ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВОЕ ОПИСАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ЭЛЕМЕНТОВ. V: ВЕСОВАЯ ДИАГРАММА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.815.8 DOI 10.24147/2222-8772.2024.3.4-18

ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВОЕ ОПИСАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОИ СИСТЕМЫ ЭЛЕМЕНТОВ. V: ВЕСОВАЯ ДИАГРАММА

В.В. Варламов

д.ф.-м.н., e-mail: [email protected]

Сибирский государственный индустриальный университет, Новокузнецк, Россия

Аннотация. Анализируется корневая структура подалгебр групповой алгебры конформной группы в рамках двулистного накрытия. На основе проведённого анализа определяется базис Картана-Вейля групповой алгебры. Строятся корневая и весовая диаграммы. Вводится массовая формула, ассоциированная с каждым узлом весовой диаграммы.

Ключевые слова: конформная группа, групповая алгебра, группа Лоренца, подалгебра Картана, генераторы Вейля, корневая структура, весовая диаграмма, массовая формула.

1. Введение

В настоящей статье, являющейся продолжением серии работ [1-5], завершается изучение структуры групповой алгебрыso(4, 2) конформной группы SO(4, 2), начатое в статье [5].

Несмотря на то, что структура алгебры so(4, 2), соответствующей типу А3 по классификации Киллинга-Картана, хорошо изучена (см. [6, 7]), в настоящем исследовании делается акцент на физическом приложении общих алгебраических методов к изучению периодической системы химических элементов. В связи с этим, исходным пунктом исследования является водородная реализация алгебры so (4, 2), т. е. представление Барута [8], рассмотренное в [5]. Далее представление Барута формулируется в базисе Яо [9] для группы SU(2, 2), являющейся двулистным накрытием конформной группы SO(4, 2). В п. 2 рассматривается подалгебра so(3,1) ~ sl(2, C), соответствующая физически важной подгруппе (группа Лоренца) SO(3,1) С SO(4, 2). Для алгебры sl(2, C) определяется подалгебра Картана, базис Картана-Вейля, а также строятся корневая и весовая диаграммы. Приводится массовая формула, непосредственно связанная с каждым узлом весовой диаграммы. Аналогичное рассмотрение для подалгебр so(4) и so(2, 2) проводится в п. 3 и 4. По результатам проведённого анализа корневой структуры подалгебр (sl(2, C), so(4) и so(2, 2)) в п. 5 строится корневая диаграмма алгебры Ли so(4, 2). Весовая диаграмма (SO(4, 2)-башня) алгебрыso(4, 2) определяется в п. 6. Показывается, что весовые диаграммы алгебр Ли второго ранга so (4) и so (2, 2) являются проекциями SO(4, 2)-башни на координатные плоскости, образованные генераторами Картана алгебры so(4, 2). Приводится массовая формула, непосредственно связанная с каждым узлом SO(4, 2)-башни.

2. Подалгебра 5о(3,1)

Подгруппа Лоренца ЯО(3,1) в рамках конформной группы ЯО(4, 2) в представлении Барута (см. пп. 3.1 в [5]) может быть образована двумя группами генераторов: 1_ь 1_2, 1-з, В1, В2, В3 или Ц, 1_2, Ьз, Гь Г2, Г3. Возьмём первую группу. Коммутационные соотношения имеют вид

[Ц, Ь2] = -Из, [Ь2, Ьз] = -гЦ, [Ьз, Ц] = -И2,

[В1, В2] = гЬз, [В2, Вз] = гЦ

[Ц, В1] = 0, [Ц, В2] = -гВз, [Ь2, Вз] = -гВх,

[Ьз, В1] = -¿В2,

[Ь2, В2] = 0, [Ц, Вз] = гВ2, [Ь2, В1] = гВз, [Ьз, В2] = гВх.

[Вз, В1] = гЬ2, [Ц, Вз] = 0,

(1)

Генераторы I. и В образуют базис алгебры Ли 5о(3,1) ~ 51(2, С). Введём следующие линейные комбинации:

Тогда

X = 1(Ь + ¿В), У = 2(Ь - ¿В).

[Х1, Х2] = -гХз, [Х2, Хз] = -2X1, [Хз, Х1] = -2X2,

[У1, У2] = -гУз, [У2, Уз] = -гУь [Уз, У1] = -¿У2,

(2)

[X, У] =0.

