ТЕОРИЯ ДИАЛЕКТИЧЕСКИХ ИДЕЙ: ЛОТМАН - ХАЙДЕГГЕР - ДЕЛЁЗ Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

Теория диалектических идеи: Лотман — ХаИдеггер — Делёз

Джеймс Бахо

Стипендиат программы Фулбрайта для постдоков, Исследовательская группа по европейской философии и истории идей (EPHI), Школа гуманитарных и социальных наук (SHSS), факультет искусств и образования, Университет Дикина, Австралия. Адрес: 221 Burwood Highway, VIC 3125 Burwood, Australia. E-mail: [email protected].

Ключевые слова: Жиль Делёз; Альбер Лотман; Мартин Хай-деггер; онтология; метафизика; метаматематика; диалектическая Идея; проблема.

В «Различии и повторении» общая онтология Делёза структурируется с помощью его теории диалектических проблем-Идей. Эта теория выводит некоторые свои элементы из работ Платона, Канта и истории классического исчисления. Однако Делёз сводит эти элементы воедино, подгоняя их к теории проблем-Идей, разработанной математиком и философом Альбером Лотманом. В своих работах Лотман стремился объяснить природу проблем, или диалектических Идей, которыми занимается математика, и решений, или математических теорий, разработанных для того, чтобы понять проблемы. Разрабатывая свою теорию проблем-Идей, Лотман в значительной мере опирался на раннюю онтологию Мартина Хайдеггера. И хотя Делёз редко цитирует Хайдеггера, если обратить внимание на то, как Лотман выступает в роли посредника между двумя философами, мы увидим, что некоторые элементы онтологии Хайдег-гера косвенно влияют на онтологию Делёза. Эта линия хайдеггерианского влияния остается по большому счету не признанной и не исследованной в исследованиях Делёза.

В статье производится попытка (1) прояснить делезовскую теорию диалектических проблем-Идей посредством анализа концептуальных заимствований у Лотмана и Хайдеггера и (2) показать ключевое влияние Хайдеггера, опосредованное Лотманом, на онтологию Делёза. Чтобы достигнуть этих двух целей, автор рассматривает пять основных утверждений, перенятых делезовской теорией у Лотмана. Он реконструирует их соответствующие смыслы в теории Лотмана и обсуждает, как Лот-ман использует труды Хайдеггера, чтобы объяснить ключевые моменты своей позиции. Эти пять основных делезианских/лотманианских утверждений таковы: (1) проблемы-Идеи отличаются по природе от решений и не исчезают с возникновением решений; (2) проблемы-Идеи диалектичны; (3) проблемы-Идеи трансцен-дентны в отношении решений;

(4) проблемы-Идеи одновременно имманентны этим решениям;

(5) между проблемами-Идеями

и решениями устанавливается генетическое отношение, то есть решения порождаются на основе определяющих условий проблем-Идей.

I. Введение

В «РАЗЛИЧИИ и повторении» Жиль Делёз представляет сложную онтологию, общая структура которой задается его теорией диалектических Идей, или проблем. Для Де-лёза эти Идеи являются «диалектическими», потому что они по сути свой проблематичны (в дальнейшем важно сохранить использование обеих терминологий — «Идей» и «проблем»). В этой онтологии сущности являются «симулякрами» или «системами, в которых различное соотносится с различным посредством самого различия»1. У систем симулякров есть два онтологических регистра: виртуальный, внутри которого происходят конститутивные процессы дифференциации, и актуальный, внутри которого происходят конститутивные процессы дифференсиации. Дифференциальные и дифференсиальные состояния, произведенные ими, претерпевают трансформации, так что мир сущностей-симулякров представляет собой бурлящий «хаосмос», где поддерживаются лишь частично стабильные идентичности.

Делёз рассматривает ключевые аспекты структуры виртуального и актуального и отношения между ними с точки зрения своей теории диалектических проблем-Идей и решений, порожденных в соотнесении с ними. Точнее говоря, он считает, что системы симулякров являются «местом актуализации Идей»2, то есть местом определения решений проблем, а проблемы, в свою очередь, составлены из виртуальных или диалектических Идей. В актуализации дифференциальные отношения и сингулярности, составляющие Идею, «драматизируются», «воплощаются», «индивидуируются» или «решаются» пространственно-времен-

Перевод с английского Дианы Хамис по изданию: © Bahoh J. Deleuze's Theory of Dialectical Ideas: The Influence of Lautman and Heidegger // Deleuze and Guattari Studies. 2019. Vol. 13. № 1. P. 19-53. Публикуется с любезного разрешения автора.

1. Делёз Ж. Различие и повторение. СПб.: Петрополис, 1998. С. 334.

2. Там же.

ными динамизмами и теми качествами, экстенсивностями, видами и частями, которые порождают эти динамизмы.

Теория диалектических проблем-Идей выводит некоторые свои элементы из работ Платона и Канта, а также истории классического исчисления. Но Делёз сводит их воедино, подгоняя их к теории проблем-Идей, разработанной математиком и философом начала XX века Альбером Лотманом (1908-1944). Основной задачей Лотмана в связи с этим было объяснение природы проблем, которыми занимается математика — он называл их также «диалектическими Идеями», — и решений или математических теорий, стремящихся эти проблемы понять3. Хотя Лотман не применял свою теорию к сферам вне математики, он утверждал, что диалектические проблемы-Идеи и их соответствующие решения составляют необходимую метафизическую структуру для всех сфер исследования и для онтологического генезиса в целом. Делёз перенимает лотмановскую теорию проблем-Идей почти полностью и развивает ее, чтобы привести именно к этим результатам. Другими словами, теория Лотмана приспосабливается Делёзом для того, чтобы предоставить общую структуру его онтологии.

Примечательно, что Лотман, развивая свою теорию проблем-Идей, в значительной мере опирался на работы Мартина Хайдег-гера. Пусть Делёз цитирует Хайдеггера очень редко — если мы обратим внимание на то, как Лотман выступает в роли посредника между двумя философами, то увидим, что некоторые элементы онтологии Хайдеггера косвенно влияют на онтологию Делёза и составляют некий исторический ориентир, важный для ее осмыс-ления4. Лотман формирует ключевую, хотя и игнорируемую исследователями связь между Хайдеггером и Делёзом как на историческом, так и на систематическом уровне. Делёз обращается главным образом к трем эссе Лотмана: «Эссе о понятиях структуры и существования в математике» (Essai sur les notions de structure et d'existence en mathématiques, 1938), «Новые исследования диалектической структуры математики» (Nouvelles recherches sur la

3. Lautman A. New Research on the Dialectical Structure of Mathematics // Laut-man A. Mathematics, Ideas and the Physical Real. L.: Continuum, 2011. P. 199.

4. Во всем «Различии и повторении» Делёз открыто упоминает Хайдеггера лишь 11 раз в основном тексте и примечаниях. Я насчитал 24 употребления слов «Хайдеггер» и «хайдеггерианский», хотя не могу гарантировать, что нашел их все. Числа не включают упоминания в библиографии или библиографические сведения из примечаний.

structure dialectique des mathématiques, 1939) и ко второй главе книги «Симметрия и асимметрия в математике и физике» (Symétrie et dissymétrie en mathématiques et en physique, 1946), озаглавленной «Проблема времени».

Эссе «Новые исследования» содержит самое значительное обсуждение идей Хайдеггера. В 1956-1957 годах Делёз читал подготовительный курс5 в лицее Людовика Великого под названием Qu'est-ce que fonder? («Что такое обоснование?»)6. Как указывает Нокс Пиден, «текстом-первоисточником» для курса «послужил перевод и комментарий к Хайдеггеру Анри Корбена в сборнике под названием „Что такое метафизика?"»7. Этот же том является единственным сборником работ Хайдеггера, на который ссылается Лотман в «Новых исследованиях»; в особенности Лотман опирается на опубликованный в нем перевод хайдеггеровского «О существе основания». Следовательно, можно заключить, что, когда Делёз перенял элементы лотмановской теории проблем-Идей из «Новых исследований», он прекрасно знал о хайдегге-ровском влиянии на теорию. Это примечательно с учетом важности Лотмана для «Различия и повторения» и малочисленности открытых упоминаний Делёзом Хайдеггера при обсуждении Лотмана.

В дальнейшем я буду преследовать две цели. Я постараюсь, во-первых, прояснить делезовскую теорию диалектических проблем-Идей в «Различии и повторении» посредством анализа заимствований у Лотмана и Хайдеггера, а во-вторых, показать ключевое влияние Хайдеггера, опосредованное Лотманом, на онтологию Делёза. Эта конкретная линия хайдеггеровского влияния остается по большому счету не признанной и не изученной в исследованиях Делёза. Я начну с рассмотрения того, что Хайдеггер называет «продуктивной логикой» (produktive Logik) «основопо-

5. Для поступления в Высшую нормальную школу. — Прим. пер.

6. См. английский перевод курса: Deleuze G. What Is Grounding? Grand Rapids, MI: К& Publishing, 2015.

7. Peden K. Spinoza Contra Phenomenology: French Rationalism From Cavailles to Deleuze. Stanford, CA: Stanford University Press, 2014. P. 200, 245. Перевод Корбена, на который ссылается Пиден: Heidegger M. Qu'est-ce que la metaphysique? P.: Gallimard, 1938. Этот сборник также содержит выполненные Корбеном переводы «Что такое метафизика?», отрывки из «Бытия и времени» (§ 46-53, 72-76), отрывки из «Канта и проблемы метафизики» (раздел «С. Метафизика Дазайна как фундаментальная онтология») и «Гёль-дерлин и сущность поэзии».

лагания» (Grundlegung) при прояснении своего отношения к проблематике бытия для того, чтобы структурировать развитие онтологии в истории его мысли8.

Это рассмотрение установит контекст, необходимый для понимания нескольких важных аспектов теории проблем-Идей Лотмана. Затем я обращусь к объяснению пяти основных тезисов теории проблем-Идей Делёза за счет исчерпывающей реконструкции их смыслов в теории Лотмана. Попутно я разберу то, как Лотман использует положения Хайдеггера, чтобы объяснить ключевые аспекты своей теории проблем-Идей. В завершение укажу на два фактора, с помощью которых Делёз привнес нечто новое в лотма-но-хайдеггеровскую теорию диалектических проблем-Идей9. Пять основных тезисов теории Делёза, которые я собираюсь разъяснить, таковы:

1. Проблемы-Идеи отличаются по природе от решений и не исчезают с возникновением решений.

2. Проблемы-Идеи диалектичны.

3. Проблемы-Идеи трансцендентны по отношению к решениям.

4. Проблемы-Идеи одновременно имманентны этим решениям.

5. Между проблемами-Идеями и решениями устанавливается генетическое отношение, то есть решения порождаются на основе определяющих условий проблем-Идей10.

В следующем фрагменте Делёз утверждает эти положения и прибегает к некоторым связанным с ними терминами, которые я также рассмотрю позднее:

8. Хайдеггер М. Бытие и время. М.: АЛ Ма^теш, 1997. С. 10.

9. Для ясности следует заметить, что термин «диалектический» не используется Хайдеггером. Лотман вводит его в хайдеггеровский контекст.

10. Следует отметить важность этих утверждений для объяснения теории событий Делёза. Он различает два регистра событий: идеальные события (на уровне виртуального) и актуальные события, так что оба вида событий онтологически реальны. В делезовской теории идеальных событий: (1) идеальные события — это события, которые происходят при составлении, или композиции, виртуальных Идей; (2) идеальные события одновременно трансцендентны и имманентны по отношению к актуальным событиям; (3) идеальные события конституируют некоторые из условий проблем-Идей, так что эти условия актуализируются в решения; (4) логика идеальных событий является логикой онтологического генезиса как в отношении определения виртуальных Идей, так и в отношении определения полей решений на уровне актуального.

Проблема не существует вне своих решений. Но, далеко не исчезая, она упорствует и сохраняется в покрывающих ее решениях. Проблема определяется во время своего решения, но ее определение не совпадает с решением, эти два элемента сущ-ностно различны: определение подобно генезису сопутствующего решения. (Таким образом, распределение сингулярностей полностью принадлежит условиям проблемы, в то время как их спецификация отсылает уже к решениям, возникшим в этих условиях.) Проблема по отношению к ее решениям одновременно трансцендентна и имманентна. Трансцендентна, так как состоит из системы идеальных связей (liaisons), или дифференциальных отношений между генетическими элементами. Имманентна, так как эти связи или отношения воплощаются в несходных с ними актуальных отношениях, определяемых полями решений. Никто не показал лучше Альбера Лотмана в его достойной восхищения работе, что проблемы были сначала платоновскими Идеями, идеальными связями между диалектическими понятиями, относящимися к «случайным ситуациям существующего», но также что они актуализируются в реальных отношениях, конститутивных для решений, искомых в математическом, физическом или ином поле. В этом смысле, по Лотману, наука всегда причастна к превосходящей ее диалектике, то есть метаматематической и экстрапропозициональной силе, хотя такая диалектика воплощает свои связи лишь в действенных научных пропозициях и теориях. Проблемы всегда диалектичны11.

