Теплообмен и магнитная гидродинамика жидкости в сферическом слое. Часть 2 Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 550.362

doi: 10.21685/2072-3040-2024-2-5

Теплообмен и магнитная гидродинамика жидкости в сферическом слое. Часть 2

С. В. Соловьев1, В. Д. Власенко2

^Вычислительный центр Дальневосточного отделения Российской академии наук, Хабаровск, Россия 1 solovjovsv@rambler.ru, 2vlasenko@as.khb.ru

Аннотация. Актуальность и цели. Цель работы - численное моделирование нестационарного конвективного теплообмена электропроводной жидкости между двумя концентрическими сферами с учетом диссипации джоулева тепла, вязких, инерционных, подъемных и магнитных сил при малых значениях магнитного числа Рейнольд-са. Материалы и методы. Для решения задачи используется метод конечных элементов. В безразмерной форме задача в переменных (вихрь, функция тока, температура и магнитная индукция) решается в сферической системе координат с учетом симметрии по долготе. Результаты. Получены нестационарные температурные поля, поле функции тока, поле вихря, поля радиальной и азимутальной составляющих магнитной индукции и распределения локальных чисел Нуссельта в сферическом слое электропроводной жидкости для малых значений магнитного числа Рейнольдса. Выводы. Полученные в работе результаты могут быть применены при исследовании магнитогидродинамических и тепловых процессов и для разработки новых установок и приборов, создания новых методов и моделей, расширения понимания характера протекания магнитогидродинамических явлений с учетом тепломассообменных процессов.

Ключевые слова: магнитная гидродинамика, теплообмен, электропроводная жидкость, сферический слой, число Рейнольдса

Для цитирования: Соловьев С. В., Власенко В. Д. Теплообмен и магнитная гидродинамика жидкости в сферическом слое. Часть 2 // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2024. № 2. С. 47-62. doi: 10.21685/2072-3040-2024-2-5

Heat transfer and magnetic hydrodynamics of liquid in a spherical layer. Part 2

S.V. Solov'ev1, V.D. Vlasenko2

1,2Computing Center of Far Eastern Branch of the Russian Academy of Sciences, Khabarovsk, Russia 1 solovjovsv@rambler.ru, 2vlasenko@as.khb.ru

Abstract. Background. The purpose of the work is the numerical modeling of unsteady convective heat exchange of an electrically conductive fluid between two concentric spheres, taking into account the dissipation of Joule heat, viscous, inertial, lifting and magnetic forces at low values of the magnetic Reynolds number. Materials and methods. Foe solving the problem, the finite element method is used. In a dimensionless form, the problem in the variables vortex, stream function, temperature and magnetic induction is solved in a spherical coordinate system, taking into account symmetry in longitude. Results. Non-stationary temperature fields, a stream function field, a vortex field, fields of the radial and

© Соловьев С. В., Власенко В. Д., 2024. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

azimuthal components of magnetic induction and the distribution of local Nusselt numbers in a spherical layer of an electrically conductive liquid for small values of the magnetic Reynolds number were obtained. Conclusions. The results obtained in the work can be applied in the study of magnetohydrodynamic and thermal processes and their application for the development of new installations and instruments, the creation of new methods and models, and expanding the understanding of the nature of the occurrence of magnetohydro-dynamic phenomena taking into account heat and mass transfer processes.

Keywords: magnetic hydrodynamics, heat transfer, electrically conductive fluid, spherical layer, Reynolds number

For citation: Solov'ev S.V., Vlasenko V.D. Heat transfer and magnetic hydrodynamics of liquid in a spherical layer. Part 2. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2024;(2):47-62. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2024-2-5

Введение

Данное исследование и полученные результаты являются продолжением работ [1-10]. Постановка задачи и анализ влияния малых величин магнитного числа Рейнольдса Rem на теплообмен электропроводной жидкости (число гомохронности Но = 0,1) приведены в работе [6]. В данной работе при числе гомохронности Но = 1 и Но = 10 исследовано влияние малых магнитных чисел Рейнольдса на теплорегуляцию и структуру течения электропроводной жидкости, заключенной между двумя концентрическими изотермическими сферами. При выполнении расчетов использовали следующие значения критериев подобия: число Грасгофа Gr = 104, гидродинамическое число Рейнольдса Re = 1, число Пекле Pe = 1, параметр магнитного взаимодействия S = 1, число Гартманна G = 1, магнитное число Рейнольдса Rem = 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001. Внешний радиус сферического слоя относится к внутреннему радиусу в пропорции r2 = R2/R1 = 2/1 = 2.

