Теоретико-игровое моделирование отношений франчайзинга в условиях конкуренции центра и агентов Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 519.865.3

Д.Г. Алгазина

Теоретико-игровое моделирование отношений франчайзинга в условиях конкуренции центра и агентов

D.G. Algazina

Theoretical Game Modeling of Franchising Relations in Competition between the Centre and Agents

Представлены модельные исследования франчайзинговой сети на территориальном рынке. Новым аспектом исследования является конкуренция между головной фирмой сети и ее агентами.

Ключевые слова: теоретико-игровая модель, франчайзинг, сетевое взаимодействие, конкурентный рынок, равновесие Курно, эффективность сети.

The paper presents model studies on franchising network on the territorial market. A new aspect of the research is the competition between the parent company of the network and its agents.

Key words: theory of games model, franchising, networking, competitive market, Cournot equilibrium, efficiency of the network.

Введение. При формировании своей франчайзинговой сети франчайзер может принять решение о самостоятельном выходе на территориальный рынок. Есть, по крайней мере, два обстоятельства в пользу такого решения.

Во-первых, рассматривая задачи повышения эффективности сети в целом и получения собственного дополнительного дохода, франчайзер не может не учитывать, если позволяют условия франшизного договора, такую потенциально выгодную возможность.

Во-вторых, для франчайзера - это самый надежный способ провести маркетинговое исследование рынка, условий ведения бизнеса на данной территории или в отрасли и апробацию элементов своей операционной системы.

В статье представлена модель франчайзинга, который предполагает конкуренцию на определенной территории нескольких франчайзи одной и той же сети и непосредственно самого франчайзера.

Теоретико-игровая модель франчайзинга. Для моделирования отношений франчайзинга в данной работе применяется базовая теоретико-игровая модель многоагентной сети «центр-агент-рынок», в которой центр взаимодействует с агентами, а агенты - с рынком (потребителями) [1-3]. Новый аспект работы состоит в том, что сеть «центр-агент-рынок» имеет более сложную структуру, которая отличается от базовой добавлением новой связи -взаимодействие центра с рынком.

Рассматривается рынок однородного товара, состоящего из франчайзера и П фирм-франчайзи. Франчайзер и франчайзи реализуют товар (услугу)

потребителю по цене р в объеме до и (/' = 1, П)

соответственно. Величина выручки (дохода) франчайзи рЧі распределяется между двумя сторонами. Часть выручки крч, получает франчайзер, а другую ее часть (1 — к)р9 - фирма-франчайзи; к - коэффициент (параметр), определяющий сервисную плату (роялти), которую франчайзер устанавливает для франчайзи в обмен за права на бизнес (0 < к < 1). Предполагается, что только франчайзер и франчайзи этой сети обладают эксклюзивными правами на данный бизнес в рамках определенной территории.

Формально интересы сторон можно записать в виде целевых установок на максимизацию их прибыли:

- для головной фирмы-франчайзера (центра):

1(Р,^%,к) = кр<2 + РЧ0 -РоШ ^таХ

к,чо

к є [0,1], (1) % є [0,%1

- для фирмы-франчайзи (агента):

П і(А Чі, к) = (1 - к) РЧі - Рі (Чі) ^ таХ

9 (2)

Чіє[0, Ч Ъ і =1 п.

Здесь Ч0(Чі)- объем активности, а ^ (Ч) -

предельно возможный объем активности центра (агента); рЧ0 - дополнительный доход франчайзера, обусловленный его активностью на рынке.

Франшизный взнос не включен авторами в базисную модель, а учитывается при необходимости.

Значения параметров к и дг являются основным предметом согласования условий договора франшизы. Интересы участников проявляются в том, чтобы отстоять желаемые для себя значения этих параметров и, соответственно, получить выгодные условия договора. Через Q обозначена суммарная активность франчайзи, т.е.