II. Набросок продуктивной логики основополагания Хайдеггера

Центральная проблема Хайдеггера заключается в том, чтобы прояснить природу бытия. Конечно же, он не рассматривает бытие как проблему. Но логика бытия в его онтологии в некотором смысле является проблематической. Если говорить терминами Делёза, бытие для Хайдеггера выступает «проблематическим элементом»: оно раскрывается умопостижимым образом в рамках его онтологии, вместе с тем выходя за эти рамки и подталкивая эту онтологию к имманентному развитию". Если точнее: рефлексивная логика, задействованная в проблематике бытия, подразумевает, что онтология Хайдеггера и понятия, которые он ис-

11. Делёз Ж. Различие и повторение. С. 203-204. Перевод изменен. — Прим. пер.

12. Там же. С. 221.

пользует для ее выражения, не статичны, но сложным образом развиваются.

Тот факт, что понятия оказываются действенными в том, чтобы выражать проблематику бытия все лучше обоснованными способами, строгим образом предполагает, что они нарушают установленные концептуальные режимы или семантические и синтаксические порядки13. Эти нарушения находят

13. Я признаю, что утверждение, согласно которому эволюция хайдегге-ровской онтологии подразумевает «все лучше обоснованные» объяснения, звучит странно, так как он крайне критично относился к традиционным понятиям основания и часто делал упор на важность понятия Un-grund (см., напр.: Heidegger M. Beiträge zur Philosophie (Vom Ereignis). Fr.a.M.: Vittorio Klostermann, 2003. S. 380). Однако Хайдеггер постоянно прибегал к терминологии основания и отношения обосновывающих и обоснованных элементов, хотя его понятие основания отличалось от традиционных. Для Хайдеггера основание — не окончательный фундамент, принцип или субстрат. «Основание» скорее описывает характер изначальных онтологических структур в той мере, в которой они позволяют более производным онтологическим и он-тическим структурам быть. Таким образом, основание схоже с кантианским условием возможности, но Хайдеггер упразднил трансцендентальное единство апперцепции и начиная примерно с 1930 года стал выдвигать теории обосновывающих онтологических структур, предшествующих Dasein. Это можно наблюдать в том, как он использует понятие «основы внутренней возможности», Grund der inneren Möglichkeit (Хайдеггер М. О сущности истины // Он же. Разговор на проселочной дороге. М.: Высшая школа, 1991. С. 15). К тому же важно подчеркнуть, что Хайдеггер многократно использует понятие основания, чтобы охарактеризовать само бытие. Так, он утверждает, что «„основание" составляет трансцендентальную сущностную черту бытия вообще» (Он же. О существе основания // Он же. Что такое метафизика? М.: Академический проект, 2013. С. 215. Курсив снят). Несколько лет спустя во «Вкладах в дело философии» он разработает теорию (перечеркнутого) бытия (Seyn) исходя из события (Ereignis) и использует концептуальный регистр основания, чтобы выразить сущностные характеристики события. Важно, что его понятие основания подразумевает бездну, или безосновность (Abgrund), которая не дает какому-либо основанию стать абсолютным фундаментом. Например, в работе «О существе основания» он развивает понятие «свободы», влекущей за собой «бездонность присутствия» (Ab-grund des Daseins) (Он же. О существе основания. С. 218), а во «Вкладах в дело философии» Abgrund — одна из трех основных структур основания вместе с Ur-grund и Un-grund, вносящих вклад в определение бытия как события (Heidegger M. Op. cit. S. 379). Учитывая эти оговорки, можно сказать, что онтология Хайдеггера от ранней к поздней развивается посредством упорядоченного методологического паттерна, который действительно можно описать как производящий все лучше обоснованные взгляды на его проблематику: он (1) рассматривает некое множество терминов,

параллели: (1) в работе Лотмана — в реконфигурациях математической теории, случающихся, когда математика основывается на новых структурных аспектах метаматематических диалектических проблем-Идей или воплощает эти аспекты; (2) в работе Делёза — события на уровне актуального происходят с актуализацией трансформаций в виртуальных диалектических проблемах-Идеях.

В «Бытии и времени» Хайдеггер обсуждает продуктивную логику основополагания, характеризующую его методологию обсуждения вопроса о бытии. Эта продуктивная логика движет эволюцией его онтологии, выражает ключевой смысл хайдеггеровской трансценденции, столь важной для Лотмана, и проясняет природу нарушений установленных режимов или порядков. В контексте обсуждения продуктивной логики Хайдеггер различает два модуса науки: «позитивную» науку и то, что я буду называть «радикальной» наукой. Продуктивная логика основополагания проявляется в радикальной науке.

Согласно Хайдеггеру, у каждой науки есть предметная область (Sachgebiet): либо ей выступает какая-то сфера сущих (например, природа, психика или государство), и тогда наука является онтической, либо ей выступает бытие сущностей, и тогда перед нами фундаментальная онтология14. Я буду время от времени называть некую область, определенную наукой, «проблемным полем». Каждая наука порождает набор основных понятий (Grundbegriffe), выражающих основоустройство (Grundverfassung) ее предметной области, то есть ее проблемное поле. В психоаналитической версии науки психологии, например, основные понятия принципа удовольствия, принципа реальности, Оно, Я и Сверх-Я могут использоваться, чтобы выразить осно-

используемых, чтобы выразить проблематику бытия или некоторый ее аспект, (2) исследует основание этих терминов, (3) разрабатывает теорию этого основания и (4) перестраивает проблемное поле с точки зрения этого основания. В другой статье я описываю последовательность все лучше обоснованных объяснений на примере того, как Хайдеггер рассматривает онтологическую проблематику сущности истины: сначала идет истина как правильность; затем истина как феноменологическая, а-летическая несокрытость сущностей; потом истина как априорные а-летические онтологические структуры свободы/ открытости и потаенности/закрытости/ускользания; наконец, истина как самодифференциация (Bahoh J. Heidegger's Differential Concept of Truth in Beiträge // Gatherings: The Heidegger Circle Annual. 2014. № 4. P. 39-69).

14. Хайдеггер М. Бытие и время. С. 6.

воустройство психики. Основные понятия также служат основой для более производных понятий и операций внутри науки, например для определения психологических нарушений и условий терапевтической практики. Позитивная наука является научно-исследовательской деятельностью, и ее практическое применение имеет место, когда основные понятия науки принимают аксиоматическую роль, становятся бесспорными и более или менее прозрачными для практикующих науку. В позитивной науке исследования производятся внутри проблемного поля согласно логике, определенной набором основных понятий, которые сами не ставятся под вопрос.

В отличие от этого, в радикальной науке основоустройство предметной области проблематизируется, вызывая переоценку ее основных понятий и операцию основополагания. Основные понятия науки открыто проблематизируются, теряют свой аксиоматический статус, а следовательно, обоснованная ими логика больше не служит мерой легитимных (то есть обычных) позитивных операций. Если мы проблематизируем природу бессознательного и обнаружим, что оно структурировано подобно языку, это вызовет переформулирование терминов и практик психоаналитической психологии. Этот вид нарушения можно рассмотреть как пример актуального события в делезовском смысле. Подобное событие требует, с хайдеггеровской точки зрения, пересмотра основных понятий науки с тем, чтобы было дано более подлинное (eigentlich) объяснение основоустройства ее предметной области. В свою очередь, он коренным образом перестраивает построенное на ней позитивное научное поле. Радикальное научное движение основополагания устанавливает продуктивную логику, врезаясь в более изначальное основание и выдвигая новые основные понятия для ее выражения. Важно, что движение, посредством которого основоположение превосходит существующие основные понятия по направлению к изначальному основанию предметной области, — пример движения, называемого Хайдеггером «трансценденцией», что очень важно для Лотмана.

Тогда как любую науку можно вывести из позитивного модуса в радикальный, согласно Хайдеггеру, ни одна онтическая наука сама по себе не может предоставить достаточное объяснение основоустройства своей предметной области. Причина в том, что подобное объяснение требует соответствующего понимания бытия сущностей, составляющих предметную область, а это задача фундаментальной онтологии. Таким обра-

зом, поскольку предметная область фундаментальной онтологии — бытие сущего, то есть отчасти основание, позволяющее сущностям быть, она по определению проблематизирует основные понятия всех онтических наук и вызывает их в радикальный модус. Иными словами, по отношению к онтическим наукам фундаментальная онтология сущностно выступает радикальной наукой.

Фундаментальную онтологиию легко провалить, например сделав из нее онто-теологию. Чтобы избежать этого, следует должным образом установить охват и методологию фундаментальной онтологии. В «Бытии и времени» Dasein составляет условие возможности какой бы то ни было онтологии (неся в себе присущее отношение мысли и бытия), а бытие, к которому Dasein имеет особый доступ, — его собственное, так что необходимой сценой для фундаментальной онтологии является ее собственное бытие. Итак, фундаментальную онтологию Хайдеггера следует выполнять как экзистенциальный анализ Dasein.

Задействованная здесь рефлексивность ведет к продуктивной, бездонной логике, принадлежащей к проблематике бытия в хай-деггеровской онтологии. Для Хайдеггера существование, исследуемое Dasein, отчасти конституируется операцией вопрошания. Соответственно, каждый момент выполнения этой операции модулирует существование Dasein. Данное обстоятельство выводит меры этого существования за пределы его понимания, представленного в какой-либо момент. В проблематике бытия, выстраиваемой как экзистенциальный анализ Dasein, предметная область отчасти открыта, но в то же время ускользает от своего объяснения. В 1930-х годах Хайдеггер представляет этот аспект своей проблематики, прибегая к понятию Ab-grund, или «бездонного основания», и онтология движется по траектории к этому Ab-grund.

Бездонная логика, принадлежащая проблематике бытия, не устраняет проект онтологии. Напротив, она делает фундаментальную онтологию продолжающимся проектом, где выдвигаются все лучше обоснованные объяснения бытия. Точнее, Хайдеггер проходит через эту бездонную логику и разрабатывает серию теорий существования Dasein с точки зрения все более и более изначальных теорий структур, конституирующих это существование путем продуктивной логики основополагания. Следует также заметить, что, тогда как экзистенциальный анализ спрашивает о бытии Dasein, Dasein как сущее, то есть как его существование,

включает и онтологический, и онтический регистры15. Открытые онтологические структуры служат в качестве основания, позволяющего более производным онтическим аспектам быть. Тогда как в фундаментальной онтологии Dasein воплощает продуктивную логику основополагания, чтобы выразить бездонную логику, принадлежащую проблематике бытия, движение трансценден-ции, описанное выше с точки зрения радикальной науки, запятнано существованием Dasein.

В «Бытии и времени» Хайдеггер описывает динамику существования Dasein с точки зрения трансценденции в нескольких регистрах (с точки зрения логики бытия-в-мире или логики тем-поральности, например). Но фундаментальная онтологическая трансценденция составляет особенно важный регистр в лотма-новском анализе Хайдеггера. Здесь Dasein очерчивает бездонный аспект своего бытия, развивает основные понятия, чтобы выразить его, и пересматривает существующие объяснения своего бытия на этом основании, то есть пересматривает целое проблемное поле фундаментальной онтологии. Это непрерывное радикальное научное движение, с помощью которого развивается хайдеггеров-ская онтология.

15. Некоторые интерпретаторы Хайдеггера могут не согласиться, утверждая, что Dasein вовсе не сущее, но лишь онтологическая открытость бытию. Я же считаю эту позицию верной лишь наполовину: Dasein — это действительно сущее, которому свойственна подобная открытость. Dasein (следует отличать его от Da-sein) — имя, данное Хайдеггером человеку или любому сущему, конститутивно включающему в себя отличительную характеристику умопостижимой открытости ему его собственного бытия (пусть даже минимально и дотематически). Также это означает, что Dasein не следует путать с полностью определенным сущим, таким как камни и столы. Говоря словами Хайдеггера, «Dasein есть сущее (ein Seiendes), которое не только случается среди другого сущего. Оно, напротив, онтически отличается тем, что для этого сущего в его бытии (Sein) речь идет о самом этом бытии (Sein). <...> Онтическое отличие Dasein в том, что оно существует онтологично» (Хайдеггер М. Бытие и время. С. 11-12. Перевод изменен. — Прим. пер.). Этот взгляд Хайдеггера на понятие Dasein к тому же поддерживается недавними комментаторами: например, согласно Томасу Шихану, «Dasein обозначает любого конкретного экзистенцийного (existentiel) человека» (Shee-han T. Making Sense of Heidegger: A Paradigm Shift. L.: Rowman & Little-field, 2015. P. xvi), а согласно Ричарду Капобианко, Dasein — это «человек» (Capobianco R. Engaging Heidegger. Toronto: University of Toronto Press, 2010. P. 70).

