CC BY
55
УДК 539.3
П.А. Белов
ОАО «Московский машиностроительный экспериментальный завод -композиционные технологии», Москва, Россия
ТЕОРИЯ СРЕД С СОХРАНЯЮЩИМИСЯ ДИСЛОКАЦИЯМИ: ОБЩАЯ И ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ МЕЖФАЗНОГО СЛОЯ
Для моделей сред с полями сохраняющихся дислокаций дается формулировка и доказательство теорем, устанавливающих эквивалентность градиентных моделей и модели классической неоднородной среды. Вводится тензор модулей эквивалентной классической неоднородной среды в виде функции компонентов тензора дислокационной поврежденности и компонентов тензоров модулей, отражающих дислокационные свойства среды. Устанавливается, что области, в которых этот тензор существенно зависит от координат, локализуются вокруг поверхностей. линий и точек возмущения. Такие области трактуются как межфазный слой.
Ключевые слова: механика дефектных сред, поля сохраняющихся дислокаций, межфаз-ный слой, эффективные свойства композитов, неклассические упругие характеристики.
P.A. Belov
JSC «Moscow Experimental Machine building Plant - Composite Technologies»,
Moscow, Russia
THE THEORY OF MEDIA WITH CONSERVED DISLOCATIONS: GENERAL AND APPLIED THEORIES OF INTERFACE LAYER
This work presents the formulation and the proof of the theorems, establishing equivalence of gradient models and classical model of the non-uniform media, for models of media with fields of conserved dislocations. Tensor of moduli of the equivalent classical non-uniform media is presented in the form of obvious function of components of tensor of dislocation damaging and components of tensors of moduli, reflecting dislocation properties of media. It is shown, that the area, where the this tensor essentially depends on coordinates, is localized around of surfaces, lines and points of indignation. Such area is treatment as the interphase layer.
Key words: damaged media mechanics, fields of conserved dislocations, interface layer, effective properties of composites, nonclassical moduli.
1. Определение тензора поврежденности
Рассмотрим лагранжиан L «простейшей» модели сред с сохраняющимися дислокациями [1-5]:
70 дЯ:
Здесь кі - вектор перемещении, аі; —-------------тензор стесненной дистор-
дху
сии, Щ - тензор свободной дисторсии, Еу - тензор дислокации
Де Вита, С?П1т - тензоры модулеИ дефектной среды. Введем тензор дислокационной поврежденности Ху, такоИ, что
В результате модель сред с сохраняющимися дислокациями (1) приведена к виду модели классической неоднородной среды (3). В неИ тензор модулеИ СуПт становится тензорным полем, отличным от постоянного поля там, где существенным является вклад составляющих, содержащих Ху. Такими областями являются окрестности поверхностей, линиИ и точек возмущения. Эти области можно трактовать как некоторые межфазные слои с переменными по координатам упругими своИствами, что и отражено в структуре тензорного поля Супт. Переменные по координатам упругие своИства, определяемые концентра-циеИ сохраняющихся дислокациИ, в областях таких межфазных слоев можно описать с помощью двух алгоритмов. ПервыИ: решение связан-ноИ задачи механики сред с сохраняющимися дислокациями (1) с ис-
(2)
Подставляя (2) в лагранжиан (1), получим
(3)
комыми полями Щ и dy . Второй: пошаговый пересчет компонентов тензорного поля Супт в рамках итерационной процедуры последовательного интегрирования подсистем уравнений относительно и dfj .
2. Определение модели поврежденного межфазного слоя
Представим лагранжиан (3) модели эквивалентной неоднородной классической среды в следующем виде:
дЩ дЩп
Ь = А - 2 ДО С™ - у Щ СттЛ
дх] дхт
у ДО
дЩ_ дЩп дх] дхт
dV---------
2У
(4)
ndV.
дх] дхт
Введем обозначения:
Еупт ~ у {{{ Сщт^,
у
1 ДО
дЩ_ дЩп дх] дхт
(5)
dV.
Обратим внимание на то, что компоненты тензора эффективных модулей Еупт, с одной стороны, не зависят от координат, а с другой
стороны, являются функционалами тензорного поля Ху в соответствии
с (3) и (5). Пренебрегая в лагранжиане (4) первым слагаемым потенциальной энергии, получим лагранжиан теории межфазного слоя
Ь = А — 2
2 ДО Е
дЩ_ дЩп
цпт л л дху дхт
dV.
