Теоретико-полевая модель гиперболического термоупругого континуума с "тонкой" микроструктурой Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 117-127

Механика =

УДК 539.374

Теоретико-полевая модель гиперболического термоупругого

и и ^

континуума с «тонкой» микроструктурой *

В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев

Аннотация. Построена нелинейная математическая модель термоупругого континуума с «тонкой» микроструктурой. Построение выполнено в терминах 4-ковариантного лагранжева формализма теории поля. Микроструктура континуума задана микроструктурными ^-тензорами, которые вводятся в теоретико-полевую схему как экстра-полевые переменные (^-переменные). Ковариантные уравнения термоупругого поля в континууме с микроструктурой находятся в канонической форме Эйлера-Лагранжа. Получены определяющие уравнения поля. Выполнен учет инерционности микроструктурной «составляющей» поля. Даны канонические формы дивергентных законов сохранения термоупругого поля в плоском 4-пространстве-времени.

Ключевые слова: термоупругость, микроструктура, поле, экстраполе, действие, ковариантность, закон сохранения, й-тензор, 4-ток, тензор энергии-импульса.

1. Физические теории поля, симметрии и законы сохранения

Существенной особенностью современного состояния естественных наук является явно просматриваемая тенденция решения нелинейных проблем (в том числе и проблем механики деформируемого твердого тела) вне рамок имеющегося физически надежно обоснованного набора математических моделей. Корректное построение новых математических моделей континуума должно опираться на проверенные временем принципы и методы. Не последняя роль здесь принадлежит методам теории поля.

Ключевое положение классической теории поля (см., например, монографии [1], [2]) заключается в том, что непрерывное физическое поле математически представляется некоторым интегральным функционалом 9,

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00139).

который по историческим причинам называется действием (action):

3 = J £(фк, д«фк, d7д«фк, ..., Xе)d4X. (1)

Здесь характерная для теории поля символика, развитая в [1], [2] , имеет следующий смысл: L — «естественная» плотность лагранжиана (плотность действия); фк — упорядоченный массив физических полевых переменных; Xе (в = 1, 2, 3, 4) — четыре пространственно-временные координаты; d4X — «естественный» элемент объема четырехмерного пространства-времени.

Через дв в математическом оформлении действия, данном (1) и далее, обозначается оператор полного дифференцирования по пространственно-временной координате Xе; в соответствии с цепным правилом дифференциального исчисления находим:

+ £ (д«.двф') а(ва.дЦ...да,ф)• (2)

где символом двхр1 указывается оператор частного дифференцирования по явному вхождению переменной Xв. Полное дифференцирование по времени будет обозначаться как символом д4, так и традиционной точкой.

Вариационное описание поля не может быть осуществлено без предварительного указания пространственно-временного многообразия с возможностью измерения в нем элементарных длин и объемов. Пространство-время обладает рядом фундаментальных особенностей: пространство и время однородны (отсутствуют привилегированные места в пространстве и избранные точки отсчета времени); пространство изотропно (нет избранных преимущественных направлений); четырехмерное пространство-время изотропно; пространство, возможно, обладает некоторыми скрытыми симметриями; направление хода времени не регламентировано. Перечисленные свойства пространства-времени могут быть сформулированы на языке групп преобразований пространственновременных координат.

Преобразование пространственно-временных координат и физических полевых переменных

Xе = хв(^s,XY,£), фк = Фк((ps,XY,е) (3)

порождает, очевидно, преобразование всего комплекса переменных

XY,ф3,да1 ф3,да1 да2ф3, ...

_ ^ ~ (4)

X7 ,ф3, даг ф3,да1 да2 ф3, ....

Чаще всего предполагается, что преобразования (3) образуют

однопараметрическую группу преобразований (группу Ли преобразований).

