CC BY
48
____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 156, кн. 4 Физико-математические науки
2014
УДК 539.3
ТЕОРЕТИКО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСРЕДНЕННЫХ УПРУГИХ И ПРОЧНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СКЛАДЧАТОГО ЗАПОЛНИТЕЛЯ В ВИДЕ М-ГОФРА
В.Н. Паймушин
Аннотация
Построено приближенное аналитическое решение прямой задачи по определению осредненных упругих и прочностных характеристик складчатого заполнителя в виде М-гофра при растяжении и сжатии в поперечном направлении и сдвиге в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Полученные формулы для их определения, кроме основных физико-механических и геометрических определяющих параметров, содержат в себе безразмерные коэффициенты, подлежащие определению путем решения обратной задачи на основе результатов специально проводимых экспериментов в рамках использования теоретико-экспериментального метода А.В. Саченкова. Разработанная методика использована для определения исследуемых характеристик М-гофра, изготовленного из полимерной бумаги «NOMEX».
Ключевые слова: многослойные конструкции, заполнитель, складчатая структура, М-гофр, упругие и прочностные характеристики, энергетическое усреднение, пластина, устойчивость, критическая нагрузка, приближенные аналитические решения, структурные формулы, тест-образец, испытания, поперечное сжатие, сдвиг, идентификация.
Введение
В трехслойных и многослойных элементах конструкций в настоящее время, как правило, используются заполнители шестигранной сотовой структуры. Они являются предметом научных исследований в течение уже нескольких десятилетий. Результаты таких исследований освещены не только в научных статьях и монографиях [1, 2] и др., но и в различного рода изданиях обзорного и справочного характера ([3-5] и др.). Обеспечение необходимой несущей способности заполнителя, как наиболее слабого звена трехслойных конструкций, требует детального изучения его физико-механических характеристик, к которым в первую очередь относятся характеристики жесткости и прочности. При определении таких характеристик реальный заполнитель заменяется некоторой однородной по объему сплошной средой путем сведения исходной задачи к задаче определения усредненных характеристик на основе принципа эквивалентности реального и заменяющего его условного заполнителей [3, 4]. При такой замене реального заполнителя сплошной средой основными жесткостными характеристиками являются модуль упругости в направлении, перпендикулярном несущим слоям конструкции, и модули сдвига в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, а прочностными характеристиками - предельное напряжение при сжатии и предельные касательные напряжения при сдвигах в указанных плоскостях. Для заполнителя сотовой структуры формулы для определения указанных характеристик, отличающиеся от известных более точным описанием процессов поэтапного деформирования
60
ТЕОРЕТИКО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСРЕДНЕННЫХ... 61
и разрушения из-за потери устойчивости тех или иных стенок сот из четырех, составляющих ячейку периодичности, были получены в работе [6]. Все эти формулы, кроме основных определяющих параметров, содержат также безразмерные коэффициенты, которые являются корректирующими параметрами, подлежащими идентификации, исходя из данных специально проводимых экспериментов в рамках теоретико-экспериментального метода решения задач устойчивости пластин и оболочек А.В. Саченкова [7]. Этот метод ниже обобщается для определения жесткостных и прочностных характеристик заполнителя складчатой структуры в виде М-гофра [8, 9]. Для такого заполнителя простейшие модели деформирования при сжатии ранее были предложены в работах [9, 10] и др.
1. Постановка задачи осреднения
Вопросы изготовления и расчета многослойных (в частности, трехслойных) элементов конструкций с заполнителем сотовой структуры к настоящему времени достаточно хорошо изучены [1—6]. В последние два десятилетия был разработан ряд новых и весьма оригинальных технологических схем и процессов изготовления таких элементов конструкций, в которых в качестве заполнителей используются складчатые структуры (заполнители складчатой структуры) [8, 9]. Основным конструктивным признаком таких заполнителей является то, что они представляют собой многократно повторяющиеся комбинации из плоских тонкостенных элементов (граней), соединяемых между собой с образованием ребер. Их формообразование заключается в изгибе плоской заготовки толщиной t по сложной системе пространственно расположенных прямых линий, которые в процессе формообразования постоянно меняют свое взаимное расположение.
