ТЕОРИЯ φ3 В РАЗМЕРНОСТИ D = 3 В РАМКАХ η-РАЗЛОЖЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.12

Вестник СПбГУ. Физика и химия. 2018. Т. 5 (63). Вып. 1

А. Л. Письменский

ТЕОРИЯ ф3 В РАЗМЕРНОСТИ d = 3 В РАМКАХ п-РАЗЛОЖЕНИЯ

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И.Ульянова (Ленина),

Российская Федерация, 197376, Санкт-Петербург, ул. Профессора Попова, 5

В данной работе используется метод расчёта п-разложения в модели скалярного поля со взаимодействием ф3 в трёхмерном евклидовом пространстве, основанный на уравнениях конформного бутстрапа. Как известно, существует техника е-разложения, которая позволяет найти критический индекс в виде ряда по степеням е отклонения размерности пространства от логарифмической. Однако для теории ф3 логарифмическая размерность равна 6, а данный ряд по е имеет очень малый радиус сходимости, и аналитически продолжить его в размерность d =3 не представляется возможным. Для решения проблемы предлагается использовать п-разложение: в предположении, что критический индекс п — малая величина, строится разложение в ряд по степеням п и получается некоторое приближённое уравнение на критический индекс. Оказывается, что если рассматривать это уравнение как точное, то устойчивого решения на п нет. Но если использовать аппроксимацию Паде, то устойчивый корень уравнения появляется. Библиогр. 13 назв.

Ключевые слова: теория ф3, размерность 3, п-разложение.

Для цитирования: Письменский А. Л. Теория ф3 в размерности d = 3 в рамках п-раз-ложения // Вестник СПбГУ. Физика и химия. 2018. Т. 5 (63). Вып. 1. C. 32-39. https://doi.org/10.21638/11701/spbu04.2018.104

A. L. Pismensky

THEORY ф3 IN THE DIMENSION d = 3 IN FRAMES OF n-EXPANSION

St. Petersburg Electrotechnical University "LETI",

5, ul. Professora Popova, St. Petersburg, 197376, Russian Federation

The method of п-expansion calculation in the scalar field model with ф3 interaction in a 3D euclidian space based on conformal bootstrap equations is used in the present paper. As we know, there is an e-expansion technique that allows us to find the critical exponent in the form of a series in powers of e, the deviation of the dimension of space from the logarithmic one. However, the logarithmic dimension of the theory ф3 is 6, and the given series in е have a very small radius of convergence, so that it is not possible to extend it analytically to the dimension d = 3. To solve the problem, we propose using the п-expansion: we construct the series in powers of critical exponent п supposing that it is a small value and obtain some approximate equation for п. If we consider this equation as precise, then it proves that there is no sustainable solution. But using the Pade approximant we receive a stable root of equation. Refs 13. Keywords: theory ф3, dimension 3, п-expansion.

For citation: Pismensky A. L. Theory ф3 in the dimension d = 3 in frames of п-expansion.

Vestnik SPbSU. Physics and Chemistry. 2018. Vol. 5 (63), iss. 1. P. 32-39. https://doi.org/10.21638/11701/spbu04.2018.104

Введение. Одной из основных задач теории критического поведения является расчёт критических индексов. Весьма эффективными для её решения оказались уравнения ренормгруппы. По ним для критических индексов оказалось возможным построить е-разложения, т. е. степенные ряды по отклонению е размерности пространства от логарифмической. Для описания поведения системы в критической точке кроме уравнений

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2018

ренормгруппы использовались уравнения самосогласования, которые получаются в результате отбрасывания затравочных членов в скелетных уравнениях для функций Грина [1—6]. Эти уравнения применялись для построения (1/п)-разложения критических индексов в 0(п)-симметричной модели (ф2)2 и е-разложения теории ф3. Основным преимуществом этого подхода является значительное уменьшение числа диаграмм Фейн-мана, которые нужно вычислить для решения задачи. Уравнения самосогласования для полного пропагатора и полной тройной вершины являются основой метода конформного бутстрапа, который использовался для расчёта (1/п3)-поправки для индекса П в модели (ф2)2 [6] и е3- и е4-поправок в модели ф3 [7, 8]. В настоящей работе мы предлагаем использовать метод конформного бутстрапа для построения ^-разложения в модели ф3.