Действительное поле реализуется в пространстве-времени таким образом, что действие оказывается экстремальным, то есть первая вариация действия обращается в нуль для всех допустимых вариаций физических полей V* при неварьируемых пространственно-временных координатах и четырехмерной области, являющейся носителем поля:

£9 = 0. (5)

Из принципа наименьшего действия получаются ковариантные дифференциальные уравнения поля в форме уравнений Эйлера-Лагранжа

£*(£) = 0, (6)

где

С Г г\- дС я дС , я я дС ^

Ск(С) - а? - двдоддо”) + 1 в в(в7двV) " • • (7)

есть один из самых важных дифференциальных операторов математической физики — оператор Эйлера.

Действительные физические поля (при условии их гладкости) обязаны удовлетворять системе дифференциальных уравнений Эйлера-Лагранжа (6).

Структура дифференцирований в операторе Эйлера становится более понятной и обозримой, если ввести обозначения (см. [3])

дд

7Г7 = О, = дГа2-а (8)

д^ о д(да1 да 2 ...да V1) «

и записать его символически в форме

С = Е (-1)'д«1 д«2-да.да1а2-аа. (9)

Здесь в сумме при в = 0 подразумевается слагаемое дI, обозначающее

о

частное дифференцирование по полевой переменной V1.

Математически строгое определение инвариантности системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно группы преобразований известно из группового анализа и означает сохранение формы уравнений при их преобразовании к новым переменным согласно (3). Относительно произвольной однопараметрической геометрической группы преобразований (3) уравнения Эйлера-Лагранжа, вообще говоря, не инвариантны, но они ковариантны (при условии, что действие удовлетворяет принципу эквивалентности, гарантирующему при, возможно, изменяющейся «естественной» плотности лагранжиана постоянство величины действия относительно произвольных геометрических преобразований пространственно-временных координат и полевых переменных), поскольку в новых переменных правило их составления остается прежним.

Значительный интерес в теории вариационных симметрий представляют однопараметрические группы преобразований, которые при неизменности формы функционала действия сохраняют его величину при преобразовании координат и полей согласно (3) и соответствии пространственно-временных 4-областей интегрирования в переменных Xв и Xв. Указанные группы обычно называют геометрическими группами абсолютной инвариантности функционала действия (или вариационными симметриями действия). Инвариантность функционала действия (вариационная симметрия действия) относительно однопараметрической геометрической группы преобразований (3) порождает некоторый дивергентный закон сохранения. Общая теория законов сохранения для систем дифференциальных уравнений в частных производных, которые получаются как уравнения Эйлера-Лагранжа некоторой вариационной задачи, следующих из существования геометрических вариационных симметрий действия, излагается, например, в [3, с. 377-386]. Дивергентный закон сохранения является обобщением известного из теории обыкновенных дифференциальных уравнений понятия первого интеграла и всегда имеет форму дивергентного дифференциального уравнения

дв = 0, (10)

где ■]в — 1-контравариантный пространственно-временной 4-вектор, которое должно удовлетворяться для любого решения уравнений поля. Вектор ■]в — дифференциальная функция, зависящая от градиентов полевых переменных, наивысший порядок которых на единицу меньшего порядка уравнений поля; этот вектор называется вектором тока (или 4-током).

Классический метод поиска законов сохранения с помощью вариационных симметрий действия кратко может быть описан следующим образом. Критерий инвариантности функционала действия (1) относительно геометрической группы преобразований (3) имеет вид

« + с °0ХЭ =0. (11)

В том случае, когда вариационная симметрия действия известна и лагранжиан зависит от градиентов поля порядка не выше первого, уравнение (11) преобразуется к

С,(ф,с* + (С«в + д(||к)(12)

Разделив затем левые и правые части (12) на параметр е и обозначая

с, = м, „ = с ^ ^ ,

е е д(двск) е

приходим к равенству

С, (С) = дв (-7в). (13)

Таким образом, при выполнении уравнений поля (6) справедлив дивергентный закон сохранения (10).