Одна из схем расположения линий изгиба плоской листовой заготовки показана на рис. 1, а, в соответствии с которой после окончания процесса формообразования получается складчатая структура высотой h, имеющая прямоугольные наклонные грани (стенки) размерами a, l и треугольные вертикальные стенки. Приведенные на рис. 1, а-в геометрические параметры связаны зависимостями
h
l = sin a, b = 2l cos a. (1.1)
При этом вертикальные стенки будут иметь толщину Д = 2t, если выполняется равенство
с = b, (1.2)
и толщину Д = 3t, если
с = 2b. (1.3)
Следовательно, структура рассматриваемого заполнителя полностью задается параметрами a, l, a и с, от которых при заданных упругих и прочностных характеристиках материала листовой заготовки и ее толщине t зависят осредненные упругие и прочностные параметры заполнителя.
На рис. 2 показан вид в плане сформированной структуры заполнителя для случая, когда с = b + d. У такой структуры каждая формирующаяся вертикальная стенка треугольной формы на периодически повторяющихся участках 1 — 9 — 4' —10 (рис. 1, б, вид сбоку) имеет толщину Д = 3t, а на участках 1 — 3' — 9 и 2 — 4' — 10 -толщину Д = 4t. Если d ^ b, то наличие участков 1 — 9 — 4' — 10, примыкающих к наклонным ребрам 2' — 3' и 1 — 2, при нагружении главным образом определяет механическое поведение вертикальных стенок заполнителя, наличие же участков типа 1 — 3' — 9 и 2 — 4' — 10 в первом приближении можно вообще не учитывать при описании механического поведения.
62
В.Н. ПАЙМУШИН
Рис. 1
Рассматриваемый заполнитель, как и сотовый, следует отнести к классу трансверсально-мягких [1-6], преимущественно воспринимающих в составе трехслойных конструкций нормальное напряжение растяжения-сжатия в направлении толщины h и поперечные касательные напряжения. При расчетах таких конструкций реальный заполнитель необходимо заменить некой однородной по объему сплошной средой, осредненные упругие и прочностные характеристики которой могут быть определены различными методами [2, 3]. Один из наиболее употребляемых основан на принципе энергетической эквивалентности работы реального и заменяющего его условного заполнителя, при использовании которого ниже дается вывод аналитических структурных формул для определения осредненных модулей упругости и предельных напряжений при растяжении-сжатии и сдвигах.
На рис. 2 в плоскости х01у показан вид в плане ABC0i выделенной из заполнителя ячейки периодичности (рис. 3) состоящей из двух наклонных стенок 1, 2, имеющих толщину t, и вертикальных стенок 3, 4, имеющих толщину Д/2. Ввиду весьма малой толщины листа t, а следовательно, и Д, считаем, что a + Д ~ a. Срединные плоскости a (k), к = 1, 2, отнесены к ортогональным декартовым координатам 01 х1 у1 и 02х2у2, причем ребро x1 = l первой стенки совпадает с ребром х2 = 0 второй стенки.
ТЕОРЕТИКО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСРЕДНЕННЫХ... 63
Рис. 2
Пространство выделенной ячейки периодичности отнесено к ортогональной декартовой системе координат 0i xyz, в которой 0 < x < b, 0 < y < a, 0 < z < h, плоскости y = 0 и y = a совпадают со срединными плоскостями вертикальных стенок 3 и 4, а также имеют место равенства
(1) (к) (1)
y = y1, e2 = e2 , e1 e1 7 = cos a, e3e1 7 = sin a,
(1.4)
(2) (2) 0 2-2 (к) n V 7
e3e1 7 = — sin a, e3e1 7 = cos 2a = cos a — sin a, e2e1 ' = 0,
где e1, e2, e3 - единичные орты пространственной системы координат 01 xyz, а e1k), e2k) - единичные орты плоской системы координат 0кХкyk , k = 1, 2.
Для описания механики деформирования введенных в рассмотрение пластинчатых элементов заполнителя в составе трехслойной конструкции введем ряд упрощающих предположений:
64
В.Н. ПАЙМУШИН
1) при нагружении стенок заполнителя до их потери устойчивости возникающее в них напряженно-деформированное состояние является безмоментным;
2) соединения стенок заполнителя между собой и с несущими слоями являются шарнирными;
3) все элементы заполнителя выполнены из изотропного материала с модулем упругости E и коэффициентом Пуассона v, для определения критических значений возникающих в них напряжений допустимо использование соотношений классической теории устойчивости тонких пластин.
