Теоретико-множественный подход к минимизации систем булевых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.932:681.3

Д.И. Попов

ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ ПОДХОД К МИНИМИЗАЦИИ СИСТЕМ

БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

Классический подход к минимизации булевых функций основан на идеях Квайна-Мак-Класки и предполагает построение сокращенной дизъюнктивной нормальной формы (Сок. ДНФ) путем проведения всех операций поглощения и склеивания в совершенной ДНФ. Область применимости такого подхода ограничена определенными БФ (ОБФ). Поэтому минимизация частично-определенных БФ (ЧБФ) требует их сведения к ОБФ путем доопределения, и в любом случае приводит к повышению размерности задачи и связанному с ним увеличению трудоемкости. В этой статье развивается подход к построению Сок.ДНФ в применении к системам БФ, предложенный в работе [1] и основанный на ассоциативных параллельных процедурах, отличительной особенностью которого является универсальность, в смысле одинаковой применимости к ОБФ и ЧБФ, и обратная, в отличие от традиционного метода, функциональная зависимость трудоемкости от числа неопределенных наборов.

Пусть /• -/ f,, /* /о/ система булевых функций (СБФ), каждая из которых

представлена в виде сокращенной дизъюнктивной нормальной формы после этапа минимизации. Положим /=(7/,/?, 1*} - множество минимальных интервалов (элементарных

КОНЪЮНКЦИЙ) КаЖДОЙ фуНКЦИИ, Причем, 11 = ДУу ) = } И /Д/)=&у.

ГО, &<£/,;

Тогда обратная величина определяется так: /, (к) =■<

/ I/, ^ = /у(0-

Введем функцию минимизации Q=Q(I), которая является критерием для оптимизации представления СБФ. В качестве такой функции зачастую выбирают количество переменных (символов), входящих в множество /. В общем случае, оценка может быть любой.

л и

Пусть М = , - количество всех элементарных конъюнкций, а Я (к) - это

>-1 ;=1

ранг интервала к.

Положим А, В Ф 0

непустые множества интервалов, а {Л,а£ А;

оператор замещения Chg(A,a,B) = ■{, .

[(Л \а)иВ,ае А.

Сформируем следующее множество минимальных интервалов:

интервал. Определим

А=1)^={ак\Я(ак)<К(а1)Ук<и *=1,Л/,/ = 1,Л/}

н

Далее осуществляем операции по поиску

/ ^

0<ЧелХЗР<=л|а* =уА»л(«* )<Я(р,)

(ур * 0)(е ЙрчК/,. , р) |;=м $< а(1))° ЦН (а, )* о)/; = СА«(/, ,ак А] =й

(1)

(2)

Операции (1), (2) повторяются для всех элементов множества А, пока оно не перестанет изменятся.

Материалы Международной конференции

“Интеллектуальные САПР”

С алгоритмической точки зрения предложенный метод может быть описан следующим образом:

1. Упорядочить по рангам элементарные конъюнкции в множестве А.

2. Вычислить критерий оптимизации <3 для полученного множества.

3. ДЛЯ ¡=1,2,3,... по количеству элементарных конъюнкций в А:

ЕСЛИ ¡-я конъюнкция ПОКРЫВАЕТСЯ совокупностью элементарных конъюнкций меньшего ранга из общего списка, И (2но«ый < Р.

ТО разложить ее на совокупность этих конъюнкций, изменив при этом множество А.

4. При изменении множества А продолжить алгоритм с пункта 1.

Предложенный метод прост и удобен для компьютерной реализации. Результаты

минимизации используются на следующем этапе проектирования цифровых схем - покрытии булевых функций библиотечными элементами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вишняков Ю.М., Попов Д.И. Ассоциативная параллельная минимизация булевых функций //Материалы междунар. конф. "Актуальные проблемы фундаментальных наук” Тезисы докладов т.2. Секция высш.матем.- М:Издательство МГТУ, 1991. - С.39-41.

УДК 519.68: 681.51

С.В. Астанин, Т.Г. Калашникова ПРОБЛЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ В СИСТЕМАХ НЕЧЕТКИХ

ПРОДУКЦИЙ

Введение

Теория нечетких множеств, предложенная Л.3аде, позволяет описывать понятия естественного языка, которые характеризуются лингвистической неопределенностью, связанной с неоднозначностью их трактовки разными людьми в различных ситуациях. Для реализации схем моделирования лингвистической неопределенности могут применяться такие механизмы рассуждений, как классический композиционный вывод по Заде [1], композиционный вывод по Ватанабэ [2] и ситуационный вывод [3]. Для вычисления достоверности заключения возможно использование лексикографических оценок правдоподобности, предложенных И.З. Батыршиным [4], рассуждения по аналогии [5], и кластерный анализ[1]. Однако, при их применении наблюдаются неоднозначные выводы, не позволяющие корректно осуществлять рассуждения.

В настоящей работе анализируются недостатки наиболее традиционных механизмов рассуждений в продукционных базах знаний и предлагаются подходы к разрешению выделенных противоречий.

1. Анализ механизмов правдоподобных рассуждений

Рассмотрим основные особенности реализации схем моделирования лингвистической неопределенности на основе различных механизмов правдоподобных рассуждений.

Ситуационный вывод. В продукционных системах процедура вывода осуществляется на основе анализа нечетких правил (продукций), составляющих базу знаний: Если A^i и А| 2 и и Aj, m то Hj. При этом рассуждения сводятся к следующему предположению: так как сходство между входной посылкой А' и некоторой посылкой базы знаний А| не более величины Од/дь то правдоподобность заключения Н, также не может быть больше ос^/аь Следует отметить, что это предположение близко по сути к принятию решений в таких механизмах вывода как аналогия