Теория линейных планетарных волн в сферических координатах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 551

ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПЛАНЕТАРНЫХ ВОЛН В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ © 2014 г. Р.Г. Закинян, А.А. Крупкин, Ю.Л. Смерек, М.Н. Грицаева

Закинян Роберт Гургенович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теоретической физики, СевероКавказский федеральный университет, ул. Пушкина, 1, г. Ставрополь, 355009, e-mail: zakinyan@mail.ru.

Смерек Юлия Леонтьевна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра теоретической физики, Северо-Кавказский федеральный университет, ул. Пушкина, 1, г. Ставрополь, 355009, e-mail: smerek@mail.ru.

Zakinyan Robert Gurgenovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Department of Theoretical Physics, North Caucasian Federal University, Pushkin St., 1, Stavropol, Russia, 355009, e-mail: zakinyan@mail.ru.

Smerek Yulia Leontievna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Theoretical Physics, North Caucasian Federal University, Pushkin St., 1, Stavropol, Russia, 355009, e-mail: smerek@mail.ru.

Крупкин Александр Александрович - аспирант, кафедра теоретической физики, Северо-Кавказский федеральный университет, ул. Пушкина, 1, г. Ставрополь, 355009, e-mail: screamstv@mail. ru.

Грицаева Марина Николаевна - кандидат физико-математических наук, метеоролог, Ставропольский центр по гидрометеорологии и мониторингу окружающей среды, пр. Октябрьской революции, 6, г. Ставрополь, 355035, e-mail: stameteo@rambler.ru.

Krupkin Alexander Aleksandrovich - Post-Graduate Student, Department of Theoretical Physics, North Caucasian Federal University, Pushkin St., 1, Stavropol, Russia, 355009, e-mail: screamstv@mail.ru.

Gritsaeva Marina Nikolaevna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Meteorolog, Stavropol Center for Hydrometeorology and Environmental Monitoring, Oktyabrskaya Revolusia Ave, 6, Stavropol, Russia, 355035, e-mail: stameteo@rambler.ru.

Получена система уравнений, описывающая распространение планетарных волн в сферических координатах с учетом функции перегрева воздуха, вовлеченного в волновое движение. Найдено решение для частного случая распространения планетарных волн вдоль экватора. Получено выражение для скорости линейных планетарных волн в сферических координатах, расчетное значения которых согласуется с данными наблюдений. Установлено, что планетарные волны вращаются по часовой стрелке. Период их вращения зависит от функции перегрева воздуха.

Ключевые слова: планетарные волны в сферических координатах, уравнения динамики атмосферы, геострофическое состояние атмосферы, геоидальная форма Земли, вертикальная составляющая вихря скорости, уравнение переноса вихря, приближение «мелкой воды», возмущения барической поверхности.

The system of the equations describing motion ofplanetary waves in spherical coordinates taking into account function of overheat of air, involved in wave movement is received. The solution for a special case of motion ofplanetary waves along the equator is found. Expression for the velocity of linear planetary waves in the spherical coordinates which settlement values it will be coordinated with data of observation is received. It is established that planetary waves rotate clockwise. The period of their rotation depends on function of overheat of air.

Keywords: planetary waves in spherical coordinates, equations of dynamics of the atmosphere, geostrophic condition of the atmosphere, geoidal form of Earth, vertical component of a speed vortex, equation of vortex transfer, approach of «small water», oscillation of a baric surface.

Запишем уравнения динамики атмосферы в сферических координатах, но в геоидальном приближении, пренебрегая также слагаемыми с произведениями проекций скоростей:

+ 2roovsinф,

ды _ 1 dp'

dt pe r cos ф • d9

dv 1 dp'

dt p e гдф

dw t _ 1 dp' „

— = agAT----+ 2®o cos ф • ы .

dt pe dr

- 2®o sin ф- ы,

(1)

(2)

(3)

p' = PeagAT,

dp'

du „ . . 1

--2roo vsin ф =--

dt pe r cos ф-о9

dv „ . . 1 dp' --+ 2®o sinф • ы =---— .

dt pe rдф

dp

(4)

(5)

dt

d(wr2) r | d(vcos ф) du | dr cos ф ^ дф d6 J

(6)

Заметим, что в приведенных формулах величина р' - это возмущение давления относительно геострофического состояния. Пренебрегая вертикальными скоростями и ускорениями частиц воздуха, запишем, пренебрегая нелинейным слагаемым: р' = реа^АГ • "л . Таким образом, система уравнений имеет вид