Возникающие в сечениях xk = const, yk = const стенок 1, 2 векторы напряжений представим в виде
r(k)
Ak)r
(k)
■I
, (k) (k)
+ ohe2 ,
1, 2, k = 1, 2,
г
(1.5)
а для векторов перемещений u(k) точек M(k) {x(k), y(k)) € a(k) примем представления
u(k) = u(k)ek + v(k)e2,k) + w(k')m(k'), (1.6)
(k) (k) (k)
где m(k) = e1 x e2 - единичные векторы нормалей к плоскостям o(k).
В линейном приближении компоненты векторов (1.6) с компонентами деформаций стенок 1, 2 связаны зависимостями
(k) = ди(к) т
£п = dxk ’ £22
dv(k) dyk ’
2e
(k)
12
du(k) dv(k)
dyk dxk ’
(1.7)
в которых компоненты деформаций связаны с компонентами напряжений oj) соотношениями обобщенного закона Гука
o
(k)
11
E
1 — v2
(k)
£1i + ve
(k)
22
o(k)
o22
E
1 — v2
(k) (k)
e22 + ve11
o(k)
o12
E e(k) 1 + vei2 ■
(1.8)
В сечениях x = const, z = const вертикальных стенок 3, 4 при нагружении за-
(s)
полнителя возникают напряжения oh
0(s)
o33 ,
o(3), s = 3, 4, составляющие векторы
a
(s)
1
(s) , (s)
oli ei + o13ез,
(s) = (s)
(s)e
a3 = o13 e1 + o33 e3-
(1.9)
Векторы перемещений точек их срединных плоскостей y = 0 и y = а представим в виде разложений
u
(s)
u(s)e-|_ + v(s) e2 + w(s)e3, s
3, 4.
(1.10)
Через компоненты этих векторов формирующиеся компоненты деформации определяются зависимостями
при этом
(s) _ du(s) e11 = dx
(s) dw(s) (s) du(s) dw(s)
e33 = ~д^' 2e13 = ^ + ^x~
(1.11)
o
(s)
11
E
1 — v2
(s)
e11 + ve
(s)
33
(s)
o33
E
1 — v2
(s)
(s)
e33 + ve11
(s)
o13
E e(s)
1 + ve13 ■
(1.12)
В пространстве выделенной ячейки периодичности V вектор перемещений u некоторой точки M € V представим разложением
u = ue1 + ve2 + we3.
(1.13)
ТЕОРЕТИКО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСРЕДНЕННЫХ... 65
Через компоненты вектора перемещений необходимые в дальнейшем кинематические соотношения запишутся в виде
£z
dw du dw dv dw
~Ъ , Yxz "5 1 я , Yvz я I я ,
dz dz dx dz dy
(1.14)
которые с ненулевыми для трансверсально-мягкого заполнителя осредненными напряжениями связаны соотношениями упругости
Oz
Ez £z 7
Txz
Gxz Y
xz 7
Tyz
GyzYyz.
(1.15)
Здесь Ez, Gxz, Gyz - подлежащие определению осредненные упругие характеристики заполнителя, характеризующие его жесткости на растяжение-сжатие в направлении оси z и сдвиги в плоскостях xOiz и yOiz.
Для потенциальной энергии деформации элементов заполнителя в рамках принятых допущений будут иметь место выражения
a l
п
(к) (к) 0 (к) (к) (к) (к)
Oil е11 + 2o12 е12 + а22 £22 I ахк
(к) 0 0
b h
) ахк аук, k = 1,2,
П = Д/ I (а11) e1S1) + 2ois е13 + O33) s е3з) ах аУ7 s = 3,4
(s)
(1.16)
(1.17)
00
а через осредненные компоненты напряжений и деформаций потенциальная энергия деформации заполнителя с осредненными упругими характеристиками будет определяться выражением
bah
П
(oz £z + Txz Yxz + Tyz Yyz) ах ау аz.
