CC BY
43
Бондарь В.С., Абашев Д.Р., Фомин Д.Ю. Теории пластичности при сложном нагружении по плоским траекториям деформаций // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2021. - № 3. С. 35-47. DOI: 10.15593/perm.mech/2021.3.04
Bondar V.S., Abashev D.R., Fomin D.Ju. Theories of Plasticity under Complex Loading along Flat Trajectories of Deformations. PNRPU Mechanics Bulletin, 2021, no. 3, pp. 35-47. DOI: 10.15593/perm.mech/2021.3.04
ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА
№ 3,2021 PNRPU MECHANICS BULLETIN
https://ered.pstu.ru/index.php/mechanics/index
DOI: 10.15593/perm.mech/2021.3.04 УДК 539.374
ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ ПРИ СЛОЖНОМ НАГРУЖЕНИИ ПО ПЛОСКИМ ТРАЕКТОРИЯМ ДЕФОРМАЦИЙ
В.С. Бондарь, Д.Р. Абашев, Д.Ю. Фомин
Московский политехнический университет, Москва, Россия
АННОТАЦИЯ
Рассматриваются варианты теорий пластического течения при комбинированном упрочнении, широко применяемые в практических расчетах конструкций. Проводится сравнительный анализ вариантов теорий при сложном нагружении по плоским траекториям деформаций, охватывая весь спектр траекторий от многозвенных ломаных до криволинейных траекторий постоянной и переменной кривизны. Рассматриваются траектории от средней до большой кривизны. Анализ результатов исследований проводится в векторном пространстве А.А. Ильюшина. Рассматриваются плоские траектории деформаций в виде квадрата, трех окружностей, проходящих через начало координат, а также траектории в виде астроиды. Результаты расчетов сопоставляются с результатами экспериментальных исследований по ответным траекториям напряжений, скалярным и векторным свойствам. Рассматриваются варианты теорий: модель изотропного упрочнения; модель Ишлинского-Прагера-Кадашевича-Новожилова (линейное кинематическое и изотропное упрочнения); модель аналогичная модели Оно-Ванга; модель Армстронга-Фредерика-Кадашевича (на этой модели построена модель Коротких); модель Шабоша с тремя эволюционными уравнениями Армстронга-Фредерика-Кадашевича; модель Темиса, построенная на основе инвариантной теории пластичности; модель Бондаря с трехчленной структурой эволюционного уравнения для кинематического упрочнения. Приводятся материальные параметры (функции), замыкающие варианты теорий пластичности. Удовлетворительное соответствие эксперименту по всем траекториям деформаций достигается при расчетах на основе моделей Ишлинского-Прагера-Кадашевича-Новожилова, Шабоша и Темиса - отличие результатов расчетов и экспериментов не превышает 30 %. Наилучшее соответствие эксперименту достигается на основе модели Бондаря - отличие результатов расчетов и экспериментов по всем траекториям не превышает 10 %.
©ПНИПУ
О СТАТЬЕ
Получена: 22 апреля 2021 г. Принята: 15 июля 2021 г. Опубликована: 22 октября 2021 г.
Ключевые слова: варианты теорий пластического течения, комбинированное упрочнение, сложное нагружение, плоские траектории деформаций, траектории напряжений, скалярные и векторные свойства.
© Бондарь Валентин Степанович - д.ф.-м.н., проф., зав. каф., e-mail: tm@mami.ru, : 0000-0002-1047-7211 Абашев Дмитрий Рустамович - к.ф.-м.н., доц., e-mail: tm@mami.ru, : 0000-0002-1626-0662 Фомин Денис Юрьевич - асп., e-mail: tm@mami.ru, : 0000-0001 -9520-5145
Valentin S. Bondar - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Head of Department, e-mail: tm@mami.ru, : 0000-0002-1047-7211
Dmitry R. Abashev - CSc in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, e-mail: tm@mami.ru, : 0000-0002-1626-0662 Denis Ju. Fomin - PhD Student, e-mail: tm@mami.ru, ¡D: 0000-0001-9520-5145
Эта статья доступна в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)
THEORIES OF PLASTICITY UNDER COMPLEX LOADING ALONG FLAT TRAJECTORIES OF DEFORMATIONS
V.S. Bondar, D.R. Abashev, DJu. Fomin
Moscow polytechnical university, Moscow, Russian Federation
ABSTRACT
The paper considers variants of theories of plastic flow with combined hardening, which are widely used in applied calculations of structures. A comparative analysis of the theories under complex loading along flat strain trajectories is carried out and covers the entire range of strain paths from multilink polylines to curved trajectories of constant and variable curvatures. The strain path from medium to large curvatures are considered. The analysis of the research results is carried out in the vector space of A.A. Il'yushin. We consider plane trajectories of deformations in the form of a square, three circles passing the origin of coordinates, and trajectories in an asteroid-like form. The results of the calculations are compared with the results of the experimental studies of the response stress trajectories, scalar and vector properties. Variants of theories are considered: isotropic hardening model; Ishlinsky-Prager-Kadashevich-Novozhilov model (linear kinematic and isotropic hardening); model similar to Ono-Wang's model; the Armstrong-Frederick-Kadashevich model (the Korotkikh model is based on this model); the Shabosh model with three evolutionary Armstrong-Frederick-Kadashevich equations; Themis model based on the invariant theory of plasticity; Bondar model with a three-term structure of the evolutionary equation for kinematic hardening. We give the material parameters (functions) that close the variants of plasticity theories. A satisfactory agreement with the experiment for all deformation trajectories is achieved in calculations based on the models of Ishlinsky-Prager-Kadashevich-Novozhilov, Shabosh and Temis. The difference between the results of calculations and experiments does not exceed 30 %. The best agreement with the experiment is achieved on the basis of the Bondar model with the difference between the results of the calculations and experiments for all trajectories less than 10 %.
©PNRPU
ARTICLE INFO
Received: 22 April 2021 Accepted: 15 July 2021 Published: 22 October 2021
Keywords:
variants of the theory of plastic flow, combined hardening, complex loading, plane deformation trajectories, stress trajectories, scalar and vector properties.
Введение
Развитие теории пластичности и разработка определяющих уравнений описания процессов сложного на-гружения идет двумя основными направлениями. К первому направлению относятся различные варианты [1-12] теории упругопластических процессов, базирующиеся на общей математической теории пластичности А.А. Ильюшина [1]. Ко второму направлению относятся различные варианты [13-41] теории пластического течения при комбинированном упрочнении, базирующиеся на концепции микронапряжений, выдвинутой В.В. Новожиловым [16, 19].