Q = !,=, ч<. (3)

Пусть цена продукции с учетом деятельности на рынке головной фирмы определяется линейной функцией общего объема выпуска центром и агентами:

Р = а - Ь(й + Ч0Х

(4)

Отсюда

(7)

Тогда с учетом (3) (4) и (5) получаем

др

дЧі

-Ь

V

дQ + дЧ0 дЧі дЧі;

1

Чі

-— а+ЬQ+Ьч0

1-к

или 1 +'0± + ^^20 = А Ц - 1 - _L(Q_j + до),

где использованы обозначения:

С

а -

1 - к

(8)

(9)

Получаем, что (2 + + д°) = Ц - Q_i - д0,

дЧі дЧі

ие д

Ы - Q- і - Ч0

и окончательно выражение для оптимального выпуска агентов

где а - спрос на продукцию; Ь - снижение цены при увеличении на единицу общего выпуска;

Полагается, что затраты центра и агентов заданы следующими линейными функциями:

Щ (до) = содо + ^, щ (д) = сгдг + ^,

г = 1, п, (5)

а Со и сг - предельные переменные издержки; ^0 и ф - постоянные издержки, они не будут оказывать влияния на решение задач оптимизации участников.

Так как модель поведения каждой фирмы-франчайзи определяется соотношениями (2), из условия максимизации ее прибыли имеем

^ = (1 - к)дрдг + (1 - к) р-Щ = 0. (6)

ддг ддг ддг

дг = 2+э2-ж , для г=1,п. (10)

ддг ддг

Оптимальный выпуск франчайзера, используя

д1 п

модель (1), находим из условия -= 0 :

ддо

а-с0 - (к+1)Q - к ^ - а)

* = -Ь-----------------^ Ь дд0. (11)

2 + (к +1)

д£

дЧ0

Рассмотрим франчайзинговую сеть на конкурентном рынке в состоянии равновесия Курно. Полагаем, что все субъекты рынка - центр и агенты -действуют по Курно: каждый субъект определяет свою активность так, чтобы максимизировать собственную прибыль, полагая, что другие субъекты оставят свою активность неизменной.

Тогда для равновесного по Курно состояния

^-г = 0 дд0 = 0 Щ = 0 С

рынка -------= 0, -----= 0 и -------= 0. Соответ-

ддг ддг дд0

ственно, из выражений (10) и (11) получаем

Чі = Ы - Ш + Ч0 X для і = 1, п;

(12)

(1 - к )Ч0 = —г~° - (к +1)(Q + Ч0). (13)

Суммируя по г = 1, п; равенства (12), получаем:

д0 =(п+1)(©+д0) - Х,=1 Ц. (14)

Обозначим решение данной модели рынка для равновесия Курно верхним индексом " Кс ".

Совместное решение (13) и (14) дает общий объем активности сети и объем активности (выпуск товаров (услуг)) франчайзера

а-с° + (, - к)Уп, Ц

QKС + дКС =-^---------------=

п(1 - к) + 2

^п

і=0 Сі

п

Л=0*

Ь Ь(п(1 - к) + 2)’

(15)

^п

і=0Сі а + С0 (16)

Ч0 =-1-*-. (16)

40 Ь Ь(1 - к) п(1 - к) + 2 Ь(1 - к)

Ь

qj

По (іг) и (ІЗ) имеем активность франчайзи

Zn

i=oCi Cj

Из условия

a+

dIKC

dk

T K'-

= o, где I определяется

ъ(п(1 - k)+г) ъ(1 - k)

Далее используя (4) и (ІЗ), на:? рыночной цены товара (услуг)

j = 1, п. (17) по (21), после несложных преобразований приходим к следующему уравнению для определения :

ZU

i=o c<

n(i - k) + г

Из (ІЗ) и (1б) получаем суммарный выпуск фирм-франчайзи

Zn

i=o Ci

значение a+L-oC< n a + Li=o ci 2co

n(i - k)+г (ІЗ) n(i - k)+г n(i - k)+г і - k v у

-jK^ _ a + co

п Kc

І - k

ъ

a +

I

n

i=o Ci

n(i - k) + г і - k

j = i, n.