Отсюда следует, что генераторы X и У образуют базисы двух независимых алгебр 5о(3). Таким образом, алгебра Лив!(2, С) группы ЯЬ(2, С) изоморфна прямой сумме (так называемый «унитарный трюк» Вейля, см. [10, р. 28])

51(2, С) ~ 5и(2) 0 г5и(2).

(3)

Определим теперь подалгебру Картана К и соответствующую диаграмму Вейля для алгебры Ли 51(2, С). С этой целью необходимо перейти от базиса комплексной оболочки {Х1, Х2, Хз, У1, У2, Уз} к базису Картана-Вейля. Первым шагом является определение максимального подмножества взаимно коммутирующих генераторов алгебры 51(2, С). Поскольку в прямой сумме (3) каждая подалгебра 5и(2) является алгеброй Ли ранга 1, то естественно ожидать, что алгебра51(2, С) содержит не более двух коммутирующих генераторов. Из девяти возможных пар коммутирующих генераторов {Хг, У)} (г, ] = 1, 2, 3) выберем пару {Хз, Уз}, удовлетворяющую условию [Иг, Иj] = 0 (см. формулу (1) в [5]), т. е.

[Хз, Уз] = 0.

(4)

Множество {Хз, Уз} образует подалгебру Картана К С 51(2, С). Хз и Уз - генераторы Картана, а размерность подалгебры К, равная 2, определяет ранг алгебры Ли 51(2, С).

Далее, с целью определить генераторы Вейля из оставшихся генераторов Хь Х2, Уь У2 образуем следующие линейные комбинации (повышающие и понижающие операторы):

Х+ = Х1 + гХ2, Х- = Х1 - гХ2, 1

> (5)

У+ = У1 + гУ2, У- = У1 - гУ2. ]

Четыре генератора Вейля (5), наряду с двумя генераторами Картана Х3 и У3, составляют базис Картана-Вейля алгебры £[(2, С):

{Хз,Уз,Х+, Х-,У+,У-} .

Генераторы Вейля Еа = {Х±, У±} и генераторы И = {Х3, У3} подалгебры Картана К С £[(2, С) удовлетворяют перестановочным соотношениям (2) и (3) в [5], где

Чг,] = 1, 2; а =1 ^ 4:

[Х3, Х+] = -Х+, [Х3, Х-] = Х-, [Х+, Х-] = -2Х3, (6)

[У3, У+] = -У+, [У3, У-] = У-, [У+, У-] = -2У3. (7)

В этом случае коммутатор [Еа, Е-а] = [Х+, Х-] даёт корни ±2. Таким образом, в согласии с формулой (4) в [5] имеем четыре различных корня: а = ±1, ±2.

Поскольку в[(2, С) является алгеброй Ли ранга 2, то из теоремы Рака (см. [5]) следует, что существуют два независимых инварианта Казимира См, которые коммутируют со всеми генераторами алгебры £[(2, С), включая два элемента Картана Иг:

[См, И] = 0, = 1 ^ 2; г = 1 ^ 2. (8)

Инварианты Казимира для алгебры £[(2, С) имеют вид

С1 = X2 = Х2 + Х2 + Х3 = 1 (А2 - В2 + 2гДБ С2 = У2 = У2 + У22 + У2 = 1 (А2 - В2 - 2гАВ

В рамках комплексной оболочки алгебры £[(2, С) эти инварианты, более известные как операторы Лапласа-Бельтрами, приводят к дифференциальным уравнениям класса Фукса для гиперсферических функций (см. [11]). Операторы Лапласа-Бельтрами содержат операторы Казимира А2 - В2 и ДБ группы Лоренца как части комплекснозначной функции.

В силу (4) и (8) в собственном подпространстве НЕ оператора энергии Н определено полное множество состояний, которые одновременно являются собственными

состояниями операторов X2, У2, Х3 и У3. Составим кет-вектор I/, /; т,т). Следует

отметить, что I и I не являются квантовыми числами, а только задают их, настоящими квантовыми числами, т. е. собственными значениями операторов Казимира X2 и У2, являются 1(1 + 1) и 1(1 + 1) согласно следующим соотношениям:

X2

У2

1,1; т,т^ = 1(1 + 1) 1,1; т,т^ 1,1; т,т^ = 1(1 + 1) 1,1; т,т^

где /,/ е {0, 2, 1, §,...}. Каждое подпространство Ие имеет размерность (2/ + 1)(2/ + 1), откуда следует, что

Хз Уз

/, /; га, га, /, /; га, га,

га га,

/, /; га, га, /, /; га, га,

(9) (10)

с га е {-/, -/ + 1,..., / - 1,/} и га, е |-/, -/ + 1,..., / - 1, /1. Собственные значения га и га, являются весами генераторов Картана Хз и Уз.