III. Лотмановская теория диалектических проблем-Идей

Не так давно возросло внимание философов к трудам Альбера Лотмана. Это произошло по двум взаимосвязанным причинам: во-первых, из-за роста интереса к роли математики в онтологии Делёза (Лотман в данной связи является ключевым источником влияния); во-вторых, из-за возобновившегося интереса к французской философии науки и смежным формализмам, разработанным в марксистской и психоаналитической теориях середины XX века16. Последние уходят корнями в работы Жана Кавайеса, который состоял в диалоге с Лотманом^.

Хотя Лотман — важная фигура в делезовском исследовании математики как таковой, именно метаматематика Лотмана (его метафизика или онтология математики) возымела самое масштабное влияние на Делёза. В своей метаматематике Лотман, однако, также воспринимает некоторые черты ранней онтологии Хайдеггера, чтобы разработать теорию диалектических проблем-Идей и их отношения к математическим теориям, составляющим решение проблем. Эта теория является центральным элементом работ Лотмана, перенятым Делёзом. Но в разделах «Различия и повторения», где он обсуждает Лотмана, Делёз не указывает на хай-деггерианский вклад.

Первое обсуждение Лотманом Хайдеггера можно найти в «Новых исследованиях». Текст, который он рассматривает в этой работе, — французский перевод трактата 1928 года «О существе основания», выполненный Анри Корбеном в 1938 году, хотя Лотман один раз мимоходом упоминает «Бытие и время». Как было упомянуто, этот перевод появился в собрании текстов Хайдеггера под редакцией Корбена, опубликованный под заголовком «Что такое метафизика?». Лотмановский Хайдеггер — Хайдеггер ранний, и нет никаких свидетельств того, что он знал о преобразованиях мысли Хайдеггера во время поворота (Kehre), ставшего

16. См., напр.: Duffy S. Deleuze and the History of Mathematics: In Defense of the 'New'. L.: Bloomsbury, 2013. Ch. IV.

17. См., напр.: Peden K. Spinoza Contra Phenomenology. Следует заметить, что, как и Кавайес, Лотман был взят в плен и убит нацистами в 1944 году (он был взят в плен еще раньше, будучи французским офицером, затем бежал из немецкого лагеря для военнопленных, вступил в Сопротивление и был взят в плен снова). Дополнительные сведения о жизни Альбера Лотмана см.: Lautman J. Introduction // Idem. Mathematics, Ideas and the Physical Real. P. xiii-xix.

очевидным начиная с 1930 года. Особенно концептуально важны для него хайдеггеровское онтологическое различие между бытием и сущим, соответствующее различие между онтологической и онтической истинами, специфическое понятие трансценден-ции и операция обоснования, одновременно методологическая и онтологическая.

В последующих разделах я воссоздам центральные элементы метаматематической теории Лотмана, определяющие контекст, в котором он использует положения Хайдеггера. Затем я предоставляю анализ его обращения к Хайдеггеру, особенно сосредотачиваясь на том, как он перенимает свойства хайдеггеровской онтологии, чтобы объяснить отношение математической теории к диалектическим проблемам-Идеям, операцию, в которой в этом отношении порождается математическая теория, и значение утверждения Лотмана, в соответствии с которым диалектические проблемы-Идеи одновременно трансцендентны и имманентны математике. Здесь я также соотношу с работами Лотмана и Хайдеггера пять основных тезисов делезовской теории проблем-Идей, обозначенных ранее.

Лотмановское различие между математическими теориями и диалектическими Идеями и понятиями (прояснение тезисов 1, 2)

Для Лотмана, как и для Делёза, проблемы-Идеи отличаются по природе от решений и не исчезают с их возникновением. Эта позиция поддерживается в лотмановской метафизике математики с опорой на необходимость различения двух сфер или регистров реальности: «Математики» и «Диалектики»!8. Различие Делёза между актуальным и виртуальным регистрами реальности (или систем симулякров) воспроизводит лотмановское различие. Последнее вкупе с некоторыми другими историческими предшественниками также дает первичный смысл описания Делёзом проблем-Идей как «диалектических».

Для Лотмана «математика» обозначает различные «эффективные математические теории» (например, теорию множеств, арифметику, аналитическую теорию чисел, дифференциальное исчисление) и применение подобных теорий на практике (например, применение определений теории множеств в преобра-

18. Lautman A. New Research on the Dialectical Structure of Mathematics. P. 197.

зовании одной математической пропозиции в другую)19. Это значение «математики» повторяет хайдеггеровское понятие позитивной науки, так как подобная математика действует на основе фундаментальных аксиом или определений, которые она не про-блематизирует. В более существенном смысле, однако, «математика» обозначает то, как математические теории выражают фундаментальные проблемы, организующие теории, узнают больше об этих проблемах и перерабатываются на основе подобного знания. Данный смысл сходен с хайдеггеровской радикальной

и -у п

наукой ".

Диалектика — регистр реальности, отличный от математики. Чтобы прояснить понимание диалектики у Лотмана, необходимо сначала рассмотреть, почему он полагает, что математику необходимо дополнить метаматематикой (метафизикой математики) как частью полноценной онтологии или системы метафизики. По словам Лотмана, «сближение метафизики и математики не контин-гентно, но необходимо»". Его особенно интересует метаматематика Гильберта и использование онтологии Хайдеггера в метаматематических целях.

Согласно лотмановской интерпретации Гильберта, метаматематика необходима, поскольку любая должным образом формализованная математическая теория «сама по себе неспособна пре-

о о 99

доставить доказательство своей внутренней согласованности» . Таким образом, «на нее следует наложить метаматематику, принимающую формализованную математику в качестве объекта и исследующую ее с двойной точки зрения непротиворечивости

19. Lautman A. New Research on the Dialectical Structure of Mathematics. P. 197. Ср.: «Используя термин „эффективная математика", Лотман рассматривает теории, структуры и построения, задуманные в самой деятельности математика. Термин отсылает к структуре математического знания, а эффективность обозначает действие математика по построению математической системы взглядов и то обстоятельство, что подобное действие является конструктивистским или экзистенциальным» (Zalamea F. Albert Lautman and the Creative Dialectic of Modern Mathematics // Lautman A. Mathematics, Ideas and the Physical Real. P. xxiv).

20. В менее важном для моего анализа смысле Лотман иногда употребляет термин «математика», чтобы обозначить поле математических теорий, взятых вместе в тот или иной момент истории его развития.

21. Lautman A. New Research on the Dialectical Structure of Mathematics. P. 197.

22. Idem. Essay on the Notions of Structure and Existence in Mathematics // Idem. Mathematics, Ideas and the Physical Real. P. 89.

и полноты»23. Однако непротиворечивость и полнота в этом случае — лишь «идеалы, на которые ориентируются исследования» . То есть, так как они структурно проблематичны по отношению к математической теории, их невозможно полностью продемонстрировать в рамках самой теории. Как подчеркивает Даффи, Лотман здесь «подспудно отсылает ко второй теореме о неполноте Гё-деля, доказывающей, что ни одна непротиворечивая формальная система не может доказать собственную полноту с помощью сво-

? s

их же аксиом» .

Метаматематический тезис Лотмана заключается в том, что, пускай идеалы непротиворечивости и полноты могут действительно управлять построением формализованной теории, они не являются формально доказуемыми с ее собственной точки зрения. Лотман считает эти идеалы или, скорее, проблему того, как построить непротиворечивую и полную теорию, примером разновидности фундаментальных проблем, организующих математические теории в целом. Он полагает, что существует множество других и они могут меняться или замечаться со временем. Метаматематика изучает математические теории и их способность иметь дело с фундаментальными проблемами, организующими их (например, она может задать вопрос: как можно постро-

23. Lautman A. Essay on the Notions of Structure and Existence in Mathematics. P. 89-90. Говоря подробнее, Лотман пишет: «Дуальность плоскостей, установленная Гильбертом между формализованной математикой и метаматематическими исследованиями этого формализма, имеет своим последствием то, что понятия непротиворечивости и полноты управляют формализмом, внутри которого они не фигурируют как понятия, определенные в этом формализме» (Ibid. P. 90). В отличие от этого, «формализм логиков [Венского кружка]» «рассматривал исследование математической реальности как состоящее исключительно из доказательства непротиворечивости определяющих ее аксиом» (Duffy S. Deleuze and the History of Mathematics. P. 119). Гёдель доказал, что ни одна формальная система не может доказать свою непротиворечивость и полноту.

24. Lautman A. Op. cit. P. 90.

25. Duffy S. Op. cit. P. 12. Смит в свое обсуждение аксиоматики и проблематики включает Коэна и утверждает: «Гёдель и Коэн... в своих знаменитых теоремах постепенно обнажили внутренние пределы аксиоматизации (неполноту, неразрешимость), продемонстрировав, что разнообразие математических форм существует в „бесконечном избытке" по отношению к нашей способности непротиворечиво их формализовать» (Smith D. Axiomatics and Problematics as Two Modes of Formalization: Deleuze's Epistemology of Mathematics // Virtual Mathematics: The Logic of Difference / S. Duffy (ed.). Manchester: Clinamen Press, 2006.

P. 154).

ить «куб, имея двукратный объем куба»? Или: может ли теория множеств предоставить непротиворечивый и полный математический язык?)26.

Согласно такому взгляду, поле математических теорий динамично и фрагментированно, но оно эволюционирует в постоянной попытке дать ответ фундаментальным проблемам или абстрактным идеям, действующим на тот или иной момент в истории. Иногда эти фрагменты вместе позволяют вывести ранее неочевидные связи между несходными, на первый взгляд, фундаментальными проблемами или теоретическими конструкциями:

Частичные результаты, прерванные сравнения, попытки, которые схожи с группированиями, организуются под единством одной и той же темы и в своем движении позволяют увидеть связь, обретающую форму в промежутке между некоторыми абстрактными идеями, которые мы предлагаем назвать

диалектическим^'

Из того факта, что метаматематика является необходимым дополнением к математике, следует важное наблюдение: любой математической теории присуща структурная отсылка к аспектам реальности, превосходящей то, что можно выразить с помощью этой теории. По словам Лотмана, «в развитии математики утверждается такая реальность, которую математическая философия, согласно своей функции, должна распознать и описать»^8. Для него это более чем просто интересный факт, касающийся необходимой

26. Smith D. Axiomatics and Problematics as Two Modes of Formalization. P. 148.

27. Lautman A. Essay on the Notions of Structure and Existence in Mathematics. P. 91.

28. Цит. по: Duffy S. Deleuze and the History of Mathematics. P. 19. Одна из целей, которую Лотман ставит своей философии математики, — синтез аспектов «структурной концепции» математики, представленной Гильбертом, и «динамической концепции», представленной Брюнсвиком. Он пишет: «Структурная концепция и динамическая концепция математики на первый взгляд кажутся противопоставленными: одна фактически стремится рассмотреть математическую теорию как завершенное целое, независимое от времени; другая же не отрывает ее от временных этапов ее разработки. Для первой теории подобны сущностям, качественно отличающимся друг от друга, тогда как вторая видит в каждой теории бесконечную способность расширения за ее собственные пределы и связи с другими теориями, посредством чего утверждается единство интеллекта. В дальнейшем мы, однако, попытаемся разработать концепцию математической реальности, совмещающей неизменность логических понятий с движением жизни теорий» (Lautman A. Op. cit. P. 90).

неполноты математической теории. Фундаментальные проблемы, которые стремится выразить математическая теория, расположены в поле той избыточной реальности. И даже внутри концептуальной структуры метаматематики эти проблемы определены не полностью, даже необязательно хорошо определены или поняты. Скорее, они сами по себе — эпистемологически и онтологически проблематические структуры реальности. Эта реальность — то, что Лотман называет «диалектикой». Хотя понятие диалектики у Делёза также почерпнуто из Канта и, как и у Лотмана, из Платона, непосредственная важность концепции Лотмана становится видна, когда Делёз пишет:

Под «диалектикой» мы ни в коей мере не подразумеваем некую циркуляцию противоположных представлений, приводящую их к тождественности понятия, но элемент проблемы, отличный от собственно математического элемента решений29.

