CC BY
92
Пузач В.Н. ©
Магистр математики, кафедра социально-гуманитарных и естественнонаучных дисциплин
ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет» Костанайский филиал
ТЕОРИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ В СВЕТЕ РАБОТ КУММЕРА
Аннотация
В данной статье рассматривается вопрос возникновения теории алгебраических чисел и её некоторые аспекты.
Ключевые слова: алгебраическое число, единица, идеал. Keywords: algebraic number, identity,ideal.
Теория алгебраических чисел была построена в работах Куммера и Дирихле и затем развита Кронекером, Дедекиндом и Е.И. Золотаревым. Вопросы аппроксимации алгебраических чисел рациональными были существенно продвинуты в начале века А. Туэ, а затем в пятидесятых годах в работах К. Рота.
В настоящее время все большее внимание специалистов по теории чисел привлекает алгебраическая теория чисел. Здесь надо назвать работы Г. Хассе, Е. Гекке, а в особенности французского математика А. Вейля, результаты которого были использованы во многих теорико-числовых исследованиях, как например Д. Берджессом в проблеме о наименьшем квадратичном вычете. К алгебраической теории чисел относятся и интересные работы советского математика И.Р. Шафаревича, а так же работы Б.Н. Делонга по теории кубических форм.
Алгебраическая теория чисел - раздел теории чисел, основной задачей которого является изучение свойств целых чисел полей К алгебраических чисел конечной степени над полем Q рациональных чисел. Все целые числа поля K/Q - расширения К поляQ степени n - могут быть получены с помощью фундаментального базиса (ю1,ш2,^,юп) если в линейной формеЮ1Х1+Ю2Х2+.. ,+Wn каждоеXi пробегает все целые рациональные числа. При этом такое представление для каждого целого числа из К единственно.
Переход от целых рациональных чисел к целым алгебраическим не сопровождается ожидаемыми аналогиями. Первое нарушение аналогии относится к единицам. В то время как поле рациональных чисел имеет только две единицы: 1 и -1, в общих полях алгебраические чисел может быть даже бесконечно много единиц. Пусть, например,имеется
вещественное квадратичное полеQ (-Jx ) где D>0 - целое рациональное число, не равное
точному квадрату. Его фундаментальный базис имеет вид 11 > V D~ l(mod 4) у двучленного Пелля уравнения x2-Dy2=lбесконечно много целочисленных решений (х,у). Любое
из них порождает единицу ' : ^ !> поля . Именно,
и ifb+yVWi=*—y V»
тоже является целым числом поля i '''1. Единицы этого поля образуют бесконечную мультипликативную группу (группу единиц Пелля).
Второе нарушение аналогии, при переходе от поля рациональных чисел к полю алгебраических чисел, связано с теоремой об однозначном разложении целых рациональных n на простые множители:
Для алгебраических чисел это уже не так. Пусть, например, имеется поле • * V г,): в нем число 6 можно разложить двумя существенно различными способами: 6=2-3, h ■' J' ',J (' ^ 11 При переходе к полям более высокой степени картина усложняется.
© Пузач В.Н., 2013 г.
Возникает вопрос: что происходит с теоремой об однозначном разложении и имеет ли она вообще смысл в полях алгебраических чисел.
Третье нарушение аналогий доставляют простые числа. При переходе к полям алгебраических чисел они, вообще говоря, перестают быть простыми. Так, простое число 5 в поле гауссовых чисел - ■ ' 11 распадается на два множителя: ,Г) (2-!- к — 1) (2~ У 1). Но в этом же поле число 7 остается простым. Возникает вопрос: существуют ли общие законы, управляющие поведением простых чисел при переходе к полям алгебраических чисел более высокой степени. Другими словами, можно ли найти правила, которые давали бы однозначный ответ на вопрос - остается данное простое число простым при переходе к полюK/Q или распадается в нем, и если распадается, то на сколько множителей.
