ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Крысов C.B. Вынужденные колебания и резонанс в упругих системах с движущимися нагрузками. Горький: Изд-во ГГУ, 1985.

2. Felszeghy S.F. The Timoshenko beam on an elastic foundation and subject to a moving step load //J. Vibration and Acoustics. 1996. 118, N 3. 277-284.

3. Manita L.A., Ronzhina M.I. Singular solutions for vibration control problems //J. Phys. Conf. Ser. 2018. 955, N 1. 01230-01237.

4. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Лисенкова Е.Е., Семерикова Н.П. Динамическое поведение балок моделей Бернуллп-Эйлера, Рэлея и Тимошенко, лежащих на упругом основании (сравнительный анализ) // Вестн. Нижегород. гос. ун-та им. II.II. Лобачевского. 2011. № 5. 274-278.

5. Веричев С.Н., Метрикин A.B. Динамическая жесткость балки в движущемся контакте // Прикл. механ. и техн. физ. 2000. 41, № 6. 170-177.

6. Звягин А. В., Гурьев К.П. Пористая среда, насыщенная жидкостью, под действием движущейся сосредоточенной нагрузки // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2017. № 2. 34-40.

7. Весницкий А.И. Волны в системах с движущимися границами и нагрузками. М.: Наука, Физматлит, 2001.

Поступила в редакцию 11.03.2018

УДК 532+532.529.5

ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ

Я. Д. Янков1

В статье обсуждается возможность построения математической модели дисперсных систем, аналогичной теории идеальных газов.

Ключевые слова: идеальная дисперсная система, скорость звука, относительная плотность.

This paper discusses the possibility of constructing a mathematical model of dispersion systems of a similar theory of ideal gases.

Key words: ideal dispersion system, speed of sound, relative density.

1. Научная проблема. Основная проблема современной теории дисперсных систем — вывести систему макроскопических уравнений, адекватно отражающих свойства дисперсных систем, при любых значениях размера дисперсных частиц и их объемного содержания, что было сделано автором в [1, 2]. Однако возникает вопрос о возможности упростить эти уравнения и разработать математическую модель, аналогичную теории идеальных газов.

2. Уравнения движения дисперсных систем. Для дальнейших исследований напомним предложенные в [1, 2] макроскопические уравнения переноса, моделирующие свойства поступательных степеней свободы дисперсных систем, записав их в следующем виде:

0,

du9 _ V7l7li Al ^J^ '"'P / 1 \ '0p

= QgE - Vr [(1 + ap)pg] + I apVrPg - ^ jVrpos " ^ " fo ) ^ +

+ Vr • < ßg

Vrufl + Vrufl* — ^ (Vr • ufl)I j, (1)

dUg 2 2

Qg = Vr(XgVrTg) - pg{ 1 + ap)(Vr ■ Ug) + ¡JLg(Vr\lg + Vrufl*) : Vrufl - - ßg(Vr ■ Ug)2,

dn

—^ + Vr • (npUg) = Vr ■ {DosVrPos - DpUpVrPg + DTnpVrTg),

1 Янков Янко Добрев — канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: yankov.yankoQyandex.ru.

Yankov Yanko Dobrev — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Scientific Researcher, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Aeromechanics and Gas Dynamics.

где дд, ug, pg, Tg, Ug, ^дШ \g — соответственно плотность, массовая скорость, давление, температура, внутренняя энергия, коэффициенты вязкости и теплопроводности несущей фазы; пР и аР = vpnp — числовая плотность и объемное содержание дисперсной фазы; дР — плотность вещества дисперсных частиц; g — ускорение силы тяжести; Vr — оператор Гамильтона; I — единичный тензор; Vrug* — транспонированный тензор Vrug; pos = (1 + 4apXpp)nPkTg — осмотическое давление твердых частиц, a k — константа Больцмана. Коэффициенты осмотической диффузии Dos, бародиффузии Dp и термофореза Dt определены выражениями

D -Ев D _£o1rnpí Од}| DOS-kTg> ^-ПдШдУ1 figj " ^

где Db — коэффициент броуновской диффузии сильноразреженных дисперсных систем; mg и mp — соответственно масса молекул несущей фазы и масса твердых частиц. Объем твердых частиц vp зависит от диаметра частиц аР. К сожалению, существующие экпериментальные данные не дают возможность определить явный вид функции хРР Для концентрированных систем, однако существуют определенные основания считать, что с ростом числовой плотности дисперсной фазы осмотическое давление будет расти таким образом, что в состоянии плотной упаковки твердых частиц оно примет бесконечное значение.

