CC BY
9
УДК 621.385.633
ТЕОРИЯ ПРЕДГЕНЕРАЦИОННОГО РЕЖИМА ЛОВ В РАМКАХ ДВУМЕРНОЙ МОДЕЛИ
Д. И. Трубецков1'2, Г. М. Краснова1
Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского, 2 Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»
В рамках двумерной теории рассматриваются волновые процессы, происходящие в лампе обратной волны в предгенерационном режиме. Получены зависимости спектральной плотности мощности шума от относительного угла пролёта. Проанализировано влияние величины магнитного поля и пространственного заряда на их поведение.
Ключевые слова: Предгенерационный режим, ленточный пучок, магнитное поле, спектральная плотность мощности шума, генератор обратной волны.
Введение
1. В предгенерационном режиме работы, когда ток электронного пучка меньше пускового значения (Io < 1п) и внешний сигнал отсутствует, генератор обратной волны представляет собой усилитель флуктуаций электронного потока. В этом случае он может быть использован в качестве генератора СВЧ шума. Решение данной задачи проведено в рамках двумерной теории в приближении заданного поля и заданных начальных смещений в электронном потоке. Анализ проводится в гидродинамическом приближении в рамках следующей модели. Предположим, что бесконечно тонкий электронный поток движется в однородном магнитном поле с индукцией Bo = Bx = const, направленном вдоль положительного направления оси x, со скоростью и0. Поперечная координата у, координата влёта электронного потока y0. По направлению z электронный поток считается бесконечным и изменения в этом направлении не учитываются.
2. В качестве исходного уравнения используется нерелятивистское уравнение движения электронов
d2 r — — dr —
W= + + n [TiBl (1)
где г = г (х) ехр (]шЬ) - высокочастотное смещение электрона (знак «тильда» указывает на ВЧ переменные), п = е/т, е и т - заряд и нерелятивистская масса электрона, Е - вектор напряжённости электрического поля, Esc - вектор напряжённости поля пространственного заряда. Уравнение движения (1) после линеаризации удобно представить в виде системы уравнений
d2x (д д \2 _ , ^ л
№ = + и°дь) x = ^E + ^'
dt2
dt2 d^ dt2
д д \2_ --I- 11n- x =
дх)
д + u° дх)2у = n(Ey + Eysc) + юс
д д dy
дt дх) Z Ю dt'
(2)
(3)
(4)
где шс = п^о - циклотронная частота. В (2)-(4) использованы следующие выражения для компонент поля пространственного заряда для случая, когда электронный поток движется ровно по центру пространства взаимодействия:
Exsc = -j ю; 2П дхtanh (в°У°)' (5)
А дУ
Eysc = jю^—тг coth (|3°y°), (6)
где юр = (по°)/(е°А) - квадрат плазменной частоты, о° - поверхностная плотность заряда, е° - электрическая постоянная, А - толщина ленточного электронного потока. Вывод указанных выражений для компонент поля пространственного заряда подробно приведён в монографии [1] для модели бесконечно тонкого ленточного потока.
Решение системы уравнений (2)-(4) проведено совместно с уравнением возбуждения электрического поля для взаимодействия с обратной электромагнитной волной
x
E (х) = Ex (0) e-je°x + 2e2Ke-je°x J i (?) ejpold?, (7)
°
i (x) = 2 coSh(p°У°) jx (x) sinh (в°У°) + У (x) cosh (P°y°)j , (8)
где К - сопротивление связи, 10 - постоянная составляющая тока пучка, |30 - фазовая постоянная холодной волны в системе. Уравнение (10) позволяет связать продольную составляющую ВЧ тока с ВЧ смещениями в электронном потоке.