(6)
Соответствующее уравнение Эйлера выглядит следующим образом:
ьь ^ДО
Е
д 2 Щп + РГ
ппт л л
дхудхт
г
Рр - е п
I 1/пт У л
V дхт У
дЩ
\
1
- 2 8 ^ЬЕ упт = 0.
Полученное вариационное уравнение распадается на последовательность двух краевых задач.
Первая краевая задача
I
Е,
д 2 к" -+рУ
упт Л Л і
дхудхт )
ЬЯ^У+Л р-^ - Еі
дЯп
ЬЯ^ — 0 (7)
т )
сводится к краевой задаче для однородной эффективной среды, если заданы или вычислены эффективные модули Еупт. Как уже отмечалось выше, эффективные модули являются функционалами независимого тензорного поля Ху и определяются из второй краевой задачи.
2
с12 о + с22 о / — с33 8 э э
с удт упт рідт упт1 рі сabqd уnmэbjgэdmf
+
діа;
Введем обозначения:
С)? о
= иЦ, С 2? 8;
,—и
22
С33 8 Э Э _ иуз (8)
уqm'J упт qn^ '-'pjqm'Jуnm qnp і’ сabqd упт bjg dmf иqnfaig • (8)
33
Тогда вторая краевая задача принимает следующий окончательный вид:
д2і Л
пт
Ш Г)2+и?тпі,т —иЗЗт Ы^У+<^{и\,
дхк дх1 )
дгп
’33 -птпк — 0. (9)
і/кпті
дх
Эта краевая задача дает возможность определить поврежденность Ху и механические и геометрические свойства межфазных слоев повреждений, если заданы или вычислены тензоры энергий
и12 и22 и33
У упт’ укпт1 •
Для изолированного тела, без адгезионных свойств поверхности, краевая задача (9) сводится к алгебраической:
и12 +у22 х _ 0
іу упт пт
и_22у 22 ь Ь
иpqiju упт ~ pn^qm
х _—и~22и12
pq pqlj •
Это решение определяет единственный макроэффект в дефектных средах - переход от тензора супермодулей С]^Г1т к тензору «повреЖденных» модулей Етт _ Сщт :
С _____С*! 1 2^12 ТТ_22 тт 12 . с22 тт-22 тт 12,тт—22 тт 12
с1упт~ с1упт 2С1удтидпаЬиаЬ срудтиргса^сЗ,идпаЬиаЬ'
Межфазные слои повреждений, как области специфических краевых эффектов, могут появиться только при формулировке контактных задач.
В соответствии с (9) контактная задача для межфазного слоя принимает вид
/12 +и22 Х _и33 дгг
1у 1упт пт 1укпт1
ш
дхк дх1)
Ы:ЛУ +
У
+ ІЇ и-ЗЗтЬг^р +ІЇ икт^(+пк)Ь,^Р+
Р дх1 С дх1
+ГГГ|У/12 +и22 г —и33
.).№ у (/пт пт іукпті
д 2г
пт
п' V дхк дхі)
Ьг^У+
У
+ Я и,3т 'дГ^ЩЫу<1Е +Ц иЗпт, ддппт(_пк )у _0.
дх1 с дх1
Индекс I относится к первому телу, II - ко второму, - к сво-
бодной поверхности первого тела, 11^ - к свободной поверхности второго, С - к поверхности контакта. Переменные, входящие в подынтегральные выражения, не снабжены соответствующими индексами, чтобы не загромождать эти выражения. Энергии контакта для первого и второго тела должны быть записаны для разных сторон поверхности контакта. Единичные векторы нормали к ним коллинеарны, но имеют разные знаки. Стороной с положительным направлением выбрана сторона поверхности контакта первого тела с нормалью (+%) , тогда сторона поверхности контакта второго тела будет иметь нормаль, противоположную по знаку, и обозначена как (_пк) . Пусть Ху для каждого
тела удовлетворяет «статическим» граничным условиям на свободных от контакта поверхностях. Выбор этих условий обусловлен тем, что нет возможности задавать/управлять поврежденностью поверхности,
і
если поверхности контакта адгезионно пассивны [6]. Поэтому ЪХ у Ф 0.
