CC BY
98
Сер. 4. 2009. Вып. 4
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
УДК 535.016, 53.043, 538.971 В. Н. Марачевский
ТЕОРИЯ ЭФФЕКТА КАЗИМИРА ДЛЯ ТРЁХМЕРНЫХ СИСТЕМ С ОДНОМЕРНОЙ ПЕРИОДИЧНОСТЬЮ*
Введение. В 1948 г. Казимир рассчитал силу притяжения двух идеально проводящих незаряженных параллельных пластин [1]. В дальнейшем теория была обобщена Лифшицем на случай двух параллельных плоских диэлектриков, разделённых щелью [2]. Для большинства остальных исследовавшихся геометрий точные результаты были получены только в случае идеальной проводимости (недавно были получены точные результаты для геометрии поршня [3], а также прояснены результаты для идеально проводящей прямоугольной полости [4]).
В случае идеально проводящих граничных условий одномерные периодические геометрии были ранее исследованы теоретически для прямоугольной и синусоидальной дифракционных решёток [5]. Первые эксперименты по измерению нормальной составляющей силы Казимира в одномерной синусоидальной геометрии были проведены Роем и Мохидиным [6]. Однако для сравнения теории с экспериментом было необходимо создание точной теории, которая позволила бы вычислять силу Казимира при произвольно заданной диэлектрической проницаемости материалов и делала бы, таким образом, возможным получение точных результатов как для диэлектриков, так и для металлов.
Для большинства геометрий, отличных от плоских, результаты для энергии Казимира были получены только в так называемом приближении близкой силы (PFA - proximity force approximation) [7]. В этом приближении поверхности двух тел представляются в виде небольших параллельных друг другу плоских площадок, между которыми взаимодействие вычисляется как между бесконечными диэлектриками (или металлами), находящимися на таком же расстоянии. Основные эксперименты по измерению сил Казимира проводятся между плоской поверхностью и сферической поверхностью, радиус которой существенно превышает расстояние между телами [8]. Результаты, полученные с помощью приближения PFA, хорошо согласуются с экспериментальными данными.
В последнее время проводятся экспериментальные исследования нетривиальных геометрий вне области применимости приближения PFA. Недавно проведённый эксперимент по измерению нормальной силы Казимира в одномерных периодических геометриях прямоугольной формы с большими отклонениями от плоской геометрии показал отличие экспериментальных данных от теоретического результата, вычисленного с помощью приближения PFA [9]. Также этот эксперимент показал существенное отличие экспериментальных данных от результатов, полученных в приближении идеально проводящих граничных условий [5]. В этом эксперименте проводились измерения градиента нормальной силы Казимира между сферой из золота и дифракционной решёткой из силикона. При радиусе сферы Rs, много превышающем расстояние между сферой и дифракционной решёткой, для расчёта можно использовать приближение
* Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования России, грант № РНП 2.1.1/1575, а также гранта RFBR 07-01-00692a.
© В. Н. Марачевский, 2009
PFA в следующем виде: градиент нормальной силы между сферой и дифракционной решёткой Fps выражается через силу на единицу площади между дифракционной решёткой и плоскостью из золота Fpp с помощью соотношения F'Ps = 2nRsFpp. Сила на единицу площади F должна быть вычислена при минимальном расстоянии между дифракционной решёткой и плоскостью из золота, совпадающем с минимальным расстоянием между сферой из золота и дифракционной решёткой в реальном эксперименте. Таким образом, для сравнения теории и эксперимента требовалось вычисление точного значения силы на единицу площади между дифракционной решёткой из силикона и плоскостью из золота Fp p. В статье [10] была изложена новая точная теория, позволяющая рассчитывать нормальную силу Казимира в подобных геометриях. На основе данной теории было получено хорошее согласие теории с экспериментальными данными [9].
В настоящей работе получены новые точные формулы, позволяющие вычислять нормальную и боковую компоненты силы Казимира между двумя одномерными периодическими диэлектриками или одномерными периодическими диэлектрическими дифракционными решётками произвольной формы, разделёнными щелью. Периоды обоих диэлектриков совпадают, частотная зависимость диэлектрической проницаемости считается заданной. В нашей теории энергия Казимира выражается через матрицу отражения электромагнитных волн. Матрица отражения в случае дифракционных решёток или периодических диэлектриков может быть выражена через коэффициенты при базисных функциях в разложении Рэлея [11], описывающем отражение падающей электромагнитной волны от периодической структуры. Таким образом, энергия Казимира выражается через коэффициенты Рэлея. Стоит подчеркнуть, что применённый метод может быть напрямую использован и для вычисления силы Казимира в других геометриях. Кроме того, в данной формулировке теории нет расходимостей, выражение для энергии Казимира конечно.