Результаты

На рис. 1-5 показаны температурное поле, поле функций тока, поле вихря, поле магнитной индукции и распределение чисел Нуссельта при Но = 1 (считается, что влияния локальной и конвективной составляющих ускорения движения жидкости одинаковые) для следующих моментов времени: т = 0,2; т = 0,5; т = 1. Они показывают эволюцию теплообмена и магнитной гидродинамики в слое жидкости от исходного до квазистационарного режима.

На рис. 1 показаны результаты при Rem = 0,1. Теплообмен в жидкости происходит путем конвекции. В температурном поле на рис. 1,a (при т = 0,5 и т = 1) образуются тепловые плюмы, размеры которых растут со временем.

Температура изменяется в тонком пограничном тепловом слое около внутренней поверхности сферического слоя и в тепловых плюмах. Максимальное значение температуры жидкости $max = 1 (это значение одинаково для всех режимов при числе Но = 1).

Распределение локальных чисел Нуссельта на внутренней (красный цвет) и внешней (зеленый цвет) поверхности сферического слоя жидкости представлено на рис. 1,e. Интервалы изменения локальных и значения осред-ненных чисел Нуссельта следующие:

т = 0,2: Nux = 5,108; Nu2 = Nu 2 = 0; 2,877 < Nu1 < 5,574. т = 0,5: Ж j = 12,216; Ж 2 = 4,364; 2,337 < Nu1 < 15,180; 0,202 < Nu2 < 27,012. т = 1: Nu j = 13,667; Nu 2 = 5,728; 3,352 < Nu1 < 20,456; 0,086 < Nu2 < 15,700.

т = 0,2 т = 0,5 т = 1 т = 0,2 т = 0,5 т = 1

т = 0,2

т = 0,5 д)

т = 1

т = 0,2

т = 1

т = 0,5 е)

Рис. 1. Результаты для Квт = 0,1: температурное поле (а), поле функции тока (б), поле вихря (в), поля радиальной (г) и азимутальной (д) составляющих магнитной индукции, распределение чисел Нуссельта (е)

На внутренней поверхности сферического слоя интенсивность теплообмена больше, чем на внешней (такая тенденция сохраняется для всех режимов при Но = 1). При т = 0,5 в слое жидкости (рис. 1,6) образуются четыре конвективные ячейки: две в области полюсов и две в основной области течения жидкости (при т = 0,2 поле функции тока еще не сформировалось). Знаки величин функции тока от северного к южному полюсу изменяются в последовательности «+», «—», «+», «—». Знак плюс означает положительные значения функции тока (красный цвет), жидкость движется против часовой стрелки; знак минус — отрицательные значения функции тока (синий цвет), жидкость движется по часовой стрелке. При т =1 структура течения жидкости изменяется, в расчетной области образуются две крупномасштабные ячейки (рис. 1,6) — отрицательная в северном полушарии и положительная в южном. При т = 0,2 в области полюсов возникают два небольших вихря (рис. 1,в), а при т = 0,5 и т = 1 их число удваивается (рис. 1,в), масштаб увеличивается, а форма вихрей приобретает своеобразный вид. Знаки величин вихрей от северного полюса к южному изменяются в последовательности «+», «—», «+», «—» (рис. 1,в) (при т = 0,5 и т = 1). Максимальные значения функций тока и вихря: |ymax| = 9,49, |wmax| = 2,69 1 02. На рис. 1,г,д представлены соответственно поля радиальной и азимутальной составляющих магнитной индукции. Для т = 0,2 (рис. 1,г) в жидкости возникают две «магнитные ячейки» радиальной составляющей магнитной индукции — отрицательная в северном полушарии и положительная в южном. Для т = 0,5 и т = 1 (рис. 1,г) у внутренней поверхности сферического слоя образуются две мелкомасштабные «магнитные ячейки» — положительная и отрицательная, а у внешней поверхности две крупномасштабные — отрицательная и положительная. На рис. 1,д показано, что значения азимутальной составляющей магнитной индукции положительные у внешней поверхности слоя и отрицательные у внутренней поверхности. При т = 0,5 и т =1 кривизна изолиний азимутальной составляющей магнитной индукции в области экватора возрастает (рис. 1,д). Максимальные значения радиальной и азимутальной составляющих магнитной индукции |5rmax| = 9,57-10-4; |5gmax| = 10-2 (оказалось, что значение |5emax| = 10-2 сохраняется для всех результатов, полученных при Но = 1 и Но = 10).

