CC BY
164
ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 51-75
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ И ПОЛЕЗНОСТИ В СТРАХОВАНИИ
Романова Е.М., К(П)ФУ, канд. физ.-мат. наук, доцент, romanova1elena@rambler.ru
На современном этапе развития системы страхования большую роль играют теория вероятностей и математическая статистика совместно с теорией полезности. Вероятностный подход в страховании при этом позволяет выстраивать долгосрочные страховые договоры, быстро адаптируемые под реальные ситуации, взаимовыгодные обеим сторонам с точки зрения полезности. Для того, чтобы страховая система в будущем успешно и эффективно работала, необходимо правильно собирать текущую информацию, анализировать полученные статистические данные и делать строго научные выводы. Это позволяют сделать математические методы. Ключевые слова: вероятность, теория полезности, математическая статистика, страхование.
Основная задача страхования - это компенсация в денежном эквиваленте экономических потерь, возникших в результате случайных событий. Страхование как аппарат возмещения убытков не покрывает в полном объеме всех потерь, а некоторые виды ущер-ба(например, увечье, боль, страдание) вообще сложно выразить в денежных единицах. При этом страхование, рассматриваемое как защита и гарантия, не уменьшает самой вероятности потерь и их серьезных последствий. Уникальность страховых систем состоит в том, что смягчение финансовых потерь, число, размер или время наступления которых являются случайными, это важнейшая причина их существования. Слово «случайные» означает, в частности, что предполагаемый страхователь не может контролировать часто-
63
ту, размер и время наступления потерь. Таким образом, система страхования выступает механизмом уменьшения неблагоприятного финансового воздействия случайных событий.
Предположим, что создается страховая организация (страховщик), цель которой - уменьшить финансовые последствия повреждения или уничтожения собственности. Страховщик выпускает контракты (договоры), которые являются обязательствами выплатить владельцу собственности определенную сумму (страховую сумму), равную или меньшую, чем понесенные финансовые потери, если собственность повреждена или уничтожена в течение периода действия договора. Платежи, обусловленные этими обстоятельствами и связанные с размером ущерба, называются страховыми выплатами. В обмен на обязательства, закрепленные в договоре, владелец собственности (страхователь) выплачивает страховщику вознаграждение (премию) [1].
Страховая система может быть построена только после того, как очерчена группа ситуаций, в которых могут возникнуть случайные потери. Как только класс страхуемых событий определен, то после сбора и обработки статистических данных за предыдущий период можно дать предварительные вероятностные оценки о процессе, порождающем потери, и об ожидаемых полезностях. При построении различных моделей страховых систем широко используются методы, известные из математического анализа, теории вероятностей и теории полезности.
Перейдем к математическому описанию страховых систем. Предположим, что лицо, принимающее решения, владеет собственностью, которая может быть повреждена или уничтожена в течение следующего отчетного периода. Величина ущерба - это случайная величина, которую будем обозначать X. Будем предполагать, что ее распределение известно. Пусть Г(х) - функция плотности и Р(х) -функция распределения случайной величины потерь Х. Тогда величина М(Х) - ее математическое ожидание, определяемое по форму-
64
ле М(Х) = xf(x)dx, есть ожидаемая величина ущерба в следующий отчетный период. Она может быть рассмотрена как долговременные средние потери, если эксперимент, состоящий в том, что собственность подвергается опасности ущерба, может многократно проводиться при неизменных условиях.
В основе такого подхода в условиях неопределенности лежит принцип ожидаемого значения, по которому распределение возможных исходов можно заменить в целях принятия решения одним единственным числом, ожидаемым значением случайного исхода, выраженным в денежной форме. Согласно этому принципу, лицу, принимающему решения, должно быть безразлично, принять на себя случайные потери X или выплатить величину М[Х] с тем, чтобы обезопасить себя от возможных потерь. Аналогично, лицо, принимающее решения, должно быть согласно выплатить сумму, не превышающую величины М[ Б], для того чтобы принять участие в рискованном предприятии со случайными выплатами Б. В экономике ожидаемое значение случайных событий, которые сопряжены с денежными выплатами, часто называется честной или актуарной стоимостью этого события [1].