В практических расчетах конструкций широкое применение в настоящее время нашли варианты теории пластического течения при комбинированном упрочнении. Они имеют обобщение на неизотермические процессы нагружения, а также процессы накопления повреждений, т.е. позволяют определять ресурс.
Практически ни в одной работе, предлагающей вариант теории, не приводится сравнение с уже имеющимися вариантами и не определяются преимущества того или иного варианта. В настоящей работе предлагается провести сравнительный анализ вариантов теории пластического течения при комбинированном упрочнении, наиболее применяемых в программных комплексах расчета конструкций. Для начала будут рассматриваться процессы сложного нагружения по плоским траекто-
риям деформаций, охватывая весь спектр траекторий от многозвенных ломаных до криволинейных траекторий постоянной и переменной кривизны как средней, так и большой кривизны. Анализ результатов исследований проводится в векторном пространстве А.А. Ильюшина [1, 2].
Рассматриваются варианты теории: модель изотропного упрочнения, модель Ишлинского-Прагера-Кадашевича-Новожилова [13-16] (линейное кинематическое упрочнение + изотропное упрочнение); модель Оно-Ванга [33, 34]; модель Армстронга-Фредерика-Кадашевича [17, 20] (на основе этой модели строится модель Коротких); модель Шабоша [23-25] с тремя эволюционными уравнениями Армстронга-Фредерика-Кадашевича; модель Темиса [35], построенная на основе инвариантной теории пластичности [32]; модель Бондаря [26-31] с трехчленной структурой эволюционного уравнения для кинематического упрочнения.
Получены и приводятся материальные параметры (функции), замыкающие каждый вариант теории пластичности. Исследования процессов сложного нагруже-ния проводятся по плоским траекториям деформаций в виде квадрата, трех окружностей разного радиуса, проходящих через начало координат, а также траектории в виде астроиды. Результаты расчетов сопоставляются с результатами экспериментальных исследований [7-9] тверской научной школы под руководством В.Г. Зубчанинова. Сопоставление результатов расчетов
по различным вариантам теории и экспериментов проводится по ответным траекториям напряжений, скалярным и векторным свойствам. В следующих работах предполагается рассмотреть сложные процессы нагружения по пространственным траекториям деформаций, а также процессы нагружения по траекториям напряжений.
Для определения скоростей пластической деформации используется ассоциированный с уравнением (3) градиентальный закон течения:
дет,.
2 ст*
(4)
1. Варианты теории пластичности
Рассматриваются конструкционные стали, однородные и начально изотропные. В процессе упругопласти-ческого деформирования в материале может возникать только пластическая деформационная анизотропия. Рассматриваются малые деформации при температурах, когда нет фазовых превращений, и скоростях деформаций, когда динамическими и реологическими эффектами можно пренебречь.
Рассматриваются наиболее применяемые в практических расчетах варианты теории пластического течения при изотропном, кинематическом (анизотропном) и комбинированном (изотропном и кинематическом) упрочнениях.
Для всех вариантов теорий тензор скоростей деформации ¿у представляется в виде суммы тензоров скоро-
стей упругой Щ и пластической Щ деформаций:
с = 6е +F.P
(1)
Упругие деформации при изменении напряжений следуют обобщенному закону Гука:
8е =—Гст..-у(3ст 8.. -ст..) 1
Ч £ [_ '■> V ° v v) J
(2)
где Е, V - соответственно модуль Юнга и коэффициент Пуассона; сту - тензор напряжений; ст0 = 1 стй - среднее напряжение.
Для всех рассматриваемых вариантов теорий принимается поверхность напряжения, разделяющая области упругого и упругопластического состояний. Поверхность нагружения изотропно расширяется или сужается и смещается в процессе нагружения. Уравнение поверхности нагружения принимается в следующем виде:
3
f (ъ )=3 (**" a)("a)" C2 = 0-
(3)
Здесь s*J = л - ау - девиатор активных [15] напряжений; ^ - девиатор напряжений; ау - девиатор микронапряжений (добавочных напряжений, остаточных микронапряжений [16, 18, 19]) характеризует смещение поверхности нагружения, т.е. направленное (анизотропное) упрочнение. Скаляр Ср ), зависящий от накопленной пластической деформации, отвечает размеру (радиусу) поверхности нагружения и характеризует изотропное упрочнение.
Здесь ст* = \ - ¿¡^
- интенсивность активных напря-
2
-¿р ¿р -J ч ч
скорость накопленной пла-
стической деформации.
Для всех рассматриваемых вариантов теории изотропное упрочнение определяется зависимостью радиуса поверхности нагружения от накопленной пластической деформации:
=(е РЛ
(5)
Следует отметить, что для каждого варианта зависимость (5) определяется функцией, соответствующей рассматриваемому варианту.
Рассматриваемые варианты отличаются только эволюционными уравнениями для смещения центра поверхности нагружения. Ниже приводятся эволюционные уравнения для каждого варианта и соответствующие материальные функции конструкционных сталей 9Х2 и 40Х16Н9Г2С, на образцах из которых проводились испытания на сложное нагружение.
Материальные функции для всех представленных моделей определялись с использованием участка диаграммы статического растяжения до деформации 0,1 и диаграммы растяжения после предварительного сжатия до деформации 0,02.
Модель изотропного упрочнения
a = о.
(6)
Данную модель замыкают следующие материальные параметры (функции):
E, v, Cp (Ep.).
(7)
Материальные функции конструкционной стали 40Х16Н9Г2С (табл. 1)
E = 2-105 МПа, v = 0,3.
Таблица 1
Функция изотропного упрочнения. Ст. 40Х16Н9Г2С
Table 1
Isotropic hardening function. St. 40Х16Н9Г2С
S U, 0 0,00016 0,00061 0,0011 0,0021 0,0048 0,0071 0,01 0,1
C, МПа 62 144 204 228 256 295 335 350 800
Материальные функции конструкционной стали 9Х2 (табл. 2)
E = 2.3-105 МПа, v = 0,3.
Таблица 2
Функция изотропного упрочнения. Ст. 9Х2
Table 2
Isotropic hardening function. St. 9Х2
е?. 0 0,00025 0,00075 0,0015 0,002 0,0055 0,0079 0,01 0,1
Cp, МПа 209 240 270 300 310 370 395 440 940
Модель Ишлинского-Прагера-Кадашевича-Новожилова [13-16]
2 „
а.. = — g е...
,j зg v
(8)
Данную модель замыкают следующие материальные параметры (функции):
E, v, g, Cp (в?.).
(9)
Материальные функции конструкционной стали 40Х16Н9Г2С (табл. 3)
E = 2-105МПа, v = 0,3, g= 3350 МПа.