- d>

(2o)

a

Zn

i= Ci

n

IKC = ~ ' ^i=o ъ(п(1 - k)+г)

a

i= Ci

V

n

i=oCi - 2co n(i - k)+г і - k

\

У

a

V

a + Co 1 - k

do.

(гі)

У

Zn

A. _________________ъ

> ъ n(i - k) + г

i=o Ci

a +

Е

n

i=o Ci

C

k

n(i - k) + г і - k

v

j = i, n.

(гг)

+

+

n(a + i;=o ci) 2co

0К = 0--------------------^~"=0 . (19)

^ 6(1 - к) 6(1 - к) п(1 - к) + 2

Подстановкой в (2) функции затрат (5) и полученных значений из (17) и (18) приходим к следующему выражению для прибыли франчайзи

\2

(n(1 - k) + г)г (і - k )г

+ co(a + co) = o (1 - k )г .

+

(гз)

Кс

Подстановкой найденного параметра к^ в (15)-

Г1

(22) находим значения характеристик франчайзинговой системы в состоянии равновесия Курно, если

головная фирма выбирает стратегию Ц.

Для изучения иных возможностей проектирования систем отношений в классе игр Ц рассмотрим также механизм взаимодействия с фиксированной

Г

сервисной платой [4]. Обозначим эту игру г .

Размер фиксированной платы для j-й фирмы < -С) устанавливается равным платежам франчайзеру, рассчитанным по стратегии Ц, т.е.

Подстановкой в (1) функции затрат (5) и полученных значений из (16), (18) и (19) приходим к следующему выражению для прибыли франчайзера

ak:>=kKc • pKC • K,

(г4)

Величина роялти для фирмы-франчайзи с учетом (17) и (18) составит

/ ^п Л

Рассмотрим расчет параметра роялти на основе стратегий в играх Ц (в литературе такие стратегии еще известны по имени их автора Штакельберга) [4]. Обозначим его к^К . Такой вариант расчета дает

наиболее выгодное для головной фирмы значение этого параметра (максимизирующее ее прибыль) при условии, что франчайзи действуют оптимальным для себя образом.

і KC K K

где kp определяется по (гЗ), а p и q> - по (1З)

и (1?) при k = kK .

Дополнительно после решения игры Гі каждая фирма-франчайзи при фиксированном платеже решает задачу определения оптимальной для себя активности:

Пі (p, qi, AKC) = pqi -Ciqi - di - AKC ^ max (гЗ)

qi

Задача франчайзера принимает следующий вид:

I = S=i AriCK- + pqo - Coqo - do ^ max. (гб)

qo

По схеме, аналогичной (6)-(11), решаем задачу максимизации функций (25) и (26). По (25) имеем

Отсюда

дПі = dp

dqi dqi

dp _ dqi

qi + p - Ci = o. (г?)

— ( - p ) (гЗ)

qi

с

Тогда с учетом (3) и (4) получаем

It=-bf dF+1г ]=~ ( -а++^^0)

dq- ^ dq- dqi) qi

1

или 1+dQ-i+d°=— h -1—(Q-+qo)’

dq dq qi q-

где использованы обозначения

k

a - c

Ъ

(29)

Получаем, что qi(2++dq0) = h- -Q-i -g0,

dqi dqi

и окончательно выражение для оптимального выпуска агентов:

qi

hi- Q-i- qo 2 + Q +9qo

dqi dqi

для i = 1, n. (30)

Оптимальный выпуск франчайзера, используя модель (26), находим из условия

д/ др

dqo 9qc

■qo+p - co =o;

dp = 1

dqo qo

(co - P )•

(31)

Опять с учетом (3) и (4) получаем С \

др

dqo

: Ъ

dQ

dqo

+1

1 (co - a + bQ+bqo),

qo

Г

Приходим к следующим решениям игры г

с фиксированной сервисной платой для состояния равновесия Курно.