Делезовская концепция природы диалектики опирается непосредственно на лотмановскую и выступает понятием для этого сущ-ностно проблематического аспекта реальности, в отличие от тех ее аспектов, которые являются решениями для диалектики.

В следующем отрывке Лотман использует терминологию диалектики, чтобы заново выразить ту мысль, что фрагментирован-ные линии математической теории часто артикулируют различные аспекты неэксплицитной проблематической структуры:

Хотя необходимо существование математики как свода примеров, в которых может реализоваться идеальная структура диалектики, вовсе не необходимо то, что примеры, соответствующие конкретной диалектической структуре, относятся к конкретному виду. Чаще всего происходит то, что организующая сила одной и той же структуры утверждается в различных теориях, являющих затем схожести (affinities) конкретных математических структур, отражающих эту общую диалектическую струк-

зо

туру, к которой они причастны .

Другими словами, несмотря на определение проблематической диалектической структуры с помощью специализированных терминов тех или иных теорий, фрагментарных по отношению друг к другу, логика той диалектической структуры организу-

29. Делёз Ж. Различие и повторение. С. 221-222. Перевод изменен. — Прим. пер.

30. Lautman A. New Research on the Dialectical Structure of Mathematics. P. 207.

ет подобные теории с явными структурными схожестями, даже если эти схожести не замечаются или недостаточно хорошо поняты. Время от времени на такой основе может быть установлена связь между теориями, и часть проблематической структуры может быть эксплицирована математически. В этом смысле «надлежащее движение математической теории излагает схему связей, поддерживающих некоторые абстрактные идеи, доминирующие в отношении математики»3! Хороший пример, подчеркиваемый Смитом, можно найти в ранней истории классического исчисления:

[До Лейбница и Ньютона] дифференциальное исчисление занималось проблематикой касательных (как определить касательные линии к данной кривой), тогда как интегральное исчисление занималось проблемой квадратуры (как определить площадь, покрываемую данной кривой). Величие Лейбница и Ньютона состоит в том, что они распознали тесную связь между обеими проблематиками (проблема вычисления площади — обратная сторона проблемы определения касательных для кривых) и разработали символизм, чтобы связать их вместе и разрешить их .

Для Делёза то, что конституируется в качестве решений на уровне актуального, характеризуется разрывами, а именно разрывами между актуализированными вещами — сущими-симулякрами. Этот разрыв в некотором смысле схож с раздельным состоянием дифференциального и интегрального исчислений до Ньютона и Лейбница, а у Лотмана мы наблюдаем его в виде фрагментарного статуса математических теорий. Для Делёза конфигурация прерывистых сущих-симулякров в действительности определяется, с одной стороны, диалектическими проблемами-Идеями, а с другой — индивидуирующими различиями внутри актуального поля решения, то есть актуальными событиями. Когда происходит преобразование в конфигурации поля актуальности, происходит актуальное событие.

Пример выше блестяще иллюстрирует это: до открытий Ньютона и Лейбница дифференциальное и интегральное исчисления действовали как поля решения для разных аспектов диалекти-

31. Lautman A. On the Reality Inherent to Mathematical Theories // Idem. Mathematics, Ideas and the Physical Real. P. 28.

32. Smith D. Axiomatics and Problematics as Two Modes of Formalization. P. 152.

ческой Идеи или проблемы, определяющей разобщенные поля их актуального действия. С событием открытий Ньютона/Лейбница были произведены новые координаты внутри поля актуального (правило, согласно которому проблема вычисления площади есть обратная сторона проблемы определения касательных кривых), что переопределило поле. Случилось актуальное событие.

Объяснить природу диалектики сложно, но в этом главная цель метаматематической работы Лотмана. Как должно быть очевидно, диалектика — не методология, но регистр реальности (хотя ее онтологический статус имеет прямые следствия для научной методологии). Диалектика выходит за рамки математической теории, так как она «абстрактна и превосходит математику»33. Она идеальна, хотя метафизически реальна. Диалектика — «реальное» математики, или, как пишет Фернандо Заламеа, «математическое реальное»*4. Ее населяют два вида вещей, конституирующие ее структуру: «диалектические понятия» и «диалектические идеи» .

Диалектические понятия — пары противоположенных коррелятивных терминов наиширочайшего характера, которые конституируют фундаментальные (хотя, возможно, и изменяющиеся) напряжения, структурирующие регистр диалектики. Лотман приводит несколько примеров:

... целое и часть, ситуационные свойства и внутренне присущие свойства, основные области и элементы, определенные на этих областях, формальные системы и их реализации*6.

К этому можно добавить оппозиции «конечное и бесконечное», «дискретное и непрерывное», «локальное и глобальное», «алгебра и анализ», «коммутативное и некоммутативное» и т. д.*7

Позиция Лотмана отвергает историческую тенденцию к рассмотрению подобных оппозиций как абсолютных антиномий. Как

33. Lautman A. New Research on the Dialectical Structure of Mathematics. P. 199.

34. Idem. Essay on the Notions of Structure and Existence in Mathematics. P. 89; Zalamea F. Albert Lautman and the Creative Dialectic of Modern Mathematics. P. xxiii.

35. Lautman A. New Research on the Dialectical Structure of Mathematics. P. 204, 199. Курсив убран.

36. Ibid. P. 204.

37. Dieudonne J. Preface to the 1977 Edition // Lautman A. Mathematics, Ideas and the Physical Real. P. xl.

подчеркивает Жан Дьедонне, эта ошибка делает диалектические понятия «поверхностными явлениями, скрывающими куда более глубокие отношения». Он добавляет, что с 1940 года

... было широко признано, что эти мнимые противопоставления на деле являются полюсами напряжения внутри одной и той же структуры и что из этих напряжений проистекает самый примечательный прогресс38.

Как полюса напряжения, эти понятия предвосхищают доинди-видуальные сингулярности, отчасти составляющие виртуальные идеи Делёза.

Для Лотмана диалектические понятия составляют часть структуры математического реального, но математическое реальное есть метафизическое или онтологическое реальное, рассматриваемое с помощью математики и метаматематики. Диалектические понятия — не просто элементы и термины математической или даже метаматематической теории, они формируют конститутивные структуры реальности, а конкретно — диалектического ее регистра.

В отличие от диалектических понятий, диалектические Идеи Лотмана можно предварительно охарактеризовать двумя способами. С одной стороны, в том, что касается отношения Идей к понятиям, «Идеи предусматривают возможные отношения между диалектическими понятиями»^9. То есть они являются полями возможных структурных схем, пересекающих разрывы между диалектическими понятиями и делающих полюса понятий совместимыми (в длинном пассаже, процитированном ранее, Делёз называет эти отношения идеальными «связями» — liaisons, — определяемыми в его онтологии более конкретно как «дифференциальные отношения между генетическими элементами»)40. Как пишет Заламеа, идея — это «частичное разрешение этой полярности» между понятиями. Например, в том, что касается понятия противопоставления непрерывного дискретному, современная математика выразила Идею «непрерывного как завершения дискретного (Кантор)»4\

38. Dieudonné J. Preface to the 1977 Edition. P. xli.

39. Lautman A. New Research on the Dialectical Structure of Mathematics. P. 204.

40. Делёз Ж. Различие и повторение. С. 203.

41. Zalamea F. Albert Lautman and the Creative Dialectic of Modern Mathematics. P. xxxi.

С другой стороны, в том, что касается отношения Идей к математическим теориям, Идеи выступают в роли «проблем», действующих как «структурные схемы, согласно которым организуются эффективные теории»42. Схожим образом, согласно Делёзу, проблемы являются идеальными связями или отношениями, имманентными актуальным отношениям, в которых они воплощаются. В этом ключе теория Лотмана, в которой одна сфера реальности организует или управляет другой, указывает на платонизм. Действительно, для Лотмана термин «диалектическая Идея» отсылает к платоновской теории идей и платонизму, характеризующему его философию математики, что важно для осмысления отношения Идей к математическим теориям. Я еще вернусь к этому. Пока что важно подчеркнуть, что Лотман тщательно различает свое понятие Идеи и то, что присутствует в стандартной версии платонизма: «Под Идеями мы не понимаем те модели, чьи математические сущие были бы копиями^3. Другими словами, математические теории не являются миметичными или репрезентативными относительно Идей. Скорее, теории организуются с их помощью. То, как устраивается эта организация, — одна из главных проблем, которую пытается решить Лотман с помощью хайдегге-ровской онтологии.

Для Лотмана идеи превосходят или трансцендируют поле, выражаемое существующими математическими теориями, одновременно структурируя эти теории. Идеи не исчезают с решениями, выработанными в ответ на них. Скорее, «диалектические идеи чисто проблематичны»^. Словами Хайдеггера, они формируют ту предметную область, на формулировку которой работают основные понятия математической теории. Различные математические теории — или поле математических теорий в какой-либо момент истории математики — конституируют решения проблем. Однако из-за их чисто проблематического характера диалектические идеи превосходят теории и решения, выработанные в их отношении. Говоря иначе, математическая теория формулирует диалектические Идеи, которые конституируют реальность, мыслимую

42. Lautman A. New Research on the Dialectical Structure of Mathematics. P. 199, 205.

43. Ibid. P. 199.

44. Alunni C. Continental Genealogies. Mathematical Confrontations in Albert Lautman and Gaston Bachelard // Virtual Mathematics: The Logic of Difference. P. 70.

математикой. Но диалектические Идеи не сводятся к математике:

45

«диалектика не является частью математики» .

Так как математика имеет необходимое отношение к реальности, превосходящей ее собственную и конституирующей ее, она не может предоставить полноценную онтологию сама по себе. Это указывает на необходимость метаматематики, теоретизирующей не только достаточность теорий, чтобы иметь дело с организующими их проблемами, но и природу самой диалектики. В анализе Лотмана онтология Хайдеггера и совместима с его философией математики, и предоставляет это метаматематическое системное дополнение. Хайдеггер предлагает Лотману ресурсы для того, чтобы определить онтологический статус диалектики и, что важно, чтобы выразить отношение математической теории к диалектике.

Делёз рассматривает это отношение как такое, где «идеальные связи, образующие проблематическую (диалектическую) Идею, воплощаются здесь в реальных отношениях, которые установлены математическими теориями и даны в виде решений проблем»46. Схожим образом позиция Лотмана заключается в том, что «реальность, присущая математике... заключается в ее причастности к Идеям этой диалектики, управляющей ей», и что в математике «идеальные отношения» диалектики «реализуются конкретными способами^7. Итак, математика обретает влияние на реальность посредством ее вовлечения в диалектику и в ее Идеи, или проблемы. Лотман пишет об этом в таких выражениях:

... реальность, присущая математическим теориям, приходит к ним за счет их причастности к идеальной реальности, доминирующей над математикой, пускай и познаваемой лишь с ее помощью4®.

Как в случае с любой теорией, полагающей различие между двумя или более сферами реальности, главная проблема, которую необходимо решить здесь, — проблема того, как эти сферы могут взаимодействовать (сравните атомизм Эпикура и клинамен, проблема «сознание — тело», неприятие Спинозой картезианского тезиса о существовании множественных субстанций и т. д.). Как утверждает Лотман, «философия науки, не всецело занятая исследова-

45. Lautman A. New Research on the Dialectical Structure of Mathematics. P. 204.

46. Делёз Ж. Различие и повторение. С. 222. Перевод изменен. — Прим. пер.

47. Lautman A. Op. cit. P. 199.

48. Idem. On the Reality Inherent to Mathematical Theories. P. 30.

нием солидарности между сферами реальности и методами исследования, была бы полностью лишена интереса»49.

В более общем плане теория Лотмана утверждает, что, хотя нередуцируемость диалектики к математике и их различие онтологически необходимы, существует также онтологическая преемственность, посредством которой математика структурно информируется диалектикой. Чтобы объяснить это, он рассматривает различие между математикой и диалектикой, беря за основу хайдеггеровское онтологическое различие между сущим и бытием. Отношение математики к диалектике воспроизводит отношение онтического (касающегося сущего как сущего) и онтологического (касающегося бытия сущего)50. Так как онтология диалектических проблем-Идей и решений в «Различии и повторении» перенимает теорию Лотмана, это обстоятельство указывает на явную линию хайдеггеровского влияния на ее структуру5\

Ключевой термин, используемый Лотманом для описания отношения диалектики к математике, — domination, переводимый Даффи как «управление» (governing) или иногда как «доминирование» (dominating^)52. Лотман использует различные аспекты он-тико-онтологического отношения Хайдеггера, чтобы объяснить

49. Lautman A. Mathematics and Reality // Lautman A. Mathematics, Ideas and the Physical Real. P. 9.

50. Нокс Пиден выражает эту идею так: «Для Лотмана математические концепты состоят в отношении к диалектическим идеям, являющимся их условиями, — это схоже с отношением лишь онтических сущностей к составляющих их онтологическим процессам в формулировке Хайдеггера. Лотман попытался переложить хайдеггеровскую структуру для понимания онтологического вопроса как предшествующего онтическому ответу в математическую теорию онтологической первичности диалектической проблемы перед ее концептуальным решением» (Peden K. Spinoza Contra Phenomenology. P. 28).