Таблица 3
Функции изотропного упрочнения. Ст. 40Х16Н9Г2С
Table 3
Isotropic hardening function. St. 40Х16Н9Г2С
е p 0 0,00023 0,0004 0,0008 0,0025 0,008 0,01 0,024 0,086
Cp, МПа 63 151 173 208 247 287 297 324 414
Материальные функции конструкционной стали 9Х2 (табл. 4)
E = 2.3-105МПа, v = 0,3, g = 5000МПа.
Таблица 4
Функция изотропного упрочнения. Ст. 9Х2
Table 4
Isotropic hardening function. St. 9Х2
е ? 0 0,0003 0,0006 0,0013 0,0026 0,0055 0,0084 0,018 0,21
Cp, МПа 209 241 263 282 299 345 357 408 468
Модель Оно-Ванга [33, 34]
a„=!>" a{m)=- g(mhp
!1 Z_l 'J ' V ^ о 4
(10)
Г R(m) a(m)-
„W = ] P CT° '
[0, если а^а^П«^; >0;
(m) I 3 (m) (m)
Данную модель замыкают следующие материальные параметры (функции):
E, v, p1), al1>,..., p-), a-), С? (е?.) .
э(М) (M)
(12)
Здесь в расчетах принимается М = 10. Материальные функции конструкционной стали 40Х16Н9Г2С (табл. 5)
P(1
p(6
al1 af
a(
E = 2-105 МПа, v = 0,3;
= 10000, p(2) = 3400, p(3) = 2000, p(4) = 1400, p(5) = 1050; = 700, p(7)= 450, p(8)= 2801, p(9) = 161, p(10) = 90;
= 1,5 МПа, a(2) = 5МПа, a(3) = 7,5МПа, a(„4) = 9МПа;
.(3) _ -
J4) _ ,
= 15МПа, a(6) = 26МПа, a(') = 33,5МПа:
.(7) _ -
= 29 МПа, a(9) = 11,5 МПа, a(10) = 41МПа.
.(10) _ ,
Таблица 5
Функции изотропного упрочнения. Ст. 40Х16Н9Г2С
Table 5
Isotropic hardening function. St. 40Х16Н9Г2С
е ? 0 0,0002 0,0004 0,008 0,0025 0,008 0,01 0,024 0,086
Cp, МПа 62 125 131 137 124 147 157 224 534
Материальные функции конструкционной стали 9Х2 (табл. 6)
E = 2,3-105 МПа, v = 0,3;
p(1) = 8870, p(2) = 1811, p(3) = 985, p(4) = 666, p(5) = 499, p(6)= 358, p(7)= 240, p(8)= 142, p(9) = 114, p(10) = 82;
a(1) = 1,2 МПа, a(2) = 8МПа, a(3) = 12МПа,
а ' 'а 'а '
a(4) = 15 МПа, a(5) = 19МПа, a(6) = 28МПа,
a(7) = 36 МПа, a(8) = 24МПа, a(9) = 8МПа, a(10) = 87 МПа.
Таблица 6
Функция изотропного упрочнения. Ст. 9Х2
Table 6
Isotropic hardening function. St. 9Х2
е p. 0 0,0003 0,0006 0,0013 0,0026 0,0055 0,0084 0,018 0,21
C, МПа 209 229 233 232 211 187 188 255 1120
m=1
Модель Армстронга-Фредерика-Кадашевича [17, 20]
2
• V , • V
(13)
Данную модель замыкают следующие материальные параметры (функции):
E, V, g, ga , Cp (EP.).
(14)
Следует отметить, что эволюционное уравнение (13) используется в модели Коротких [21], ниже приведены материальные функции, полученные для модели Коротких [21, 22].
Материальные функции конструкционной стали 40Х16Н9Г2С (табл. 7)
E = 2 -105МПа, v = 0,3, g = 38250 МПа, ga =-300.
Таблица 7
Функции изотропного упрочнения. Ст. 40Х16Н9Г2С
Table 7
Isotropic hardening function. St. 40Х16Н9Г2С
F Р 0 0,0002 0,0004 0,0008 0,0025 0,008 0,01 0,024 0,086
C, МПа 64 143 160 185 190 201 213 281 586
Материальные функции конструкционной стали 9Х2 (табл. 8)
E = 2.3-105МПа, v = 0,3, g = 33750 МПа, ga =-250.
Таблица 8
Функция изотропного упрочнения. Ст. 9Х2
Table 8
Isotropic hardening function. St. 9Х2
sp.. 0 0,0003 0,0006 0,0013 0,0026 0,0055 0,0084 0,018 0,21
Cp, МПа 209 235 239 252 253 261 305 356 1300
Модель Шабоша [23-25]
о
■ (т) (т) •р , (т) (т) • р
4 2 и 8а и ""
м
ш=1
(15)
(16)
Здесь будет использоваться модель, состоящая из трех эволюционных уравнений, т.е. М = 3 . Данную модель замыкают следующие материальные параметры (функции):
Е, V, , Я<2>, ,
gW g<2) g<3) C (e* )
<5a a '6a ? p \ u* J '
Материальные функции конструкционной стали 40Х16Н9Г2С (табл. 9)
E = 2-105 МПа, v = 0,3;
g(1) = 16150 МПа, g(1) = -147, g(2) = 126300МПа; g(2) = -1570,g(3) = 768650 МПа, g(3) = -14730.
Таблица 9
Функции изотропного упрочнения. Ст. 40Х16Н9Г2С
Table 9
Isotropic hardening function. St. 40Х16Н9Г2С
F P 0 0,0002 0,0004 0,0008 0,0025 0,008 0,01 0,024 0,086
C, МПа 91 91,5 92 93 95 112 122 166 477
Материальные функции конструкционной стали 9Х2 (табл. 10)
E = 2,3-105 МПа, v = 0,3;
g(1) = 9200 МПа, g(1) = -10, g(2) = 63 960МПа;
g(2) = -1000, g(3) = 14130МПа, g(3) = -100 000.
Таблица 10 Функция изотропного упрочнения. Ст. 9Х2
Table 10
Isotropic hardening function. St. 9Х2
F p. 0 0,0003 0,0006 0,0013 0,0026 0,0055 0,0084 0,018 0,21
Cp, МПа 209 228 227 237 240 259 285 266 301
Модель Бондаря [26-31]
• 2 •pJ2 Рл_ }-p
g = Ea + , gs= EaP , ga = -3.
(18)
Данную модель замыкают следующие материальные параметры (функции):
E, v, Ea, CTa , P, Cp (Ep.).