В основе построения диаграммы Вейля группы ЯЬ(2, С) лежит подалгебра Картана К = {Хз, Уз}, где генераторы Хз и Уз образуют базис двумерной ортогональной системы координат. На этих диаграммах веса га и га, используются в качестве координат для построения каждого состояния ЯЬ(2, С)-мультиплета в плоскости (Хз, Уз), т. е. они образуют компоненты двумерного весового вектора Н = (га, га),

который выходит из начала системы координат до состояния /,/; га, га). Генераторы Вейля Ба = {Х±, У±} позволяют нам перемещаться между состояниями ЯЬ(2, С)-мультиплета, сдвигая собственные значения га и га любого кет-вектора

/, /; га, га) на величину, которая задаётся корнями а1 и а2 этого генератора Вейля относительно генераторов Картана Хз и Уз:

Б,

/, /; га, га

/, /; га + а1, га + а2

В качестве примера рассмотрим действие генератора Х+ на состояние В силу [И^, Ба] = ^ Ба, (6) и (9) получим

/, /; га, га

ХзХ

зХ+

/, /; га, га)

([Хз, Х+] + Х+Хз) (Х+ + гаХ+) (га + 1) Х+

/, /; га, га)

/, /; га, га

/, /; га, га

Таким образом, Х+ повышает собственное значение га на величину +1, которая равна корню генератора Х+ относительно генератора Картана Хз согласно (6). Аналогично, используя (10), получим

УзХ

зХ+

/, /; га, га

([Уз, Х+] + Х+Уз)| /,/'; га, га) (0 + гаХ+)'

/, /; га, га)

гаХ

+

/, /; га, га

где генератор Х+ оставляет собственное значение га неизменным. Следовательно,

Х

+

!, /; га, га)

/, /; га + 1, га

Действия остальных трёх генераторов Вейля определяются аналогично:

Х

1,1; га,га

У

+

У

1,1; га,га

1,1; га — 1, га

1,1; га, га +

1,1; га, га

^ —> 1,1; га, га - .

Покажем графически действия генераторов Еа на корневой диаграмме. С этой целью возьмём корни а1 и а2 каждого элемента Вейля Еа в качестве компонент двумерного корневого вектора а = (а1, а2) и поместим их в двумерное весовое пространство, образованное плоскостью (Х3,У3). Это даёт корневую диаграмму алгебры Ли £[(2, С), как показано на рис. 1, где для простоты мы обозначили различные корневые векторы а соответствующим символом генератора Вейля Еа.

У3

+1

+2

Х

У

+

Х+ Х3

+2

У

+1

Рис. 1. Корневая диаграмма алгебры Ли £[(2, С). Действие каждого генератора Вейля показано в

(Х3, У3)-плоскости

>

1

1

Очевидно, что генераторы Х_ и Х+ (корни а1 = -1, а2 = +1) позволяют перемещаться на один шаг влево и вправо соответственно, в то время как перемещения вверх и вниз задаются генераторами У+ и У_. Таким образом, состояния ЯЬ(2, С)-мультиплета переводятся друг в друга посредством повторного действия этих лестничных операторов. С генераторами алгебры £[(2, С), расположенными на рис. 1, сразу становится очевидным, что они соответствуют двум разным многообразиям: генераторы Х3, Х+ и Х_ (образующие первую подалгебру £и(2) в (3)) соответствуют многообразию (1,0), тогда как генераторы У3, У+ и У_ (вторая подалгебра ¿зи(2)), как видно, образуют многообразие (0,1) на весовой диаграмме. Диаграммы Вейля для первых трёх ЯЬ(2, С)-мультиплетов показаны на рис. 2.

Расширенная диаграмма Вейля для (/, /)-многообразия представлена на рис. 3. С каждым узлом весовой диаграммы ассоциирована массовая формула [12]

га = 2гае( / + 0 ^ +0 , (11)

где гае - масса покоя электрона. Формула (11) описывает спектр масс элементарных частиц с точностью до 0,41 % (см. [13-16]). Решения релятивистских волновых уравнений [17-19] для произвольных спиновых цепочек ((/, /)-многообразий весовой диаграммы на рис. 3) определяются в виде рядов по гиперсферическим функциям на группе Лоренца [11].