Метод конформного бутстрапа для теории ф3. Мы исследуем простейшую квантовополевую модель ф3 скалярного поля в евклидовом пространстве размерности с! = 3 с лагранжианом

1 X о

= - ф/Сф + - ф3.

Как известно, в обычной теории ф3 логарифмической размерностью пространства является с! =6. Мы хотим видоизменить модель так, чтобы размерность с! =3 была логарифмической. Константа связи должна быть безразмерна: Дх = 0. Отсюда следует, что 3Дф = 3 и размерность поля Дф = 1. Для размерности оператора К получаем уравнение: Дк + 2Дф = 3, откуда следует, что Дк = 1, т. е. затравочный пропагатор в импульсном представлении имеет вид

Д(Л-) ~ ±

а в координатном представлении

1

Д(х) ~ —.

х2

Предположим, что полный пропагатор имеет вид

ад = А, а = 1 + п

Задача данной работы — построить п-разложение и получить уравнение на п. Система уравнений конформного бутстрапа имеет вид

Г V(а,и; Ю)|ю=0 = 1

ш=0

где

/ ч ,, ,, ч оиН(а, а, а , а, а, а, !/2 + а — а)

р{а) = л-аН{а-с1/2,с1/2-а), 5(а) = л2(г 1 ' ' ' ' ' ' ' '

Г(!/2)

И (г) = Г(г')/Г(г), г' = !/2 - г, Н(г1,г2, ...) = И (г1)Н (г2) ..., а функция V(а,и; ш) определяется следующим образом:

Здесь кружочек — вершинная функция, а кружок со значком ю — регуляризованная вершинная функция:

- 2ю

о. + Ш

Линия с индексом г

х1 х2 (х1 - х2)22

Пропагаторная функция имеет вид:

Б(х1 ,х2) =

Вершинная функция имеет вид:

А

Г(х1 ,Х2 ,хэ)

(Х1 - х2 )2а'

С

(х1 — х2)2а(х1 — х3 )2а(х2 — х^)2°

индекс а определяется из условия уникальности всех вершин интегрирования:

2а + а = ¿,

и = С2 А3 — ренорм-инвариантная комбинация амплитуд.

В левой части уравнении для V в первой диаграмме три вершины и три линии, т. е. она пропорциональна С3А3. А в правой части функция V умножается на вершину, которая пропорциональна С. Таким образом, в главном приближении V пропорционально С2 А3 = и. Нетрудно убедиться, что вклад второй диаграммы в функцию V 2

пропорционален и2 и т. д.

Найдём сначала критический индекс п в однопетлевом приближении:

V(а, и; ю)

Обозначим вклад данной диаграммы через у1:

V = у1и + ....

Имеются три основных формулы расчёта безмассовых диаграмм: 1) петля:

— + ~2 . .

2) цепочка:

а

1

2

3) уникальная тройная вершина:

23

= па/2Н (г!,г2,г3)

гх + г2 + г3 = !.

В диаграмме ух все вершины интегрирования уникальны, и путём преобразования инверсии она сводится к следующей диаграмме:

,_1__

а — ш, ,а — ш

а + ш

Пояснение: первый шаг — преобразование инверсии с базой в верхней внешней вершине, второй шаг — интегрирование двухвостой диаграммы (сведение её к линии), третий шаг — снова преобразование инверсии с базой в верхней вершине. Вычисление у1:

а + ш

а / \а

паН(а, а,а + ш,а + а' — ш)

а — а + ш

а / \а

аш

аш

Обозначим вынесенный множитель через Ф(а; ш):

Ф(а; ш) = пйН(а, а,а + ш,а + а' — ш),

а оставшийся граф обозначим у': Тогда

У = фу!.