3. При рассмотрении шумовых явлений в лампе следует учитывать, что на
поверхности катода имеются флуктуации тока (дробовой шум) и флуктуации в рас-
пределении электронов по скоростям [2,3]. Так, среднеквадратичные начальные сме-
щения можно задать в виде
Х2 = Ш, (9)
Ро^о
-2 ewеAf
"о2 = -йот, (10)
где Af - ширина полосы частот, w - ширина катода в направлении у. Среднеквадратичные флуктуации скорости Рэкка
=2 _ (4 - п) цкТкAf 10
(11)
и2уо = 2.33^о, (12)
где к - постоянная Больцмана, Тк - температура катода.
Комбинируя уравнения (3) и (4) и предполагая, что во времени переменные величины изменяются как е-7™*, можем переписать систему уравнений (2)-(4) с учётом выражений (5), (6) для полей пространственного заряда следующим образом:
д2 У 1 дУ Е
дуё + (23ве + 23врАtanh (воУо)) — - Ре2х = ^, (13)
дХу2 + (2?|3е - 23врАсоЛ (Роуо)) ^у - (Ре2 - в2)У = 21' (14)
где поперечная и продольная компоненты электрического поля связаны соотношением Еу = зЕх coth (воУо) [1], Уо = ^/2^ - приложенное ускоряющее напряжение, ве - фазовая постоянная волны в системе с электронным потоком, вР = ™р/ио -постоянная распространения плазменной волны, вс = ™с/ио - постоянная распространения циклотронной волны.
положении, что все переменные величины изменяются как е7™*, соответствуют сле
4. Системе уравнений (13)-(14) при равенстве правых частей нулю и в пред-ении, что все переменные вел дующие дисперсионные уравнения:
(в - ве)2 - 1 вв2 А tanh (воУо) = 0, (15)
(в - ве)2 + 2 вв2 А соШ (воУо) - в2 = 0, (16)
где в - искомая постоянная распространения. Корни дисперсионных соотношений (15) и (16), соответствующие постоянным распространения электронных волн, имеют вид
в1'2 = (ве + 1 врАtanh (воУо)) ^/^^аП^^в^^^в^^П^^в^, (17) в3'4 = (ве - 4 врА СОth (во Уо ))±У (1 в2А СОth (воУо))2- 2 вев2А СОЛ (воУо) + в2- (18)
Как видно из выражения (18), возможно появление комплексных решений Р4 для дисперсионного уравнения (16). В этом случае решение становится нарастающим в пространстве, и поперечные ВЧ смещения электронов у (х) начинают быстро увеличиваться с изменением продольной координаты х [4-7]. Согласно формуле (18), этому соответствует выполнение неравенства
(4|32ЛесЛ (Роуо))2 " 1 РеР^АеоЛ (Роуо) + Р2 < 0- (19)
5. Одной из основных характеристик в предгенерационном режиме является спектральная плотность мощности шума (СПМШ) на выходе ЛОВ
® (ф0> = • (20)
где Ех (0) - искомая величина напряжённости электрического поля на выходе ЛОВ (х = 0). Для дифференциальных уравнений продольных и поперечных ВЧ смещений (13) и (14) проведено преобразование Лапласа с учетом начальных условий (9)-(12). Полученные интегральные выражения для ВЧ смещений подставлены в уравнения возбуждения электрического поля (7). В результате интегрирования получено в первом приближении выражение для напряженности электрического поля
Е (Х) = Е (0) Р-Зв°х +__вев21оК „-¿Ррх
Ех (Х) = Ех (0) 6 +4ео8Ь(Роуо)6 Х
Ех (0) 81пИ2 (воуо) Л - э (во - Рг) х - 1