а)

Уз

+1

>. 2) 1

• +2

(0 ,0)

1—1 »—

(|.о)

(2>0)

Хз

+ 2 +1 (0.2)

Ь)

(0.1)

Уз

(2

+ И>

(0.2)

• +2 (0

(2.0)

(1.0)

(1.0)

(2.0)

0)

Хз

+1

(0.2)

(0,1)

Уз

(0.2)

(2.1)

(0,1)

(0 2)

• +2

с)

(0

(2.0)

(1.0)

(2.0)

(1.2)

(1.2) (3.0)

2) (1.0)

(2.0)

0)

Хз

+2 +1 +2

(2.0)

(0,1)

(2.1) (0.3)

Рис. 2. Первые три весовые диаграммы (диаграммы Вейля) алгебры Ли 51(2, С): а) (2,1 )-мультиплет; Ь) (1,1)-мульиплет; с) (§, § )-мультиплет

1

1

1

+

2

о

-1 -1

и>

Уя

(0,4) (2 , 2) (1,3) (3,2) (2 2) (2,2) (3,1) (7,1) (4,0) ф-ф-ф-ф--ф-ф-ф-ф

(о, 2)

(0,3)

(2 ,з)

(12)

(1 5) ( 2 , 2 )

(0,2)

(1,2)

(3,2) ' ' '

(1,2) ' '

(0,2)

'•<о, 2)

''•(2,2)

(3 3) ( 2 , 2 )

(l, 2)

(1 3) ( 2 , 2 )

42,1)

(2,1)

(2,1)

(1,1)

(2,1)

(0,1) •—

2)

(з, 2)

(5 1) ( 2 , 2 )

( 3 1) ( 2 , 2 )

(l, 2)

(11) ( 2 , 2 )

'•<о, 2)

(3,0)

(2 ,о)

(2 ,о)

(2,0)

(3 ,о)-'

(1,о>-—•

(1 ,о)-'

<о,о)-'

Хз

3 —2 -2 —2 -1 (|,о)'

>о11) 1

(1,о) —

(3 ,о)

(2,о)

(2,о)

(3,о)

(2,о)

(2

(1' 1) ( 2 , 2 )

(2,1)

(3 1) ( 2 , 2 )

(5 1) ( 2 , 2 )

(3,2)

( о,1)

(l, 2)

(1,1) —•—

1)

'42,1)

(2,1)

(1

со, 2)

(1 3) ( 2 , 2 )

(3 3) ( 2 , 2 )

42,2)

( о,2)

2)

(1,2)

(3,2)-'

(о; 2)

(1 5) ( 2 , 2 )

(l, 2)

(о,3)

(2,3)

(о, 2)

(4,о) (2, 2) (3,1) (2, 3) ' ' (2,2) ■ ■ ' (3,5) (1,3) (1,7) (о,4) ф-ф-ф-ф-ф-ф-ф-ф-ф

I)

о

II

I)

»

(к

II

I)

<1

>

I)

II

I)

I)

I»

Рис. 3: Расширенная диаграмма Вейля алгебры з1(2, С). С каждым узлом (I, I) диаграммы ассоциировано состояние, масса которого определяется формулой (11)

3. Подалгебра 5о(4)

Для каждого генератора подалгебры К с зо(4, 2) существуют шесть генераторов, которые не имеют с ним общих индексов. Например, для 1_56 (Д3) этими генераторами являются 1_12, 1_23, 1_31, Ь14, 1_24 и 1_34. В силу перестановочных соотношений для алгебры Лизо(4, 2) (см. формулу (6) в [5]) все эти генераторы коммутируют с 1_56 и, следовательно, могут быть позиционированы в горизонтальной плоскости корневой диаграммы алгебры зо(4, 2). Они соответствуют компонентам Ц и А^ вектора углового момента Ь и вектора Лапласа-Рунге-Ленца А.

Вводя линейные комбинации

К1 = 1/2 (Ь23 + ы , К2 = 1/2 (Ь31 + Ь24), К3 = 1/2 + Ь34) , (12)

^ = 1/2 (Ь23 - и), и2 = 1/2 (Ь31 - Ь24) , Jз = 1/2 (Ь12 - Ь34) (13)

(см. генераторы (8) и (9) базиса Яо в [5]), получим

[К, и] = 0,

а также

[Кг, К]] = Кк, , ] = к Jk.

Откуда следует, что генераторы К и J образуют базисы двух независимых алгебр £о(3). Таким образом, алгебра Ли £о(4) группы ЯО(4) изоморфна прямой сумме

£0(4) ~ £и(2) ф £и(2). (14)

Соответственно, это значит, что группа ЯО(4) изоморфна прямому произведению ЯО(3) 0 ЯО(3).