Будем считать, что то значение полезности, которое численно описывает имеющиеся предпочтения клиентов, обладающих капиталом величины V, выраженной в денежных единицах, может быть выражено в виде некоторой функции и^), называемой функцией полезности капитала. Функция полезности капитала не должна отражать никаких неожиданностей, это неслучайная функция. И формируется она не по закону убывания предельной полезности, а, наоборот, с ростом капитала полезность будет увеличиваться. Согласно этому система страхования должна отвечать той цели, чтобы ожидаемая полезность не убывала ни для страховщика, ни для страхователя.
65
В основе принятия решения согласно требованиям, уже выявленным при определении функции полезности капитала, лежит правило, утверждающее, что существует функция полезности и( v) такая, что если распределение X предпочтительнее, чем распределение Y, то М[и(Х)]>М[и^)], а если не отдавать предпочтение ни одному из этих распределений, то М[и(Х)] = М[и^)].Следствием этой теоремы является предположение о том, что разумный человек, сталкиваясь с двумя распределениями исходов, влияющих на капитал, сумеет выразить либо предпочтение по отношению к одному из этих распределений, либо одинаковое отношение к обоим.
Применим теорию полезности к проблеме принятия решений, с которой сталкивается лицо, собственность которого подвергается риску. Такой владелец собственности обладает функцией полезности капитала и(у). Он может понести потери Х из -за наступления случайных событий, которые нанесут вред его собственности. Предположим, что владельцу собственности безразлично, платить ли сумму S страховщику, перекладывая на него случайные финансовые потери, или принимать риск на себя. Тогда такое положение может быть формализовано соотношением u(v-S)=M(u(v-X)). Если же владелец собственности отдает предпочтение страхованию, то согласно вышеописанному закону справедливо неравенство и( v-S) >M(u(v-X)).
Правая часть формулы представляет собой ожидаемую полезность при отказе от покупки страхового договора, если текущая величина капитала владельца собственности равна v. Левая часть представляет собой ожидаемую полезность при выплате суммы S за полное финансовое покрытие. В целом ряде финансовых обязательств для отдельно взятого договора страхования функция полезности страховщика может приближаться прямой линией, т.е. u(v) = av + Ь, a> 0. Тогда, при М[ Х] =Цx>М[Y]=цyпредпочтение распределения Х будет задаваться неравенством М^^)] = aцx + Ь> М^^)] = aцy + Ь.
66
Таким образом, для возрастающей линейной функции полезности предпочтения относительно распределений исходов упорядочены так же, как математические ожидания этих распределений. Следовательно, если функция полезности является линейной и возрастающей, то принцип ожидаемого значения для рационального экономического поведения перед лицом неопределенности не противоречит правилу ожидаемой полезности.
Если владелец собственности с линейной функцией полезности капитала не отдает предпочтение ни одной из возможностей или отдает предпочтение страхованию, то
u(v - 8) = a(v - S) + Ь > M[u(v - X)] = M[a(v - X) + Ь].
Отсюда a(v - 8) + Ь > a(v - ц) +Ь. Следовательно, 8<ц.
Таким образом, если функция полезности владельца собственности возрастает и линейна, величина премии 8, при которой он не отдает предпочтения ни одной из возможностей или предпочитает приобрести полное страховое покрытие, не превосходит величины ожидаемых потерь. В случае отсутствия дотаций при долгосрочном планировании страховщик должен позаботиться о том, чтобы полученные премии превысили его ожидаемые потери. Поэтому в рассматриваемом случае заключение взаимовыгодного страхового договора маловероятно [1].
Возникает вопрос, какими свойствами должна обладать функция полезности, чтобы был возможен взаимовыгодный страховой договор? Ответ на поставленный вопрос дают неравенства Иенсена:
1) если и''( v)< 0, то М[и(Х)] < и(М[Х]),
2) если и''^)> 0, то М[и(Х)] > и(М[Х]).