51. Хотя я не буду распространяться на тему истории, использование Лот-маном Хайдеггера также наделяет его теорию темпоральностью, схожей с хайдеггерианской фундаментально-онтологической трансценденци-ей. Как и в случае с Хайдеггером, это основывает существенную историчность, характеризующую, для Лотмана, математику в ее вовлечении в диалектику. В этом смысле Пиден полностью прав, утверждая, что «Лотман стремился сделать из понятия онтологического различия между бытием и сущностями систему для понимания математики как исторически обоснованного модуса мышления» (Ibidem). Здесь Пиден противопоставляет позицию Лотмана позиции Кавайеса, утверждающего «имманентность рациональности в математике».

52. Lautman A. New Research on the Dialectical Structure of Mathematics. P. 199.

его природу и то, «как понимание Идей этой Диалектики необходимо улучшается в генезисе эффективных математических теорий»53. Особенно важным элементом последнего является «описание генезиса математики из Диалектики»^4. Оно подразумевает объяснение причастности математической теории к диалектике и того, как математика реализует или воплощает идеальные отношения конкретными способами. Ключевой здесь является мысль, согласно которой диалектические Идеи и трансцендентны, и имманентны в отношении математики. Делёз принимает этот центральный элемент теории Лотмана как с точки зрения проблем-Идей, так и с точки зрения событий: «проблема по отношению к ее решениям одновременно трансцендентна и имманентна» и «по сравнению с реальным [или актуальным рядом событий] идеальный ряд располагает двойным свойством — трансцендентности и имманентности»^.

Лотмановская трансцендентальная концепция управляющего отношения (прояснение тезиса 3)

Лотман выступает за «трансцендентальную концепцию отношения управления... между диалектикой и математикой», подразумевающую, что диалектические Идеи одновременно трансцендентны и имманентны по отношению к математике5®. Он использует термины «трансцендентальный», «трансцендентный» и «имманентный» в сугубо хайдеггерианском смысле. Ранее я указал на ключевой смысл «трансценденции» в фундаментально-онтологическом движении продуктивной логики основополагания Хайдеггера. Я рассматриваю эти термины, особенно смысл «имманентности» и «трансцендентального», подробнее в следующих двух разделах. Будет полезно сориентироваться в этих понятиях, возвращаясь к лотмановскому математическому платонизму.

Во-первых, как должно быть очевидно, фундаментально-онтологическую трансценденцию Хайдеггера следует отличать от того, что я называю «метафизической трансцендентностью». Философская система постулирует метафизическую трансцендентность, если она полагает существование сфер реальности, реально или

53. Lautman A. New Research on the Dialectical Structure of Mathematics. P. 197.

54. Ibid. P. 206.

55. Делёз Ж. Различие и повторение. С. 203, 232. Перевод изменен. — Прим. пер.

56. Lautman A. Op. cit. P. 200.

субстанциально отделенных от нашей, как в стандартной интерпретации платонической метафизики (умопостигаемые формы или Идеи метафизически трансцендентны по отношению к сфере чувственных образов). Философия Лотмана не выдвигает какой-либо метафизической трансцендентности.

И все же его позиция, состоящая в том, что математика вовлечена в метафизически реальную диалектику, отчасти конституированную трансцендентными Идеями, и управляется такой диалектикой, предполагает некую вариацию на тему математического платонизма. Согласно аргументу Лотмана, она, однако, представляется как совместимая с хайдеггерианством, а для Делёза—с его перевернутым платонизмом. Стандартная форма математического платонизма — приверженность той идее, что «существуют абстрактные математические объекты, чье существование независимо от нас и нашего языка, мыслей и практик» (такие объекты, как «числа и множества»), и что «математические истины, следовательно, открываются, а не изобретаются»57. Согласно определению Лотмана, подобный стандартный математический платонизм можно найти в

... любой философии, для которой существование математических сущностей считается за гарантированное, хотя эти сущности нельзя построить за конечную последовательность шагов58.

Математический платонизм противопоставляется математическому номинализму—позиции, что подобные объекты и истины не существуют независимо от нас или наших культур, но нами и нашими культурами производятся.

Лотман отвергает как номинализм, так и стандартную форму математического платонизма, предоставляющего, по его мнению, лишь «поверхностное понимание платонизма». Вместо этого он принимает прочтение тех, кого он называет «современными комментаторами Платона», настаивающими,

.что Идеи не являются недвижимыми и несводимыми сущностями умопостигаемого мира, но что они связаны друг с дру-

57. Linnebo 0. Platonism in the Philosophy of Mathematics // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / E. N. Zalta (ed.). Winter 2013. URL: http://plato.stan-ford.edu/archives/win2013/entries/platonismmathematics.

58. Lautman A. Essay on the Notions of Structure and Existence in Mathematics. P. 190.

гом согласно схемам высшей диалектики, заправляющей их появлением .

В платонизме Лотмана не утверждается, что математические объекты, такие как числа или множества, существуют независимо от математиков и их культур, но что диалектика и ее проблемы-Идеи (то есть нематематические объекты математической теории) метафизически реальны и онтологически предшествуют выражающим их математическим теориям. Хотя это реализм в отношении диалектики, это не стандартный философский платонизм, то есть онтология Лотмана — не онтология метафизической трансцендентности. Говоря его словами, тот тип «разрыва между диалектикой и математикой», который можно найти в метафизической трансцендентности, «по сути нельзя представить»б°.

59. Lautman A. New Research on the Dialectical Structure of Mathematics. P. 190.

60. Ibid. P. 199. Здесь следует сделать два дополнения. Во-первых, лотманов-ская философия математики также отвергает гилеморфизм: отношение между математикой и диалектическими Идеями не является «контингентным вмешательством Предмета, гетерогенного по отношению к Идеям» (Ibid. P. 199-200). Во-вторых, реализм Лотмана похож на тот элемент хайдеггеровской мысли после его Kehre, который можно назвать его «онтологическим реализмом». Если то, что можно назвать «онтическим реализмом», является реализмом в отношении сущего (то есть тезисом, в соответствии с которым сущее существует независимо от человеческого существования), «онтологический реализм» есть реализм в отношении онтологических структур. Как я писал в своей диссертации, работа Хайдеггера после поворота придерживается этой позиции: имеются онтологические структуры более первичные, чем человеческое существование, например äXtfOeia и Хцвц в работе «О сущности истины» или время-пространство (Zeit-Raum) во «Вкладах в дело философии». Эти структуры обосновывают или позволяют существование людей и миров сущего, и они не зависят от человеческого существования. Схожим образом математический платонизм как реализм в отношении диалектики утверждает, что диалектические Идеи онтологически первичны по отношению к математическим теориям, и позволяет таким теориям существовать. В отличие от стандартного математического платонизма, в теории Лотмана об управляющем отношении диалектических Идей к математике мы видим «модус эманации от одних к другой, некую процессию, тесно связывающую их» (Ibid. P. 199). Это к тому же не противоречит делезовскому перевернутому платонизму, в котором диалектические Идеи занимают позицию загадочного или проблематического элемента, находящегося в мифическом измерении платонической диалектики и бытия симулякров, тогда как матема-

Чтобы помочь объяснить это управляющее отношение, Лотман перенимает структуру или динамику хайдеггеровской фундаментально-онтологической трансценденции. В частности, он имеет в виду версию, представленную Хайдеггером в работе «О существе основания». «Трансценденция означает превосхождение» в этом тексте, как и в других местах у Хайдеггера, а коррелят «трансцендентный» (или «трансцендирующий») означает «то, что осуществляет превосхождение, пребывает в превосхождении»61. Например, структура существования Dasein трансцендентна, так как постоянно превосходит себя саму, но является самой собой именно в этом превосхождении. Для Хайдеггера «трансцендентальным» именуется то, что конститутивно принадлежит структуре трансценденции. Хотя этот термин сохраняет связь со своим кантианским наследием, трансцендентальное здесь — не просто условие возможности опыта или познания. Скорее, поскольку позиция Хайдеггера состоит в том, что трансценденция — основание, позволяющее онтическому регистру сущего быть (это касается и онтического регистра Dasein), трансцендентальное — это то, что принадлежит трансценденции постольку, поскольку транс-ценденция составляет онтологическое основание. «Этим термином именуется всё, что сущностно принадлежит к трансценденции и свою внутреннюю возможность берет от нее внаем»б2. Лотман перефразирует хайдеггеровское понятие трансценденции следующим образом:

Когда вещи присуще по ее природе выходить за свои пределы, чтобы приблизиться к некому сущему вне ее, без которого эта вещь больше бы не мыслилась как существующая, выход за пределы субъекта к сущности и есть трансценденцияб3.

Лотман имеет в виду конкретно (1) трансценденцию Dasein по отношению к миру и (2) трансценденцию онтологического раскрытия, то есть трансценденцию Dasein в его онтическом регистре по направлению к онтологическим структурам, составляющим его бытие, посредством «рациональной активности обоснования

тика занимает позицию актуализации диалектической Идеи в системах симулякров.

61. Хайдеггер М. О существе основания. С. 183-184.

62. Там же. С. 186.

63. Lautman A. New Research on the Dialectical Structure of Mathematics. P. 205.

(fondement, Begründung)»64. В его собственной работе она фигурирует в трансценденции математических теорий по направлению к диалектике или диалектическим Идеям.

Интересно заметить, что в конспекте подготовительного курса Делёза для первого года обучения за 1956/1957 учебный год в лицее Людовика Великого, сделанного Пьером Лефевром, Делёз воспроизводит именно эти замечания следующим образом:

Для Хайдеггера мир есть структура человеческого существования. Тогда понятие мира более нельзя отделять от способа бытия человека. Этот [способ есть] трансценденция или превосхо-ждение (dépassement). Слово «трансцендентный» теперь означает не сущее, внешнее или высшее по отношению к миру, но акт. Человеческая экзистенция существует как трансцендентная. Хайдеггер различает то, что мы превосходим, и то, к чему мы превосходим. Трансценденция — сущность субъективности, и даже само это слово он замещает трансценденциейб5.

В работах Хайдеггера движение трансценденции выражается во множестве регистров. Самый знакомый — в экзистенциальном анализе Dasein из «Бытия и времени». Там «трансценденция» обозначает структурную динамику Dasein, описанную, например, с точки зрения заброшенной проекции или темпораль-ности. Исходя из этой перспективы, Dasein существует, будучи заброшенным в мир, условия которого выходят за пределы его контроля (речь идет об исторических, материальных и социо-экономических условиях, но также и о частностях, например об одноклассниках или о подаренном неисправном велосипеде, из-за которого разбиваешь коленку). Эти условия несут непосредственную конститутивную связь с индивидуальным существованием Dasein (например, со свойствами тела и того, как оно вписано в модные тенденции нынешнего времени). Вместе эти условия отчасти создают фактичность Dasein — одно структур-

64. Lautman A. New Research on the Dialectical Structure of Mathematics. P. 202. Насколько я знаю, Лотман не различает между fondement или fondation и fond, как это делает Делёз. Для Хайдеггера, как и для Делёза, «проблема оcнования» и проблема трансценденции тесно связаны (Хайдеггер М. О существе основания. С. 175). В тексте «О существе основания» Хайдеггер обозначает трансценденцию как «область, внутри которой должна идти речь о существе основания», так что аналогично трансценденция «сама впервые получает более исходное и объемное определение как раз через проблему основания» (Там же. С. 183).

65. Deleuze G. What Is Grounding? P. 37.

ное измерение его существования. На основании этой уникальной фактичности Dasein интерпретирует и понимает свое существование, мир и проекты, которые считает важным. А с точки зрения этого понимания Dasein проецирует для себя возможности или пути действия, которыми может пойти, чтобы выполнить свои задачи в мире.