Легко видеть, что генераторы К3 и и3 образуют подалгебру Картана алгебры Ли £0(4), Кд0(4) = {К3, и3}. Из оставшихся генераторов в (12), (13) составим четыре генератора Вейля

К+ = К1 + гК2, К- = К1 - гК2, J+ = ^ + ^2, J- = ^ - ^2,

Тогда базис Картана-Вейля подалгебры £0(4) примет вид

{К3, Jз, К+, К-, J+, J-} . (15)

Генераторы базиса (15) удовлетворяют соотношениям

[К3, К+] = К+, [К3, К-] = -К-, [К+, К-] = 2К3,

[Jз, J+] = J+, [Jз, J-] = -J-, У+, J-] = 2Jз,

[Кг, Jj] = 0 (г,;/ = +,-, 3). (16)

Из соотношений (16) следует, что корневая структура генераторов К± и J± аналогична корневой структуре генераторов Вейля Х± и У± подалгебры £[(2, С). Корневая диаграмма подалгебры £0(4) представлена на рис. 4. Соответствующая весовая

Jí

+1

+2

К

1

2 1

- 2

+

К+ К3

+2 +1

Рис. 4. Корневая диаграмма алгебры Ли во(4). Действие каждого генератора Вейля показано в

(К3, Jз)-плоскости

>

1

диаграмма аналогична диаграмме на рис. 3 с заменой генераторов Картана Х3 и У3 на К3 и J3.

4. Подалгебра £о(2,2)

Для следующего генератора 1_34 (А3), входящего в подалгебру К С £0(4, 2), имеем шесть генераторов 1_12, 1_15, 1_25, 1_16, 1_26, 1_56, у которых нет с 1_34 общих индексов. Эти генераторы соответствуют «водородным операторам» 1_3, В1, В2, Г1, Г2, А3 и тем самым могут быть позиционированы в плоскости (Ь3,А3). Эти шесть генераторов образуют линейные комбинации базиса Яо:

Т1 = 1/2 (-Ь15 - Ь2в), Т2 = 1/2 (Ь25 - Ы, То = 1/2 (-Ц2 - Ь5в), (17)

Б1 = 1/2 (-^5 + Ь2в) , Б2 = 1/2 (-Ь25 - Ц6) , Бо = 1/2 (^2 - Ь56) (18)

(см. формулы (10) и (11) в [5]). Легко видеть, что компоненты генераторов Т и Б взаимно коммутируют,

[Т, Б] = 0. (19)

При этом компоненты Т образуют алгебру Ли £0(2,1):

[Т1, Т2] = гТо, [Т2, То] = -гТь [То, Т1 ] = -¿Т2.

Аналогично для Б:

[Б1, Б2] = «Бо, [Б2, Бо] = -гБь [Бо, Б1] = -¿Б2.

В силу (19) обе алгебры полностью разделены. По аналогии с алгеброй£0(4) (плоскость (Ь3,А3)), которая допускает разложение в прямую сумму двух алгебр £и(2), в данном случае получим алгебру Ли £0(2, 2), которая локально изоморфна прямой сумме двух алгебр £0(2,1):

£0(2, 2) ~ £0(2,1) ф £0(2,1).

В силу этой аналогии корневая диаграмма для алгебры £0(2, 2) будет подобна диаграмме для £0(4) на рис.4. Далее, два коммутирующих генератора То и Бо могут быть взяты в качестве базиса {То, Бо} для подалгебры Картана К С £0(2, 2). Из оставшихся генераторов Т1, Т2, Б1 и Б2 сформируем следующие линейные комбинации:

Т+ = Т1 + ¿Т2, Т- = Т1 - ¿Т2,

Б+ = Б1 + гБ2, Б- = Б1 - гБ2,

которые образуют линейно независимое множество генераторов Вейля алгебры £0(2, 2). Таким образом, базис Картана-Вейля подалгебры £0(2, 2) имеет вид

{То, Бо, Т+, Т-, Б+, Б-} . (20)

Генераторы базиса (20) удовлетворяют соотношениям

[То, Т+] = -Т+, [То, Т-] = Т-, [Т+, Т-] = -2То,

[Бо, Б+] = -Б+, [Бо, Б-] = Б-, [Б+, Б-] = -2Бо,

Т Б, ] = 0 (г,;/ = +,-, 0).