Суммарную активность франчайзинговой сети получаем по соотношению (36)

QK + q

Kc

rf ,o

-----1-((n + 1)a - Vй ci). (37)

(n + 2)b'v ^ =o ?/

Рыночная цена продукции определяется по (4) и (37)

Kc

'f

1

pf Гf

и + 2

(38)

Активность франчайзера и франчайзи находится по (34), (35) и (37) из общего выражения

Kc

qKf =

rf, j (n + 2)Ъ

— (“ + Z"

- 0\h \ =

i=o ci

(n + 2)c

■).

j = 0, ”•

(39)

Для определения прибыли франчайзи используем соотношения (22), (25), (38) и (39)

п

г . j

------'-г- (a + У”

(и + 2)2 Ъ' ь

=o ci

(n + 2)c,

j = 1. n.

(4o)

Для определения прибыли франчайзера используем соотношения (22), (26), (38) и (39)

qo

ko - Q dQ dqo

(32)

2 +

где использовано обозначение

a - co

ho =

Ъ

(33)

Далее повторяем схему (12)-(14).

Учитывая, что для равновесного по Курно со-

dQ-i = o dqo = o

стояния рынка ---------= o, -------= o и

dqi dqi dqo

из выражений (3o) и (32) получаем

dQ=o,

qi = hi - (Q + qo ), для i = 1, n; (34)

qo = ho- (Q + qo). (35)

Суммируя по i = 1, n равенства (34) и (35), получаем:

TKc = Г1

V =

kKc

Лр

Г1

Ъ

a

n

i=o ci

( n(a + E"=o ci) zn=1'

n(1 - kKc) + 2

n(1 - kK) + 2 1 - kr\ )

+

+ (n + 2)2Ъ (a + ^n=oci - (n + 2)co) -do. (41)

Величина фиксированного платежа (роялти) для фирмы-франчайзи с учетом (22) и (23) составит

kKc Г1

Г1, j

a

n

i=o ci

n(1 - kKc) + 2

a

+S

n

i=o ci

n(1 - k]Kc) + 2 1 - k^F

Q+qo = X;=ohi- (n+1)(Q+qo). (36)

j = 1, n.

(42)

или

Kc

Ъ

c

c

Эффективность выхода на рынок франчайзера.

1. С вступлением на рынок франчайзера повышается активность сети. Для доказательства этого утверждения используем равенство (п + V)QK = = 2=1 Ъ ’ где ^ - активность франчайзинговой сети в состоянии равновесия Курно, в которой только п франчайзи взаимодействуют с потребителями [1].

По (14) также имеем (п + 1)^К + —К ) =

=— Г + Еп=1 Ъ.Тогда

акс

(0кс + чКС ) - 0-К = -^Т > 0. (43)

0 п +1

2. С вступлением на рынок франчайзера снижается цена товара (услуги). Чтобы показать это утверждение, используем соотношения для цен

рК = а - bQK и рКС = а - Ь(0КС + —КС ).

Тогда с учетом (43) получаем

г

Кс

1

• (п +1)а - > п с, (п + 2)Ъ ' г=0

1 п=0 с,)-

а

а+

I"

о Сі

+------------------->

Ъ Ъ(п(1 - к) + 2)

>

1

(п + 2)Ъ

(п + 1)а

- Щ=о с,)-

а

— + ■

а+

Е

п

1=0 Сі

Ъ Ъ (п + 2)

0.

4. Применение механизма с фиксированной сервисной платой дает минимальную цену товара (услуги). Из равенств (18) и (38) получаем

рК - рК^

а+

0 сі

г/ п(1 - к) + 2

а

п + 2

1 ( V п ) а + X”

- (а + Х=0 Сі )^^

Ь (а + Е"=0 с, )= 0.