Для вычисления энергии Казимира необходимо знание собственных частот системы. В основе приведённого ниже доказательства формулы для энергии Казимира в периодических геометриях - условие возникновения нормальных мод между двумя диэлектрическими телами, использованное в данной работе в приложении к периодическим структурам. Из этого условия можно определить частоты нормальных колебаний системы. Записав условие на собственные частоты системы, удобно воспользоваться принципом аргумента, чтобы просуммировать по всем частотам и вычислить силу Казимира при нулевой и конечной температурах. Подобный подход ранее использовался для плоских геометрий [12, 13]. В данной работе описано обобщение метода на периодические геометрии. Насколько нам известно, условие возникновения нормальных мод между двумя неплоскими диэлектриками в том виде, который приведён в нашей работе, в теории эффекта Казимира ранее не использовалось.
В данной работе мы приводим формулы при нулевой температуре. Однако необходимо уточнить, что большая часть экспериментов проводится при комнатной температуре. В теории влияние температуры учесть нетрудно, однако оно оказывается несущественным в большинстве случаев. Влияние температуры может проявиться только на значительных расстояниях между двумя телами, при которых измерение силы Казимира представляет серьезную экспериментальную проблему в связи с её малостью. Поэтому лишь недавно были проведены первые эксперименты по измерению влияния температуры в эффекте Казимира [14].
Теория систем с одномерной периодичностью. Рассмотрим две диэлектрические дифракционные решётки произвольного профиля в плоскости x,y с периодом d
в направлении х, разделённые щелью в трёхмерном пространстве (на рис. 1 обе дифракционные решётки имеют один и тот же профиль). Система инвариантна относительно сдвига в направлении г (направление г перпендикулярно рисунку). Для простоты предполагается, что пространство между двумя решётками заполнено вакуумом, удовлетворяющим условию е = ц = 1.
Решения уравнений Максвелла должны удовлетворять условиям квазипериодичности в направлении х, инвариантности относительно сдвига по времени £ и координате г, так что электрические и магнитные поля могут быть записаны в виде
Ег(х, у, г, £) = Ег(х, у) ехр(%кгг — гшЬ),
Нг(х, у, г, £) = Нг(х, у) ехр(*к2г — гшЬ),
Ег (х + в,,у) = егкхЛЕг (х, у), щ(х + 3,,у) = вгкхЛИг(х, у).
Рис. 1. Дифракционные
с периодом й и смещением в
решетки
боковым
В каждой задаче по теории эффекта Казимира необходимо определить полный базис решений волнового уравнения. Рассмотрим дифракцию электромагнитных волн на нижней дифракционной решётке, когда верхняя дифракционная решётка отсутствует. Нас интересует решение задачи для произвольных значений г-компоненты волнового вектора кг. Продольные компоненты электромагнитного поля в области у > а могут быть записаны с использованием базиса Рэлея [11]:
Ег (х, у) = іРе) ехр (їарх — фР1}у) + ^2 ЯПР ехр (іапх + ірП1}у), (1)
п= — оо -^-оо
Нг(х, у) = ірн) ехр [іарх — івр1 у) + ^2 ЕПр ехр (*а„х + ф^у) , (2)
п= — оо
ар = кх + 2пр/й, вР1^2 = ю2 — к1 — ар,
ап = кх + 2тт/й, рі1)2 = ю2 — к2 — аП,
где р - целое число, суммирование производится по всем целочисленным п. Другие компоненты электромагнитного поля могут быть выражены через продольные компоненты Ег,НХ с использованием формул, хорошо известных из теории волноводов. Это решение верно вне любой одномерной периодической структуры в трёхмерном пространстве (т. е. при у > а).