Корни генераторов Вейля Т±, Б± образуют компоненты 2-мерного корневого вектора а = (а1 ,а2), который может быть позиционирован в 2-мерном весовом пространстве, образованным плоскостью (То, Бо). Для данной реализации подалгебры £0(2, 2) корневые векторы имеют вид

а(Т+) = (1,0), а(Т-) = (-1,0),

а(Б+) = (0,1), а(Б-) = (0,-1).

Легко видеть, что корневая и весовая диаграммы алгебры £0(2, 2) аналогичны соответствующим диаграммам алгебр £[(2, С) и £0(4) (см. рис. 1-4).

В свою очередь, с 1_12 (Ц) не имеют общих индексов следующие элементы: 1_34, Ьз5, Ьзб, Ь45, Ь46 и Ь56, соответствующие генераторам Аз, Вз, Гз, А2, А1 и А3. Поскольку все эти генераторы коммутируют с 1_3, все они могут быть позиционированы в (А3, А3)-плоскости. Эти генераторы образуют линейные комбинации

Р1 = 1/2 (-Ьз5 - Ь4б) , Р2 = 1/2 (Ь45 - Ьзб) , Ро = 1/2 (-Ьз4 - Ь5б) , (21)

01 = 1/2 (Ьз5 - Ь4б) , 02 = 1/2(Ь45 + Ьзб) , 0о = 1/2 (Ьз4 - Ь56) (22) (см. генераторы (12) и (13) базиса Яо в [5]). Легко проверить, что

[Р1, Р2] = гРо, [Р2, Ро] = -¿Р1, [Ро, Р1] = -¿Р2,

[01, 02] = г0о, [О2, 0о] = -¿01, [Оо, 01] = -г02, [Рг, 0,] = 0 (г,;/ = 0,1, 2).

Отсюда следует, что генераторы Р» и 0г взаимно коммутируют и образуют две независимые алгебры Ли £0(2,1). Как и в предыдущем случае (плоскость (Ь3, А3)), имеем изоморфизм£0(2, 2) ~ £0(2,1) ф£0(2,1). В свою очередь, для плоскости (А3, А3) имеем два генератора Картана Ро и 0о, образующих базис {Ро, 0о} подалгебры К С £0(2, 2).

Далее, из оставшихся генераторов Р1, Р2, 01 и 02 образуем следующие линейные комбинации:

Р+ = Р1 + гР2, Р- = Р1 - гР2, 0+ = 01 + ¿02, 0- = 01 - ¿02,

определяющие генераторы Вейля для данной реализации алгебры £0(2, 2) (плоскость (А3, А3)). Базис Картана-Вейля в этом случае имеет вид

{Ро, 0о, Р+, Р-, 0+, 0-} . (23)

Как и в предыдущем случае, генераторы базиса (23) удовлетворяют соотношениям [Ро, Р+] = -Р+, [Ро, Р-] = Р-, [Р+, Т-] = -2Ро, [0о, 0+] = -0+, [0о, 0-] = 0-, [0+, 0-] = -20о,

[Рг, О,] = 0 (м = +,-, 0). Откуда для корневых векторов в плоскости (Ро, Оо) получим

а(Р+) = (1,0), а(Р-) = (—1,0),

а(О+) = (0,1), а(О_) = (0,-1).

Соответствующая корневая структура тождественна предыдущей реализации алгебры во(2,2) с заменой генераторов То, Бо, Т±, Б± на Ро, Оо, Р±,

5. Корневая диаграмма алгебры во (4,2)

Проведённый выше анализ корневой структуры подалгебр во (4) и во(2, 2) алгебры во(4, 2) в каждой из ортогональных плоскостей (Ц, А3), (Ц, А3) и (А3, Д3) позволяет теперь собрать вместе все результаты и построить корневую диаграмму для алгебры во (4, 2).

Полное число генераторов подалгебр во(4) и во(2, 2) равно 18. Однако генераторы К3, J3, То, Бо, Ро и Оо не являются линейно независимыми, поскольку уцовле-творяют соотношениям

Jз - К3 = Ро - Оо, Jз + К3 = Бо - То, Ро + Оо = Бо + То. (24)

Следовательно, совокупность 18 генераторов задаёт избыточную систему, из которой можно получить базис алгебры во(4, 2), исключив три генератора 1_3, А3, А3 с помощью (24). Это сводит число генераторов до 15, как и должно быть для алгебры во(4, 2).

