Теория крутильного вискозиметра, заполненного двумя несмешивающимися проводящими жидкостями и помещенного в магнитное поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТЕОРИЯ КРУТИЛЬНОГО ВИСКОЗИМЕТРА, ЗАПОЛНЕННОГО ДВУМЯ НЕСМЕШИВАЮЩИМИСЯ ПРОВОДЯЩИМИ жидкостями И ПОМЕЩЕННОГО В МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

В.Л. Бескачко, A.M. Сомов

В связи с экспериментами по изучению явлений расслоения в металлических расплавах найдено решение задачи о крутильном вискозиметре, заполненном двумя несмешивающимися проводящими жидкостями и помещенном в однородное статическое магнитное поле осевого направления.

Введение

Многие жидкие металлические сплавы существуют в виде истинного раствора только при высоких температурах и испытывают расслоение на две несмешивающиеся жидкости при охлаждении. В экспериментах с крутильным вискозиметром удается наблюдать ход процессов расслоения по наблюдениям за температурной и временной зависимостью параметров колебаний -периода и декремента затухания. Последний обычно наиболее чувствителен к состоянию жидкости. Критическая температура, ниже которой раствор распадается на две фазы, фиксируется как температура, при которой нарушается монотонное поведение параметров колебаний по мере охлаждения гомогенного раствора. Сам процесс разделения фаз, как показывают эксперименты, может быть весьма длительным и часто требует времени, намного превышающего время одного цикла крутильных колебаний (порядка 10 минут). В ходе процесса расслоения декремент затухания колебаний изменяется во времени нерегулярным образом до тех пор, пока не завершится разделение фаз. Начиная с этого момента, вискозиметр оказывается заполненным двумя жидкостями, отличающимися по своим физико-химическим свойствам - вязкости, плотности и электропроводности. В этой ситуации самое большее, что можно попытаться сделать для интерпретации опытных данных в рамках существующих теорий, - оценить «эффективную» вязкость и, возможно, «эффективную» плотность неоднородного расплава, если пользоваться классической теорией [1], или (с помощью теории [2,3]) - вязкость каждой из фаз, если известны их плотности и объемы. Объемы прозрачных фаз можно определить по положению межфазной границы. В случае высокотемпературных расплавов сделать это непосредственно весьма затруднительно. Таким образом, в настоящее время отсутствует методика оценки свойств сосуществующих фаз в рамках метода крутильных колебаний. Выходом из положения была бы возможность наблюдения для данного состояния расплава не единственного набора параметров колебаний (декремента и периода), а некоторой их серии, возникающей, например, вследствие изменения одного или нескольких параметров установки. Такая процедура, однако, вряд ли осуществима практически. Другим вариантом может быть «протяжка» по некоторому внешнему полю. В работах [4-6] нами было показано, что таковым может быть внешнее магнитное поле, способное в случае жидких металлов существенно изменить наблюдаемые параметры колебаний уже при сравнительно небольших (легко достигаемых) значениях его индукции. Поэтому представляет интерес обобщить результаты, полученные в [4-6], на случай, когда вискозиметр заполнен двумя несмешивающимися проводящими жидкостями, возникающими, например, вследствие расслоения расплава.

Математическая формулировка задачи

Пусть вертикальный цилиндрический сосуд (тигель) из немагнитного диэлектрика с внутренним радиусом и моментом инерции К заполнен двумя несмешивающимися проводящими жидкостями и, будучи подвешен на упругой нити, совершает затухающие крутильные колебания вокруг собственной оси в однородном статическом магнитном поле с индукцией В0 осевого направления. Все величины, относящиеся к нижней (более плотной) жидкости обозначим индексом «1», а к верхней - индексом «2». Тогда величины уп рп <7, и Ь{ (/=1,2) будут означать соответственно кинематическую вязкость, плотность, электропроводность и толщину слоя /-й жидкости.