Неравенства Иенсена предполагают существование обоих математических ожиданий [1].
67
Применим неравенства Иенсена к задаче принятия решения о страховании, сформулированной выше. Будем предполагать, что предпочтения лица, принимающего решения, таковы, что функция полезности капитала является возрастающей и'( v)>0 и строго выпуклой и''(у)<0. Применяя неравенство Иенсена, получим - S) = M[u(v - X)] < - ц). Поэтому из последнего неравенства следует, что v - S < v - ц или S > ц. Итак, мы установили, что если и'(у) > 0 и и''(у) < 0, то принимающий решения будет платить за страхование сумму, превосходящую ожидаемые потери. Таким образом, если величина S не меньше премии, назначенной страховщиком, то возможен взаимовыгодный договор. В дальнейшем будем говорить, что лицо, принимающее решения на основе функции полезности и(у), не склонно к риску, тогда и только тогда, когда и''(у) < 0.
Свойствами возрастания и выпуклости обладает ряд элементарных функций полезности, в частности:
1) экспоненциальная и(у) = -е"^для всех V и а > 0,
2) степенная с дробным показателем и(у) =уа для v> 0, 0 < а < 1,
3) квадратичная и(у) = V - av2для v< (2а)-1 и а > 0.
Пример. Функция полезности лица, принимающего решения,
задается выражением и(у)=уа, v> 0, 0 < а < 1. Принимающий решения имеет капитал v=vo и может понести случайные потери X, которые распределены равномерно на интервале (0^о). Какую максимальную сумму он готов заплатить за полное страховое покрытие против указанных случайных потерь?
Решение: Для начала напомним, что плотность равномерно распределенной случайной величины Х постоянна, обратно пропорциональна длине основного интервала значений и равна ^х) = — при х £ (0, у0). Ее математическое ожидание ц = М(Х) = — сов-
У0 2
падает с серединой отрезка. Также из теории вероятностей известно, что математическое ожидание от непрерывной функции
68
случайного аргумента определяется по формуле М(и(Х)) =
= 1+;и(хЖхЖ
Исходя из предположения, что владельцу собственности безразлично страховать свое имущество или нет, то и( v - 8) =М(и^ -X)) и при v=vo имеем:
(Ус - S)a = М((Уа - Х)а) = -1/;°(Уа - х)а dx =
1 (У°-Х)а+! С =
а+1.
а+1
Таким образом, (ус — S)a = и уС — 5 = . Отсюда
сумма, которую готов выплатить собственник, составит в размере 5 = Ус — +°1/а =у0 (1 — (1 + а)-"). Стоить отметить, что эта сумма превосходит половины всего капитала, имеющегося у соб-
с ^ у°
ственника, т.е. 5 > и = —.
^ 2
Ответ: 5 = Ус (1 — (1 + а)-«).
Как видим из предыдущего примера, лицо, обладающее капиталом, должно отдать страхователю более половины своего капитала. Такое страхование трудно считать выгодным владельцу собственности. Собственник может не пожелать выплатить сумму, большую, чем величина ожидаемого ущерба. В этой связи одной из важных задач страхования на современном этапе является выявление условий для возможности заключения взаимовыгодного страхового договора, когда величина премии по договору, определяемая страховщиком, меньше, чем максимальная сумма, которую владелец собственности готов заплатить за страхование. Этот вопрос относится к области оптимального страхования, в которой теория вероятностей и математическая статистика играет ключевую роль.
69
Источники
1. http://risk-insurance.ru/sitemap.html
Information
Romanova E.M.
PROBABILITY THEORY AND USEFULNESS THEORY IN INSURANCE
At the present probability theory and mathematical statistics with the usefulness theory have a great role in the insurance system. Probabilistic approach can to construct long-term insurance contracts, quickly adapted to the actual situation. To the insurance system in the future successfully and efficiently, it is necessary correctly to collect current information, analyze statistics and do scientific conclusions. Mathematical methods can make that. Keywords: probability theory, theory of the usefulness, mathematical statistic, insurance.
Дата поступления 27.04.2015.
70