Как уже отмечалось выше, три коммутирующих генератора 1_3, А3 и А3 являются генераторами Картана подалгебры К с во (4, 2), К = Щ, А3, А3}. Они образуют базис трёхмерной ортогональной системы и располагаются в начале координат корневой диаграммы. Наряду с оставшимися 12 генераторами Вейля К±, J±, Т±, Б±, Р±, О± они образуют базис Картана-Вейля для алгебры во(4, 2):

{1_з, Аз, Аз, К+, К-, J+, J-, Т+, Т-, Б+, Б-, Р+, Р-, О+, О-} .

Пусть общими символами И (г =1 ^ 3) и Ба (а = 1 ^ 12) обозначены различные генераторы Картана и Вейля алгебры во(4, 2). В порядке расположения различных генераторов Ба на корневой диаграмме корни а^ каждого Б» должны определяться относительно трёх генераторов Картана согласно общему определению

[Иг, Ба] = «¿Ба, У = 1, 2; а =1 ^ 4.

В предыдущих параграфах корни определялись относительно К3, J3, То, Бо и Ро, Оо, а не относительно 1_3, А3 и А3. Следовательно, новые корневые векторы имеют вид

а(К+) = (+1, +1,0), а(Б+) = (+1,0, +1), а(Р+) = (0, +1, +1), а(К_) = (-1,-1,0), а(Б-) = (-1,0,-1), а(Р-) = (0,-1,-1),

а^+) = (+1,-1,0), а(Т+) = (+1,0,-1), а(0+) = (0, +1,-1),

а(^) = (-1, +1,0), а(Т-) = (-1,0, +1), а(0-) = (0,-1, +1),

а(Ьз) = (0,0,0), а(Аз) = (0,0,0), а(Аз) = (0,0,0).

Очевидно, что четыре генератора К+, К-, и+, ^ приводят к корневой диаграмме алгебры £0(4) с вершинными точками (±1, ±1) в (Ь3, А3)-плоскости (соответственно (К3, ^-плоскости). Аналогично генераторы Т+, Т-, Б+, Б- и Р+, Р-, 0+, 0-приводят к подобным корневым диаграммам алгебр £0(2, 2) в плоскостях (Ь3, А3) (соответственно (То, Бо)) и (А3, А3) (соответственно (Ро, 0о)).

Таким образом, представление 15 генераторов на корневой диаграмме алгебры £0(4, 2) состоит из трёх генераторов Картана и трёх квадратов в трёх перпендикулярных плоскостях, образованных генераторами Вейля. На Рис. 5 для наглядности вершины этих трёх квадратов совмещены с осями X = К3 - То + Ро ^ 1_3, У = - Ро + Бо ^ А3, Ъ = -Бо - 0о + К3 ^ А3. При повороте на 45° относительно друг друга эти вершины (генераторы Вейля) образуют кубоктаэдр (см. [7,20]).

Рис. 5. Корневая диаграмма алгебры Ли 50(4, 2)

6. Весовая диаграмма алгебры £0(4, 2)

Перейдём к построению весовой диаграммы алгебры£0(4, 2). Весовое пространство определяется тремя генераторами Картана 1_3, А3 и А3, которые служат базисом трёхмерной ортогональной системы координат. Горизонтальная плоскость, образованная генераторами 1_3 и А3, включает различные ЯО(4)-многообразия. В п. 3 эти многообразия определяются относительно генераторов К3 и и3, которые в настоящей диаграмме соответствуют диагональным направлениям в силу их определения, следующего из (12), (13):

Кз = 2^з + Аз), из = 1 (Ьз - Аз).

Вертикальное направление, образованное собственными значениями оператора А3, добавляет к многообразию радиальный лестничный оператор.

Графическое изображение весовой диаграммы, показанное на рис. 6, напоминает четырёхгранную пирамиду, перевёрнутую вверх ногами и отражённую от плоскости (Ц, А3). Эту конструкцию будем называть ЯО(4, 2)-башней. Каждый заданный этаж ЯО(4, 2)-башни характеризуется главным квантовым числом и. Горизонтальные полосы (этажи) соответствуют различным /-подоболочкам, а точки являются индивидуальными т-компонентами (конечномерными представлениями группы ЯО(4, 2)). Проекцией четырёхгранной пирамиды, изображённой на рис. 6, на плоскость (Ь3, А3) является конус представлений группы ЯО(4) (весовая диаграммы алгебры во(4)). В свою очередь, проекции ЯО(4, 2)-башни на плоскости (Ц, А3) и (А3, А3) приводят к весовым диаграммам для подалгебр во(2, 2). Конечномерные

представления т1 г-п группы ЯО(4, 2) реализуются в симметрических пространствах Яуш^ ^р) размерности

а1т8ут(Л>^р) = + 1)(г + 1)(р + 1).