2. Полевая теория термоупругого континуума с микроструктурой

Одним из самых распространенных подходов к изучению деформации континуума является концепция сравнения пространственных положений составляющих его точек. В этом плане необходимы инструменты, позволяющие однозначно идентифицировать все точки, совокупность которых образует континуум. В качестве одного из способов индивидуализации, широко используемых в механике деформируемого твердого тела, обычно выступают метки, частным вариантом которых являются лагранжевы координаты-метки. Однако в некоторых случаях механизм идентификации заранее может быть не вполне ясным, как это видно на примере перемещения тени, отбрасываемой некоторым движущимся от системы источников света телом.

В теориях континуума с микроструктурой (см., например, [4]) произвольная «конечная» деформация континуума, представляемая чисто геометрическим преобразованием

х = х(Х, ■£) (14)

положения Х отсчетной конфигурации в соответствующее актуальное место

х пространства, сопровождается экстра-деформацией, проявляющейся в

форме нарушений взаимной ориентации и метрических характеристик

системы трех некомпланарных ^-векторов d (а = 1,2,3), связанных с

а

микроэлементом:

d = d(X,^). (15)

аа

Переменные X и х выступают как соответственно лагранжева (отсчетная) и эйлерова (пространственные) переменные, если пользоваться стандартной терминологиней механики континуума. С этими переменными связаны метрики Оав, 5,. Конвективная метрика характеризуется

метрическим тензором дав.

Заметим, что лагранжевы переменные Xа (а = 1,2,3), дополненные четвертой временной координатой, выступают как пространственновременные координаты. Эйлеровы переменные х3 (2 = 1, 2, 3) представляют собой физические поля. То же самое относится к «мягкой» системе

^-векторов d (а = 1,2,3). Но они классифицируются нами как

а

экстра-полевые (сверх переменных х3 ) переменные и вводятся в

формализм теории поля с помощью пространственных компонент

а

(а = 1, 2, 3; 2 = 1,2,3).

Система трех d-векторов, ассоциированных с каждой точкой континуума, собственно и задает микроструктуру континуума. С теоретико-полевой точки зрения наличие микроструктуры приводит лишь к увеличению числа полевых переменных и, возможно, повышению максимального порядка дифференцирований в «естественной» плотности лагранжиана. «Тонкая» (fine) микроструктура континуума представляется экстра-полями контравариантных тензоров (d-тензоров) сколь угодно высоких рангов

dilh--- (с = 1,2,3, ...). (16)

с

Выбранная здесь схема описания микроструктуры и возможность ее

математического представления d-тензорами произвольно высоких четных

рангов (симметричными по всем индексам) подробно изложена в [5].

Экстра-деформация, обусловленная наличием «тонкой» микроструктуры,

математически описывается отображениями, подобными (15).

Поведение репера d (a = 1,2,3) характеризуется как его возможной a

«чистой» деформацией (сдвигами трехгранника и удлинениями его ребер), так и поворотом. Ясно, что каждый элемент континуума с микроструктурой обладает большим число степеней свободы, чем классический континуум. С дополнительными степенями свободы, которыми обладает микроэлемент, связаны естественно и дополнительные инерция, импульс, кинетическое и деформационное действие (кинетическая энергия и свободная энергия). Трансформация репера d (a = 1, 2, 3) может сводиться только к его

a

«жестким» поворотам в пространстве; в этом случае [6] помимо трех трансляционных степеней свободы микроэлемент будет обладать лишь тремя дополнительными ротационными степенями свободы. Возможность исключительно «жесткой» трансформации указанного репера можно выразить уравнениями

giididi = § (a, b = 1,2,3), (17)

a b ab

где gii — компоненты эйлеровой пространственной метрики, § —

ab

символ Кронекера, которые, очевидно, имеют смысл дополнительных кинематических ограничений, накладываемых на экстра-полевые переменные d (a = 1, 2, 3).

a

В качестве основной термической полевой переменной примем

температурное смещение $, которое определяется как первообразная по

времени (при фиксированных лагранжевых переменных) от абсолютной

температуры 0. Именно такой подход характерен для теоретико-полевых

формулировок термомеханики [7-10].