С учетом этого вариационное уравнение для межфазного слоя повреж-денности принимает вид
Если варьируемые величины при переходе через поверхность контакта не имеют скачка, условия контакта имеют вид
Вариационное уравнение для (6) распадается на два: вариационное уравнение классической эквивалентной однородной среды с эффективным тензором модулей (7) и вариационное уравнение межфаз-ного слоя поврежденности (9). Искомыми функциями в первой из перечисленных моделей являются компоненты вектора перемещений Щ,
а параметрами - компоненты тензора эффективных модулей Еупт , являющиеся функционалами компонентов тензора дислокационной поврежденности Ху . И наоборот, искомыми функциями во второй из перечисленных моделей являются компоненты тензора дислокационной поврежденности Ху, а параметрами - компоненты тензоров энергий 12 22 33
и у , иуупт, и уукпт1, являющиеся функционалами компонентов вектора
перемещений Я .
Для эквивалентной среды имеет место теорема Клапейрона
(10)
(Х у )1 (Х у )11 _ °-
ёУ _ 0 или и _ А/2.
(11)
Теорема Клапейрона (11) позволяет из (6), при поле перемещений, удовлетворяющем (7), сформулировать лагранжиан для межфаз-ного слоя, из которого следует вариационное уравнение (9)
т _1 ГГI" Е дЯп Я ёу _1 Е р у _
т 2 Еут ^х дх ёУ 2 Ечпт чптУ
1 ( т 7 а * ^ (12)
_ 1 ГГГ I Г11 Р + 2Ц12Х + И22 Х 1 +1/33 __!Ш_ ёу
2 «Ш I упт^упт ^ у 1гу ' ^ 1упт11у1пт' ^ гукпт! *х *х *
V к I )
Заметим, что первое слагаемое С)^1гт&упт в данной постановке
можно отбросить, так как при заданных перемещениях вариация этого слагаемого обращается в ноль в силу Ьгупт _ 0.
3. Прикладная теория межфазного слоя
Вариационное уравнение (9) и соответствующий ему лагранжиан (12) приводят в общем случае к системе девяти уравнений второго порядка и соответствующей краевой задаче, решение которой является достаточно сложным. Поэтому представляется целесообразным предложить упрощенную, прикладную, модель, содержащую меньшее количество неизвестных и меньшее количество физических параметров.
Первая цель достигается введением векторного потенциала для тензора дислокационной поврежденности:
С»
Лагранжиан (12) при этом принимает вид
(и22 дц_ +и33 д\ дX Л
и .упт л л и укпт! л л л л
V дху т дху дхк т I )
ёУ. (14)
Обозначим и у пу _ — Р*. Тогда с точностью до знака лагранжиан
(14) будет совпадать с лагранжианом градиентной модели Тупина [2], если трактовать вектор-потенциал Х как вектор дополнительных пере-
22 33
мещений в межфазном слое, а тензоры энергии и упт, и укппг1 как соответствующие тензоры модулей межфазного слоя.
L_4JP!,,dF - i JU
1TJ 22 ^ + U33 д2*! д X Л
U ijnm л л U ijknml л л л л
V dXj m dxj dxk XmPXl )
dV. (15)
Специфика данной постановки заключается в том, что и «внеш-
t 22 33
няя нагрузка» Pi , и «тензоры модулей» Ujnm ,Uijknmi межфазного слоя
зависят от деформированного состояния тела в целом &ynm (5), а также
от физических параметров дефектной среды фазы - тензоров модулей
^12 с 22 с Cijnm, Cijnm, Cijnm •
Вторая цель достигается введением «гипотезы пропорционально-
12 33 22
сти» тенз°р°в Cjnm, Cjnm тензору С ijnm .
с12 kC 22 с 33 h2 С 22 (16)
Cijnm~kCijnm Cijnm~ Cijnm' (16)
Таким образом, физические свойства межфазного слоя для каждой фазы определяются пятью параметрами: тремя компонентами изо-
22
тропного тензора Cijnm и введенными параметрами k, h , вместо девя-
12 22 33
ти параметров - компонентов тензоров Cjnm, Cjnm, Cjnm. Таким образом, показано, что механические свойства межфазного слоя относятся
12 22 33
к разным объектам (тензорам Cjnm, Cjnm, Cjnm ) и не могут быть объединены. Межфазный слой для каждой фазы является изотропным неклассическим объектом, обладающим неклассическими механическими свойствами, которые в общем случае характеризуются девятью параметрами, а в приближенном (прикладном) варианте - пятью.