(19)
Материальные функции конструкционной стали 40Х16Н9Г2С (табл. 11)
Е = 2-105 МПа, V = 0,3,
Еа = 3550МПа, = 140МПа, в = 445.
Материальные функции конструкционной стали 9Х2 (табл. 12)
Е = 2,3-105 МПа, V = 0,3; Е = 4770 МПа, аа = 160 МПа, р = 265.
Таблица 11
Функции изотропного упрочнения. Ст. 40Х16Н9Г2С
Table 11
Isotropic hardening function. St. 40Х16Н9Г2С
е p 0 0,0002 0,0004 0,0008 0,0025 0,008 0,01 0,024 0,086
Cp, МПа 64 137 150 166 153 151 159 190 274
Таблица 12 Функция изотропного упрочнения. Ст. 9Х2
Table 12
Isotropic hardening function. St. 9Х2
е p. 0 0,0003 0,0006 0,0013 0,0026 0,0055 0,0084 0,018 0,021
Cp, МПа 227 246 249 248 230 220 230 246 320
Модель Темиса [32, 35]
(20) (21)
Данную модель замыкают следующие материальные функции:
К, V, ^ (в* ) , «2 (в* ), К(аи,в* ),(в* ). (22)
Материальные функции конструкционных сталей 40Х16Н9Г2С и 9Х2 приведены в работе [35, 42], расчеты по модели Темиса проводились А.Д. Худяковой [42].
Для проверки полученных материальных параметров (функций) сталей 9Х2 и 40Х16Н9Г2С были проведены расчеты одноосного растяжения до деформации 10 % для всех вариантов теории и сопоставлены с результатами экспериментов [9]. Получено надежное соответствие расчетов и экспериментов.
2. Векторное представление напряжений и деформаций
Для удобства сопоставления расчетных и экспериментальных результатов рассматривается векторное представление процессов нагружения и деформирования [1, 2]. Компоненты векторов напряжений 8 и деформаций Э связаны с компонентами тензоров напряжений а и деформаций г формулами [1, 2]
S
л/2 (s22 + s1,
лД sn
Л s13
72 S14
/2)
sij =aij - Sj ¿0 =
¿0 = 3 aii
(23)
S=j
3 a=a:
Э =
S en
Ф. (e22 + en / 2)
V2 eu
"T2 e13
•J2 eu
eij = еу -Sj ес:
е0= 3е, , 3 = j =lj[ е
Длина дуги траектории деформаций определяется выражением
(25)
где Э - вектор скоростей деформаций; ¿(( - девиатор
скоростей деформаций.Векторные и скалярные свойства являются основными характеристиками, изучаемыми при экспериментально-теоретических исследованиях процессов упругопластического деформирования материалов при сложном нагружении. В качестве векторных свойств при сложном нагружении по плоским траекториям деформаций рассматривается отклонение вектора напряжений от касательной к траектории деформаций. Характеристика ориентации определяется углом сближения 9,
S = arccos
И)
И|Э| •
(26)
В качестве скалярных свойств рассматривается изменение модуля вектора напряжений по длине дуги траектории деформаций:
а = а(5) . (27)
3. Многозвенная ломаная траектория деформаций
Сравнение вариантов теории проводится на многозвенной ломаной траектории деформаций в виде квадрата (рис. 1) со стороной 0,01 на плоскости (Э, Э3) вектора деформаций Э.
0 0.004 0.008 0.012 Рис. 1. Траектория деформаций. Квадрат Fig. 1. Strain path. A square
4
S
S
S
Исследования проводятся на образцах из конструкционной стали 40Х16Н9Г2С. Осуществляются один и одна четвертая часть цикла нагружения по этой траектории. Экспериментальные результаты [9] на всех рисунках показаны светлыми кружками. Расчетные результаты показаны сплошными, штриховыми
и пунктирными кривыми. Ответные траектории напряжений показаны на рис. 2, а, 3, а, 4, а. Скалярные и векторные свойства - изменение модуля вектора напряжений ст и угла сближения 9 по траектории деформаций приведены на рис. 2, б, 3, б, 4, б и 2, в, 3, в, 4, в соответственно.
140 120
100 80
60 40
20
V
1 1 1 i
) ^^ Wo Vv£>
0.02
0.04
а б в
Рис. 2. Траектория напряжений (а); скалярные свойства (б); векторные свойства (в): кружки - эксперимент; сплошная кривая - теория течения при изотропном упрочнении; пунктирная кривая (точки) - модель Ишлинского-Прагера-Кадашевича-Новожилова; штриховая кривая - модель Оно-Ванга
Fig. 2. Stress path (а); scalar properties (b); vector properties (c): circles show the experiment, a solid curve shows the isotropic hardening of the plastic-flow theory, the dotted curve (points) show Ishlinskii-Prager-Kadashevich model, the dashed curve - shows the Ohno-Wang model
140 120 100 80 60 40 20 0
9,°
i i : [
l \ \
l \i V V
4 M V
0.02 б
0.02 в
0.04
Рис. 3. Траектория напряжений (а); скалярные свойства (б); векторные свойства (в): кружки - эксперимент; сплошная кривая - модель Коротких; пунктирная кривая (точки) - модель Шабоша
Fig. 3. Stress path (а); scalar properties (b); vector properties (c): circles show the experiment, the solid curve is Korotkih model, the dotted curve (points) is the Chaboche model
-400
400 S], МПа
J®
to / 0 < i ; о Pi Am
•■.Ur
-400
МПа 400
400 300 200 100 0
сг, МПа
a XO
0.02
0.04
б
0.02 в
Рис. 4. Траектория напряжений (а); скалярные свойства (б); векторные свойства (в): кружки - эксперимент; сплошная кривая - модель Бондаря; пунктирная кривая (точки) - модельТемиса
Fig. 4. Stress path (а); scalar properties (b); vector properties (c): circles show the experiment, the solid curve shows
Bondar model, the dotted curve (points) is Temis model
а
а
Сравнительный анализ результатов расчетов по различным вариантам теории и эксперимента показывает:
- по ответной траектории напряжений худшие результаты получены на основе моделей изотропного упрочнения, Оно-Ванга и Темиса; удовлетворительные -на основе моделей Ишлинского-Прагера-Кадашевича-Новожилова, Коротких и Шабоша; наилучшее соответствие эксперименту достигается на основе модели Бондаря;
- по скалярным свойствам худшие результаты получены на основе моделей изотропного упрочнения, Оно-Ванга и Темиса; удовлетворительные - на основе моделей Ишлинского-Прагера-Кадашевича-Новожи-лова, Коротких и Шабоша; наилучшее соответствие эксперименту достигается на основе модели Бондаря;
- по векторным свойствам худшие результаты получены на основе модели Оно-Ванга; удовлетворительные - на основе моделей изотропного упрочнения, Иш-линского-Прагера-Кадашевича-Новожилова, Темиса; наилучшее соответствие эксперименту достигается на основе моделей Коротких, Шабоша и Бондаря.