Пусть известны также период т0 и логарифмический декремент затухания 30 пустого цилиндра. Задача состоит в предсказании периода т и декремента затухания 3 колебаний цилиндра, заполненного указанным способом.

В присутствии магнитного поля движение проводящей жидкости в цилиндре будет описываться уравнениями магнитной гидродинамики. С целью их упрощения воспользуемся указанной в [1] оценкой магнитного числа Рейнольдса Кет = /л0а11Ь, где и - характерная скорость потока, I - характерный пространственный масштаб течения, ¿и0 - магнитная постоянная. Для ме-

таллических расплавов (сг~(1..Л0)-10 (Ом-м) ) и типичных условий вискозиметриче-

ских экспериментов (7? - 10~2 м, г~ 5 с) оказывается, что Яет - 2,5х(1(Г4..Л(Г5). Малость магнитного числа Рейнольдса позволяет пренебречь индуцированным магнитным полем в сравнении с внешним (см. например [2]), и в случае, когда последнее оказывается статическим, записать следующую систему уравнений:

ЗУ А * 1

+ =--ур, + V, ДУ, +—ЦВо!

& Рг Рг

0) (2)

Д Фг =

которая, будучи дополнена материальным уравнением (закон Ома)

(3)

А

представляет собой замкнутую систему для отыскания полей скоростей у и электрических потенциалов Ф1 в каждой из жидкостей. В этих формулах \1 и р1 означают плотность электрического тока и давление соответственно. Крышка сверху указывает, что помеченная величина является размерной и этим отличается от одноименных безразмерных величин, вводимых ниже. Исключая из (1) с помощью (3) плотность тока ^, уравнения движения запишем в виде

^ + =-—Ур, + И, ДУ, -^Ф,В0]+%У,В0]В0]

& р, р1 р,

(4)

ДФ, =В0го*У,. (5)

Выберем цилиндрическую систему координат, начало которой поместим на дне цилиндра, а ось х направим вдоль его геометрической оси. При решении задачи будем использовать те же приближения, что и в [1, 2]:

1) амплитуда колебаний мала настолько, что единственной существенной компонентой скоростей жидкостей будет азимутальная

2) течение аксиально симметрично;

3) рассматривается установившийся режим затухающих колебаний. Использование приближений 1 и 2 позволяет записать уравнения (4) и (5) в следующем виде:

дУ.

кр

дг

= У.

1А

г дг

дК

кр

дг

д2К

+

кр

дг1

Рг

дФ -

V

дг

0Г1<Р

1А

г дг

дФ, дг

+

д2Ф

'V.

дг

Т = Во

дУ Л

кр иг1<р

дг

(6)

(7)

/

Введем теперь безразмерные величины и параметры:

г = £/г, г-г/Я, е-к1/ки

Яе, =

Я'

ту,

На, = В0Я

V РУ1

К

кр

ф,

В0Я2О.0

о=й/о

(8)

О'

где О - амплитуда угловой скорости цилиндра, а С10 - ее начальное значение. Обозначим также У1(р=У19 поскольку другими компонентами поля скорости мы пренебрегли. В этих переменных

уравнения (6) и (7) примут вид:__

Серия «Математика, физика, химия», выпуск 3 61

р ду. 1 5

Ле, —- ---

д( г дг

/ дкл

Г-i

дг

г дг

V V! J Г ^^ч N

5Ф,

+

1 д2У V ■,( дФ

у2 дг2 г2 '

1 а2Ф, у, дг,

у2 дг2 Г

дг

(9) (10)

Учтем теперь, что в режиме установившихся затухающих колебаний должно быть:

П(О = П0е~а>, Ф!(г,г,0 = у1(г,г)е'а',

где а = 8 + 2тп - безразмерная комплексная частота колебаний. Подставляя эти выражения в (9), (10), для уравнений движения получаем окончательно:

■а Яе, V, =

1 д

Эу,

г дг\ дг

1 д V V 2

у дг г

ду,

дг

I ЁЩ + = (21+.