На рис. 2 представлены результаты для Rem = 0,01.

Проведя анализ результатов на рис. 2, можно констатировать, что уменьшение магнитного числа Рейнольдса приводит к изменению температурного поля, поля функции тока, поля вихря, распределения чисел Нуссель-та, особенно на начальном этапе теплообмена, если сравнить с результатами на рис. 1. Поле радиальной составляющей магнитной индукции (рис. 2,г) изменяется на всем временном интервале по сравнению с результатами на рис. 1,г. Поля азимутальной составляющей магнитной индукции для т = 0,2; т = 0,5; т = 1 принимают вид, показанный на рис. 1,д |^max| = 9,55;

|wmax| = 2,61102. Числа Нуссельта: т = 0,2: Nj = 7,378; Nu 2 = 0,308; 1,214 < Nu1 < 9,311; 0 < Nu2 < 13,442.

т = 0,5: Nu J = 12,633; Nu 2 = 4,562; 2,472 < Nu1 < 15,957; 0,151 < Nu2 < 25,969. т = 1: Nu 1 = 13,695; Nu 2 = 5,790; 3,341 < Nu1 < 20,573; 0,092 < Nu2 < 15,839.

т = 0,2

т = 0,5 в)

т = 1 т = 0,2

т = 0,5

г)

т = 1

т = 0,2

т = 0,5 д)

т = 1

Рис. 2. Результаты для Rem = 0,01: температурное поле (а), поле функции тока (б), поле вихря (в), поле радиальной составляющей магнитной индукции (г), распределение чисел Нуссельта (д)

На рис. 3 представлены результаты для Rem = 0,001. Небольшие изменения температурного поля, полей функций тока, вихря и радиальной составляющей магнитной индукции (рис. 3,а,б,в,г) (при т = 0,2) по сравнению с соответствующими результатами, показанными на рис. 2,а,б,в,г, происходят на начальной стадии теплообмена. Максимальная функция тока равна |ymax| = 9,63, вихря - |wmax| = 3,63 102. Таким образом, поле радиальной

составляющей магнитной индукции (рис. 3,г) и максимальное значение |Br max| =

= 4,83-10-4 сохраняются для режимов при Rem = 0,0001, Rem = 0,00001 и Но = 1.

т = 0,2 т = 0,5

т = 1

т = 0,2 т = 0,5 б)

т = 1

т = 0,2

т = 0,5 в)

т = 1 т = 0,2; т = 0,5; т = 1

г)

т = 0,2

т = 0,5 д)

т = 1

Рис. 3. Результаты для Квт = 0,001: температурное поле (а), поле функции тока (б), поле вихря (в), поле радиальной составляющей магнитной индукции (г), распределение чисел Нуссельта (д)

Числа Нуссельта:

т = 0,2: Ыи1 = 9,869; N 2 = 2,770; 1,449 < Ыи1 < 12,708; 0,005 < Ыи2 < 39,452. т = 0,5: N, = 12,956; Ыи2 = 4,677; 2,713 < Ыщ < 16,659; 0,165 < Ыи2 < 23,794.

т = 1: Nu, = 13,737; Nu2 = 5,887; 3,327 < Nu1 < 20,715; 0,171 < Nu2 < 16,026.

На рис. 4 представлены результаты для Rem = 0,0001. Результаты, показанные на рис. 4, имеют небольшие различия по сравнению с результатами на рис. 3. Максимальные значения функций тока и вихря: |ymax| = 9,89, |wmax| = 3,38-102. Числа Нуссельта:

т = 0,2: Nuj = 11,006; Nu2 = 4,138; 1,902 < Nu1 < 12,532; 0,042 < Nu2 < 34,857. 52

т = 0,5: Nuj = 13,291; Nu2 = 4,916; 3,592 < Nu1 < 18,028; 0,132 < Nu2 < 14,953. т = 1: Nu 1 = 13,842; Nu 2 = 6,340; 3,253 < Nu1 < 21,018; 0,200 < Nu2 < 16,792.