Естественно, что для полного замыкания системы макроскопических уравнений необходимо знать, как давление pg и внутренняя энергия Ug зависят от плотности gg и температуры Tg несущей фазы.

Физический смысл всех членов системы дифференциальных уравнений (1) подробно обсуждался в [1], где было указано, что разрабатываемая теория является нетривиальным обобщением теории броуновского движения. Предположим, что дисперсная фаза достаточно разрежена, чтобы не оказывать влияния на движение несущей фазы, а также, что газ находится в состоянии гидростатического равновесия, т.е. скорость ug = 0, температура Tg = const и Vrpg = ggg. При этих условиях из (1) получим хорошо известное в теории броуновского движения уравнение для числовой плотности твердых частиц

дПР _ V7 (г, V7 _ db , о

Vr • (оъУгПр - ^ Vp(q°p - вд)прg^ .

dt ч

Даже поверхностное сравнение уравнения диффузии классической теории броуновского движения с уравнением диффузии в (1) показывает, что существуют принципиальные отличия физического характера. Причина в том, что для снятия очень сильных ограничений ug = 0 и Tg = const теории броуновского движения необходимо изменить сам ее фундамент, что было предметом дискуссии в работе автора [1].

Прежде чем приступить к анализу свойств макроскопических уравнений (1), обратим особое внимание на то, что они записаны для случая достаточно крупных частиц (ад ^ ap, где ад — диаметр молекул газа). Если имеем дело с коллоидными системами и растворами, то в выражении для силы, с которой дисперсные частицы действуют на несущую фазу, необходимо учитывать все члены, входящие в диффузионную силу, а не только осмотической диффузии и бародиффузии.

Наконец, мы можем приступить к исследованию дифференциальных уравнений (1), описывающих свойства поступательных степеней свободы дисперсных систем.

3. Идеальные дисперсные системы. Анализ структуры нелинейных дифференциальных уравнений (1) показывает, что они намного сложнее, чем уравнения чистого газа (уравнения Навье-Стокса). Поэтому прежде всего необходимо изучить математические особенности указанных уравнений и выяснить, до какой степени можно к ним применять аналитические и численные методы механики жидкостей и газов.

Для дисперсных систем, состоящих из газа и пыли (твердых частиц), нелинейные дифференциальные уравнения (1) можно значительно упростить, если пренебречь всеми членами, моделирующими диссипативные процессы, а также учесть, что плотность вещества твердых частиц qP намного больше плотности газа Qg. При сформулированных условиях получается система дифференциальных уравнений типа Эйлера (математическая модель идеальных дисперсных систем):

^ + vr • (QgUg) =0, ^ + Vr • (арид) = 0,

= ар) v,Pi -1 . -л(1+Qp)v,. Ui, (2)

где d/dt = d/dt + ugVr, a pg = RggTg и Ug = cvTg. Здесь использованы обозначения: cp и cv теплоемкость при постоянном давлении и при постоянном объеме соответственно; R = cp — cv — универсальная газовая константа. Если определить показатели адиабаты формулой 7 = cp/cv, то

Ug

Pg

U9- {1~1)вд

(3)

Обратим внимание на то, что в модели идеальных дисперсных систем (2), (3) скорость твердых частиц ир тождественно равна скорости газа пд, т.е. частицы вморожены в несущую фазу.

Из структуры дифференциальных уравнений (2) видно, что свойства запыленного газа сильно зависят от отношения массового содержания твердых частиц др = драр к массовому содержанию газа дд. Относительная плотность дрд = др/дд определяет, к какому типу относятся уравнения запыленного газа (2).