У1 |ш=0 = Ф|ш=0 У1 |ш=0,

ду±

д ш

ш=0

дш

ш=0

ду'

у! |Ш=0 + Ф|ш=0

ш=0

Функция Ф содержит множитель Г(а — а + ш), который ведёт себя как

1

3п/4 + ш

+ ...

а остальные множители регулярны при п = 0 и ю = 0. Поэтому оказывается, что при дифференцировании по ю увеличивается на порядок сингулярность:

1 дФ

ю=0 ~ -

П дш

ш=0

П

2 '

Диаграмма у'х имеет полюс второго порядка по п, и при дифференцировании по ю не увеличивается сингулярность. Чтобы найти однопетлевое приближение, нужно вычислить ух в главном порядке по п. Для этого достаточно найти главной вклад 1ю=о по п.

В диаграмме у1 расходятся левый и правый треугольники (с индексами а на сторонах), и для вычисления главного сингулярного вклада достаточно концы верхней линии перенести к другим вершинам этих сингулярных треугольников:

у! U=O =

= n6H(a, a, a)2H(a + a',a + а', 2a — a, a').

1бл64л3 ^ /1

YÍI»=o = „ o +Q

Получается, что

V*-, 1,.,_п = -

9пп2 \п

и для вклада диаграммы ух выражение следующее:

512л12 ^ ( 1

dyi

дш

ш=0

2048л12 ^ f 1

-;--Н О

81п4

Рассмотрим первое уравнение бутстрапа:

V |ш=0 = 1.

В главном приближении V = yiu, а yi |ш=о в ведущем порядке по п пропорционально 1/П3- Следовательно, ренорм-инвариантная амплитуда u в главном приближении ведёт себя как п3- Поэтому мы ищем u в виде u = из^3 +... После решения первого уравнения бутстрапа получаем

27

из =

т- е-

27

512л12'

■л3 + о(п4).

512п12

Рассмотрим второе уравнение бутстрапа:

dV(a, и; ш)

2p(a) = uS (а)

дш

ш=0

1

a — a

Подставляя найденное и, получаем

дУ дт

т=0

Раскладывая левую и правую части второго уравнения бутстрапа до линейного по п вклада, мы получаем линейное уравнение на п:

1

--7 +

3 2л4

п

3

8л4

0,5333.

откуда находим г| = ^

Теперь найдём п в двух- и трёхпетлевом приближениях. В двухпетлевом нам нужно учесть две диаграммы для V: они обе вычисляются с нужной точностью уже известными методами расчёта безмассовых диаграмм [3, 9-13]. На критический индекс получается квадратное уравнение:

27 +840л - 32л3 2 15 1

384л5

которое имеет только комплексные корни:

¿(-720мг + \/41472л + 771840л:2 - 49152л:4) Л1 = —-- _-—-тг^-- « 0,6757 + 0,5140г,

п2

-54 - 1680л + 64л3 г(720гл + ^41472л + 771840л2 - 49152л4) -54 - 1680л + 64л3

0,6757 — 0,5140г.

Это означает, что на самом деле решений нет, так как функция Грина должна быть вещественна.

Рассмотрим трёхпетлевое приближение. Для этого потребуется вычислить следующие диаграммы:

V (а, и; т)

+ -

+3

л

Все диаграммы, кроме последней, вычислены аналитически с требуемой точностью путём использования уже известных методов расчёта [3, 9-13]. Последнюю же диаграмму уз2 удалось сосчитать только численно. На критический индекс п получилось кубическое уравнение

1 3 л2 - 6 2 1 з _ 3 9(24 +л2) 2 " ^ + 2^ Л + ~ 8^ Л + 128л4 Г +

3(9(1 + 6 х 0,89724)л4 + 16л2(-19 + 1п512) - 72(8 + 21£3)) 3 + 1024л4 Л '

где — дзета-функция Римана.

Корни уравнения следующие:

П = -1,0262, п = 0,2946 - 0,3464^, п = 0,2946 + 0,3464^.