Для того чтобы определить коэффициенты Н(Р, Нр для выбранного периодического профиля, удобно переписать уравнения Максвелла в области 0 < у < а в виде обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, Щ- = М(у)В, где М(у) - квадратная матрица размерности 8М + 4, ВТ = (Ег, Ех,Нг, Нх) и 2М +1 - число коэффициентов Рэлея, рассматриваемых в каждом из разложений Рэлея (1), (2). Для прямоугольных дифракционных решёток матрица М - постоянная матрица
при всех 0 < у < а. При у = 0 решение должно удовлетворять разложениям
Ег(х,у) = ^2 ТПР ехр^апх - фП2)У), (3)
пр
п= — оо
Нг(х, у) = ^2 ТПР ехр(1апх - у), (4)
пр
п= — оо
Р„ = - к1 - аn,
которые действительны при у ^ 0. Неизвестные коэффициенты Рэлея могут быть определены при сшивке решений уравнений = М(у)В в области 0 < у < а, с разложениями Рэлея (1), (2) при у = а и разложениями (3), (4) при у = 0.
Матрица Д(ю) коэффициентов отражения от нижней дифракционной решётки определяется следующим образом:
Си(е) ( т(е) _______ я т(^) _ 0) Н(е) ( т(е) _ 0 т(^) _ Л )\
п-гчдгУтр — ярд1 ,тр —и) Ып2дДТР ~ и,ТР ~ яРЧ2 ) |
^(^) (т(е) = я = 0) ]^(н) (т(е) = 0 т(-к) = я и "
1Ьпздз\тр — иряз ,2р — и/ пп494 Iтр — у-,,1р — ярд4//
Выполняя замену координат у = -у' + Ь, х = х' — в (в < !) в (1), (2), можно получить матрицу Дир для отражения вверх идущей волны от перевёрнутой дифракционной решётки с тем же профилем, которая смещена на Дх = в, Ду = Ь от нижней дифракционной решётки (рис. 1). Отсюда следует, что
Дир('ю) = Q*K (*ю)Д(*ю)К (1ю>№,
где К(ш) - матрица коэффициентов отражения вниз идущих волн от нижней дифракционной решётки до смещения. Тут К('ю) - диагональная матрица 2(2Ж +1) х 2(2Ж +1) вида
К С01 X),
с матричными элементами ехр (^—Ь^ со2 + /г2 + (кх + ^р)2^ (тп = —М,..., М) на главной диагонали матрицы О1. Диагональная матрица бокового смещения Q имеет раз-
мерность 2(2N +1) и определена следующим образом:
Q = (°2 0,
с матричными элементами е2ягтв/а (т = —N,..., N на главной диагонали матрицы О,.
До настоящего момента мы рассматривали проблему дифракции на одиночной дифракционной решётке. Чтобы вычислить энергию Казимира, необходимо определить собственные частоты нормальных колебаний системы из двух дифракционных решёток. Удобно использовать принцип аргумента, который утверждает:
1 г !
2л/1 ? Ф(ю)^1п/(ю)йю =
где ®о - нули и юто - полюса функции ](ю) внутри контура интегрирования, кратные собственные числа суммируются согласно кратности [12, 13]. Для энергии Казимира
имеем: ф(ю) = Ню/2. Уравнение на собственные частоты для соответствующей задачи классической электродинамики: ](ю) = 0.
Для двух дифракционных решёток или периодических диэлектриков, разделённых щелью, нужно рассмотреть отражение идущих вниз и вверх волн, удовлетворяющих условию 0 < кх < 2п/!. Обозначим матрицу отражения для волн, идущих вниз, как Д(ю), матрицу отражения для волн, идущих вверх, как Дир(ю). Структура и профиль дифракционных решёток могут быть совершенно различными для нижнего и верхнего диэлектриков, единственное условие - это совпадение периодов ! для нижнего и верхнего диэлектриков. Диэлектрические проницаемости также могут быть различными для нижнего и верхнего диэлектриков. Уравнение на нормальные моды может быть записано в виде
Rup(юi)R(юi)yi = ^, (6)
где ^ - собственный вектор, описывающий нормальную моду с частотой юъ. Из (6) получаем условие на собственные частоты системы из двух дифракционных решёток:
— Rup(ю)R(ю)) = 0. (7)
Для каждого кх ,кг решение уравнений (7) даёт возможные собственные частоты юъ решений уравнений Максвелла, которые нужно подставить в определение энергии Казимира Е = Нюъ/2. Эти решения должны стремиться к нулю при у ^ ±то. Суммирование по всем частотам выполняется с использованием принципа аргумента (5). В результате получаем энергию Казимира двух параллельных диэлектриков в расчёте на ячейку периода ! в направлении х и единичной длины в направлении г в виде
Е= I с1ш I <1кг I с1кх 1пс1е1^/ — Дир(*со)Д(*со) ^, (8)
о о
с - скорость света в вакууме. Это выражение является точным для двух произвольных дифракционных решёток или периодических диэлектриков с совпадающими периодами !, разделённых вакуумной щелью. Оно может быть использовано для вычисления энергии Казимира любых параллельных дифракционных решёток или периодических диэлектриков, сделанных из материалов, описываемых диэлектрическими проницаемостями.