х , у»; Р1Ш1 уроуо; у^ с--" - — J уни — HtJ x +
2V0 ¿1 (pfc - Pi) (во - Pi)2 '
(=k
2 Pi (ej(p0-pi)x - 1)
+ X0 sinh (воУо) g (Pi - Pk)(Pu - Pi) ■
i=k
ux0 ,„ n n л! ej(Po-Pi)x -1
rux0 1 \ Л I ij^ - 1
- j sinh (роУо) — + jX0 (p1 + P2 - Pe) TP-^WR-rT +
L u0 J (Pk - pi) (p0 - pi) (21)
i=k
+ Ex (0) cosh2 (воуо) Л ej(p0-pi)x - j (|о - Pi) x - 1 +
2V0 ¿3 (Pk - Pi) (во - Pi)2 i(k
^ pi (ej(po-pi)x - 1)
+ уи cosh(puyu) g (pi - pk) (po - pi) +
i=k
ГU n 1 ^ ej(po-pi)x _ 1 ч
+ cosh (&,!«)[ f + jfc (p3 + p4 - fc)] £ (Pi- Pk )Vo-K) ■
i=k
Для нахождения зависимости СПМШ (20) от относительного угла пролёта Фо из уравнения (21) следует определить величину напряженности электрического поля на выходе лампы Ex (0). При этом в предгенерационном режиме на входе лампы
сигнал отсутствует Ех (I) = 0. Полученные аналитические выражения из-за их громоздкости здесь не приводятся. При расчётах осуществлён переход к общепринятым безразмерным переменным: Фо = (|Зе — во) I - невозмущённый относительный угол пролёта, фс = вс1 - циклотронный угол пролёта, 6Р = вР1 - плазменный угол пролёта.
В безразмерных переменных условие возникновения неустойчивости (19) и выражения, встречающиеся в (21) (типа (во — в^, (в& — вi), где = 1, 2, 3, 4), примут вид
(ерЛ)2 — ве1&ру^^Мо) + ф2 < о, (22)
I 4 I 2
(во—в1,2) 1=—Фо—ерЛту (ерЛЛ' ^
(во—вз,4)1=—Фо+ер^^ Н0^ ^ (е^ с°^вуо))2—^ге^ , (24)
(в2 — в1) I = — ^ (ер Л ^Г^)2 + « | , (25)
(а ам о //о2 Л (воУо)\2 й ,о2 А coth(воУо) . 2 (26)
(в4 — в3) I = — Щ[ е2у-4- I — ве1е2у-2- + ф2- (26)
6. Рассмотрим случай без учёта влияния пространственного заряда. На рис. 1, 2 приведены зависимости СПМШ от относительного угла пролёта при различных значениях циклотронного угла пролёта фс и отношениях тока пучка 1о к пусковой величине 1п, то есть /о//п.
С уменьшением продольного фокусирующего магнитного поля максимальное значение кривой СПМШ возрастает (см. рис. 1), а величина относительного угла пролета, при которой это значение максимально, приближается к —п. Для значений циклотронного угла пролёта больше 4п кривые совпадают со штриховой кри-
(Я/кТ)
15.0
12.0
9.0
6.0
3.0
-
ф^-оо | \0.б/
о.з 1 лййГ 1 ^----
-3 к -2 к -к
0
к
2 к Фп
Рис. 1. Зависимость спектральной плотности мощности шума от относительного угла пролёта Фо при различных значениях циклотронного угла пролёта
фс ( 1о/1п = 0.6)
Рис. 2. Зависимость спектральной плотности мощности шума от относительного угла пролёта Фо при различных значениях отношения тока пучка к пусковой величине 10/1п (фс = п)
вой, соответствующей одномерной теории [8], когда величина индукции магнитного поля считается бесконечно большой и поперечные смещения в потоке полностью подавляются. При увеличении отношения тока пучка к пусковому значению 1о/1п величина СПМШ возрастает и сдвигается к плоскости Фо = —п, что соответствует пусковой величине для невозмущённого относительного угла пролёта в такой системе (см. рис. 2).