Комплексные корни не годятся для расчётов. Сравним вещественный корень п = = —1,0262 с результатом однопетлевого расчёта: там было г| = ^ = 0,5333.

Мы видим, что никакого устойчивого решения нет. Ошибка заключается в том, что мы рассматривали приближённое уравнение как точное.

Попробуем применить аппроксимацию Паде — перепишем второе уравнение системы (*) в виде

, ч 0 , ч а, ч ду(«,«; ю)

е/(т|) = 2р(а) — иЬ( а)

= 0.

ш=0

д ш

Функции р(а) и S (а) известны абсолютно точно, а величины и и g1',"1"'1

— толь-

ш=0

до)

ко приближённо (в виде разложения в ряд по п). Нужно найти решение уравнения <7(п) =0.

Результат следующий: число использованных членов разложения по п для и

дУ (а,и;ю) т-л / \

и —дю оказывается неважным. Ьсли для </(г|) использовать аппроксимации

ю=0

Паде (3;0), (2; 1), (1;2), (0; 3) в окрестности п = -0,5, то все они с хорошей точностью совпадают на интервале п € (—1; 0,5) и пересекают ось абсцисс при п ~ 0,35. Таким образом, можно предположить, что п ~ 0,35 является решением задачи.

Заключение. Преимуществом метода конформного бутстрапа по сравнению с методом ренормгруппы является значительное сокращение числа диаграмм Фейнмана. Он был успешно применён для расчёта четырёхпетлевой поправки критического индекса п теории ф3 в рамках е-разложения [8].

Однако этот метод имеет недостатки: он пригоден только для моделей с гарантийной конформной инвариантностью в критическом режиме и только с тройными затравочными вершинами. Хотя метод конформного бутстрапа был использован для построения 1/п-разложения теории ф4 [6], применить его для е-разложения не удалось.

В дальнейшем планируется найти критический индекс п теории ф3 в произвольной размерности, не предполагая его малым.

Хотелось бы усовершенствовать метод конформного бутстрапа и использовать его для теории ф3 непосредственно в логарифмической размерности ^ = 6), где конформная инвариантность заведомо нарушается. Планируется также применить этот метод к теории Янга — Миллса и извлечь инфракрасную асимптотику пропагатора, где экспериментально наблюдается конфайнмент (проблема невылетания кварков).

Благодарности. Автор статьи благодарит Ю. М. Письмака за постановку задачи и полезные советы при анализе трудностей в решении. Автор также выражает благодарность М. В. Компанийцу за помощь в расчёте диаграмм Фейнмана.

Литература

1. MackG. D-independent representation of conformai field theories in D dimensions via transformation to auxiliary dual resonance models. Scalar amplitudes // arXiv: 0907.2407v1 [hep-th].

2. Mack G. D-dimensional conformal field theories with anomalous dimensions as dual resonance models // Bulg. J. Phys. 2009. Vol. 36. P. 214-226.

3. Васильев А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. СПб.: Изд-во ПИЯФ, 1998.

4. Vasiliev A. N., Pis'mak Y. M., Khonkonen Y. R. Simple method of calculating the critical indices in the 1 /n expansion // Theor. Math. Phys. 1981. Vol. 46, iss. 2. P. 104-113.

5. Vasiliev A. N., Pis'mak Y. M., Khonkonen Y. R. 1/n Expansion: Calculation of the exponents n and v in the order 1/n2 for arbitrary number of dimensions // Theor. Math. Phys. 1981. Vol. 47, iss. 3. P. 465—475.

6. Vasiliev A. N., Pis'mak Y. M., Khonkonen Y. R. 1/n Expansion: Calculation of the exponent v in the order 1/n3 by the conformal bootstrap method // Theor. Math. Phys. 1982. Vol. 50, iss. 2. P. 127-134.

7. Pismenskii A. L. Calculation of the critical index n for the ф3 theory by the conformal bootstrap method // Theor. Math. Phys. 2015. Vol. 185, iss. 1. P. 1516-1521.