Перечислим далее все определяющие переменные термоупругого

континуума с ,,тонкой“ микроструктурой: градиент деформации

daXj (j, а = 1,2,3); d-векторы dj (a = 1,2,3; j = 1,2,3) вместе с их

a

референциальными градиентами дав' (а = 1, 2, 3; ] = 1, 2, 3; а = 1, 2, 3);

а

в-тензоры в71-7'2'" (с = 1, 2, 3, ...; л,,?2 ,••• = 1, 2, 3) и их референциальные

с

градиенты дай7172''' (с = 1, 2, 3, ...; а = 1, 2, 3; ^'1,^2,... = 1, 2, 3); градиент

с

температурного смещения да$ и скорость температурного смещения $4$.

В терминах отсчетных переменных Xа (а = 1,2,3), эйлеровых переменных х7 (] = 1, 2, 3), экстра-полевых ^-переменных и температурного смещения $ „естественная“ плотность действия (лагранжиан) в расчете на единицу объема в отсчетном состоянии должна иметь форму

С = С(Хв, х, в7, 72''' ,$, х, в7,в7172''' ,$, даХ,д«в7,д«в7Ш''', да$). (18)

а с а с а с

Более конкретная форма получается, если рассматривать плотность действия как разность плотности кинетической энергии и свободной энергии Гельмгольца

1 • к ■ 7 1 аЬ. 7 1 сО . 7,72 • к к2

С = о Р^9к]х х + 7, I в в + - Ря5л к1 ^72 к2... 5 в в ... -

2 2 а Ь 2 с О

-^(Хв, х7, в7,72''' ,$, х7, в7, в7172''' ,1$, д«х7,дав7,д«в7172' ' ' , да$).

а с а с а с

(19)

Здесь точкой обозначается частное дифференцирование по времени

д4 при постоянных лагранжевых координатах Xа; ря — референциальная аЬ С0

плотность; 1, 3 —тензоры инерции микроэлемента.

Вариационный интеграл термоупругого действия в силу указанной формулой (18) плотности действия будет иметь следующий вид:

З = С(Хв, X, й3, й33 • • ,0, X,й3Лпп-" ,0, д«ж3, д«й3, дай33 • •, д«0)й4Х

а С а С а С

(а = 1,2,3; с = 1,2,3, ...; а, в = 1,2,3; ;,іі,І2,... = 1,2,3).

(20)

Соответствующие вариационному интегралу (20) и принципу наименьшего действия связанные уравнения поля получаются в ковариантной форме и распадаются на следующие четыре группы:

дС

да^ — Рз = — дХ3 (а = 1 2, 3; $ = 1 2, 3),

а а а

даМ“‘ + Аз - д42з = 0 (а = 1,2,3; а = 1,2,3; $ = 1, 2, 3),

С С С

даМаїі2Ї. • + А3132• • • - д4 2л32. • • = 0,

(с = 1, 2, 3, ...; а = 1, 2, 3; л,П2,... = 1, 2, 3)

дС

да^Я + « = (а = 1 2 3)-

(21)

Лагранжев полевой формализм исключительно удобен тем, что определяющие уравнения континуума выступают просто как обозначения для полевых частных производных, которые вводятся для записи дифференциальных уравнений поля (21):

с = дС

2.Ш2...

дс а дс

, О? = ,

дХ?

дС

дй?

маг = -

дй

УШ. ..