000
1
2
(1.18)
В силу принципа эквивалентности работы реального и заменяющего его условного заполнителей имеет место равенство
П = П+П+П+П- <1Л9>
(1) (2) (3) (4)
исходя из которого, мы определяем осредненные характеристики Ez, Gxz и Gyz. Для их определения можно составить также равенства вида
Л д
b a
S= 2
— j a(s) ах + tj а(1) ах1 — tj а(2)
а,х2 =
&3 ах ау,
(1.20)
00
b
a
a
где
а3 = Txz e1 + Tyz e2 + Oz e3
(1.21)
есть вектор напряжений в сечении z = const осредненного заполнителя, которому в стенках 3, 4 соответствуют сечения z = const с векторами напряжений a3s),
в стенках 1 и 2 - сечения х1 = const с вектором напряжений и х2 = const
(2)1 с вектором напряжений — а1 .
66
В.Н. ПАЙМУШИН
2. Построение приближенного решения задачи
Предположим, что сечение z = h заполнителя с осредненными характеристиками при нагружении через верхний несущий слой получает перемещение
uo = uo ei + vo e2 + wo e3, (2.1)
где uo, vo, wo - постоянные в пределах рассматриваемой грани заполнителя перемещения, а сечение z = 0 остается неподвижным. Поэтому в объеме ячейки периодичности для вектора u примем аппроксимацию
zz
u = u (z) = - uo = - (uo ei + vo e2 + wo ез), hh
(2.2)
в соответствии с которой перемещения вертикальных стенок 3 и 4 будут равны
(s)
При этом в силу (1.11)
>)
е11 -
- uo, v
h
As) = wo
(s)
0 F(s) = zo 0F(s) = zo.
u, eQQ --- , , ^1Q ---- ,
- vo, w h
(s) = uo
- wo. h
s = 3, 4.
^ ~ h ’ "C13 h
Для векторов перемещений вертикальных стенок примем аппроксимации
u(1) = —1 uoi), u(2) =(l - —f) uo2),
(2.3)
(2.4)
(2.5)
где uo1) - вектор перемещений точек ребра Х1 = I первой стенки, а Ц2) - аналогичный вектор ребра Х2 = 0 второй стенки. Так как эти ребра лежат в плоскости z = h, то при совместном деформировании векторы и uo должны быть подчинены равенствам
uo = uo1)
(2) (k) (k) . (k) (k) . (k) (k)
!0 = uo 'el + vo 4 + wo ^e3
3e1 + voe2 + woe3, k = 1, 2. (2.6)
Умножая их на e1k) и e2k), с учетом формул (1.4) получим зависимости
(k)
(1)
uo cos a + wo sin a, u,
(2)
uo cos a — wo sin a, vo
(1)
„(2)
vo,
'(1) = —1 (uo cos a + wo sin a),
следовательно, u(
u(2) = ^1----^) (uo cos a — wo sin a), v(2) = ^1----^ vo.
При этом согласно (1.7)
(1) 1 (1) (1) vo
еЦ = — (uo cos a + wo sin a), е22 = 0, 2e\2 = —,
(1) x1 v 1 = — vo,
(2)
(2.7)
(2.8)
l
l
(2) 1 (2) (2) vo
еЦ = — i (uo cos a — wo sin a), е22 = 0, 2е^ = ——.
(2.9)
а в соответствии с принятой аппроксимацией (2.2) компоненты вектора u будут равны
u = ^ uo, v = ^ vo, w = ^ wo,
следовательно,
e(s) = wo
е33 = h,
2e(s) = uo 2е13 = h ,
Yyz
vo
h
(2.10)
(2.11)
z
z
z
u
o
o
o
z
z
z
Y
z
xz
ТЕОРЕТИКО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСРЕДНЕННЫХ... 67
3. Модули упругости и характеристики прочности при растяжении и сжатии в поперечном направлении
Растяжение. Предположим, что при растяжении в направлении оси z точки грани z = h ячейки периодичности получили перемещения w (x, y,z = h) = wo = = const, uo = vo = 0. Так как в рассматриваемом случае
wo
zz
z
h
wo
£z — h , Y'xz — Yyz — °I
то из (1.18) получим
п
п
ab
2 ® z wo,
wo
2 z h'
Имея в виду, что для стенок 3 и 4 при wo = 0
>) = wo
£33 = h,
Ss)
'11
0, 2e(is3) = 0,
в силу соотношений
а
(s)
33
(s)
1- V2 £33
E wo (s)
1 - V2 h , а11
(s)
Va33
в соответствии с (1.17) получим
ПДЬ (s)
= -4 а33 wo,
(s)
т—г ДЬ E w2
4 1 — V2 h
(s) -
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
Для наклонных стенок 1 и 2 в силу uo = vo = 0 выражения (2.9) принимают вид
П (3.7)
Следовательно, с учетом формул (1.8)
е 11) = £ 11 = w sin а = h sin2 а, 2е 12) = 2е1^) = 0.