т = 0,2 т = 0,5 т = 1 т = 0,2 т = 0,5 т = 1

«) 6)

т = 0,2 т = 0,5 т = 1

в)

г)

Рис. 4. Результаты для Rem = 0,0001: температурное поле (а), поле функции тока (б), поле вихря (в), распределение чисел Нуссельта (г)

На рис. 5 представлены результаты для Rem = 0,00001. При уменьшении числа Rem на порядок происходит существенная эволюция температурного поля, поля функции тока, поля вихря и распределений чисел Нуссельта (рис. 5) по сравнению с результатами на рис. 4. Поле функции тока показано двумя крупномасштабными ячейками — положительной в южном полушарии и отрицательной в северном полушарии (рис. 5,б). При т = 0,2 в слое жидкости (рис. 5,в) возникают четыре вихря (знаки величин вихрей от северного полюса к южному изменяются в последовательности «+», «-», «+», «—»), а при т = 0,5 и т =1 (рис. 5,в) в расчетной области два крупномасштабных вихря («—», «+»). Изменение полей функции тока и вихря

происходит вследствие увеличения вклада джоулевой диссипации тепла по сравнению с результатами на рис. 4,б,в. Максимальные значения функций тока и вихря: |^тах| = 1,1510, |ютах| = 2,06 1 02. Числа Нуссельта:

т = 0,2: Ыи 1 = 12,583; Ыи2 = 5,183; 4,141 < Ыи1 < 15,658; 0,182 < Ыи2 < 15,326.

т = 0,5: = 12,450; Ыи2 = 7,016; 3,690 < Ыи1 < 16,935; 0,129 < Ыи2 < 15,572.

т = 1: Ыи 1 = 13,371; Ыи2 = 9,160; 3,338 < Ыи1 < 24,298; 0,238 < Ыи2 < 17,999.

т = 0,2

т = 0,5 т = 1 т = 0,2 т = 0,5

а) б)

ш

т = 1

6:

т = 0,2

т = 0,5 т = 1

т = 0,2

т = 0,5

г)

т = 1

Рис. 5. Результаты для Явт = 0,00001: температурное поле (а), поле функции тока (б), поле вихря (в), распределение чисел Нуссельта (г)

На рис. 6-10 представлены исследования для числа гомохронности Но = 10, т.е. влияние конвективной составляющей ускорения движения жидкости в 10 раз больше влияния локальной составляющей. В этом случае процесс теплообмена стремится к стационарному состоянию быстрее, чем при

Но = 1, поэтому рассмотрены меньшие значения моментов времени: т = 0,02; 0,03; 0,04, позволяющие проследить эволюцию теплообмена. На рис. 6 показаны результаты для Rem = 0,1.

т = 0,02 т = 0,03 т = 0,04 т = 0,02 т = 0,03 т = 0,04

т = 0,02 т = 0,03 т = 0,04 т = 0,02 т = 0,03 т = 0,04

т = 0,02

т = 0,03 д)

т = 0,04

т = 0,02

т = 0,03 е)

т = 0,04

Рис. 6. Результаты для Квт = 0,1: температурное поле (а), поле функции тока (б), поле вихря (в), поля радиальной (г) и азимутальной (д) составляющих магнитной индукции, распределение чисел Нуссельта (е)

т = 0,02 т = 0,03 т = 0,04 т = 0,02 т = 0,03 т = 0,04 а) б)

Г/'

т = 0,02;

т = 0,02 т = 0,03 т = 0,04 т = 0,02 т = 0,03 т = 0,04 т = 0,03;

т = 0,04

в) г) д)

т = 0,02

т = 0,03 е)

т = 0,04

Рис. 7. Результаты для Rem = 0,01: температурное поле (а), поле функции тока (б), поле вихря (в), поля радиальной (г) и азимутальной (д) составляющих магнитной индукции, распределение чисел Нуссельта (е)

Моделирование показывает, что при увеличении числа гомохронности на порядок происходят значительные изменения температурного поля, поля вихря, поля радиальной составляющей магнитной индукции (при т = 0,02) и распределения чисел Нуссельта (при т = 0,02) (рис. 6,а,б,в,г,д) по сравнению результатами на рис. 1 при Но = 1. Максимальное значение температуры жидкости $max = 1 (сохраняется для Rem = 0,01-0,0001 при Но = 10). Максимальные значения функции тока, вихря и радиальной составляющей магнитной индукции: IVmaxl = 8,29, |®max| = 2,75-102, |ßrmax| = 9,72-Ю-4.