Заключение. Решение задачи легко обобщается на случай, когда в направлении у (при у < а и у > Ь — а) происходит чередование произвольного числа периодических слоёв с различными профилями, изготовленных из различных материалов (с периодом ! в направлении х), и однородных слоёв. В каждом слое с одномерной периодичностью нужно решить систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка = Мг(у)В, где i - номер слоя с одномерной периодичностью, Вт = = (Ег,Ех,Нг,Нх) - компоненты электромагнитного поля в базисе Рэлея. В каждом однородном слое выполняются разложения Рэлея, с помощью которых, зная решение уравнений Максвелла на верхней границе однородного слоя, получаем решение на нижней границе однородного слоя. Далее, путем сшивки решений на границах периодических и однородных слоёв, можно получить матрицы отражения в области а < у < Ь — а, обобщающие матрицы отражения R(ю) и Rup(ю), и использовать формулу (8) для вычисления энергии Казимира.
2п
1. Casimir H. B. G. On the attraction between two perfectly conducting plates // Proc. K. Ned. Akad. Wet. 1948. Vol. 51. P. 793-795.
2. Лифшиц Е. М. Теория сил Ван-дер-Ваальса // Журн. экспер. теор. физ. 1955. Т. 29. С. 94-104.
3. Marachevsky V. N. Casimir interaction of two plates inside a cylinder // Phys. Rev. (D). 2007. Vol. 75. P. 085019-(1)-085019-(6).
4. Idem. Casimir interaction: pistons and cavity // J. Phys. (A). 2008. Vol. 41.
P. 164007-(1)-164007-(7).
5. Biischer R., Emig T. Nonperturbative approach to Casimir interactions in periodic geome-
tries // Phys. Rev. (A). 2004. Vol. 69. P. 062101-(1)-062101-(18); Iidem. Geometry and Spectrum of Casimir Forces // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 94. P. 133901-(1)-133901-(4).
6. Roy A., Mohideen U. Demonstration of the nontrivial boundary dependence of the Casimir
force // Ibid. 1999. Vol. 82. N 22. P. 4380-4383.
7. Bordag M., Mohideen U., Mostepanenko V. M. New developments in the Casimir ef-
fect // Phys. Rep. 2001. Vol. 353. P. 1-205.
8. Decca R. S., Lopez D., Fischbach E. et al. Precise comparison of theory and new experiment for the Casimir force leads to stronger constraints on thermal quantum effects and long-range interactions // Ann. Phys. 2005. Vol. 318. P. 37-80; Iidem. Novel constraints on light elementary particles and extra-dimensional physics from the Casimir effect // Eur. Phys. J. (C). 2007. Vol. 51. P. 963-975.
9. Chan H. B., Bao Y., Zou J. et al. Measurement of the Casimir force between a gold sphere and a silicon surface with nanoscale trench arrays // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 101. P. 030401-(1)-030401-(4).
10. Lambrecht A., Marachevsky V. N. Casimir interaction of dielectric gratings // Ibid. P. 160403-(1)-160403-(4).
11. Lord Rayleigh O. M. On the dynamical theory of gratings // Proc. Roy. Soc. (A). 1907. Vol. 79. P. 399-416.
12. Schram K. On the macroscopic theory of retarded Van der Waals forces // Phys. Lett. (A). 1973. Vol. 43. P. 282-284.
13. Бараш Ю. С., Гинзбург В. Л. Электромагнитные флуктуации в веществе и молекулярные (ван-дер-ваальсовы) силы между телами // Усп. физ. наук. 1975. Т. 116. C. 5-40.
14. Obrecht J. M., Wild R. J., Antezza M. et al. Measurement of the temperature dependence of the Casimir-Polder force // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 98. P. 063201-(1)-063201-(4).
Принято к публикации 1 июня 2009 г.