1) 2) E wo 2 1) 2) 1) 2)
а11 = ап = 1 _ 2 -4 sin а а22 = а22 = Va11 = Va11,
(3.8)
и в соответствии с (1.16)
п
(к)
п
(к)
ta (к) — аЦ wo sin а, (3.9)
ta E w;2 3 ~ —— sin а. 2 1 — v 2 h (3.10)
В дальнейшем верхними индексами (I), (II) будем обозначать величины, относящиеся к I и II этапам соответственно, индексами “+” и - соответственно величины, относящиеся к растяжению и к сжатию.
68
В.Н. ПАЙМУШИН
Из равенства (1.19) при подстановке выражений (3.1), (3.5) и (3.9) следует зависимость
Д r(3) + 2^(1) siT a
Oz = — o\J + ~ba1i sin a,
(3.11)
а при подстановке выражений (3.2), (3.6) и (3.10) для определения осредненного модуля упругости заполнителя получаем формулу
Ez — ЕЯ+ —
E
Д 2t
----+ — sin3 a I .
3
В рассматриваемом случае уравнение (1.20) в силу
(в).
Лк)
Лк)„(Е
из — Ozез, из — O33 ез, иi — е1
(3.12)
принимает вид
Д
(3)
(1) (1)
Oz ез — a o33 ез + ^ оЦ (е^ - е1
(2)
из которого с учетом формул (1.4) следует равенство (3.11). Так как в соответствии с выражениями (3.4) и (3.8) имеет место зависимость
(к)
(s) • 2
oli — озз sin a
то полученное равенство (3.11) принимает вид
3—~+bem'
f Д 2t .
(3.13)
(3.14)
t
Поэтому при si^ a ~ e, где e - некоторая малая величина по сравнению с единицей, будет иметь место приближенная зависимость
Oz ~ ДОи, (3.15)
указывающая, что при растяжении заполнителя в направлении оси ^, если wo > 0, то в первую очередь разрушаются вертикальные стенки ячейки периодичности. По четвертой (энергетической) теории прочности такое разрушение возможно при выполнении равенства
о$)2 + Of2
(s) (s)
- O1l O22 — OP,
(3.16)
где ор - предел прочности материала заполнителя при растяжении. Это равенство с учетом формул (3.8) принимает вид
O(s) — оР
11 ^T-V+V2
(3.17)
Следовательно, предельное осредненное напряжение заполнителя о*+, при достижении которого происходит начальное разрушение заполнителя, в силу (3.14) и (3.17) будет равно
а
*+
z
ор (Д 2t з
—, p ------------+ — sm-^ a
\J(1 - v + v2)\ a b
(3.18)
ТЕОРЕТИКО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСРЕДНЕННЫХ... 69
а для определения предельной деформации заполнителя (wo/h)*+ согласно (3.4) и (3.17) приходим к формуле
р*+ = (wo У+ = (! ~ v2 aP
z v h) eVT—VTV2
(3.19)
Дальнейшее поведение зависимости az = az (ez) = Ezwo/h определяется способом нагружения заполнителя на растяжение. Если нагружение является кинематическим, то при достижении деформации значения е*+ = (wo/h)*+ происходит скачкообразное падение уровня осредненного напряжения, для которого после разрушения вертикальных стенок вместо (3.11) должно выполняться равенство
&z
2t (i) .
— аЦ sin a.
(3.20)
При этом равенством
а
ZZ +
z
2t
~b
E
1 — v2
sin2
a
wo\*+
h )
2t a p
b V1 — v + v2
(3.21)
будет определяться значение осредненного напряжения az, до которого оно скачкообразно падает. При дальнейшем нагружении заполнителя процесс деформирования в соответствии с зависимостью az = EjII)+wo/h будет происходить с осред-ненным модулем упругости
Ez = Е(и)+
2Et
b (1 — v2 )
. 3
sin a.