0 Сі

п + 2

5. Повышение дохода франчайзинговой сети. Оценим следующую разность доходов сети после и до вступления на рынок центра, используя выражения (4) и (43)

РКС (0К + гК) - рК0

Кс

ЖпК

= (а - Ъ(0КС + г Кс ))(0КС + г Кс)

- (а - Ъ0К )0К = а(0К + гКС) -

Кс

К

а0К - Ъ(0К + гКС )2+Ъ(0К )2 =

К

Кс\ 2

К2

0

г

Кс

гКС

а-— ъ^(окс + гКС + 0К ) =

п +1 п +1 0

0

г

Кс

= ^±- (а - Ъ(0К + гКс + 0К)).

п + 1 0

Здесь величина а - Ь^К + —К + QK ) есть рыночная цена, если на рынок поступил продукт

/'л К с КС глК

в объеме ^ + —^ + ^ . Если допустить, что

при таком объеме активности сети цена не может быть отрицательной, то выход на рынок франчайзера дает дополнительный доход сети.

6. Изменение прибыли франчайзера. До вступления франчайзера на рынок его прибыль определялась выражением /К = крК • Qк, а после вступления с учетом (1) и (5) как

/КС = крКС • QKC + рКС • —0КС - Со—0КС - 40.

т КС

Преобразуем / к виду

/КС = крКС • ©КС + —оКС) +

рКС -рК =-b(QKC + —К° -0К) = -Ь —0— <0. (44) 0 п + 1

3. Применение механизма с фиксированной сервисной платой дает максимальную активность сети. Сравнивая выражения (37) и (15), получаем

^К/ + — КС 0} - ^КС+—0КС)=

+ (1 - к)р • г0 - с0г0 - <^0.

Изменение прибыли определяется разностью

тКс тК іКС Ґ/'ЛКС . Кс \ 7 К Г\К ,

I -1 = кр • (0 + гс ) - кр • о +

Кс

= к(рК • (0КС + гК с) - рК • 0К ) +

лК-

Кс

+ —0 • ((1 -к)р - С0) - 40.

Первое слагаемое с учетом сделанных в предыдущем пункте примечаний положительно. Второе слагаемое преобразуем следующим образом:

гКс •((1 - к)рК - с0) =

Кс

гКс •((1 - к)(а - Ъ(°К + гКс)) - с0)

Кс

-,КС

= •(i - k)(a - KQK + )

Kc

,KC

c0 1 - k

)=

a-

c0

qK • Ъ(1 - k)(—- (QKC + qoKC )).

По (12) имеем

a-

ci

qi

Kc

1 - k

- (QKC + rK) * o.

Kc

ъ

Поэтому, если для предельных переменных издержек франчайзера выполняется условие

co < max ct (i = 1, n), то и второе слагаемое будет

i

неотрицательным, и тогда окончательная доход-

ность франчайзера определяется только величиной его постоянных издержек 40 .

Заключение. В статье представлена теоретикоигровая модель франчайзинга, который предполагает конкуренцию на определенной территории нескольких франчайзи одной и той же сети и непосредственно самого франчайзера. Получены аналитические оценки для основных характеристик сети в состоянии равновесия Курно. Особое внимание уделено эффективности организации сетевого взаимодействия. С этой целью рассмотрено применение стратегий гамма-один для расчета роялти от объема продаж и в форме фиксированной сервисной платы, приведены оценки влияния вступления на рынок франчайзера на его прибыль, активность и доход сети, цену товара (услуг).

Библиографический список

1. Алгазин Г.И., Алгазина Д.Г. Моделирование многоагентных франчайзинговых систем: монография. - Барнаул, 2009.

2. Алгазин Г.И., Алгазина Ю.Г. Моделирование поведения экономических агентов в системе «производи-тель-посредник-конкурентный рынок» // Управление большими системами. - М., 2011. - Вып. 32.

3. Алгазина Д.Г., Алгазин Г.И. Моделирование взаимодействия прибыли франчайзера и развития франчайзинговой системы на конкурентном рынке // Известия АлтГУ. - 2011. - №2/1(70).

4. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. - М., 1976.