Интегрируем по z = r - с учетом граничных условий:

_ d- _ dh- _ д- + ы д- + v д-dt dt dt r cos ф o9 r дф ' r = ro + л, z = H + л, (7)

d-

или линеаризуя, запишем граничное условие w =

dt

2 = Н + л. Кроме того, имеет место граничное условие: ^ = 0, г = гд - Н = 0. Тогда

д- | (H +л)Гd(vcosф) | ды 1 = 0

dt rg cos ф ^ дф dö J

(8)

Из-за малой толщины слоя атмосферы го можно считать постоянной, равной радиусу Земли. Для малых отклонений от геострофического состояния допустима линеаризация этих уравнений в виде

ды . . . 1 dp

--2®oVsin ф =---

dt o p ^ cos ф-dö

dv „ . . 1 dp

--+ 2юп • ы sin ф =---

dt o ф p. r(

Полагая — = o, запишем уравнение неразрыв- дл +

ности

H ( d(vcos ф) + ды 1 _ dt rg cos ф ^ дф dö J

(9)

(10) (11)

Применим операцию дивергенции к уравнениям горизонтального движения (9) и (10) и воспользуемся выражением для дивергенции из (11). При этом получается

5 gHaATV% +

dt

2

+ 2qq sinф • HQZ -

2(q cos ф

Hu = 0,

Qz = Q =

dv d(u cos ф)

rg cos ф ^ 59 5ф

(12)

(13)

c2V2^ + f • HQ-ßHu = 0 .

dt2

(14)

ß =

Здесь c = y¡gHu.AT , как и ранее, f = 2ю0 sinФ,

2ro0cos ф r0 '

Следующим шагом дадим вывод уравнения завихренности для случая сферической поверхности Земли. Для этого к уравнениям (9) и (10) применим операцию вихря, что дает

f

dQ

dt ro cos ф

du +5(vcos^)]+ßV= o .

o9 5Ф 1

(15)

В этом уравнении влияние кривизны Земли также учтено посредством « р -слагаемого». При подстановке выражения для дивергенции горизонтальной скорости из уравнения (11) получается уравнение потенциальной завихренности

dt 1 H )

Рассмотрим систему уравнений

c2V2n + f • HQ-RHu = 0 ,

dt2

lÍQ-^ + p^ 0. dt 1 H )

(16)

(17)

Будем искать решение этой системы в виде

u = Ue

-i(t

V= Fe

-ñat

мерные величины: Bl =

gH 4ro2rn2

2rof

■. Величину Bl

назовем числом Блиновой. Из выражения числа Блиновой видно, что оно характеризует квадрат отношения скорости линейной волны в приближении «мелкой воды» к удвоенной скорости движения точек поверхности Земли на широте экватора. Тогда запишем

_ Б1аЛГ

iroz =-х

cos ф

d ( . , dZ К J2 Z

sin ф— I- sin ф-

d9) 595ф

■ 2ь ~2 sin ф - ю

(18)

1 d 2 Z

d ( dZ —I cos ф— I +

5ф J cosф d92

где 0.2 - вертикальная составляющая вихря скорости; Д - выражение для оператора лапласиана в сферических координатах. Итак,

■ 2 , ~2 sin ф - ю

Будем считать, что в искомой функции переменные разделяются, т.е. будем искать решение полученного уравнения в виде Z = Y (sin ф)в'П. В этом выражении порядок моды определяется из равенства

ks = к • r0 9 =

2%Г(

X

•9 = n -8, т.е. номер моды равен ко-

личеству длин волн, укладывающихся на длине экватора. Отсюда получим дисперсионное соотношение в виде

BlaAT

imY =-х

cos ф

(19)

inY cos ф + im

cos ф

d 2Y

n2Y

5Ф

. , dY

— - sin ф---

2 5ф cos ф

■ 2ь ~2 sin ф - ю

Положим

cos ф

d 2Y

сф2

• a dY n2Y

- sin ф---= 0.

5ф cosф

Тогда для частоты колебаний получим

ю = BlaAT •

. 2 , ~2 ' sin ф - ю

(20)

(21)

^ = Ze i(t. Введем безраз-

3 2

кубическое уравнение ю - Ssin ф + Б1аДТ • n = 0. Отсюда, в частности, на экваторе sin ф = 0, дисперсионное соотношение примет вид ю = -^БкхДТ • n .