г дг дг у2 дг2 г дг

Запишем теперь граничные условия для у1(р и у/,:

V, (!,*) = !

у, (г, 0) = г,

Эг дщ дг

= 0,

71

:=1+г

52 9^2

%

2=1

5У2

1) = У2(г, 1),

ду/,

2=1

дг

= 1,

(11) (12)

(13, 14,15) (16, 17, 18)

2=0

Г=1

дщ

дг

2=1

2 дг

2=1

(19, 20,21) (22)

= 0, =0, £7

Они означают: (13, 14) - условия прилипания вязкой жидкости к твердым стенкам сосуда, (15) -отсутствие скольжения между жидкостями на межфазной границе, (16) - отсутствие сдвиговых напряжений на свободной границе второй жидкости, (17) - равенство этих напряжений на межфазной границе, (18)—(20) - отсутствие электрического тока через твердые границы и свободную поверхность верхней жидкости, (21) - отсутствие электрического заряда на межфазной границе, (22) - непрерывность электрического потенциала на ней.

Расчет полей скорости и потенциала

Решение краевой задачи (11)—(22) будем разыскивать в виде

•Щ) К МЬ)

(23)

где - бесселева функция первого рода ¿-то порядка, а параметр пока не определен. Подставляя (23) в (11), будем иметь

аКс

1 2 Г )

Зх{кгг) ( 1 д[_д Мк,г) "дгМк)

+

+

1 #%г 1

гдг

гч%

V

= хх +

у2 дг2

Хх+Щ

\

г дг

дх,

дг

+

(24)

дг

/

2

Выражение в левой части этого равенства будет равно нулю, если положить кг = Тогда

для функций х1 и £ получим уравнение

д2Х< , \ЬХ% , 1 Э2*, 1 „ „

дг

+

+

г дг у1 дг г'

На? (%,--?-) = 0.

дг

(25)

Аналогично подстановка (23) в (12) приводит к уравнению

+ -—%, + —• • (26)

г дг дг у2 dz2 г дг

Заметим, что условия (13) и (18) теперь примут вид

= 0.

г=I

Они будут удовлетворены, если положить:

Z,(r,z) = ZUm(z)Ji(r„r), £(r,z) = ^Tm(z)J0(ynr), (27)

где Yn ~ пкорень уравнения ^ (я) = 0 .

Подставляя теперь (27) в уравнения (25) и (26) и учитывая, что функции Jx(ynr) ортогональны друг другу при различных п, получаем, что функции Uin(z) и Tm{z) должны удовлетворять уравнениям;

8 иЛ(г) + ~Ha?)Um(z)-r2ynHa?Tm(z)^ 0, (28)

dz

д2Т iz) i о 1

~f~ - rYnW = r2rnUm{z). (29)

dz

Исключая из (28) Uin{z) с помощью (29), находим замкнутое уравнение для Tm(z):

^f + у'2 (« Re, - 2yl ~ Haj)^f-ryn(aRS,- y2n )Tm = 0 dz dz

или

где мы положили:

^+ки£^.+Диги = о, (30)

& 3z

Характеристическое уравнение для (30) имеет вид а его решения есть

Если обозначить

тогда общее решение уравнения (30) для / = 1,2 можно записать так:

Г1л = - г)] + Ъиск[?,;п(\ - г)] + - г)] + с1[пс1г{Аы(\ - г)], (31)

Т2п = аг^ВДиО + *-*)] + + £-*)] + + е-г)] + 1 + г-- *)]. (32)

Подставляя Тш в (29), легко находим также:

и1п =—А2 -г„2)Ц^«(1-г)] + Ь1„с/г[Я1+„(1-г)]) + г« г

(33)

+ _1((^2 _ )(с ^ (1 - *)] + (1 - г)]),

Гп г

и-

Уп У

(34)

+—((^-)2 ~У»){с2п*ЬЩп(1 +е-г)) + а2псИЩп(\ +е-г)]).