С каждым узлом весовой диаграммы на рис. 6 ассоциирована следующая массовая формула:

т=2т"(<+2) ('+2) +2) ■ (25)

где тн - относительная атомная масса водорода. Вывод формулы (25) аналогичен выводу массовой формулы (11), см. [15,16], которая является частным случаем (25) при V = 0 и тн ^ гае, т. е. при редукции конформной группы ЯО(4, 2) к её подгруппе Лоренца ЯО(3,1).

Литература

1. Варламов В.В. Теоретико-групповое описание периодической системы элементов // Математические структуры и моделирование. 2018. № 2 (46). C. 5-23.

2. Варламов В.В. Теоретико-групповое описание периодической системы элементов. II: Таблица Сиборга // Математические структуры и моделирование. 2019. № 1 (49). C. 521.

3. Варламов В.В. Теоретико-групповое описание периодической системы элементов. III: 10-периодическое расширение // Математические структуры и моделирование. 2019. № 3 (51). C. 5-20.

4. Varlamov V.V., Pavlova L.D, Babushkina O.S. Group Theoretical Description of the Periodic System// Symmetry. 2022. Vol. 14. Art. 137.

5. Варламов В.В. Теоретико-групповое описание периодической системы элементов. IV: Групповая алгебра // Математические структуры и моделирование. 2024. № 1 (69). C. 18-31.

6. Humphreys J. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. New York; Berlin: Springer, 1978.

7. Hall B. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations. New York; Berlin: Springer, 2015.

8. Barut A.O. Group Structure of the Periodic System // The Structure of Matter: Rutherford Centennial Symposium / Ed. by B.G. Wybourne. Christchurch, New Zeland: University of Canterbury Press, 1972. P. 126-136.

9. Yao T. Unitary Irreducible Representations of SU(2,2). I // Journal of Mathematical Physics. 1967. Vol. 8. P. 1931-1954.

10. Knapp A.W. Representation Theory of Semisimple Groups. Princeton: Princeton University Press, 1986.

11. Varlamov V.V. Relativistic spherical functions on the Lorentz group // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2006. Vol. 39. P. 805-822.

12. Varlamov V.V. Spinor Structure and Internal Symmetries // Int. J. Theor. Phys. 2015. Vol. 54. P. 3533-3576.

13. Варламов В.В. Квантование массы и группа Лоренца // Математические структуры и моделирование. 2017. № 2 (42). C. 11-28.

14. Varlamov V.V. Lorentz Group and Mass Spectrum of Elementary Particles // arXiv. 2017. arXiv:1705.02227.

15. Варламов В.В. О квантовании массы // Метафизика. 2023. № 1 (47). С. 115-134.

16. Varlamov V.V. Group Theory and Mass Quantization // arXiv. 2023. arXiv:2311.16175.

17. Varlamov V.V. General Solutions of Relativistic Wave Equations // International Journal of Theoretical Physics. 2003. Vol. 42. P. 583-633.

18. Varlamov V.V. General Solutions of Relativistic Wave Equations II: Arbitrary Spin Chains // International Journal of Theoretical Physics. 2007. Vol. 46. P. 741-805.

19. Varlamov V.V. Spinor Structure and Matter Spectrum // International Journal of Theoretical Physics. 2016. Vol. 55. P. 5008-5045.

20. Thyssen P., Ceulemans A. Shattered Symmetry: Group Theory from the Eightfold Way to the Periodic Table. New York: Oxford University Press, 2017.

GROUP THEORETICAL DESCRIPTION OF PERIODIC SYSTEM OF ELEMENTS.

V: WEIGHT DIAGRAM

V.V. Varlamov

Dr.Sc. (Phys.-Math.), e-mail: [email protected]

Siberian State Industrial University, Novokuznetsk, Russia

Abstract. The root structure of the subalgebras of the group algebra of a conformal group in the framework of a twofold covering is analyzed. Based on the analysis, the Cartan-Weyl basis of the group algebra is determined. The root and weight diagrams are constructed. A mass formula associated with each node of the weight diagram is introduced.

Keywords: conformal group, group algebra, Lorentz group, Cartan subalgebra, Weyl generators, root structure, weight diagram, mass formula.

Дата поступления в редакцию: 10.04.2024