Переходя к размерной частоте, запишем ю = -2юд 3Б1аДТ • n . Тогда для возмущения барической поверхности получим

/ 2юп ^БЬ n • t + n9 л = Y (0)Л 0

колебаний n-й моды:

2юп ^Б1аДТ • n • T = 2л ,

. Отсюда найдем период

T =-n

^BlaAT • n 2 Соответственно, для скорости n-й моды получим

v = 2юп ^BlaAT • n • rn = 2^BlaAT • n • v , (22)

где V - скорость движения точек поверхности экватора при суточном вращении Земли.

Проведем расчеты при следующих значениях параметров: ДТ = 1 °С, Н = 5 000 1 . Для первой моды

х

+

r

0

х

n

ю

период равен приблизительно восьми с половиной су- различные моменты времени на рисунках, приведен-

ток Т = 8,45Г0, соответственно, V = 0,12 • V . График ных ниже. Для моды п = 1 возмущения в различные

„ моменты времени имеют вид, приведенный на рис. 1. этого возмущения приведен для различных мод и в

y1(e)

y(e) - 1

x1(e),x(e)

n=1 t=0.

x1(e) ,x(e)

Ч/з 2 суток n =1, t = 2T0 ;

Ч/з 7

суток

n=1

t = 7T

0

Ч/з 8 t = 8T0;

x1(e),.

суток

x1(e) ,x(e)

n=1

Ч/з 8,5 суток

t = T

n = 1

Рис. 1. Для моды п=1 возмущения в различные моменты времени

Как видно из рисунка, при этом барическая поверхность вначале целиком смещается вправо. Затем смещенная поверхность целиком совершает оборот вокруг центра Земли по часовой стрелке. Период вращения приблизительно равен восьми с половиной суток.

Для второй моды период колебаний равен = 6,7 Т). Для второй моды возмущения в виде вытянутого эллипсоида в различные моменты времени при наложении имеют вид, приведенный на рис. 2.

Для четвертой моды (п = 4) период вращения равен ^ 5,3 Гд . Для четвертой и пятой моды возмущение барической поверхности в начальный момент времени представлено на рис. 4.

Рис. 2. Для моды п=2 возмущения в виде эллипсоида в различные моменты времени

Из рисунка видно, что вторая мода носит характер приливной волны.

Для третьей моды период вращения равен Г3 ^ 5,9 Гд . Возмущение барической поверхности в

различные моменты времени представлены на рис. 3.

Рис. 3. Для третьей моды возмущение барической поверхности в различные моменты времени

x1(e),x(e)

Рис. 4. Возмущение барической поверхности в начальный момент времени для 4-й и 5-й моды

Таким образом, в данной статье развита теория линейных планетарных волн в приближении Бусси-неска. Получена система уравнений (17), описывающих планетарные волны в приближении мелкой воды в сферических координатах для бароклинной атмосферы.

Получено дисперсионное соотношение для частоты планетарных волн. Из данных выражений найдены период вращения и скорость движения различных мод вокруг экватора. Порядок моды определяет число длин волн, укладывающихся на экваторе.

Установлено, что планетарные волны вращаются по часовой стрелке. Период их вращения зависит от функции перегрева.

Учет зависимости плотности воздуха от температуры, а точнее плавучести воздуха, связанной с тем, что теплый воздух легче окружающей среды, позволил получить значение скоростей планетарных волн

с = у1 "Н/.ДТ, отличное от скорости планетарных

волн в однородной атмосфере.

Поступила в редакцию_

Данное выражение совпадает с выражением, полученным в диссертации М.Н. Грицаевой [1], в которой планетарные волны описывались не в сферической системе координат, а в декартовой системе координат, применение которых ограничено расстояниями порядка 200 км. Первая мода представляет собой смещенную относительно центра Земли сферу, которая вращается относительно центра Земли. Вторая мода представляет собой вытянутый эллипсоид, вращающийся по часовой стрелке вокруг центра Земли. Вторая мода носит характер приливных волн. Третья и более моды носят характер обычных планетарных волн, представляющих собой чередование цикло-нальных и антициклональных областей возмущения барической поверхности.

Литература

1. Грицаева М.Н. Разработка математической модели и методика расчета параметров атмосферной циркуляции: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Нальчик, 2011.

_17 декабря 2013 г.