4. Криволинейная траектория деформаций кусочно-постоянной кривизны
Сравнительный анализ вариантов теорий при сложном нагружении по плоской траектории деформаций кусочно-постоянной кривизны проводится на траекто-
рии деформаций (рис. 5) представляющей собой три окружности с радиусами кривизны 0,0025, 0,005, 0,0075, проходящие через начало координат. Эти окружности относятся к траекториям деформаций большой и средней кривизны. Материал, на котором проводится исследование - конструкционная сталь 9Х2. Экспериментальные результаты [9] на всех рисунках показаны светлыми кружками. Расчетные результаты показаны сплошными, штриховыми и пунктирными кривыми. Ответные траектории напряжений показаны на рис. 6, а, 7, а, 8, а. Скалярные и векторные свойства -изменение модуля вектора напряжений а и угла сближения 9 по траектории деформаций приведены на рис. 6, б, 7, б, 8, б и 6, в, 7, в, 8, в соответственно.
0.016 Э!
/ 0.012
I /(НЮ 8
\ 1 O.O0i~>v
" э
-0.008 -0.004 0 0.004 0.008
Рис. 5. Траектория деформаций. Окружности
Fig. 5. Strain path. Circles
0.04
а б в
Рис. 6. Траектория напряжений (а); скалярные свойства (б); векторные свойства (в): кружки - эксперимент; сплошная кривая - теория течения при изотропном упрочнении; пунктирная кривая (точки) - модель Ишлинского-Прагера-Кадашевича-Новожилова; штриховая кривая - модель Оно-Ванга
Fig. 6. Stress path (а); scalar properties (b); vector properties (c): circles show the experiment, the solid curve is isotropic hardening of the plastic-flow theory, the dotted curve (points) is Ishlinskii-Prager-Kadashevich model, the dashed curve is Ohno-Wang model
500 400 300 200 100 0
о, МПа >
о°°° о о о о ..... __]_
<• _S
0.02
0.04 б
0.06 0.08 0.1
0.04 в
Рис. 7. Траектория напряжений (а); скалярные свойства (б); векторные свойства (в): кружки - эксперимент; сплошная кривая - модель Коротких; пунктирная кривая (точки) - модель Шабоша
Fig. 7. Stress path (а); scalar properties (b); vector properties (c): circles show the experiment, the solid curve is Korotkih model, the dotted curve (points) is Chaboche model
а
■400 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
а б в
Рис. 8. Траектория напряжений (а); скалярные свойства (б); векторные свойства (в): кружки - эксперимент; сплошная кривая - модель Бондаря; пунктирная кривая (точки) - модельТемиса
Fig. 8. Stress path (а); scalar properties (b); vector properties (c): circles show the experiment, the solid curve is Bondar model, the dotted curve (points) is Temis model
Сравнительный анализ результатов расчетов по различным вариантам теории и эксперимента показывают:
- по ответным траекториям напряжений худшие результаты получены на основе моделей изотропного упрочнения, Оно-Ванга, Коротких; удовлетворительные - на основе моделей Ищлинского-Прагера-Кадашевича-Новожилова, Шабоша, Темиса; наилучшее соответствие эксперименту достигается на основе модели Бондаря;
- по скалярным свойствам худшие результаты получены на основе моделей изотропного упрочнения, Коротких; удовлетворительные - на основе моделей Оно-Ванга, Ишлинского-Прагера-Кадашевича-Ново-жилова, Шабоша, Темиса; наилучшее соответствие эксперименту достигается на основе модели Бондаря;
- по векторным свойствам удовлетворительные результаты получены на основе моделей изотропного упрочнения, Оно-Ванга, Ишлинского-Прагера-Кадаше-вича-Новожилова, Коротких, Шабоша, Темиса; наилучшее соответствие эксперименту достигается на основе модели Бондаря.
5. Криволинейная траектория деформаций переменной кривизны
Сравнение вариантов теорий проводится на траектории деформаций переменной кривизны в виде астроиды (рис. 9). Материал, на котором проводятся исследования - конструкционная сталь 9Х2. Экспериментальные результаты [9] на всех рисунках показаны светлыми кружками. Расчетные результаты показаны сплошными, штриховыми и пунктирными кривыми. Ответные траектории напряжений показаны на рис. 10, а, 11, а, 12, а. Скалярные и векторные свойства приведены на рис. 10, б, 11, б, 12, б и 10, в, 11, в, 12, в соответственно.
Сравнительный анализ результатов расчетов по различным вариантам теорий и эксперимента показывают: - по ответным траекториями напряжений худшие результаты получены на основе моделей изотропного упрочнения, Оно-Ванга, Коротких; удовлетворительные - на основе моделей Ишлинского-Прагера-Када-шевича-Новожилова, Шабоша, Темиса; наилучшее соответствие эксперименту достигается на основе модели Бондаря;
Рис. 9. Траектория деформаций. Астроида
Fig. 9. Strain path. Astroid
- по скалярным свойствам худшие результаты получены на основе моделей изотропного упрочнения, Оно-Ванга, Коротких; удовлетворительные - на основе моделей Ишлинского-Прагера-Кадашевича-Новожи-лова, Шабоша, Темиса; наилучшее соответствие эксперименту достигается на основе модели Бондаря;
- по векторным свойствам удовлетворительные результаты получены на основе всех вариантов теорий при лучшем соответствии эксперименту модели Бондаря.