Библиографический список
1. Лурье С.А., Белов П.А. Теория сред с сохраняющимися дислокациями. Частные случаи: среды Коссера и Аэро-Кувшинского, пористые среды, среды с «двойникованием» / Современные проблемы механики гетерогенных сред: сб. тр. конф.; Ин-т прикл. механики РАН. -М., 2005. - С. 235-268.
2. Lurie S.A., Belov P.A. Gradient theory of media with conserved dislocations: application to microstructure materials. BOOK series «Advances in Mechanics and Mathematics». Generalized Continua. Springer. -N. Y., 2010.
3. Lurie S., Belov P., Tuchkova N. The Application of the multiscale models for description of the dispersed composites // Int. J. Comp Mater Sci, A. - 2005. - Vol. 36(2). - P. 145-152.
4. Interphase layer theory and application in the mechanics of composite materials / S.A. Lurie, P.A. Belov, D.B. Volkov-Bogorodsky, N.P. Tuchkova // J. Mat. Sci. - 2006. - 41(20). - P. 6693-6707.
5. Eshelby’s inclusion problem in the gradient theory of elasticity. Applications to composite materials / S. Lurie, D. Volkov-Bogorodsky, A. Leontiev, E. Aifantis // International Journal of Engineering Science. - 2011. -Vol. 49. - P. 1517-1525.
6. Белов П.А., Лурье С.А. Континуальная теория адгезионных взаимодействий поврежденных сред // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2009. - Т. 15, № 4. - С. 610-629.
References
1. Lurie S.A., Belov P.A. The theory of continuums with conserved dislocations. Particular cases: Cosserat and Aero-Kuvshinsky continuums, continuums with porous and twinning [Teorija sred s sohranjajuwimisja dis-lokacijami. Chastnye sluchai: sredy Kossera i Ajero-Kuvshinskogo, poristye sredy, sredy s "dvojnikovaniem"]. The collection of works of conference «Modern problems of mechanics of heterogeneous environments», 2005, Institute of Applied Mechanics of Russian Academy of Sciences, pp. 235-268.
2. Lurie S.A., Belov P.A. Gradient theory of media with conserved dislocations: application to microstruc-tured materials // One hundred years after the Cosserats. Series: Advances in Mechanics and Mathematics. 2010. Vol. 21. Maugin, G.A., Metrikine, A.V. (Eds.).1st Ed. Springer.pp. 223232.
3. Lurie S., Belov P., Tuchkova N. The Application of the multiscale models for description of the dispersed composites // Int. J. Comp Mater Sci, A. 2005. Vol. 36(2). 145-152.
4. Lurie S.A., Belov P.A., Volkov-Bogorodsky D.B., Tuchkova N.P. Interphase layer theory and application in the mechanics of composite materials // J. Mat. Sci. 2006. 41(20). P. 6693-6707.
5. Lurie S., Volkov-Bogorodsky D., Leontiev A., Aifantis E. Eshelby’s inclusion problem in the gradient theory of elasticity. Applications to composite materials // International Journal of Engineering Science. 2011. Vol. 49. Р. 1517-1525.
6. Belov P.A., Lurie S.A. The theory of adhesive interactions of the damaged continuums [Kontinual’naja teorija adgezionnyh vzaimodejstvij povrezhdennyh sred] // Mechanics of composite materials and designs. 2009. Vol. 15. No. 4. Р. 610-629.
Об авторах
Белов Петр Анатольевич (Москва, Россия) - кандидат физикоматематических наук, начальник отдела прочности ОАО «Московский машиностроительный экспериментальный завод - композиционные технологии» гос. концерна «РосТехнологии» (г. Москва, Магистральный проезд, д. 9., e-mail: [email protected]).
About the authors
Belov Petr Anatolevich (Moscow, Russia) - PhD, Head of Stress and Resource Team JSC «Moscow Experimental Machine building Plant -Composite Technologies» (123290, 9, 1-st Magistralniy passage, Moscow, e-mail: [email protected]).
Получено 28.10.2011