Поле возможностей, проецируемое Dasein, составляет еще одно структурное измерение его существования. «Трансценденция» обозначает непрерывное движение, посредством которого Dasein превосходит свою фактичность через поле возможностей, проецируемое в мир. Это, конечно же, не значит, что фактичность остается за бортом, но что Dasein как фактичная заброшенная проекция существует как движение трансценденции (Dasein «достигает» этого превосхождения и «обитает в» нем). Вступая в некую возможность, Dasein превосходит свое нынешнее фактичное состояние, что, в свою очередь, меняет саму его фактичность: то, что когда-то было возможностью в будущном поле Dasein, оседает в его фактичности. Это вынуждает модуляции в его интерпретации и понимании себя и мира, а также модуляцию поля проецируемых им возможностей. Данная динамика прекращается только с наступлением смерти.

Dasein трансцендентен, поскольку существует, постоянно передвигая себя вне себя, в возможности, превосходящие предыдущее состояние его существования66. Очевидно, что для Хайдеггера трансценденция не является вопросом автоматического воления субъекта и нет такого времени, в котором существовало бы Dasein и которое не было бы при этом трансцендентным. Существование Dasein само есть трансценденция. Для понимания лотма-новского использования трансценденции особенно важна форма этого движения, рассмотренная во втором разделе настоящей статьи, согласно которой Dasein направляет себя научным образом к исследованию своего собственного существования (методологическая арена прояснения бытия сущего у раннего Хайдеггера). Она порождает движение трансценденции, состоящее в продуктивной логике Хайдеггера, посредством которого основополага-ние превосходит установленные основные понятия в сторону из-

66. Если выражаться с точки зрения темпоральности Dasein, трансценденция — движение, в котором Dasein из своего аспекта «бывшести» (gewesend) проецирует «будущее» (zukünftig) поле, к которому он непрерывно движется (Хайдеггер М. Бытие и время. С. 385). То есть «трансценденция» именует структурную динамику темпоральности Dasein.

начального основания их предметной области, производя все лучше обоснованные ее выражения.

На самом базовом уровне лотмановская трансцендентальная концепция управляющего отношения означает, что все элементы этого отношения интегрируются в непрерывное движение или динамику трансценденции. Отсюда следует, во-первых, что диалектические Идеи и понятия превосходят математическую теорию (они трансцендентны), не будучи при этом метафизически трансцендентными по отношению к ней, так как математике присуще структурное и конститутивное отношение причастности к диалектике; во-вторых, что в том радикальном движении, в котором заключается жизнь математической теории, математика превосходит саму себя в направлении диалектики, без которой она не была бы; в-третьих, что в этом движении математика выражает новые аспекты диалектики, на основе которой пересматриваются частные элементы математической теории.

Для Лотмана трансцендентальная теория управляющего отношения между диалектикой и математикой позволяет сохранить их различие, не прибегая вместе с тем к метафизической транс-ценденции, и их близость без установления тождественности. В структуре трансценденции Dasein «нельзя помыслить кроме как ориентированное к миру» или к бытию. Лотман, следовательно, видит в Хайдеггере модель «трансценденции как акта сближения [Dasein и мира, Dasein и бытия], а не... состояния разделения»^7 в смысле метафизической трансцендентности. И подобно тому, как Хайдеггер настаивает на онтологическом различии между бытием и сущим, Лотман настаивает на различии между диалектикой и математикой.

Трансцендентальная теория управляющего отношения также позволяет Лотману установить «тип предшествования Диалектики по отношению к Математике». Как должно быть ясно, это не предшествование аксиом по отношению к производным пропозициям (и не в нем заключается природа задействованного генезиса). Скорее, речь идет об «„онтологической" первичности», которую Лотман также называет первичностью «„заботы" (souci) или „вопроса" по отношению к ответу»б®. Французское souci используется Корбеном для перевода немецкого Sorge. Забота, конечно же, ключевое понятие хайдеггеровского экзистенциально-

67. Lautman A. New Research on the Dialectical Structure of Mathematics. P. 205.

68. Ibid. P. 203-204.

го анализа Dasein в «Бытии и времени». В конце первого раздела этой книги «забота» обозначает бытие Dasein как онтологическое основание, в котором заключается единство всех аспектов бытия-в-мире, ранее разработанных в тексте (таких, что заключаются в мирскости мира, бытии-с, бытии-в и других). Как образец онтологической первичности, забота онтологически первична по отношению к более производным структурам, которые она обосновывает. Более того, мы можем выразить структуру заботы посредством фундаментально-онтологической трансценденции, которая задействована в продуктивной логике основополагания, ориентированной на бытие Dasein в экзистенциальной аналитике. Это описывается в следующем пассаже:

... целость структурного целого (Die Ganzheit des Strukturganzen) феноменально недостижима через состраивание элементов. <...> Бытие Dasein, онтологически опорное структурное целое как таковое, делается доступно в некоем полном просмотре через это целое, глядя на один исходно единый (ursprünglich einheitliches) феномен, уже лежащий в целом, так что он онтологически фундирует каждый структурный момент в его структуральной во-можности (so daß es jedes Strukturmoment in seiner strukturalen Möglichkeit ontologisch fundiert)69.

В рамках этой концептуальной схемы хайдеггеровское понятие заботы формируется именно как решение проблематики бытия или же ответ на вопрос о бытии (Seinsfrage), сформулированный в рамках параметров экзистенциального анализа Dasein.

Генезис и имманентность (прояснение тезисов 4, 5)

Одна из главных задач Делёза в его теории Идей — объяснение онтологического генезиса, называемого им «статическим генезисом»:

... генезис идет не от одного актуального термина, каким бы малым он ни был, к другому актуальному термину во времени, но идет от виртуального к своей актуализации, то есть от структуры к ее воплощению, от условий проблемы к случаям ее решения, от дифференциальных элементов и их идеальных связей к актуальным терминам и разнообразным реальным отношениям, еже-моментно конституирующим актуальность времени70.

69. Хайдеггер М. Бытие и время. С. 181.

70. Делёз Ж. Различие и повторение. С. 227. Перевод изменен. — Прим. пер.

Для Лотмана трансцендентальная концепция управляющего отношения между диалектикой и математикой позволяет ему прояснить именно такую генетическую операцию, в которой детали математических теорий производятся диалектическими Идеями. То есть она позволяет ему объяснить, как математика реализует или воплощает идеальные отношения конкретными способами, в особенности так, что можно выполнить «обогащение познания)/1. В нем производятся новые математические теоретические выражения диалектических Идей, так что эти теории в них приобретают более изначальное или хорошо обоснованное понимание структуры диалектики и ее Идей. Трансцендентальная концепция управляемого отношения показывает, как это происходит:

.усилие понимания, соответствующее диалектическим Идеям, за счет самого факта, что оно применимо к познанию внутренних связей этой диалектики, творит системы более конкретных понятий, в которых утверждаются эти связи. Этот генезис затем больше не мыслится как материальное создание конкретного из Идеи, но как пришествие понятий, соотносительных конкретному в рамках анализа Идеи72.

71. Lautman A. New Research on the Dialectical Structure of Mathematics. P. 205. Сходным образом экзистенциальная аналитика Dasein Хайдеггера объясняет процесс трансценденции, но его особенно интересует то, как трансценденция оперирует в раскрытии бытия Dasein и большей аутентичности, достигнутой в результате.

72. Ibid. P. 200. Неясно, почему Лотман считает здесь, что усилие понимания может соответствовать диалектическим Идеям. Во-первых, диалектические Идеи не репрезентируются с помощью математических теорий, а, следовательно, некое дву-однозначное соответствие в традиционном значении не имеет смысла. Во-вторых, если соответствие следует рассматривать не в репрезентативном смысле, но как исчерпывающее выражение предметной области, оно оставалось бы невозможным, так как, согласно Лотману, диалектические Идеи по сути проблематичны — они всегда превосходят их выражение в математических теориях. Кажется, что в (невозможном) случае соответствия диалектика схлопнется в математику. Этот сценарий, однако, несовместим с метаматематикой Лотмана. Напротив, генетическая операция и ее «знание» внутренних связей диалектических Идей — непрерывный процесс без предустановленного конца, в котором аспекты диалектики постоянно превосходят со структурной необходимостью математические теории, выражающие ее (что следует из логики хайдеггеровской трансценденции).

Чтобы объяснить процесс генезиса, Лотман использует различие, проведенное Хайдеггером в «О существе основания» между он-тической и онтологической истиной, а также структуру транс-ценденции, выражающую их отношение. Онтическую истину не следует путать с пропозициональной истиной о сущем, так как она не репрезентационна. Под «онтической истиной» Хай-деггер понимает явленность или непотаенность сущего как сущего. По Лотману,

... истина сущего онтична и соотносительна с эффективными ситуациями конкретного существования. Отличительная черта сущего состоит в том, чтобы проявить себя, стать раскрытым7з.

Онтическая истина — территория сущего, конституирующая феноменальный мир в тот или иной момент времени. Онтологическая истина, с другой стороны, касается регистра бытия сущего. Она обозначает не явленность сущего, но раскрытие того, что позволяет его явленность. Точнее, онтологическая истина—это раскрытие онтологических структур, обосновывающих онтическую истину. Хотя эти два регистра следует разделять, Хайдеггер указывает на присущую им корреляцию: «Онтическая и онтологическая истины касаются, всякий раз по-разному, сущего в его бытии и бытия сущего. Обе взаимопринадлежны в своей сути на основании их отношения к различию бытия и сущего (онтологическая разница)»^.

Чтобы прояснить отношение онтической истины к онтологической, особенно коль скоро вторая делает первую возможной, Лот-ман заимствует еще один основной элемент хайдеггеровской онтологии — предонтологическое понимание бытия. Цитируя Хай-деггера, он пишет: это проявление или

...откровение [онтическая истина] возможно, только если оно «освещено и направлено некой понятностью бытия (бытийного устройства: чем- и как-бытия) сущего»75.

73. Lautman A. New Research on the Dialectical Structure of Mathematics. P. 200. Курсив убран.

74. Хайдеггер М. О существе основания. С. 181.

75. Lautman A. Op. cit. P. 200. Лотман здесь цитирует «О существе основания» (Хайдеггер М. О существе основания. С. 179), его французский источник цитаты можно найти в переводе Корбена (Heidegger M. Qu'est-ce que la metaphysique? P. 56).

Следует заметить, что «бытийное устройство» используется здесь для перевода Seinsverfassung. Корбен, однако, переводит этот термин как la structure de son être («структура его бытия»), и Лотман повторяет эту формулировку в своем тексте. Соответственно, легко понять, как он связывает ее с его представлением о диалектических Идеях как структурных схемах. В свою очередь, Делёз иногда определяет Идеи как структуры: «Структура, Идея — это „комплексная тема", внутренняя множественность, то есть система множественных нелокализуемых связей между дифференциальными элементами, воплощающаяся в реальных отношениях и актуальных терминах»76.

Делезовская структура, или Идея, занимает место хайдеггеров-ского Seinsverfassung, его реальные отношения и актуальные термины — место онтической истины, а генетический процесс воплощения — место раскрытия онтологической истины и ее проявления в сущем. Важнее всего в последней цитате из Лотмана — его апроприация хайдеггерианской идеи, согласно которой онтиче-ская истина возможна только на основе предонтологического понимания бытия, конституированного в существовании Dasein как условие возможности какой бы то ни было онтологии. Другими словами, для Хайдеггера «раскрытость (Enthtilltheit) бытия только и делает впервые возможным обнаружение (Offenbarkeit) су-щего»77 Лотман, разумеется, преобразует хайдеггерианскую идею, ведь его интересует не экзистенциальный анализ Dasein, но математика и метаматематика.

Хайдеггер называет структуру изначальной открытости Dasein своему собственному бытию и миру его Erschlossenheit, или «раскрытием». Предонтологическое понимание Dasein как неразвитого раскрытия по отношению к бытию обосновывает возможность тематизации и развития науки о бытии (фундаментальной онтологии). Занимаясь ей, Dasein раскрывает изначальные онтологические структуры. Согласно прочтению Лотмана, онтологическая истина является «„раскрытием", понимаемым как „истина о бытии"»/8. Так как для Хайдеггера необходимым методологическим горизонтом онтологии служит экзистенциальный анализ Dasein,

76. Делёз Ж. Различие и повторение. С. 227. Перевод изменен. — Прим. пер.

77. Хайдеггер М. О существе основания. С. 179. Курсив убран.

78. Lautman A. New Research on the Dialectical Structure of Mathematics. P. 200. Здесь Лотман цитирует «О существе основания»: Хайдеггер М. Указ. соч. С. 179.

онтологическая истина раскрывается, то есть бытие проясняется, посредством исследования бытия Dasein. Раскрываемые онтологические структуры и процессы — те, что конституируют существование Dasein и, в свою очередь, обосновывают феноменальные миры сущего.

