0<х<8,

при начальных и граничных условиях: дТ

прих=0 — = 0; (2) при t= 0 Дх,0) = Т0,

(1)

при х = 5 - X

дт

дх

а(Т-Тж).

(3)

(4)

Согласно методу, изложенному в [1], выражение для теплового потока при малых временах взаимодействия представляем в виде:

Я = Р с J

дТ_ дт "

(5)

Для определения линейного параметра / в формуле (5) предлагается выражение

/ = 4ах ■

(6)

Однако запись выражений (5) и (6) уже предполагает определенные знания об исследуемом процессе. При решении задачи с внутренними источниками теплоты (1-4) будем исходить из общего предположения, заключающегося в том, что определим коэффициент температуропроводности а в уравнении (1), исходя из соображений теории размерностей в виде

, дх

a = h —

0 дх

(7)

Подставляя (7) в (1), получим

-=4

дх 0 дх

Г Qj\

+ р( т).

(8)

V /

где p(x) = qv(x)/(pc ).

дТ

Введем обозначение и - —— тогда уравнение

дх

(8) примет вид

ди и _ р(х) дх /, /

решение ур. (9) запишется так:

< ^ дТ п и(х,х) = — = ц ехр

дх

( \ х

Joj

(9)

+ р(х). (Ю)

Интегрируя полученное уравнение по т, будем иметь:

Г(х,т) = С,техр -1+ |/?(т)£/т + С2. (11)

V» )

Определим, используя краевые условия, значения констант в формуле (11):

С2 = Т0 -<р(0), где ф(т) = ¡рШх. (12)

Определим первую и вторую производные от температуры по пространственной координате:

дТ _ х —- = С17ехр дх I,

о v о /

/ л д2Т л X

I

дх2

= С,-Техр

'л

vhj

Подставим производные (10), (12) в уравнение (1). В результате получим выражение для определения параметра 10'.

10 =4ах- (13)

Как видим, выражение (13) совпадает с принятым ранее выражением (6). Константу интегриро-

Естественные науки

вания С! определим из граничного условия, после чего общее решение задачи примет вид

Т{х,х) = Т0+ф)~ф) Т0-Тж+ф)-ф)

ехр

ifl-í

U 5

l+X/(al0) Определим безразмерные параметры:

(14)

число Био - Bi :

а5

ах

. ; число Фурье - Fo = -у, к о

С учетом этих параметров формула (14) переходит в зависимость

Т(х,х) = Т„+<?(х)-ф)-

Тв-Тж + д>(х)-ф) 1 +

ехр

Vfô

(15)

Здесь X = х/§ .

Тогда плотность теплового потока будет равна

q = -X

ЗГ дх

X

Т0-Тж+ ср(т)-ф(0) 1 + 1/(BÍVFÓ)

ехр

(1-Х) . s[Fo

10

X, с

Рис.

Зависимость максимальной температуры пластины от времени

1v =4<7г

, т0 = 10 с;

(16)

Были выполнены расчеты температурного поля в пластине по формуле (15) при задании различных законов функции внутренних источников теплоты. Результаты расчетов по аналитической формуле сопоставлялись с численным расчетом температурного поля в обмотке индукционного малогабаритного бетатрона типа МИБ-6-200. Пример такого расчета показан на рисунке. Здесь сплошными линиями представлены результаты расчета по формуле (15), а точками - численный расчет, выполненный А.Р. Дороховым по явной схеме [2]. Видно, что при изменении значения функции тепловыделения на

1-3-qvo =4,05-Ю6; 4,05-Ю7; 4,05-Ю8 Вт/м3; R = 0,048 м; Ср -р=3,47х хЮ6 Дж/(м3 -К);^=1,56 Вт/(м-К); Bi = 0,788; Г0 =28,4 "С;ГЖ=31,2 °С;

линии - расчет по формуле (15), точки ~ численный расчет по [2]

несколько порядков в пределах исследуемого промежутка времени имеет место хорошее согласие численного и аналитического расчетов.

Аналогичный результат был получен при задании других функциональных зависимостей для внутренних источников теплоты.

Таким образом, получена простая аналитическая зависимость для расчета температурного поля в пластине при действии в ней внутренних источников теплоты.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Логинов B.C., Дорохов А.Р., Репкина Н.Ю. Приближенный метод расчета нестационарного температурного поля при малых числах Фурье // Письма в ЖТФ. - 1997. - Т. 23, вып. 1. - С. 22-25.

2. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов JIA Численное моделирование тепло- и массообмена. - М.: Наука, 1984. - 288 с.