4. Относительная плотность. Из первых двух уравнений (2) можно получить уравнение в частных производных первого порядка для дрд = др/дд-

1 dgg 1 dgp d др

дд ЛЬ др ЛЬ ЛЬ дд

Следовательно, дрд сохраняет свое значение вдоль характеристики уравнения Лдрд/ЛЬ = 0, т.е. др

дд

дрд

ударную волну. Действительно, из соотношения на ударной волне [2]

Vr

U„ = —

0.

(4)

@g 1 (N U:gnn ) = @g 2 (N ^ra) , Qp ) (N u>gn^ = Qp ^ (N u\gn

получается, что

N-u.

(1) gn

N - u.

(2) gn

it

it №

it

(2) Qp

(2) Qg

(5)

(6)

а следовательно, д^,] = др^ на ударной волне и др,] = др] на контактном разрыве. В формулах (5) и (6) использованы обозначения: N — скорость ударной волны и идп — нормальная компонента скорости газа.

Если в начальный момент времени относительная плотность одинакова во всех точках объема газопылевой смеси, то она останется одинаковой и неизмененной во времени и при дальнейшем движении дисперсной системы. Иначе говоря, далее будем предполагать, что дрд = сопв^, т.е. др и дд линейно связны соотношением др = дрд дд.

5. Энтропия. Уравнение для внутренней энергии газа ид (2) при помощи выражений (4) можно записать в виде

d_

dt

Pg

In - (7 - 1 )Oip Qg

d_

dt

Qg Qp

0,

или

dt

0,

Где ЭНТрОПИЯ газопылевод смеси определяется формулой

Pg

s = Ci, In-у - cv (7 - 1 )dp Qg

s = cv In Ц - cv(j - 1) Щ- дд, Qg Qp

(7)

(8)

в которой первый член — это энтропия чистого газа, а второй — поправка из-за зависимости давления pg от объемного содержания твердых частиц ap.

Следовательно, энтропия s сохраняется вдоль характеристик уравнения (7). Обратим внимание на то, что характеристики уравнений для энтропии s и относительной плотности Qpg совпадают.

Если течение дисперсной смеси изэнтропическое (s = const), то из определения (8) легко получить выражение для давления газа

Pg

= Qlexp

cv Qp

s Qpg Qg

(10)

(11)

где

и2

^ 3

в

(12)

— скорость звука запыленного газа. В формуле (12) выражение для осмотического давления рОБ необходимо представить как функцию энтропии в и плотности газа дд, используя уравнения для внутренней энергии газа ид, а также уравнения (3) и (9).

и 2

и

частиц и2 уменьшается и становится равным нулю при значении ар1^ (первая критическая точка), когда массовое содержание твердых частиц (др = д0ар) порядка плотности газа 2дд. Следовательно, при этих условиях возможно распространение звуковых волн, но их скорость уменьшается с ростом объемного содержания твердых частиц, пока не достигнет нулевого значения при ар^.

Физическая причина такого поведения скорости звука состоит в том, что если создать область повышенного давления (звуковую волну), то твердые частицы, плотность вещества дР которых намного больше плотности газа, из-за бародиффузии будут стремиться попасть в эту область и тормозить распространение волны, а когда массовое содержание твердых частиц (др = драР) порядка плотности газа 2дд, волна вовсе остановится.

При дальнейшем росте объемного содержания частиц ар выражение для и2 становится отри-

(2)

цательным: сначала падает, достигает минимального значения, потом начинает расти и при ар

и 2 = 0

а следовательно, дисперсная система находится в состоянии абсолютной неустойчивости. Твердых частиц так много, что они увлекают газ за собой и начинается коллапс волны, т.е. ее амплитуда неограниченно растет. Конечно, в действительности система развалится на области, где объемное содержание твердых частиц меньше а^1) (первая критическая точка), и области, где оно больше а^2) (вторая критическая точка).

и 2

тельная и стремится к бесконечности, когда объемное содержание достигает состояния плотной упаковки. При этих параметрах звуковые волны могут распространяться, но физический механизм другой. Если раньше твердые частицы мешали волнам двигаться, то сейчас прямые столкновения частиц между собой помогают волнам распространяться.