Рис. 10. Траектория напряжений (а); скалярные свойства (б); векторные свойства (в): кружки - эксперимент; сплошная кривая - теория течения при изотропном упрочнении; пунктирная кривая (точки) - модель Ишлинского-Прагера-Кадашевича-Новожилова; штриховая кривая - модель Оно-Ванга
Fig. 10. Stress path (а); scalar properties (b); vector properties (c): circles - experiment, solid curve - isotropic hardening plastic-flow theory, dotted curve (points) - Ishlinskii-Prager-Kadashevich model, dashed curve - Ohno-Wang model
Рис. 11. Траектория напряжений (а); скалярные свойства (б); векторные свойства (в): кружки - эксперимент; сплошная кривая - модель Коротких; пунктирная кривая (точки) - модель Шабоша
Fig. 11. Stress path (а); scalar properties (b); vector properties (c): circles - experiment, solid curve - Korotkih model,
dotted curve (points) - Chaboche model
Рис. 12. Траектория напряжений (а); скалярные свойства (б); векторные свойства (в): кружки - эксперимент; сплошная кривая - модель Бондаря; пунктирная кривая (точки) - модельТемиса
Fig. 12. Stress path (a); scalar properties (b); vector properties (c): circles - experiment, solid curve - Bondar model,
dotted curve (points) - Temis model
Заключение
Проведены сравнительные исследования различных вариантов теории пластического течения при комбинированном упрочнении, наиболее используемых в практических расчетах. Рассмотрены три основных класса плоских траекторий деформаций - многозвенные ломаные, криволинейные траектории постоянной и переменной кривизны. Криволинейные траектории являлись траекториями деформаций большой и средней кривизны.
Удовлетворительное соответствие эксперименту по всем траекториям достигается при расчетах на основе моделей Ишлинского-Прагера-Кадашевича-Новожи-лова, Шабоша и Темиса - отличие результатов расчетов
Библиографический список
1. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. - М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 271 с.
2. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. - М.: Изд-во МГУ, 1990. - 310 с.
3. Васин Р.А. Некоторые вопросы связи напряжений и деформаций при сложном нагружении // Упругость и неупругость. Вып. 1. - М.: Изд-во МГУБ 1971. - С. 59-126.
4. Васин Р.А. Определяющие соотношения теории пла-стичности//Итоги науки и техники. МДТТ. Т. 21. - М.: ВНИТИ, 1990. - С. 3-75.
5. Малый В.И. О разложении функционала напряжений по малому параметру // Вестник МГУ. Математика и механика. - 1967. - № 2. - С. 73-80.
6. Малый В.И. О проблеме векторных свойств материалов в упругопластических процессах // Прикладная механика. - 1978. - Т. 14, № 3. - С. 19-27.
7. Зубчанинов В.Г. Математическая теория пластичности: монография. - Тверь: ТГТУ, 2002. - 300 с.
8. Зубчанинов В.Г. Устойчивость и пластичность: в 2 т. Т. 2. Пластичность. - М.: Физматлит, 2008. - 336 с.
9. Зубчанинов В.Г., Охлопков Н.Л., Гаранников В.В. Экспериментальная пластичность. Процессы сложного деформирования. Кн. 1. - Тверь: ТГТУ, 2003. - 172 с.
10. Дао Зуй Бик. Модификация соотношений упругопластических процессов средней кривизны // Вестник МГУ. Математика и механика. - 1981. - № 5. - С. 103-106.
11. Пелешко В.А. Прикладной и инженерный варианты теории упругопластических процессов активного сложного нагружения. Ч. 2: Идентификация и верификкция // Изв. РАН. МТТ. - 2016. - № 1. - С. 110-135.
12. Бондарь В.С., Даншин В.В., Семенов П.В. Прикладной вариант теории упругопластических процессов // Изв. Тул. гос. ун-та. Естественные науки. - 2011. - Вып. 3. - С. 46-56.
13. Ишлинский А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением // Укр. матем. журн. - 1954. - Т. 6, вып. 3. - С. 314-324.
14. Prager W. The theory of plasticity: A Survey of Recent Achievements // Proc. Inst. Mech. Engrs. - London, 1955. - 169.41.
15. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория пластичности, учитывающая эффект Баушингера // Докл. АН СССР. -
1957. - Т. 117. вып. 4. - С. 586-588.
16. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория пластичности, учитывающая остаточные микронапряжения // ПММ. -
1958. - Т. 22, вып. 1. - С. 78-89.
и экспериментов не превышает 30 %. Модель Коротких может достигать лучших результатов, если учесть разделение процессов монотонных и циклических нагружений. Наилучшее соответствие эксперименту достигается на основе модели Бондаря - отличие результатов расчетов и экспериментов по всем траекториям не превышает 10 %. Следует отметить, что модель пластичности Бондаря замыкается тремя параметрами анизотропного упрочнения и одной функцией изотропного упрочнения, которые достаточно просто определяются из стандартного эксперимента на одноосное растяжение и растяжение после предварительного сжатия. Если есть только кривая одноосного растяжения, то диаграмма растяжения после предварительного сжатия строится на основе принципа Мазинга.
17. Кадашевич Ю.И. О различных тензорно-линейных соотношениях в теории пластичности // Исследования по упругости и пластичности. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1967. - Вып. 6. -С. 39-45.
18. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Об учете микронапряжений в теории пластичности // Инж. Ж. МТТ. - 1968. -№ 3. - С. 83-91.
19. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Микронапряжения в конструкционных материалах. - Л.: Машиностроение, 1990. - 224 с.
20. Armstrong P.J., Frederick C.O. A mathematical representation of the multiaxial Bauscinger effect // CEGB Report No. RD/B/N/ 731. - 1966.
21. Волков И.А., Коротких Ю.Г. Уравнения состояния вязкоупругопластических сред с повреждениями. - М.: Физматлит, 2008. - 424 с.
22. Прикладная теория пластичности / Ф.М. Митенков [и др.]. - М.: Физматлит, 2015. - 284 с.
23. Нелинейная механика материалов / Ж. Бессон [и др.]. -СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010. - 397 с.
24. Chaboche J.-L. A review of some plasticity and viscoplasticity constitutive theories // Int. J. of Plasticity. - 2008. -Vol. 24. - Р. 1642-1692.
25. Chaboche J.-L., Knoute P., Azzouz F. Cyclic inelastic constitutive equations and their impact on the fatigue life predictions // Int. J. of Plasticity. - 2012. - Vol. 35. - Р. 44-66.
26. Bondar V.S. Inelasticity. Variants of the theory. - New York: Begell House, 2013. - 194 p.
27. Бондарь В.С., Абашев Д.Р. Прикладная теория неупругости // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2018. -№ 4. - С. 147-162. DOI: 10.15593/perm.mech/2018.4.14
28. Constitutive modeling of cyclic plasticity deformation and low-high-cycle fatigue of stainless steel 304 in uniaxial stress state / V.S. Bondar, V.V.Dansin, D.Vu. Long, D.D. Nguyen // Mechanics of Advanced Materials and Structures. - 2018. - Vol. 25(12). - P. 10091017. DOI: 10.1080/15376494.2017.1342882
29. Бондарь В.С., Абашев Д.Р., Петров В.К. Некоторые особенности прогнозирования ресурса материалов и конструкций при циклическом нагружении // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2019. - № 1. - С. 18-26. DOI: 10.15593/perm.mech/2019.1.02
30. Бондарь В.С., Абашев Д.Р. Некоторые особенности процессов монотонных и циклических нагружений. Эксперимент и моделирование // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2019. -№ 2. - С. 25-34. DOI: 10.15593/perm.mech/2019.2.03
31. Abashev D.R., Bondar V.S. Refinement of plasticity theory for modeling monotonic and cyclic loading processes // Journal of Mechanics of Materials and Structures. - 2020. - Vol. 15.