7. Рассмотрим случай с учётом влияния пространственного заряда. На рис. 3-5 приведены зависимости СПМШ от относительного угла пролёта с учётом влияния
Рис. 3. Зависимость спектральной плотности мощности шума от относительного угла пролёта Фо при различных значениях параметра пространственного заряда 6Р (фс = Зл, 1о/1п = 0.3)
СБ/кТ)-105
60.0-
40.0
20.0 -
0„=о Г
0.5л / г
Л // /
1.5 л
-5л -471 -Зл -2 л —л 0 л 2л Зл 4 л Фп
Рис. 4. Зависимость спектральной плотности мощности шума от относительного угла пролёта Ф0 при различных значениях параметра пространственного заряда 6Р (фс = 3п, 10/1п = 0.8)
Рис. 5. Зависимость спектральной плотности мощности шума от относительного угла пролёта Ф0 при различных значениях параметра пространственного заряда 6Р (фс = я, 10/1п = 0.3). Случай неустойчивого электронного потока
поля пространственного заряда. На рис. 3, 4 кривые построены для значений параметров пространственного заряда 6Р и циклотронного угла пролёта фс, при которых электронный поток устойчив. Увеличение плазменного угла пролёта 6Р приводит к снижению наибольшего значения СПМШ аналогично тому, как циклотронный угол пролёта приводит к снижению максимальной её величины в случае, когда не учитывалось влияние пространственного заряда (см. рис. 1, 2). Зависимости на рис. 3, 4 построены при различных отношениях тока пучка к пусковому значению 1о/1п.
На рис. 5 приведена аналогичная зависимость для случая неустойчивого потока. Параметры подобраны таким образом, что выполняется неравенство (22). Характер кривых СПМШ кардинально меняется. В результате дальнейшего увеличения плазменного угла пролёта 6Р наблюдается рост наибольшего значения спектральной плотности, чего не было в случае устойчивого ленточного электронного потока.
Заключение. В статье приведены результаты исследования предгенерацион-ного режима лампы обратной волны типа О с учётом влияния конечного фокусирующего магнитного поля и поля пространственного заряда. Исследовано поведение основной характеристики такого режима - спектральной плотности мощности шума. Проанализировано влияние циклотронного угла пролёта, величина которого прямо пропорциональна величине индукции магнитного поля, и плазменного угла пролёта на поведение кривых спектральной плотности мощности шума. Для случая малых значений пространственного заряда, когда его влиянием можно пренебречь, проведено сравнение полученных результатов с известными результатами одномерной теории.
Работа выполнена в рамках Президентской программы поддержки ведущих научных школ Российской Федерации (проект НШ 828.2014.2) и при поддержке грантов РФФИ № 13-02-01209а, № 14-02-00329.
Библиографический список
1. Шевчик В.Н., Трубецков Д.И. Аналитические методы расчета в электронике СВЧ. М.: Советское радио, 1970. 584 с.
2. Смуллин Л.Д., Хаус Г.А. Шумы в электронных приборах. М.-Л.: Энергия, 1964. 484 с.
3. Трубецков Д.И., Шараевский Ю.П., Шевчик В.Н. Шумовые явления в лучевых усилителях магнетронного типа // Обзоры по электронной технике. Серия Электроника СВЧ. 1970. № 10 (204).
4. Pierce J.R. Instability of hollow beams // IRE Trans. on Electron Devices 1956. Vol. 3, №4. P.183.
5. Cutler C.C. Instability in hollow and strip electron beams // Jour. of Applied Physics. 1956. Vol. 27, № 9. P. 1028.
6. Krasnova G.M. Interaction of space-charge waves in a electron beam with electromagnetic waves in a longitudinal magnetic field // Physics of Wave Phenomena. 2011. Vol. 19, №4. P. 290.
7. Трубецков Д.И., Краснова Г.М. О современном состоянии сверхвысокочастотных вакуумных электронных и микроэлектронных приборов с управляемой эмиссией // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2013. Т. 21, № 1. С. 35.
8. Амиров Р.Ш., Безручко Б.П., Трубецков Д.И., Шевчик В.Н. Теоретическое и экспериментальное исследование предгенерационного режима ЛОВ типа О // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1974. Т. XVII, № 11. P. 52.