Уп У

В соотношениях (31)—(34) ат, Ьш, ст, йт (/=1,2) - коэффициенты, которые пока не определены. Для их отыскания вернемся к оставшимся граничным условиям. Условие (14) теперь означает, что

гЫ

К величинам 171п(0) можно относиться как к коэффициентам разложения правой части рассматриваемого уравнения в ряд по функциям Бесселя. Тогда из теории рядов Фурье-Бесселя следует, что

тхг)

)Мг„г)е1г =

2 к

_ _ 0

¿о(Уп)Уп(.к1 -У2п)

(35)

Аналогично условия (15) и (22) теперь записываются как

Мк\г) ¿хОф)

МЮ А(к2) £ 1 70(к2г) 1

к2 ■]\{к1) к{ Jx(к\) п=,

Л

где последнее уравнение можно привести к виду

00

Мк2) Ш) ^

если воспользоваться тем, что

а

1^,(Г„г){Г2„(1)-7]„(1)Ь

с1х

Тогда:

и2п(\)-и1п(У)

2 Гп

ЛГ,

МУп)(4-гЖ-Уп)

Кл - К'

—

(36)

(37)

Муг,)(К?-У1)(4-У2п) Уп'

Остальные граничные условия для функций 1/т(г) и Т (г) получаются более непосредственно:

<Ц]

2 п

¿2

О,

аи

1 п

г=1+е

¿2

%

(Ш-

2 п

с1Т-

2 п

йг

= 0,

2=1 ат

аг

ат,

1 п

2=1

¿2

= о

2=0

сг

1/7

2 = 1 + £-

£¿2

ат

= СГ'

2и

2=1

¿/г

(38, 39, 40)

(41,42)

2=1

Подставляя общее решение (31)—(34) в граничные условия (35)—(42), получаем полную систему уравнений для отыскания я , ¿> , с , а (/=1, 2):

Я

Г 7

((—)2 ~ Г2 Хог^ВД^] + Ь2псИ[Я1пе]) + ((^)2 - Х^« + ^„сВД^]) -Г Г

-А2 -Гп

г 7

я;

(43)

(44)

4пИ—)2-Г2„)а2„ + ? ~Уп)с2п ~ 0 > (45)

У У

^(л.;«—)2-уЫп+«—)2 ~у2пЫ=

У У

= %(4Г„((—)2-У2п)^2псК^п£} + Ь2^п£})+ (46)

г

)2 -У2п)(.с2пстп£] + с12пзк[^пе])),

У

Кп ] + ЬХп^[Кп ]) + (с1»сА№ ] + ]) = о, (47)

+ (48)

+ Л«сы) = °2(4п(.а2псК4п£] + + ^П(с2псМ.^П£] + ^„¡^„е])) , (49)

Р

а2^И[Л^п£] + Ь2пск[Л^п£] + с2„5/г[Л2пе] + ^„сИ^е] - Ъы - с11п = . (50)

Уп

Из (45), (48) следует, что

а2п=с2п= 0- (51)

Если обозначить:

У У

У У

то с учетом (51) система уравнений для оставшихся коэффициентов примет вид:

К ("ь^АКп 1 + ЬысИ[Л^]) + 9и {сы*И[Лы ] + с11пск[Аы]) = упвп, (52)

^пЪгпСЪКпВ] + - &{пЬы - = г„€„, (53)

Щ (ХЛп^п + КА~пС\п) = %+ , (54)

Кп(«1 псЩ.Кп] + ь\п^{Кп]) + Л»(с\пс^\п] + = 0, (55)

0-1 + Л\пс1п ) = (^А^М-^] + ^¿^[Л^]) , (56)

Ь2псИ[4„£] + с12пск[^п£}-Ьы (57)

Уп

Из уравнений (53) и (57) следует, что

-г Л -К — +ь2пск[^п£](&1 --0+- с)

с/Ьг =-^---, (58)