и

* (1) (2) "о

ществует критическое значение плотности газа дд, при штор ом ар = ар . В таком случае если плотность газа выше дд, то звуковые волны существуют при любом объемном содержании дисперсной фазы.

Аналогично можно рассматривать свойства скорости звука дисперсных систем, состоящих из жидкости с твердыми частицами или пузырьками, но все настолько очевидно, что нет смысла об этом подробно говорить. Принципиально важно понять, каким образом работает такой естественный и физически содержательный механизм, как бародиффузия дисперсной фазы, а то, что этот механизм действительно существует, не вызывает ни малейшего сомнения.

7. Свойства уравнений движения идеальных дисперсных систем. Анализ структуры дифференциальных уравнений (10) и (11) показывает, что свойства запыленного газа сильно за-

и

а это возможно только при условии и2 > 0, то газопылевые смеси ведут себя как чистые газы, но могут быть существенные количественные отличия, вызванные зависимостью скорости звука от наличия твердых частиц. Тогда для решения нелинейных дифференциальных уравнений (10) и (11) беспрепятственно можно использовать все математические методы [3], разработанные в классической газовой динамике, до того момента, пока не возникнут разрывы макроскопических параметров. В этом случае необходимые соотношения на разрыве можно получить из уравнений (2) только для

изотермических ударных волн [4, с. 497-499] при условии, что относительная плотность ppg постоянна.

Осталось разобраться с вопросом, как ведут себя решения дифференциальных уравнений (10) и (11), когда скорость звука U s — чисто мнимое число.

Прежде всего необходимо отметить, что при этих условиях дифференциальные уравнения не имеют действительных характеристик, а следовательно, задача Коши для этих уравнений некорректна. Аналогичные уравнения, изучавшиеся в монографии С.К. Жданова и Б.А. Трубникова [5], применяются при описании неустойчивых (квазичаплыгинских) сред. Авторы показали, что для такого типа уравнений типичны стоячие нарастающие во времени возмущения, а не бегущие волны, свойственные обычным газам. Особенно интересно то, что возможны разрывы среды в виде изолированных сгустков, что довольно часто наблюдается в механике дисперсных систем.

8. Заключение. Заканчивая обсуждения свойств уравнений идеальных дисперсных систем, отметим, что область их применения весьма ограничена из-за чрезвычайно больших значений коэффициента бародиффузии, не позволяющих пренебречь соответствующими членами в уравнении диффузии. Однако автор надеется, что удалось понять некоторые свойства, характерные и для полной системы уравнений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Япков Я.Д. Современная теория дисперсных систем. Деп. в ВИНИТИ РАН 30.08.2016, № 123-В2016. М., 2016.

2. Янков Я.Д. Граничные условия в современной теории дисперсных систем // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2018. № 1. 33-39.

3. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения в газовой динамике. М.: Наука, 1978.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

5. Жданов С.К., Трубников Б.А. Квазигазовые неустойчивые среды. М.: Наука, 1991.

Поступила в редакцию 25.04.2018

УДК 531.396

ЗАДАЧА ГАРАНТИРОВАННОГО ТЕСТИРОВАНИЯ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ

К.В. Тихонова1

Задача оценки точности алгоритмов стабилизации линейной системы на конечном интервале времени при наличии начальных и постояннодействуюгцих на управляемую систему возмущений рассматривается с точки зрения методики максиминного тестирования.

Ключевые слова: робастная стабилизация, максиминное тестирование, дифференциальная игра, седловая точка.

The problem of estimating the accuracy of linear system control algorithms on a finite time interval in the presence of initial and time-varying perturbations is considered from the standpoint of maximin testing methods.

Key words: robust stabilization, maximin testing, differential game, saddle point.

Рассматривается стационарная линейная система со скалярным управлением

x = Ax + bu, |x(0)| ^ 1, (1)

1 Тихонова Катерина Владимировна — ст. науч. сотр. Ин-та математических исследований сложных систем МГУ, e-mail: infoQinnopraktika.ru.

Tikhonava Katerina Vladimirovna — Senior Researcher, Lomonosov Moscow State University, Institute of Complex Systems Mathematical Research.