дС

д(да^')

дС

д (да^?1?2- • • )

а дС

А? = ,

а

= дС д$ ’

с

А

дС

.132-••

дС

д^1?2-

с

д(да^)

(22)

В определяющих уравнениях (22) приняты следующие обозначения:

? —обобщенный импульс, соответствующий трансляционным степеням ас

свободы; 2?, —обобщенные экстраимпульсы, соответствующие

дополнительным (в том числе ротационным) степеням свободы;

а с

• — первый тензор напряжений Пиола—Кирхгофа; М. М.'.'. —

? ? ? 1 ? 2. . .

ас

тензоры экстранапряжений; А. Ал]2... —обобщенные силы—моменты, сопряженные экстра-полевым переменным (а = 1, 2, 3; п = 1, 2, 3), й-71-72."

ас

(с = 1,2,3, ...; п1,п'2,... = 1,2,3); 8 — плотность энтропии (в расчете на единицу объема в отсчетном состоянии); пЯ — референциальный вектор потока энтропии (в единицу времени через единицу площади в отсчетном состоянии).

Полевое уравнение в последней строке (21) выражает баланс энтропии.

3. Плоское пространство—время. Законы сохранения

В дальнейшем будем считать пространство—время плоским. В этом случае выполняется условие трансляционной инвариантности действия. Поэтому можно ввести 4-ковариантный тензор энергии—импульса и сформулировать с его помощью законы сохранения, соответствующие

а

с

с

а

с

сдвигами всех четырех пространственно-временных координат [2]. Следуя [2], определим компоненты канонического тензора энергии—импульса термоупругого поля Тд" (Л, ^ = 1, 2, 3, 4) в континууме с микроструктурой. Всего имеется следующие четыре группы соотношений:

ТД = СЬ; + ^ • (длжі) + м;• (дліі) + М^2 . • .. (длі1 ^ • •) - &(дл?), (23)

(Л, ^ = 1, 2, 3);

Т4• = ^ • Xі + Мм; • і1 + М^ ,-2 • І1^ • • - ^і?, (Л = 4^ = 1,2,3); (24)

а л^2- • • с

. , , а .. с

Т4д = -(длжі)Рі - (дліі )2і - (длі"2. • • )2Л^ • • - «(дл?), (25)

ас

(Л = 1, 2, 3; ^ = 4);

Т4 = С - X1 Р - (і (2.1 - іІ1І2 2^^2... - , Л = 4; ^ = 4. (26)

ас

Приведенные выше компоненты тензора энергии—импульса термоупругого поля позволяют быстро найти полный гамильтониан поля Н, вектор псевдоимпульса поля Рл, вектор Умова—Пойнтинга Г; и тензор напряжений Эшелби р; .

Так, компонента (26) тензора энергии—импульса представляет собой взятую с отрицательным знаком плотность гамильтониана:

Н = жІрі + і 2і + і71,7'2 2л;?2... +?« - С. (27)

ас

Компоненты (25) определяют ковариантный вектор псевдоимпульса поля согласно формуле:

ас

рл = -(длж )рі - (длі )2і - (длі3132... )2зи'2... - «(дл?). (28)

ас

Из компонент (24) формируется контравариантный вектор Умова— Пойнтинга: а с

г; = 5; • х+ММ; ■ іі+М;:,2. і3132... - і?. (29)

а ой*" • с

Компоненты (23) тензора энергии—импульса, взятые с противоположным знаком, дают возможность вычислить тензор напряжений Эшелби:

-рл = СЬ; + 5; • (длжі) + ММ;• (дліі) + М^. (дл^'ш-..) - (дл?). (30)

а ^2--- с

4-ковариантный закон сохранения, соответствующий вариационным симметриям действия в форме трансляций пространственно-временных координат

0^- =0 (А, ^ = 1,2,3,4), (31)

естественным образом распадается на два симметричных канонических уравнения баланса энергии и псевдоимпульса термоупругого поля:

-H + дмГ^ = 0, -Л + = 0. (32)

Теоретико-полевой подход (и лагранжев формализм) применим только к тем полям, в которых сохраняется постоянной полная энергия. Он не отражает того обстоятельства, что в реальном эволюционирующем поле полная энергия убывает, трансформруясь в другие виды энергии, например, в тепловую энергию, т.е. происходит рассеяние энергии, сопровождающееся возрастанием энтропии. Однако не стоит и сужать возможности такого подхода. Возможность освобождения (стока) энергии может быть учтена не столько в уравнениях поля, сколько сингулярностями поля.