THEORY OF PREGENERATION MODE IN BWO IN THE FRAME OF TWO-DIMENSIONAL MODEL
D. I. Trubetskov1'2, G. M. Krasnova1
1 Saratov State University, 2National Research Nuclear University MEPhI,
Processes in backward wave oscillator in pregeneration mode have been considered in the frame of two-dimensional theory. Spectral density dependencies on the relative transit angle are presented. The influence of magnetic field and space charge on its behavior has been analyzed.
Keywords: Pregeneration mode, strip electron beam, magnetic field, spectral density of noise power, backward wave oscillator.
References
1. Shevchik V.N., Trubetskov D.I. Analytical Methods in Microwave Electronics. Moscow: Sov.Radio, 1970. 584 p. (In Russian).
2. Smullin L.D., Haus G.А. Noise in Electron Devices. M.I.T. Press, Cambridge, Massachusetts, 1959.
3. Trubetskov D.I., Sharaevski Y.P., Shevchik VN.Shymovie yavleniya v lychevih ysilitelyah magnetronnogo tipa // Obzori po electronnoi technike. Seria Electronika SVCh, 1970. № 10 (204) (In Russian).
4. Pierce J.R. Instability of hollow beams // IRE Trans. on Electron Devices. 1956. Vol. 3, №4. P.183.
5. Cutler C.C. Instability in hollow and strip electron beams // Jour. of Applied Physics. 1956. Vol. 27, № 9. P.1028.
6. Krasnova G.M. Interaction of space-charge waves in a electron beam with electromagnetic waves in a longitudinal magnetic field // Physics of Wave Phenomena. 2011. Vol. 19, №4. P. 290.
7. Trubetskov D.I., Krasnova G.M.About current state high frequency vacuum electronic and microelectronic devices with field emission // Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 2013. Vol. 21, № 1. P. 35 (In Russian).
8. Amirov R.Sh., Bezruchko B.P., Trubetskov D.I., Shevchik V.N. The theoretical and experimental investigation of the type O TWT's pregeneration regime // UHF Electronic Equipment. 1974. Vol.XVII, № 11. P. 52 (In Russian).
Поступила в редакцию 20.11.2015
Трубецков Дмитрий Иванович - родился в Саратове (1938). Окончил физический факультет Саратовского государственного университета (1960). Защитил диссертации на соискание ученой степени кандидата (1965) и доктора физико-математических наук в СГУ (1978) в области радиофизики. Заведующий кафедрой электроники, колебаний и волн факультета нелинейных процессов СГУ, профессор кафедры прикладной математики НИЯУ МИФИ, член-корреспондент Российской академии наук, заслуженный деятель науки РФ, лауреат премии Президента РФ в области образования. Научный руководитель Лицея прикладных наук и факультета нелинейных процессов СГУ. Область научных интересов: вакуумная электроника и микроэлектроника сверхвысоких частот, теория колебаний и волн, нелинейная динамика, история науки. Автор более двадцати учебных пособий и монографий, а также более двухсот статей в периодической печати.
410012 Саратов, ул. Астраханская, 83
Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского 115409 Москва, Каширское шоссе, 31
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» E-mail: dtrubetskov@yahoo.com
Краснова Галина Михайловна - родилась в 1989 году. Окончила Саратовский государственный университет (2011). Защитила диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в области радиофизики. Принимала участие в таких конференциях, как «Нелинейные дни в Саратове для молодых», «Волновые явления в неоднородных средах», «Физика и применение микроволн», «Проблемы СВЧ электроники» и в XV Международной юбилейной зимней школе-семинаре по электронике СВЧ и радиофизике. Автор 5 статей в реферируемых журналах Списка ВАК.
410012 Саратов, ул. Астраханская, 83
Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского E-mail: krasnovagm@rambler.ru