Понять это поможет пример. На уровне онтической истины я могу последовать вопросу Аристотеля о сущем как сущем (ov у ov) и спросить: что я за сущее?79 В зависимости от моих частных фактичных условий (включающих популярно-теоретические системы, господствующие в истории на этот момент) я интерпретирую свое существование разными способами: я — биологический организм средних размеров, мой мозг — вычислительная машина из плоти, я американец, я плачу налоги. Все это — аспекты меня, которые касаются моего бытия сущим и обозначаются внутри логики позитивной науки. Матрица таких интерпретаций определяет проекты, которые я нахожу стоящими в мире, пути, которыми я иду, чтобы достигнуть их назначений, и смысл, который приписывают мне другие сущие, встречаемые мной в мире. Однако, когда я занимаюсь фундаментальной онтологией, то есть поднимаю вопрос моего бытия или существования, я использую радикально-научную операцию основопо-лагания, чтобы различить структуры, позволяющие мне сформировать эти онтические интерпретации. Например, структура самой интерпретации для Хайдеггера является онтологическим элементом моего существования, то есть одним из «экзистен-циалов». Онтологическая истина заключается в раскрытии онтологических структур, конституирующих мое бытие. В «Бытии и времени» в их числе среди прочих—интерпретация, проекция, забота, раскрытие, непотаенность и потаенность, историчность и темпоральность.

Для Лотмана различие между онтической и онтологической истинами описывает различие между математической теорией и ее опорой на диалектические Идеи. Причастность математи-

79. Хайдеггер детально обсуждает вопрос Аристотеля в нескольких текстах. В некоторых из них, в том числе в Beiträge, ориентация, которая предоставляется этим вопросом для философии, — существенный фактор, управляемый проблематической историей метафизики. Этот фактор, по-видимому, оказал формирующее влияние на ранние работы по фундаментальной онтологии посредством экзистенциального анализа Dasein, однако начиная с самокритики 1930-х годов Хайдеггер стремится установить онтологическое основание, независимое от него.

ки к Идеям аналогична раскрытию онтологической истины Dasein — раскрытию изначальных онтологических структур, обосновывающих онтические. Как, однако, это позволяет Лотману объяснить генезис математики из диалектики или, другими словами, реализацию идеальных отношений в математической теории? Для этого он воссоздает хайдеггеровскую теорию раскрытия как «акта» трансценденции: «в анализе раскрытия бытия создается общая теория актов, являющихся для нас генезисами и называемыми Хайдеггером актами трансценденции или превосхождения»80. Но акты трансценденции — те акты, в которых Dasein превосходит себя, например, к миру или к основоустройству (Grundverfassung) своего собственного бытия. Обсуждение Лотмана рассматривает оба сценария, но я сконцентрируюсь на втором. Его воссоздание раскрытия действует с точки зрения логики вопросов и ответов на них.

«Раскрытие бытия» «проистекает главным образом из акта задавания вопроса о чем-либо»8\ Конечно же, предметная область, о которой спрашивает Хайдеггер, — бытие сущего, и она столь же доступна, сколь и бытие Dasein. В некотором смысле Dasein существует как вопрос: это сущее, ставящее под вопрос свое бытие. Но здесь важнее тот факт, что из-за своего предонтологическо-го понимания Dasein может разработать науку, в которой бытие эксплицитно концептуализуется. Хотя акт вопрошания не включает в себя достаточное понимание исследуемой предметной области, он составляет ее «предшествующее определение»82. То есть сам вопрос определяет предметную область доконцептуальным образом: он определяет проблемное, или проблематическое, поле на основе доступного смутного понимания. В случае фундаментальной онтологии определение дается предонтологическим пониманием бытия. Раскрывая основные структуры проблемного поля, можно сформировать тщательно разработанное «понятие бытия».

Согласно продуктивной логике Хайдеггера, принадлежащей его фундаментальной онтологии, формирование понятия бытия развертывается через процесс основополагания (Grundlegung). То есть основоустройство (Grundverfassung) бытия Da-

80. Lautman A. New Research on the Dialectical Structure of Mathematics. P. 200.

81. Ibidem.

82. Ibidem.

sein (его устройство бытия, Seinsverfassung) проблематизирует-ся, и логика смутного понимания бытия, выражающего вопрос, отслеживается к онтологическому основанию, позволяющему эту артикуляцию. Разрабатываются структуры этого основания, и формируются выражающие их основные понятия. Эти понятия несут в себе логику раскрытых онтологических структур. По Лотману, формирование такого понятия бытия — «акт, в котором структура раскрывается интеллекту», на основе чего тот «обретает способность структурирования ряда конкретных проблем, касающихся стоящего под вопросом бытия»83. «Акт» задавания вопроса о бытии определяет тематическое пространство, а внутреннее отношение вопроса и исследуемого предметного поля составляет предварительное выражение этого предметного поля, которое затем можно разработать с помощью ряда основных понятий (Grundbegriffe), служащих в качестве ответа на вопрос.

Это генетическое движение раскрытия онтологической истины крайне важно для Лотмана, но, чтобы завершить его, следует довести его до генезиса онтической истины или эффективной математической теории. Дальнейший необходимый шаг вытекает, впрочем, с легкостью:

Тогда складывается следующая ситуация, и для нас это ключевой момент: раскрытие онтологической истины бытия не может быть произведено без того, чтобы конкретные аспекты онтического существования обретали форму в то же самое время84.

Иными словами, раскрытие онтологической истины вместе с тем модулирует онтическое состояние дел (и при этом немиметическим образом)85.

Разовью пример, приведенный выше: когда я раскрываю структуру интерпретации как частично конститутивную относитель-

83. Lautman A. New Research on the Dialectical Structure of Mathematics. P. 200.

84. Ibid. P. 200-201.

85. Схожим образом модуляция онтического положения дел может позволить более подходящее выражение онтологических структур. Если вместо того, чтобы определять свое существование с точки зрения ценностей капитализма и проживать свое время в роли банкира, я пойму себя как Dasein, я смогу направить свои усилия на жизнь философа и разработать лучшее объяснение бытия.

но моего бытия и разрабатываю логику интерпретации (герменевтический круг), тем самым подрывается легитимность онти-ческих терминов, в которых я ранее гипостазировал себя (мое бытие не определяется сущностно такими терминами, как «американец», «налогоплательщик» и т. д.). Это, в свою очередь, модулирует матрицу проектов и значения, конституирующую мой мир. То, как я понимаю себя и мир, — и тот факт, что мир и я оба есть, — на онтическом уровне перестраивается, чтобы быть согласованным с онтологической структурой моего бытия, раскрытой мной. Ее пронизывает логика интерпретации. Хайдеггер описывает эту перемену с точки зрения тяготения к большей подлинности. Таким образом, раскрытие онтологической истины одновременно модулирует истину онтическую.

Для Делёза описанная здесь хайдеггериански реконфигурация пересматривается с точки зрения теории актуальных событий. Когда, например, актуальный дискурс науки подвергается влиянию диалектической Идеи, определяющей науку как поле потенциальных решений, это поле претерпевает реконфигурацию. Происходит актуальное событие, производящее новые поля решений. Лотман повторяет мысль Хайдеггера, грубо говоря, в научном регистре следующим образом:

.та же самая активность, как видно. действует в двух разных плоскостях: составление бытия сущего на онтологической плоскости неотделимо от определения на онтической плоскости фактического существования сферы, в котором объекты научного знания наделяются жизнью и материей86.

Для Лотмана та же самая неразделимость и одновременная — но нерепрезентационная — модуляция разворачиваются в связи между диалектическими Идеями и математической теорией. В рамках этого контекста можно лучше определить то, как Лотман понимает имманентность математических теоретических решений диалектическим проблемам:

Будучи поставленными проблемами, относящимися к связям, которые, вероятно, поддержат некоторые диалектические понятия, Идеи этой диалектики определенно трансцендентны (в привычном смысле) по отношению к математике [то есть они конституируют реальность, превосходящую реальность

86. Lautman A. New Research on the Dialectical Structure of Mathematics. P. 201.

математики. — Д. £.]. С другой стороны, так как любое усилие, предпринятое с тем, чтобы предоставить решение проблемы связей, является, исходя из самой природы вещей, составлением эффективных математических теорий, обоснованно интерпретировать общую структуру этих теорий с точки зрения имманентности логической схемы искомого решения. Таким образом, существует тесная связь между трансцендентностью Идей и имманентностью логической структуры решения диалектической проблеме в математике. Эта связь — понятие генезиса, данное нами, по крайней мере в том виде, в котором мы попытались его постичь, описывая генезис математики из диалектики8'

Говоря структурно, генетическое движение, описанное Лотма-ном, тождественно движению фундаментально-онтологической трансценденции у Хайдеггера. Генетическому отношению Лот-мана можно добавить еще больше деталей, если рассмотреть это последнее. Когда Dasein занимается фундаментальной онтологией, им воспроизводится движение трансценденции вдоль радикально-научной оси основания. Я рассматриваю фундаментальные структуры, с точки зрения которых я в данный момент понимаю свое бытие и, согласно Хайдеггеру, нахожу их недостаточными. Я исследую основание, позволяющее этим структурам быть, и разрабатываю ряд основных понятий, чтобы выразить их. Схожим образом математическая теория занимается диалектическими проблемами-Идеями и формирует ряд основных понятий, чтобы выразить их. На этой базе на онтическом уровне генерируются целые ряды позитивного научного дискурса.

Однако, так же как структурно проблематическое измерение моего бытия смещается за пределы новых онтологических основных понятий, проблематическое измерение диалектических Идей выходит за пределы новых основных математических теоретических понятий. Это побуждает меня (или математика) разработать новые основные понятия, чтобы выразить проблемный элемент еще более изначальными способами. В свою очередь, производится заново сконфигурированный позитивный онтический или математический дискурс. и так далее. Движение радикально-научной или фундаментально-онтологической трансценденции, моти-

87. Lautman A. New Research on the Dialectical Structure of Mathematics. P. 205-206.

вированной проблематическим элементом, порождает «решения» на онтическом уровне.

На основе заимствований у Хайдеггера в текстах Лотмана можно видеть, что его математический платонизм заключается не в утверждении какой-либо метафизической трансцендентности, но в некоем онтологическом реализме, то есть в реализме по отношению к онтологическим структурам (диалектическим Идеям и понятиям), которые стремится выразить математическая теория. Эта позиция является не конструктивизмом, но некой разновидностью рационализма. Теоретические практики математики ухватывают реальность, раскрывая аспекты диалектических структурных схем, принимая логику этих схем в свод основных понятий математической теории, а затем пересматривая на данной опоре поле позитивной математики. Существует имманентная структурная информация, с помощью которой операция радикальной математики производит математическую теорию, причастную логике диалектики и ее Идей.

Заключение: как Делёз выходит за пределы теории диалектических Идей Лотмана — Хайдеггера

Хотя Лотман главным образом занимается диалектическими проблемами-Идеями и их отношением к математическим теоретическим решениям, он рассматривает описанную здесь структуру как применимую к любой науке:

Математическая логика не располагает в этом отношении какими-либо особыми привилегиями. Она — лишь одна теория из многих, и поднимаемые или решаемые ей проблемы можно найти, почти в той же самой форме, и в других областях88.

Он даже считает, что генетическое отношение структуры «проблема-Идея — решение» описывает онтологическую операцию, посредством которой вещи производятся в целом. Лотман пишет:

... мы можем, касательно отношения между Диалектикой и Математикой, тщательно проследить за механизмом операции, в которой анализ Идей проявляется в эффективном творении, где виртуальное преобразуется в реальное. Математика, таким об-

88. Lautman A. On the Reality Inherent to Mathematical Theories. P. 28.

разом, играет по отношению к другим сферам воплощения — физической реальности, социальной реальности, человеческой реальности — роль модели, в которой наблюдается то, как вещи обретают существование89.

Хотя Делёз считает, что математика—в особенности классическое исчисление — играет важную роль в онтологии, важность Лотмана для него не ограничивается математическим. В «Различии и повторении» Делёз принимает лотмановский тезис, что диалектические Идеи не связаны преимущественно с математическими решениями/теориями, но скорее структурируют множественные поля решений. Вслед за Лотманом он утверждает, что генетическое отношение в структуре «проблема-Идея — решение» предоставляет описание онтологической операции, посредством которой порождается сущее любого порядка. Существуют разные порядки диалектических проблем-Идей, структурирующие множество теоретических полей:

Математика начинается с полей решений, воплощающих диалектические Идеи последнего порядка, и с выражения проблем, соотносимых с этими полями. Другие порядки в Идее воплощаются в других полях и в других выражениях, отвечающих другим наукам. Так, исходя из диалектических проблем и их порядков, протекает генезис различных научных областей9°.