Список литературы

1. Ковалев В.А., Радаев Ю.Н. Элементы теории поля: вариационные симметрии и геометрические инварианты. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. 156 с.

2. Ковалев В.А., Радаев Ю.Н. Волновые задачи теории поля и термомеханика. Саратов: Изд-во СГУ, 2010. 328 с.

3. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.

4. Toupin R.A. Theories of Elasticity with Couple-stress // Arch. Rational Mech. Anal. 1964. V. 17. № 5. P. 85-112.

5. Радаев Ю.Н. Континуальные модели поврежденности твердых тел: дис. ... д-ра физ.-мат наук. М.: Институт проблем механики РАН, 1999. 380 с.

6. Cosserat E. et F. Theorie des corps deformables. Paris: Librairie Scientifique A. Hermann et Fils, 1909. 226 p.

7. Ковалев В.А., Радаев Ю.Н. Вывод тензоров энергии—импульса в теориях микрополярной гиперболической термоупругости // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2011. № 5. С. 58-77.

8. Ковалев В.А., Радаев Ю.Н. Теоретико-полевые формулировки и модели нелинейной гиперболической микрополярной термоупругости / XXXVI Дальневосточная математическая школа-семинар им. акад. Е.В. Золотова (4-10 сентября 2012 г., Владивосток): сб. докладов. [Электронный ресурс]. Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2012. С. 137-142.

9. Ковалев В.А., Радаев Ю.Н. Точно сохраняющиеся инварианты связанного микрополярного термоупругого поля // Изв. Сарат. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12. Вып. 4. С. 71-79.

10. Ковалев В.А., Радаев Ю.Н. Ковариантная форма уравнений совместности на поверхностях сильного разрыва в микрополярном термоупругом континууме: гиперболическая теория // Современные проблемы механики сплошной среды:

тр. XVI Междун. конф, 16-19 октября 2012, Ростов-на-Дону. Ростов-на-Дону:

Изд-во Южного федерального университета, 2012. Т. II. С. 99-103.

Ковалев Владимир Александрович ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой, кафедра прикладной математики и аналитической поддержки принятия решений, Московский городской университет управления Правительства Москвы.

Радаев Юрий Николаевич ([email protected], [email protected]), д.ф.-м.н., профессор, ведущий научный сотрудник, Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва.

A covariant field model of hyperbolic thermoelastic continuum with fine microstructure

V. A. Kovalev, Y. N. Radayev

Abstract. A non-linear mathematical model of hyperbolic thermoelastic continuum with fine microstructure is proposed. The model is described in terms of 4-covariant field theoretical formalism. Fine microstructure is represented by d-tensors, playing role of extra field variables. 4-covariant field equations of hyperbolic thermoelasticity are obtained. Constitutive equations of microstruc-tural hyperbolic thermoelasticity are discussed. Virtual microstructural inertia is added to the considered action density. It is also concerned to the thermal inertia. Variational symmetries of the thermoelastic action are used to formulate covariant conservation laws in a plane space-time.

Keywords: thermoelasticity, microstructure, field, extra field, action, covariance, conservation law, d-tensor, 4-current, energy-momentum tensor.

Kovalev Vladimir ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of applied mathematics and analytic support of making decisions, Moscow City Government University of Management.

Radayev Yuri ([email protected], [email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, leading researcher, Institute for Problems in Mechanics of Russian Academy of Sciences, Moscow.

Поступила 29.03.2013