У,Л, + - ) - с!2пс1гЩп£](&ъ, -

=-^-:-;-, (59)

(^п ~3\п)

а из (54) и (56)-

Ъ^тп^К - ^С) + - — .9^) С1Я=-Э--^-3-, (60)

в1л =-а—V—7--—5— • <61>

Равенства (58}-(61) означают, что коэффициенты а1п, Ь1п, с1п, йт будут вполне определены, если удастся найти коэффициенты Ъ2п и (12п ■ Подставляя (58)—(61) в оставшиеся два уравнения системы (52)—(57), то есть в уравнения (52) и (55), получаем замкнутую систему из двух уравнений для интересующих нас неизвестных. Ее решение есть

А И _ °2п °2п а2п ~-

л ' л (62)

А Л

Явные выражения для В2п, В2п и А приведены в Приложении. Соотношениями (23), (27), (31}~ (34), (51), (58)-(62) решение краевой задачи (11)—(22) определено полностью.

Вискозиметрические уравнения

Зная поле скорости жидкости, нетрудно вычислить момент вязких сил, действующих на цилиндр. Сила, действующая на единицу площади поверхности твердого тела со стороны вязкой жидкости [7]

(63)

где п ~ единичный вектор нормали к поверхности (внешний к поверхности жидкости), о\к -вязкий тензор напряжений.

На единицу внутренней боковой поверхности тигля действует сила, направленная по касательной к поверхности и равная согласно (63),

дУ(0 ¥ф Р<р~ ~аг<р ~ гО

дг г

ду V ОТ г

г=1

Тогда моменты сил трения М] и М2, действующие на боковую поверхность тигля со стороны жидкостей 1 и 2, будут:

о

м2 =-27С7]2К3]и0е~ш |(

<р дг Г

дг Уг<р г

ск

Г=1

/*—1

Согласно (63) на единицу площади дна тигля действует касательная сила

V ^ " " кх * дг

г=0

Тогда полный момент сил трения, действующих на дно,

У о &

От.

г=О

<ь9 =

ф.

Таким образом, суммарный момент сил трения, действующий на внутреннюю поверхность цилиндра со стороны его жидкого заполнения, можно представить как

М = -2п711ЯЪ)а0е-ш{М1 +М2 +М3}У (64)

где

\+£ -гп;-,

Г=1 '/1 1 ' Г=1

Вычисления с помощью полученного в предыдущем разделе поля скоростей приводят к следующим результатам:

^ I = Т7ГТ + -1) + V«]) +

(65)

: дг г

7]\ . дг

У о дг

г=0

Ш) £

Лп

М п )

М 2 1

(66)

(Гп ЯКА1 ] + V«, ]) + «(сисИ[Ли ] + йХпзк{ЛХп ])}. (67)

У Гп £

После вычисления момента вязких сил все оставшиеся рассуждения вполне аналогичны выполненным в классической работе [1]. Именно, если ввести так называемую функцию трения

(68)

то параметры колебаний заполненного тигля оказываются связанными с ней посредством следующих соотношений (вискозиметрических уравнений):

I'

К К

Р-

1 +

1-

Р20

Р2

Р2о 2 \

Р2

2 Р0

т

(70)

Здесь V и Ь" - действительная и мнимая части функции (68), р-З! г - коэффициент затухания колебаний, ц = 2я7 г - их циклическая частота; величины р0 и q0 имеют тот же смысл, что и р и ц , но относятся к колебаниям пустого тигля.