32. Демьянушко И.В., Темис Ю.М. К построению теорий пластического течения с анизотропным упрочнением для материалов, находящихся под воздействием физических полей // Изв.АН СССР. МТТ. - 1975. - № 5. - С. 111-119.
33. Ohno N., Wang J.D. Transformation of a nonlinear kinematics hardening rulle to a multisurface form under isothermal and nonisothermal conditions // Int. Journal of Plasticity. - 1991. -Vol. 7. - P. 879-891.
34. Ohno N., Wang J.-D. Kinematic hardening rules with critical state of dynamic recovery, part 1: formulations and basic features for ratcheting behavior // International Journal of Plasticity. - 1993. - Vol. 9. - P. 375-390.
35. Темис Ю.М., Худякова А.Д. Модель неизотермического упругопластического деформирования конструкционных материалов при сложном нагружении // Математическое моделирование и численные методы. - 2017. - № 3. -С. 22-41.
References
1. Il'jushin A.A. Plastichnost'. Osnovy obshchei matemati-cheskoi teorii [Plastic. Foundations of general mathematical theory]. Moscow Izd. ANSSSR, 1963, 271 p.
2. Il'jushin A.A. Mehanika sploshnoj sredy [Continuum mechanics]. Moscow, Publishing house of Moscow State University, 1990, 310 p.
3. Vasin R.A. Nekotorye voprosy svyazi napryazhenij i deformacij pri slozhnom nagruzhenii [Some questions of the relationship between stresses and deformations under complex loading]. Moscow, Izd-vo MGUB, Uprugost' i neuprugost', 1971, iss. 1, pp. 59-126.
4. Vasin R.A. Opredelyayushchie sootnosheniya teorii plastichnosti [Constitutive relations of the theory of plasticity]. Moscow, VNITI, Itogi nauki i tekhniki. MDTT, 1990, vol. 21, pp. 3-75.
5. Malyj V.I. O razlozhenii funkcionala napryazhenij po malomu parametru [On the expansion of the stress functional in terms of a small parameter].Vestn. MGU. Matem. i mekhanika, 1967, no. 2, pp. 73-80
6. Malyj V.I. O probleme vektornyh svojstv materialov v uprugoplasticheskih processah [On the problem of vector properties of materials in elastoplastic processes]. Prikladnaya mekhanika, 1978, vol. 14, no. 3, pp. 19-27.
7. Zubchaninov V.G. Matematicheskaya teoriya plastichnosti: Monografiya [Mathematical theory of plasticity: Monograph]. Tver', TGTU, 2002. 300 p.
8. Zubchaninov V.G. Ustojchivost' i plastichnost'. V 2-h t. T.2. Plastichnost'[Stability and ductility. In 2 volumes]. Moscow, FIZMATLIT, 2008. 336 p.
9. Zubchaninov V.G., Ohlopkov N.L., Garannikov V.V. Eksperimental'naya plastichnost'. Processy slozhnogo deformi-rovaniya. Kniga 1 [Experimental plasticity. Complex deformation processes. Book 1.]. Tver', TGTU, 2003. 172 p.
10. Dao Zuj Bik. Modifikaciya sootnoshenij uprugo-plasticheskih processov srednej krivizny [Modification of relations
36. Kan Q., Kang G. Constitutive model for uniaxial transformation ratcheting of super-elastic NiTi shape memory alloy at room temperature // Int. J. of Plasticity. - 2009. - Vol. 26(3). -P. 441-465. DOI: 10.1016/j.ijplas.2009.08.005
37. Abdel-Karim M. Modified kinematic hardening rules for simulations of ratchetting // Int. J. of Plasticity. - 2009. -Vol. 25. - P. 1560-1587.
38. Abdel-Karim M. An evaluation for several kinematic hardening rules on prediction of multiaxial stress-controlled ratchetting // Int. J. of Plasticity. - 2010. - Vol. 26. - P. 711-730.
39. Hassan T., Taleb L., Krishna S. Influence of nonproportional loading on ratcheting responses and simulations by two recent cyclic plasticity models // Int. J. Plasticity. - 2008. -Vol. 24. - P. 1863-1889.
40. Taleb L. About the cyclic accumulation of the inelastic strain observed in metals subjected to cyclic stress control // Int. J. Plasticity. - 2013. - Vol. 43. - P. 1-19.
41. Taleb L., Cailletaud G., Sai K. Experimental and numerical analysis about the cyclic behavior of the 304L and 316L stainless steels at 350 °C // Int. J. Plasticity. - 2014. - Vol. 61. -P. 32-48.
42. Худякова А.Д. Моделирование процессов циклического упругопластического неизотермического деформирования конструкционных сплавов: дис. ... канд. физ.-мат. наук. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020. - 184 с.
of elastoplastic processes of average curvature]. Vestn. MGU. Matem. i mekhanika, 1981, no. 5, pp. 103-106.
11. Peleshko V.A. Prikladnoj i inzhenernyj varianty teorii uprugoplasticheskih processov aktivnogo slozhnogo nagruzheniya. Chast' 2: Identifikaciya i verifikkciya [Applied and engineering versions of the theory of elastoplastic processes of active complex loading. Part 2: Identification and verification], Izv. RAN. MTT, 2016, no. 1. pp. 110-135.
12. Bondar V.S., Danshin V.V., Semenov P.V. Prikladnoj variant teorii uprugoplasticheskih processov [Applied version of the theory of elastoplastic processes]. Izv. Tul'skogo gos. universiteta. Estestvennye nauki, 2011, iss. 3, pp. 46-56.
13. Ishlinskij A.Ju. Obshchaya teoriya plastichnosti s linejnym uprochneniem [General theory of plasticity with linear hardening]. Ukr. matem. Zhurn, 1954, vol. 6, iss. 3, pp. 314-324.
14. Prager W. The theory of plasticity: A Survey of Recent Achievements. London, Proc. Inst. Mech. Engrs, 1955, 169.41.
15. Kadashevich Ju.I., Novozhilov V.V. Teoriya plastichnosti, uchityvayushchaya effekt Baushingera [The theory of plasticity taking into account the Bauschinger effect]. Dokl. AN SSSR, 1957, vol. 117, iss. 4, pp. 586-588.