Числа Нуссельта:

т = 0,02: Nuj = 12,273; Nu 2 = 2,892; 2,462 < Nu1 < 14,549; 0,053 < Nu2 < 25,110.

т = 0,03: NuJ = 12,721; Nu2 = 3,813; 2,623 < Nu1 < 15,809; 0,117 < Nu2 < 24,308. т = 0,04: Nu j = 12,903; Nu 2 = 4,250; 3,073 < Nu1 < 16,620; 0,205 < Nu2 < 19,911.

т = 0,02 т = 0,03 т = 0,04 т = 0,02; т = 0,03; т = 0,04

в) г)

д)

Рис. 8. Результаты для Rem = 0,001: температурное поле (а), поле функции тока (б), поле вихря (в), поле радиальной (г) составляющей магнитной индукции, распределение чисел Нуссельта (д)

Усиление теплообмена на внутренней поверхности слоя больше, чем на внешней (это сохраняется для Rem = 0,01-0,0001 при Но = 10).

На рис. 7 представлены результаты для Rem = 0,01. Представленные результаты не изменились по сравнению с рис. 6. Исключение составляют поля радиальной и азимутальной составляющих магнитной индукции (рис. 7,г,д).

Максимальные значения функции тока, вихря и радиальной составляющей магнитной индукции: |^max| = 8,31, |wmax| = 2,73 102, |5rmax| = 4,60-Ю-4.

4J00

т = 0,02 т = 0,03 т = 0,04 т = 0,02 т = 0,03 т = 0,04 а)

т = 0,02 т = 0,03 т = 0,04

в)

т = 0,02

т = 0,03 г)

т = 0,04

Рис. 9. Результаты для Rem = 0,0001: температурное поле (а), поле функции тока (б), поле вихря (в), распределение чисел Нуссельта (г)

Числа Нуссельта:

т = 0,02: Nu 1 = 12,276; Nu 2 = 2,903; 2,481 < Nu1 < 14,564; 0,059 < Nu2 < 24,839. т = 0,03: Nuj = 12,728; Nu2 = 3,828; 2,652 < Nu1 < 15,838; 0,114 < Nu2 < 23,954. т = 0,04: Nuj = 12,915; Nu2 = 4,270; 3,114 < Nu1 < 16,671; 0,222 < Nu2 < 19,525. На рис. 8 показаны результаты для Rem = 0,001.

На этих графиках имеют место небольшие изменения температурного поля, поля функции тока, поля вихря, поля радиальной составляющей магнитной индукции и распределений чисел Нуссельта (рис. 8) по сравнению с результатами на рис. 7,а,б,в,г,е. Числа Нуссельта:

т = 0,02: Nu 1 = 12,327; Nu 2 = 3,025; 2,680 < Nu1 < 14,759; 0,075 < Nu2 < 22,238. т = 0,03: Nu 1 = 12,814; Nu2 = 3,994; 2,949 < Nu1 < 16,172; 0,134 < Nu2 < 20,670. 58

т = 0,04: Nuj = 13,046; Nu 2 = 4,483; 3,505 < Nu1 < 17,229; 0,246 < Nu2 < 16,191. |¥max| = 8,49; |®max| = 2,52-102; \Brmax\ = 4,81-Ют4.

т = 0,02 т = 0,03 т = 0,04 т = 0,02 т = 0,03 т = 0,04

d)

Рис. 10. Результаты для Rem = 0,00001: температурное поле (а), поле функции тока (б), поле вихря (в), распределение чисел Нуссельта (г)

На рис. 9 представлены результаты для Rem = 0,0001. Значительно большие изменения температурного поля, поля функции тока и поля вихря (рис. 9,а,б,в) по сравнению с результатами на рис. 8,а,б,в. Максимальные значения функции тока, вихря и радиальной составляющей магнитной индукции: |^max| = 9,55, |wmax| = 1,92 1 02, |Brmax| = 4,83-Ю-4. Числа Нуссельта:

т = 0,02: Nu j = 13,185; Nu 2 = 4,510; 3,588 < Nu1 < 17,773; 0,113 < Nu2 < 12,348. т = 0,03: Nu j = 13,756; Nu 2 = 5,893; 3,288 < Nu1 < 19,949; 0,277 < Nu2 < 15,575.