Соотношения (68)—(70) полностью решают поставленную в работе задачу. В заключение рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Пусть толщина слоя верхней жидкости е бесконечно мала. В этом пределе получаем

1^-2ят]хКъу\-кх

+

Ш)

со

+2

-2 + 2 (Лл л )

йя1 ]ск[л?„] - я};^-пск[хХп шКпш! - г1 ЖпКП

Это выражение полностью совпадает с таковым, полученным в [4] для случая вискозиметра, заполненного однородной проводящей жидкостью и помещенного в магнитное поле. 2. Пусть В0 —»• 0 или сг1 —> 0 . Тогда получаем:

щ = 0, = ууп, Л~ = -аЯе, , (/ = 1,2)

Функция трения примет вид

I = -2лг)хВ?у{Мх + М2 + М3},

где теперь:

М , =

М

+£л(гихс1й

'1п

Л« 4л

^3 = 1

71 ?! ~ ...... /12«

3 2 2 «=1 Г Гя

А»+

_(3, _

т

сЬ\Х2пе])

СХп = 712 е]_rnWn+Lch[\n\)_

\п Ъ (^msh[^n£]sh[X-n] + сЯ^еШКг])

К Ъ

П „_Гп(вп+%пс1гЮ)_

и2 п--•

+ ch[Ä^ne]ch[Ä[n]

К Ъ

Этот результат совпадает с найденным в [2] для вискозиметра, заполненного двумя несме-шивающимися жидкостями.

Работа выполнена при поддержке РФФИ-Урал (№ 01-01-96424).

Литература

1. Швидковский Е.Г. Некоторые вопросы вязкости расплавленных металлов. - МГИТТЛ, 1955. - 206 с.

2. Бескачко В.П., Вяткин Г.П., Писарев Н.М., Щека А.И. Влияние поверхностных пленок на результаты измерения вязкости по методу Швидковского. 1. Теория // Расплавы. - 1990 - № 6. -С. 3-8.

3. Бескачко В П., Вяткин Г.П., Писарев Н.М., Щека А.И.. Влияние поверхностных пленок на результаты измерения вязкости по методу Швидковского. 2. Численные эксперименты // Расплавы. - 1990. - № 6. - С. 9-16.

4. Бескачко В.П., Вяткин Т.П., Писарев Н.М., Хисматулин М.Б, Крутильные колебания цилиндра, заполненного проводящей жидкостью в осевом магнитном поле // Расплавы. - 1991. -№5.-С. 33-38.

5. Бескачко В.П., Вяткин Г.П., Писарев Н.М., Хисматулин М.Б. Теория крутильного вискозиметра, помещенного в осевое магнитное поле // Магнитная гидродинамика. - 1992. - № 2. -С. 65-70.

6. Бескачко В.П., Хисматулин М.Б. Крутильный вискозиметр в осевом магнитном поле: эксперимент // Магнитная гидродинамика. - 1993. - № 1. - С. 117-122.

7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. - М.: Наука, 1986. - 736 с.

Поступила в редакцию 25 апреля 2003 года

Бескачко В.П., Сомов A.M. Теория крутильного вискозиметра, заполненного двумя ________несмешивающимися проводящими жидкостями...

Приложение

I Щ

^ - ^ С мяг„ ] -

I Yn) I Vi

&2П - ^ хл; «л; мдг„ ] - -ям; мл; d+

т о-!

- з; хл;адл; мд,; ] - лг„ мл; d}+

I М [ ?7, o-i

+я2>млж— -—-я; хл;з>[л; мл; ] - л;адл; мл; ])+

Я ^

- з; хл;адл; мл; ] - л;«л; мл; ])}

[ V\ <*\

- +л;^-« - С мл;]} --лх к}■ wx +

I Уn J I т О"!

-—^ хл;адл; мл; ] - я,;^^[Я,; мл; ]) +

I г» J I т о-,

-—з; хл;Мл; мл; ] - л;адл; мл; d+

я

+л;<эдя*](#„ - з; хл; ¿мл; мл; i - л; адл; мл; ])}

а = МЛ+„ ] - жКп 3)—■— (К - ¿Г» - )+

чЪп - лы<Кп^птКп}))+

71 О"! 1

- )(ЯГ^;сМЯГ„ ]сА[Я|~ ] - Я,;,«^ ]5/г[ЯГ„ ])) +

+(- ^ -—к )(Клпт[п жКп ] - мя^ ]) +

I 71

71