И наконец, последний четвертыйвопрос касается общей структуры полей алгебраических чисел. ПолеQ является минимальным полем с нулевой характеристикой и не содержит собственных подполей. Любое другое поле алгебраических чисел уже имеет подполя. Так^ служит подполем любого поля алгебраических чисел. Возникает вопрос: сколько подполей содержит данное поле K/Q - конечное или бесконечное - и как они устроены. Эти четыре вопроса являются главными в алгебраической теории чисел, и ответы на них составляют ее содержание. Естественно начать рассмотрение с четвертого вопроса, так как ответ на него прольет свет и на первые три. Соответствующая задача была решена Э. Галуа в 20-х гг. 19 в. Конечность числа подполей расширения K/Q степени и над Q следует из существования взаимно однозначного соответствия между всеми подполями поля К и всеми подгруппами его группы Галуа, порядок которой конечен.
Строение группы единиц поля было выяснено П. Дирихле. Основную идею можно проследить на примере группы единиц Пелля. Любая степень такой единицы (как положительная, так и отрицательная) будет единицей. Существует основная единица 'I : Уо '' ^ , а все остальные являются ее целыми степенями, т. е. единицы Пелля составляют бесконечную циклическую группу с одной образующей. Этот факт есть частный случай общей теоремы Дирихле о единицах поля алгебраических чисел: если поле 3
имеет степень" ''V где г1- число вещественных, а 'а- число пар комплексно сопряженных полей для К 0, то бесконечная группа единиц поля К ' имеет' ' ' образующих единиц ' ' " ^Гт а все остальные являются произведениями их
„Я| 11 "г Ппг
целочисленных степеней Ч 1г - ■ ■ \г ■ Таким образом, бесконечная группа единиц поля ^ 2 является произведением г бесконечных циклических подгрупп. Если домножить ее на конечную циклическую подгруппу корней из единицы, которые могут быть в ^ - -то будет
получена самая общая картина строения группы единиц поля. Норма любой единицы поля, т.
п
е. произведение этой единицы и всех ей сопряженных, равна единице поля ^ ■
Проблема неоднозначного разложения целых чисел в алгебраических полях была решена Э. Куммером. Он, как и Э. Галуа, начал с частной задачи - попытки доказать великую теорему
к}> Д, „р- - - р
Ферма о невозможности решить в целых числах уравнение ' ■ " для любого простого . Э. Куммер разложил левую часть по кортам р-й степени из 1, и задача была
сведена к целым числам поля " [ ~! 1. Если бы для них существовало однозначное разложение на простые множители в поле - то достаточно было бы показать, что не все простые множители левой части имеют степень, кратную р. Вначале Э. Куммер так и считал, но П. Дирихле обратил его внимание на отсутствие однозначности. Именно для преодоления этой трудности Э. Куммер ввел идеальные числа, и это преобразило в дальнейшем все здание алгебраической теории чисел. Понятие идеального числа происходит из того, что если в поле k нет простых чисел, на которые однозначно распадалось бы любое целое число из ^ то найдется другое поле K/k конечной степени над ^ в котором существует необходимое количество чисел, играющих роль простых для поля к Эти числа Э. Куммер назвал идеальными (так как они не принадлежат исходному полю ф. С привлечением идеальных чисел теорема об однозначности разложения в поле k восстанавливается. При этом два числа поля, отличающиеся только единицей Дирихле (так наз. ассоциированные числа), имеют одни и те же идеальные
множители. Понятие идеального числа относительно - для другого поля 1' строится поле ^ ''
к* и'
другой степени над " , в котором содержатся идеальные числа поля .
Э. Куммер ввел также понятие класса идеальных чисел: два идеальных числа принадлежат одному классу, если их отношение лежит в первоначальном поле k. Он получил важный результат: число этих классов h конечно, и они образуют абелеву группу по умножению. Таким образом, любое идеальное число можно считать корнем h-й степени из некоторого числа первоначального поля k. Число классов h явно выписывается через константы поля (регулятор, дискриминант, степень поля n).