т = 0,04: Nu j = 13,892; Nu 2 = 6,727; 3,119 < Nu1 < 20,916; 0,286 < Nu2 < 17,250.

На рис. 10 показаны результаты при Rem = 0,00001.

При уменьшении величины Rem происходит существенная эволюция температурного поля, поля вихря (в сферическом слое жидкости образуются два крупномасштабных вихря: положительный в южном и отрицательный в северном полушарии) и распределений чисел Нуссельта (рис. 10,а,в,г) по сравнению с результатами на рис. 9,а,в,г.

Числа Нуссельта:

т = 0,02: Nu, = 12,731; Nu 2 = 18,770;

-0,926 < Nu1 < 37,159; 0,249 < Nu2 < 36,424. т = 0,03: Nux = 12,559; Nu 2 = 24,619;

-1,362 < Nu1 < 38,392; 0,332 < Nu2 < 40,901. т = 0,04: Nux = 8,913; Nu 2 = 26,690;

-2,264 < Nu1 < 39,813; 0,596 < Nu2 < 36,669.

Вклад диссипации джоулева тепла в теплообмен жидкости увеличивается. В результате этого интенсивность теплообмена на внешней поверхности слоя становится значительно больше, чем на внутренней поверхности, а температура жидкости повышается до значения $max = 1,393. Максимальные значения функции тока, вихря и радиальной составляющей магнитной индукции: |ymax| = 1,21-10, Kax| = 4,85 102, |ЯГПИх| = 4,84-10-4.

Заключение

Установлено, что с увеличением числа гомохронности интенсивность конвективного теплообмена в слое жидкости увеличивается. Если уменьшать значения магнитного числа Рейнольдса и увеличивать числа гомохронности, то с учетом диссипации джоулева тепла теплообмен в жидкости увеличивается и в результате значительно изменяются магнитогидродинамические и тепловые поля. Максимальные значения функции тока монотонно возрастают с уменьшением магнитного числа Рейнольдса как для режимов при Но = 1, так и при Но = 10. Для числа гомохронности Но = 1 и Rem = 0,1-0,00001 и для Но = 10 и Rem = 0,1-0,0001 интенсивность теплообмена на внутренней поверхности слоя больше, чем на внешней, максимальная температура жидкости $max = 1. При Но = 10 и Rem = 0,00001 интенсивность теплообмена на внешней поверхности слоя становится значительно больше, чем на внутренней, а максимальная температура жидкости увеличивается до значения $max = 1,393. Максимальная величина азимутальной составляющей магнитной

индукции сохраняется для всех рассмотренных режимов |Bgmax| = 10-2.

Полученные в работе результаты могут быть применены при исследовании магнитогидродинамических и тепловых процессов и применении их для разработки новых установок и приборов (задание тепло- и электрофизических свойств жидкости, геометрии слоя, максимальной тепловой интенсив-

ности на заданной поверхности), создании новых методов и моделей, расширении понимания характера протекания магнитогидродинамических явлений

с учетом тепломассообменных процессов.

Список литературы

1. Мс Bain G. D. Convection in a horizontally heated sphere // Journal of Fluid Mechanics. 2001. Vol. 438. P. 1-10.

2. Ряжских В. И., Слюсарев М. И., Богер А. А., Зайцев В. А. Синтез математической модели естественной конвекции вязкой несжимаемой жидкости в сферической емкости // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2003. № 7-3. С. 14-17.

3. Ряжских В. И., Слюсарев М. И., Зайцев В. А. Анализ свободной термоконвекции в сферических резервуарах при граничных условиях второго рода // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2004. № 7-4. С. 5-10.

4. Bozhko A. A., Kuchukova M. T, Putin G. F. The influence of external uniform magnetic field on convection in magnetic fluid filling a spherical cavity // Magnetohydrody-namics. 2013. Vol. 49, № 1. P. 161-168.

5. Кучукова М. Т. Влияние магнитного поля на конвекцию магнитной жидкости в шаровой полости // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2011. № 5 (9). С. 118-121.