16. Kadashevich Ju.I., Novozhilov V.V. Teoriya plastichnosti, uchityvayushchaya ostatochnye mikronapryazheniya [The theory of plasticity taking into account residual microstresses]. PMM. 1958, vol. 22, iss. 1. pp. 78-89.
17. Kadashevich Ju.I. O razlichnyh tenzorno-linejnyh sootnosheniyah v teorii plastichnosti [On various tensor-linear relations in the theory of plasticity]. Leningrad, Izd-vo LGU, Issledovaniyapo uprugosti iplastichnosti, 1967, iss. 6, pp. 39-45.
18. Kadashevich Ju.I., Novozhilov V.V. Ob uchete mikro-napryazhenij v teorii plastichnosti [On the account of microstresses in the theory of plasticity]. Inzh. ZH. MTT, 1968, no. 3. pp. 83-91.
19. Kadashevich Ju.I., Novozhilov V.V. Mikronapryazheniya v konstrukcionnyh materialah [Microstresses in structural materials]. Leningrad, Mashinostroenie, 1990. 224 p.
20. Armstrong P.J., Frederick C.O. A mathematical representation of the multiaxial Bauscinger effect. CEGB Report No. RD/B/N/ 731, 1966.
21. Volkov I.A., Korotkih Ju.G. Uravnenija sostojanija vjazkouprugoplasticheskih sred s povrezhdenijami [Equations of state for damaged viscoelastoplastic media]. Mosocw, FIZMATLIT, 2008, 424 p.
22. Kadashevich Ju.I., Novozhilov V.V. Mikronapryazheniya v konstrukcionnyh materialah [Applied theory of plasticity], Leningrand, Mashinostroenie, 1990, 224 p.
23. Besson Zh. Nelinejnaya mekhanika materialov [Nonlinear mechanics of materials]. Saint Petersburg, Izd-vo Politekhn. un-ta, 2010, 397 p.
24. Chaboche J.-L. A review of some plasticity and visco-plasticity constitutive theories. Int. J. of Plasticity, 2008, vol. 24, pp. 1642-1692.
25. Chaboche J.-L., Kanouté P., Azzouz F. Cyclic inelastic constitutive equations and their impact on the fatigue life predictions. Int. J. of Plasticity, 2012, vol.35, pp. 44-66.
26. Bondar V.S. Inelasticity. Variants of the theory. New York: BegellHouse, 2013, 194 p.
27. Bondar V.S., Abashev D.R. Applied theory of inelasticity. PNRPU Mechanics Bulletin, 2018, no. 4, pp. 145-160. DOI: 10.15593/perm.mech/2018.4.14
28. Bondar V.S., Dansin V.V., Long D. Vu., Nguyen D.D. Constitutive modeling of cyclic plasticity deformation and low-high-cycle fatigue of stainless steel 304 in uniaxial stress state. Mechanics of Advanced Materials and Structures, 2018, vol. 25(12), pp. 1009-1017, DOI: 10.1080/15376494.2017.1342882
29. Bondar V.S., Abashev D.R., Petrov V.K. On Predicting Material and Structural Resources under Cyclic Loading. PNRPU Mechanics Bulletin, 2019, no. 1, pp. 18-26. DOI: 10.15593/perm.mech/2019.1.02
30. Bondar V.S., Abashev D.R. Some features of monotonic and cyclic loadings. Experiment and modeling. PNRPU Mechanics Bulletin, 2019, no. 2, pp. 25-34. DOI: 10.15593/perm.mech/2019.2.03
31. Abashev D.R., Bondar V.S. Refinement of plasticity theory for modeling monotonic and cyclic loading processes. Journal of Mechanics of Materials and Structures, 2020.15.225.
32. Dem'yanushko I.V., Temis Ju.M. K postroeniyu teorij plasticheskogo techeniya s anizotropnym uprochneniem dlya materialov, nahodyashchihsya pod vozdejstviem fizicheskih polej [On the construction of theories of plastic flow with anisotropic hardening for materials under the influence of physical fields]. Izv.ANSSSR. MTT, 1975, no. 5. pp. 111-119.
33. Ohno N., Wang J.D. Transformation of a nonlinear kinematics hardening rulle to a multisurface form under isothermal and nonisothermal conditions. Int. Journal of Plasticity 7, 1991, pp. 879-891.
34. Ohno N., Wang J.-D. Kinematic hardening rules with critical state of dynamic recovery, part 1: formulations and basic features for ratcheting behavior. International Journal of Plasticity, 1993, vol. 9, pp. 375-390
35. Temis Ju.M., Hudyakova A.D. Model' neizotermi-cheskogo uprugoplasticheskogo deformirovaniya konstrukcionnyh materialov pri slozhnom nagruzhenii [Model of non-isothermal elastoplastic deformation of structural materials under complex loading]. Matematicheskoe modelirovanie i chislennye metody, 2017, no. 3, pp. 22-41.
36. Kan Q., Kang G. Constitutive model for uniaxial transformation ratcheting of super-elastic NiTi shape memory alloy at room temperature. Int. J. of Plasticity, 2009, vol. 26(3), pp. 441465. D0I:10.1016/j.ijplas.2009.08.005.
37. Abdel-Karim M. Modified kinematic hardening rules for simulations of ratchetting. Int. J. of Plasticity, 2009, vol.25, pp. 1560-1587.
38. Abdel-Karim M. An evaluation for several kinematic hardening rules on prediction of multiaxial stress-controlled ratchetting, Int. J. of Plasticity, 2010, vol.26, pp. 711-730.
39. Hassan T., Taleb L., Krishna S. Influence of nonproportional loading on ratcheting responses and simulations by two recent cyclic plasticity models. Int. J. Plasticity, 2008, vol. 24, pp.1863-1889.
40. Taleb L. About the cyclic accumulation of the inelastic strain observed in metals subjected to cyclic stress control. Int. J. Plasticity, 2013, vol.43, pp.1-19.
41. Taleb L., Cailletaud G., Sai K. Experimental and numerical analysis about the cyclic behavior of the 304L and 316L stainless steels at 350 °C. Int. J. Plasticity, 2014, vol. 61, pp.32-48.
42. Hudyakova A.D. Modelirovanie processov ciklicheskogo uprugoplasticheskogo neizotermicheskogo deformirovaniya konstrukcionnyh splavov: dis...kandidata fiz.-mat.nauk. Moscow, izd-voMGTU im. N.E. Baumana, 2020. 184 p.