В дальнейшем понятие идеального числа было заменено эквивалентным понятием идеала, которое удается описать средствами самого поля k, и уже в сер. 20 в. идеал уступил место более емкому понятию дивизор. Поэтому современная теория Куммера излагается на языке дивизоров. Но для полей алгебраических чисел классическое понятие идеала совпадает с понятием дивизора. Понятие идеала тесно связано с понятием неассоциированных чисел, что способствует пониманию глубоких связей теории Куммера и теории единиц Дирихле. Хотя Э. Куммеру и не удалось решить проблему Ферма, но его идеи вышли далеко за рамки этой задачи, и понятие идеала ныне является одним из главных для всей математики.
В связи с относительностью понятия простого идеального числа, или, в современной терминологии, простого идеала, третий вопрос о распадении простых чисел поля - при переходе к полям алгебраических чисел может быть поставлен в общем виде. Пусть дано поле к
и его простой идеал ^1 . Ставится вопрос о том, остается ли идеал простым при переходе от поля к к его расширению ^ ''1 ]' или распадается в произведение простых идеалов поля К, и если распадается, то по какому закону. Этот вопрос приводит к полям классов теории - центральной части всей современной алгебраической теории чисел. Первое решение этого вопроса было дано Э. Куммером, показавшим, что если 1 ^ - корень неприводимого многочлена
f(x), то простой идеал ^ распадается в ' ■' по тому же закону, что и 1 ,г при переходе к полю вычетов1111'1^ ^: ■ Другими словами, разложение 11 15 ,iri" ' определяется сравнением
/ (*) - /;> (*) /"'(*) 4« (*) (mod р).
Параллельное равенство называемое формулой (или разложением) Куммера:
(1)
где I - простые идеалы поля Л 1.
Это равенство в принципе решает третью задачу А. т. ч., но оно локально в том смысле, что требует проверки каждого простого идеала в отдельности. Задача же о разбиении всех простых идеалов на классы так, чтобы в одном классе закон разложения был один и тот же и чтобы, кроме того, можно было найти простые правила задания этих классов, решается теорией
полей классов для расширения ^ • ^ с абелевой группой Галуа ( ^ '' 1'
Предварительное понятие класса можно получить из равенства (1). Пусть п- степень
поля ^ i it - относительная степень идеала Pi ■ Вычисление относительной нормы A" к обеих частей (1) приводит к равенству
где - натуральные. При фиксированном п уравнение (2) имеет конечное число
решений, так что все простые идеалы поля k можно разбить на конечное число классов и собрать в один класс те из них, разложению Куммера которых соответствует один и тот же
набор пар 1 ^' из решения (2). Интерес представляют лишь бесконечные классы, поэтому можно оставить в стороне те классы, где имеется '--Число простых идеалов с таким
свойством конечно, и все они являются делителями дискриминанта ^ поля ^ ^ ■
Для упрощения задачи поле ^ считается нормальным. В таких полях выполняется условие
Поэтому все УЛ^ разбиваются на '' ** классов, где - функция числа делителей.
Особый интерес представляет класс с условием » где
/л — /з ~ • • - — /и — 1 т
в нем ^ имеет максимальное число простых делителей поля ^ ''■ ■
!)=!»!& -.. 1>„. (3)
Такие р называются вполне разложимыми, а их класс наз. главным классом поля к относительно К/к. В теории полей классов он является основным объектом изучения. Определение главного класса с помощью (3) требует доказательства того, что в поле к такие идеалы на самом деле существуют и что их бесконечно много. Поэтому основная задача теории полей классов состоит в том, чтобы определить главный класс средствами самого поля к, из которого бы следовала его бесконечность. Эта задача полностью решена для абелевых расширений К/к.
Литература
1. Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987 г.;
2. Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел. — М.: Наука, 1982 г.;
3. Рибенбойм П., Последняя теорема Ферма для любителей. - М.: Мир, 2003 г.;
4. Сингх С., Великая теорема Ферм. - М: МЦНМО.: - 2000 г.;
5. Эдвардс Г., Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел теорию. - М.: Мир, 1980 г.