Делёз заходит еще дальше: в системе, предложенной в четвертой главе «Различия и повторения», сама реальность структурируется как комплекс проблем, как диалектическая пара «проблема-Идея — решение».

Делёз принимает аппарат лотмановской теории проблем-Идей чуть ли не целиком. Воспроизводя три из центральных положений, обсуждаемых выше, Делёз определяет комплекс «проблема-Идея — решение» в лотмановских терминах следующим образом:

Согласно общему тезису Лотмана, проблема имеет три аспекта: ее сущностное отличие от решения; ее трансцендентность в отношении решений, порожденных ею исходя из собственных

89. Lautman A. New Research on the Dialectical Structure of Mathematics. P. 203.

90. Делёз Ж. Различие и повторение. С. 224. Перевод изменен. — Прим. пер.

определяющих условий; имманентность проблемы перекрывающим ее решениям91.

В свете вышеизложенного перенос элементов онтологии раннего Хайдеггера в онтологию Делёза очевиден, несмотря на то что в «Различии и повторении» Делёз никак не упоминает влияние Хайдеггера на Лотмана. Следует лишь вспомнить, что Лотман определяет различие по природе между проблемами-Идеями и решениями с точки зрения различия Хайдеггера между он-тическим и онтологическим, что Лотман понимает трансцен-денцию проблемы по отношению к решениям с точки зрения хайдеггерианской фундаментально-онтологической трансцен-денции и что на этом основании он понимает имманентность проблемы решению с точки зрения хайдеггеровской имманентности онтологических структур сущему, конституированному

о 9?

с опорой на них .

Но онтология Делёза ни в коем случае не сводится к онтологии Хайдеггера. Делёз соглашается с Лотманом, что «проблемы всегда диалектичны» и что «идеальные связи, образующие проблематическую (диалектическую) Идею, воплощаются здесь в реальных отношениях, установленных математическими теориями и данных как решения проблем». Он также принимает тот факт, что «математическими (или физическими, биологическими, психическими, социологическими) являются решения», а не проблемы^3. Однако внутри этой лотмано-хайдеггерианской системы Делёз пересматривает природу диалектических идей с точки зрения своей дифференциальной онтологии и пересматривает на этой основе генетическое отношение между Идеями и решениями. Для Делёза

... диалектическая, проблематическая Идея — это система связей между дифференциальными элементами, система дифференциальных отношений между генетическими элементам^4.

91. Делёз Ж. Различие и повторение. С. 222. Перевод изменен. — Прим. пер.

92. Заметьте, что Пиден также утверждает, что «виртуальное и актуальное... действуют как переложение хайдеггеровского онтологического различия в его [Делёза] собственной системе» (Peden K. Spinoza Contra Phenomenology. P. 249).

93. Делёз Ж. Указ. соч. С. 222. Курсив снят, перевод изменен. — Прим. пер.

94. Там же. С. 224. Перевод изменен. — Прим. пер.

В его терминологии это можно перефразировать, сказав, что диалектические проблемы-Идеи представляют собой «множественности» (multiplicities). Множественности — системы структурированного различия. Миры квазистабильных, актуальных идентичностей симулякров выступают решениями проблем, конституированными как дифференциальные множественности.

Библиография

Делёз Ж. Различие и повторение. СПб.: Петрополис, 1998. Хайдеггер М. Бытие и время. М.: Ad Marginem, 1997.

Хайдеггер М. О существе основания // Он же. Что такое метафизика? М.: Академический проект, 2013. С. 172-229. Хайдеггер М. О сущности истины // Он же. Разговор на проселочной дороге.

М.: Высшая школа, 1991. С. 8-27. Alunni C. Continental Genealogies. Mathematical Confrontations in Albert Lautman and Gaston Bachelard // Virtual Mathematics: The Logic of Difference / S. Duffy (ed.). Manchester: Clinamen Press, 2006. P. 65-99. Bahoh J. Deleuze's Theory of Dialectical Ideas: The Influence of Lautman and Heidegger // Deleuze and Guattari Studies. 2019. Vol. 13. № 1. P. 19-53. Bahoh J. Heidegger's Differential Concept of Truth in Beiträge // Gatherings: The

Heidegger Circle Annual. 2014. № 4. P. 39-69. Capobianco R. Engaging Heidegger. Toronto: University of Toronto Press, 2010. Deleuze G. What Is Grounding? Grand Rapids, MI: К& Publishing, 2015. Dieudonne J. Preface to the 1977 Edition // Lautman A. Mathematics, Ideas and the

Physical Real. L.: Continuum, 2011. P. xxxix-xliii. Duffy S. Deleuze and the History of Mathematics: In Defense of the 'New'. L.: Bloomsbury, 2013.

Heidegger M. Beiträge zur Philosophie (Vom Ereignis). Fr.a.M.: Vittorio Klostermann, 2003.

Heidegger M. Qu'est-ce que la metaphysique? P.: Gallimard, 1938.

Lautman A. Essay on the Notions of Structure and Existence in Mathematics // Idem.

Mathematics, Ideas and the Physical Real. L.: Continuum, 2011. P. 87-196. Lautman A. Mathematics and Reality // Idem. Mathematics, Ideas and the Physical

Real. L.: Continuum, 2011. P. 9-12. Lautman A. New Research on the Dialectical Structure of Mathematics // Idem. Mathematics, Ideas and the Physical Real. L.: Continuum, 2011. P. 197-228. Lautman A. On the Reality Inherent to Mathematical Theories // Idem. Mathematics,

Ideas and the Physical Real. L.: Continuum, 2011. P. 27-29. Lautman J. Introduction // Lautman A. Mathematics, Ideas and the Physical Real. L.:

Continuum, 2011. P. xiii-xix. Linnebo 0. Platonism in the Philosophy of Mathematics // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / E. N. Zalta (ed.). Winter 2013. URL: http://plato.stanford. edu/archives/win2013/entries/platonismmathematics. Peden K. Spinoza Contra Phenomenology: French Rationalism From Cavailles to

Deleuze. Stanford, CA: Stanford University Press, 2014. Sheehan T. Making Sense of Heidegger: A Paradigm Shift. L.: Rowman & Littlefield, 2015.

Smith D. Axiomatics and Problematics as Two Modes of Formalization: Deleuze's

Epistemology of Mathematics // Virtual Mathematics: The Logic of Difference / S. Duffy (ed.). Manchester: Clinamen Press, 2006. P. 145-168.

Zalamea F. Albert Lautman and the Creative Dialectic of Modern Mathematics // Lautman A. Mathematics, Ideas and the Physical Real. L.: Continuum, 2011. P. xxiii-xxxviii.

DELEUZE'S THEORY OF DIALECTICAL IDEAS: THE INFLUENCE OF LAUTMAN AND HEIDEGGER

James Bahoh. Fulbright Postdoctoral Fellow, European Philosophy and the History of Ideas Research Group (EPHI), School of Humanities and Social Sciences (SHSS), Faculty of Arts and Education, [email protected]. Deakin University, 221 Burwood Highway, VIC 3125 Burwood, Australia.

Keywords: Gilles Deleuze; Albert Lautman; Martin Heidegger; ontology; metaphysics; metamathematics; dialectical Idea; problem.

In Diffurence et ruputition, Deleuze's overall ontology is structured by his theory of dialectical Ideas or problems. This theory draws features from Plato, Kant, and classical calculus. However, Deleuze bring those features together by fitting them into a theory of Ideas/problems developed by the mathematician and philosopher Albert Lautman. Lautman sought to explain the nature of the problems or dialectical Ideas with which mathematics engages and the solutions or mathematical theories which attempt to comprehend them. Lautman drew heavily upon Martin Heidegger's early ontology to develop his theory of Ideas/problems. Although Deleuze seldom cited Heidegger, understanding how Lautman serves as a mediator between the two shows that certain elements in Heidegger's ontology indirectly shaped Deleuze's. This line of Heidegger's influence has been largely unrecognized and unexplored in Deleuze scholarship.

In this article the author seeks (1) to clarify Deleuze's theory of dialectical Ideas or problems through an analysis of its debts to Lautman and Heidegger and (2) to demonstrate Heidegger's crucial influence via Lautman on Deleuze's ontology. In order to do this he focuses on five core claims that Deleuze's theory of dialectical Ideas adopts from Lautman's. The article provides an extensive reconstruction of what those claims mean in Lautman's theory and discusses Lautman's use of Heidegger to explain key parts of his position. The five core claims of Deleuze/Lautman that the author outlines are: (1) Ideas/problems are different in kind from solutions and do not disappear with solutions; (2) Ideas/problems are dialectical; (3) Ideas/problems are transcendent in relation to solutions; (4) Ideas/problems are simultaneously immanent in those solutions; (5) the relation between Ideas/problems and solutions is genetic, that is, solutions are generated on the basis of the determining conditions of Ideas/problems.

DOI: 10.22394/0869-5377-2020-4-109-152 References

Alunni C. Continental Genealogies. Mathematical Confrontations in Albert Lautman and Gaston Bachelard. Virtual Mathematics: The Logic of Difference (ed. S. Duffy), Manchester, Clinamen Press, 2006, pp. 65-99. Bahoh J. Deleuze's Theory of Dialectical Ideas: The Influence of Lautman and Heidegger. Deleuze and Guattari Studies, 2019, vol. 13, no. 1, pp. 19-53. Bahoh J. Heidegger's Differential Concept of Truth in Beitrage. Gatherings: The Heidegger Circle Annual, 2014, no. 4, pp. 39-69. Capobianco R. Engaging Heidegger, Toronto, University of Toronto Press, 2010. Deleuze G. Razlichie ipovtorenie [Différence et répétition], Saint Petersburg, Petrop-olis, 1998.

Deleuze G. What Is Grounding?, Grand Rapids, MI, K& Publishing, 2015.

Dieudonné J. Preface to the 1977 Edition. In: Lautman A. Mathematics, Ideas and the Physical Real, London, Continuum, 2011, pp. xxxix-xliii.

Duffy S. Deleuze and the History of Mathematics: In Defense of the 'New', London, Bloomsbury, 2013.

Heidegger M. Beiträge zur Philosophie (Vom Ereignis), Frankfurt am Main, Vittorio Klostermann, 2003.

Heidegger M. Bytie i vremia [Sein und Zeit], Moscow, Ad Marginem, 1997.

Heidegger M. O sushchestve osnovaniia [Vom Wesen des Grundes]. Chto takoe metafizika? [Was ist Metaphysik?], Moscow, Akademicheskii proekt, 2013, pp. 172-229.

Heidegger M. O sushchnosti istiny [Vom Wesen der Wahrheit]. Razgovor na prose-

lochnoi doroge [Feldweg-Gespräche], Moscow, Vysshaia shkola, 1991, pp. 8-27.

Heidegger M. Qu'est-ce que la metaphysique?, Paris, Gallimard, 1938.

Lautman A. Essay on the Notions of Structure and Existence in Mathematics. Mathematics, Ideas and the Physical Real, London, Continuum, 2011, pp. 87-196.

Lautman A. Mathematics and Reality. Mathematics, Ideas and the Physical Real, London, Continuum, 2011, pp. 9-12.

Lautman A. New Research on the Dialectical Structure of Mathematics. Mathematics, Ideas and the Physical Real, London, Continuum, 2011, pp. 197-228.

Lautman A. On the Reality Inherent to Mathematical Theories. Mathematics, Ideas and the Physical Real, London, Continuum, 2011, pp. 27-29.

Lautman J. Introduction. In: Lautman A. Mathematics, Ideas and the Physical Real, London, Continuum, 2011, pp. xiii-xix.

Linnebo 0. Platonism in the Philosophy of Mathematics. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (ed. E. N. Zalta), Winter 2013. Available at: http://plato.stanford. edu/archives/win2013/entries/platonismmathematics.

Peden K. Spinoza Contra Phenomenology: French Rationalism From Cavaillès to Deleuze, Stanford, CA, Stanford University Press, 2014.

Sheehan T. Making Sense of Heidegger: A Paradigm Shift, London, Rowman & Little-field, 2015.

Smith D. Axiomatics and Problematics as Two Modes of Formalization: Deleuze's Epistemology of Mathematics. Virtual Mathematics: The Logic of Difference (ed. S. Duffy), Manchester, Clinamen Press, 2006, pp. 145-168.

Zalamea F. Albert Lautman and the Creative Dialectic of Modern Mathematics. In: Lautman A. Mathematics, Ideas and the Physical Real, London, Continuum, 2011, pp. xxiii-xxxviii.