6. Соловьев С. В. Теплообмен и магнитная гидродинамика жидкости в сферическом слое. Часть 1 // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2023. № 3. С. 31-45.

7. Соловьев С. В. Исследование нестационарного теплообмена электропроводной жидкости в сферическом слое // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2018. № 4. С. 20-32.

8. Solov'ev S. V. Heat exchange and magnetic hydrodynamics of a liquid in a spherical layer at small magnetic Reynolds numbers // Journal of Engineering Physics and Ther-mophysics. 2022. Vol. 95, № 6. P. 1406-1420.

9. Solov'ev S. V. Influence of the Homochronism Number of the Liquid in a Spherical Layer on the Heat Exchange in it and its Magnetic Hydrodynamics // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2020. Vol. 93, № 3. Р. 567-575.

10. Solov'ev S. V. Simulation of Convective Heat Exchange in the Electrically Conducting Liquid in a Spherical Cavity. Algorithm of Solution // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2015. Vol. 88, iss. 6. P. 1416-1431.

References

1. Ms Bain G.D. Convection in a horizontally heated sphere. Journal of Fluid Mechanics. 2001;438:1-10.

2. Ryazhskikh V.I., Slyusarev M.I., Boger A.A., Zaytsev V.A. Synthesis of a mathematical model of natural convection of a viscous incompressible fluid in a spherical container. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta = Bulletin of Voronezh State Technical University. 2003;(7-3):14-17. (In Russ.)

3. Ryazhskikh V.I., Slyusarev M.I., Zaytsev V.A. Analysis of free thermal convection in spherical tanks under boundary conditions of the second kind. Vestnik Vo-ronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta = Bulletin of Voronezh State Technical University. 2004;(7-4):5-10. (In Russ.)

4. Bozhko A.A., Kuchukova M.T, Putin G.F. The influence of external uniform magnetic field on convection in magnetic fluid filling a spherical cavity. Magnetohydrodynamics. 2013;49(1):161-168.

5. Kuchukova M.T. Effect of magnetic field on convection of magnetic fluid in a spherical cavity. Vestnik Permskogo universiteta. Matematika. Mekhanika. Informatika = Bulletin of Perm University. Mathematics. Mechanics. Informatics. 2011;(5):118-121. (In Russ.)

6. Solov'ev S.V. Heat transfer and magnetic hydrodynamics of liquid in a spherical layer. Part 1. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2023;(3):31-45. (In Russ.)

7. Solov'ev S.V. Study of unsteady heat transfer of an electrically conductive liquid in a spherical layer. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2018;(4):20-32. (In Russ.)

8. Solov'ev S.V. Heat exchange and magnetic hydrodynamics of a liquid in a spherical layer at small magnetic Reynolds numbers. Journal of Engineering Physics and Ther-mophysics. 2022;95(6): 1406-1420.

9. Solov'ev S.V. Influence of the Homochronism Number of the Liquid in a Spherical Layer on the Heat Exchange in it and its Magnetic Hydrodynamics. Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2020;93(3):567-575.

10. Solov'ev S.V. Simulation of Convective Heat Exchange in the Electrically Conducting Liquid in a Spherical Cavity. Algorithm of Solution. Journal of Engineering Physics and Thermophysics. 2015;88(6):1416-1431.

Информация об авторах / Information about the authors

Сергей Викторович Соловьев доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник, Вычислительный центр Дальневосточного отделения Российской академии наук (Россия, г. Хабаровск, ул. Ким Ю Чена, 65)

E-mail: solovjovsv@rambler.ru

Sergey V. Solov'ev

Doctor of physical and mathematical

sciences, professor, leading researcher,

Computing Center of Far Eastern Branch

of the Russian Academy of Sciences

(65 Kim Yu Chen street, Khabarovsk,

Russia)

Виктор Дмитриевич Власенко

кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник, Вычислительный центр Дальневосточного отделения Российской академии наук (Россия, г. Хабаровск, ул. Ким Ю Чена, 65)

E-mail: vlasenko@as.khb.ru

Victor D. Vlasenko

Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, senior researcher, Computing Center of Far Eastern Branch of the Russian Academy of Sciences (65 Kim Yu Chen street, Khabarovsk, Russia)

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 10.10.2023

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 26.12.2023 Принята к публикации / Accepted 22.01.2024