8. Pismenskii A. L. Calculation of critical index n of the ф3-theory in 4-loop approximation by the conformal bootstrap technique // Int. J. Mod. Phys. (A). 2015. Vol. 30. 1550138.

9. HuberT., MaitreD. Expanding hypergeometric functions about half-integer parameters // Comp. Phys. Commun. 2008. Vol. 178. P. 755-776.

10. Kotikov A. V. The Gegenbauer polynomial technique: the evaluation of complicated Feynman integrals // arXiv: hep-ph/0102177v1.

11. Kazakov D. I. Many-loop calculations: The uniqueness method and functional equations // Theor. Math. Phys. 1985. Vol. 62, iss. 1. P. 84-89.

12. Baikov P. A., ChetyrkinK. G. Four loop massless propagators: an algebraic evaluation of all master integrals // Nucl. Phys. (B). 2010. Vol. 837. P. 186-220.

13. ChetyrkinK. G., Tkachov F. V. Integration by parts: The algorithm to calculate ^-functions in 4 loops // Nucl. Phys. (B). 1981. Vol. 192. P. 159-204.

References

1. Mack G. D-independent representation of conformal field theories in D dimensions via transformation to auxiliary dual resonance models. Scalar amplitudes. arXiv: 0907.2407v1 [hep-th].

2. Mack G. D-dimensional conformal field theories with anomalous dimensions as dual resonance models. Bulg. J. Phys., 2009, vol. 36, pp. 214-226.

3. Vasiliev A. N. The field theoretic renormalization group in critical behavior theory and stochastic dynamics. Boca Raton, Chapman & Hall/CRC, 2004.

4. Vasiliev A.N., Pis'mak Y. M., Khonkonen Y. R. Simple method of calculating the critical indices in the 1/n expansion. Theor. Math. Phys., 1981, vol. 46, iss. 2, pp. 104-113.

5. Vasiliev A. N., Pis'mak Y. M., Khonkonen Y. R. 1/n Expansion: Calculation of the exponents n and v in the order 1/n2 for arbitrary number of dimensions. Theor. Math. Phys., 1981, vol. 47, iss. 3, pp. 465-475.

6. Vasiliev A. N., Pis'mak Y. M., Khonkonen Y. R. 1/n Expansion: Calculation of the exponent v in the order 1/n3 by the conformal bootstrap method. Theor. Math. Phys., 1982, vol. 50, iss. 2, pp. 127-134.

7. Pismenskii A. L. Calculation of the critical index n for the ф3 theory by the conformal bootstrap method. Theor. Math. Phys., 2015, vol. 185, iss. 1, pp. 1516-1521.

8. Pismenskii A. L. Calculation of critical index n of the ф3-theory in 4-loop approximation by the conformal bootstrap technique. Int. J. Mod. Phys. (A), 2015, vol. 30, 1550138.

9. Huber T., Maitre D. Expanding hypergeometric functions about half-integer parameters. Comp. Phys. Commun., 2008, vol. 178, pp. 755-776.

10. Kotikov A. V. The Gegenbauer polynomial technique: the evaluation of complicated Feynman integrals. arXiv: hep-ph/0102177v1.

11. Kazakov D.I. Many-loop calculations: The uniqueness method and functional equations. Theor. Math. Phys., 1985, vol. 62, iss. 1, pp. 84-89.

12. Baikov P. A., Chetyrkin K. G. Four loop massless propagators: an algebraic evaluation of all master integrals. Nucl. Phys. (B), 2010, vol. 837, pp. 186-220.

13. Chetyrkin K. G., Tkachov F. V. Integration by parts: The algorithm to calculate ^-functions in 4 loops. Nucl. Phys. (B), 1981, vol. 192, pp. 159-204.

Статья поступила в редакцию 21 декабря 2017 г.

Контактная информация

Письменский Артём Леонидович — кандидат физико-математических наук; e-mail: [email protected]

Pismensky Artem Leonidovich — PhD; e-mail: [email protected]