(3.22)
Если нагружение заполнителя является силовым, то в силу сохранения достигнутого уровня осредненного напряжения a*z+ с учетом (3.20) и (3.8) должно быть выполнено равенство
z+ 2t Е • 3 fwo\
az = b sin Л~н)
zz +
Д 2t 3
----+ — sin a ,
V1 — v + v2 \ a b
откуда определяется значение деформации
+ (wo ^zz+ bap (1 — v 2) (Д , 2t . 3
£z 1 =
h
2tEj 1 — v + v2 \ a b
----+ — sin3 a ,
(3.23)
(3.24)
до которого оно скачкообразно должно увеличиться. Дальнейшее поведение зависимости az = az (ez) должно происходить согласно(3.20), а значит,
2t Е 3 wo
az = -т i2 sin a— b 1 — v2 h
до достижения равенства
то есть до значения
ap E 2 (wo \zzz+
, ---- = ------7T sin2 a —— '
V1 — V + v2 1 — V2 V h
( wo \zzz+ (1 — v2) ap
\ h ) E sin2 aV1 — v + v2
При этом в соответствии с (3.25) должно выполняться равенство
***+ 2t . ap
a z + = — sin a
b V1 — v + v2
(3.25)
(3.26)
(3.27)
(3.28)
a
p
70
В.Н. ПАЙМУШИН
Рис. 4
Сравнивая (3.18), (3.21) и (3.28), можно видеть, что
az ^ <GZ^ < aj. (3.29)
Следовательно, предельное растяжение заполнителя возможно только до значений а*+ и £*+ с модулем упругости Е(1+, то есть на участке 0A диаграммы деформирования az = az (sz) при растяжении (рис. 4). Очевидно, по такой же диаграмме деформирования должен происходить процесс растяжения заполнителя до разрушения не материала его стенок, а адгезионного слоя, соединяющего верхние и нижние ребра с несущими слоями трехслойного пакета. При этом осредненное напряжение az на диаграмме может дойти только до уровня а+, то есть до точки C (рис. 4), а ниспадающие ветви диаграммы растяжения должны идти по траектории CB, а не AB.
Сжатие. При w0 < 0 все четыре стенки заполнителя оказываются в условиях сжатия (рис. 5). Следовательно, его предельная несущая способность будет определяться потерей устойчивости стенок. На рис. 5 изображены расчетные схемы для наклонных стенок 1, 2 (рис. 5, а), находящихся в условиях двухстороннего сжатия, и две возможные расчетные схемы для вертикальных стенок 3, 4 (см. рис. 5, б, в), из которых схема 5, б соответствует треугольной пластине толщиной А, для которой ребра у к = 0, у к = а наклонных стенок служат в качестве опорных, а схема 5, в соответствует нагружению вертикальных стенок после потери устойчивости наклонных стенок.
Если все четыре кромки наклонных стенок считать шарнирно опертыми, то при Ф(к) = а^/a^ = v критическое значение напряжения аЦ будет определяться
ТЕОРЕТИКО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСРЕДНЕННЫХ... 71
по формуле
а
(к)* 11
K(k)
п2Е
12(1 - v2)
K(к)
п2Е
12(1 - v2)
. 2
sin2 а
(3.30)
где принято во внимание равенство l = h/ sin а, а через Klk) = Klk) (А, v) обозначен безразмерный параметр критической нагрузки, зависящий от удлинения А = l/a и параметра ф(к) = v.
Для боковых стенок 3 и 4 для определения критических значений напряжения а33) по аналогии с формулой (3.30) можно записать формулы
a(s)* = к1
а33 = Kz
п2Е (Д
12(1 - v2) V h ) 1
a(s)* = K
а33 = K
2 п2Е (Д
12(1 - v2)\ h J ’
2
2
(3.31)
(3.32)
в которых безразмерные коэффициенты KZ, и K1 соответствуют схемам 5, б и 5, в. Из них коэффициент K2Z , как и коэффициент Klk) в формуле (3.30), при v = 0.3 в соответствии с известными классическими решениями [11] находится в пределах 3 < Kl < 4, а в случае равностороннего треугольника, когда а = 600, можно принять KZ, ~ 4.
При сжатии заполнителя до потери устойчивости или вертикальных, или наклонных стенок его деформирование происходит, когда модуль упругости Е(1^ равен E(1^+, определяемому по формуле (3.12). Такое деформирование продолжается до тех пор, пока не будет выполнено вытекающее из (3.4) и (3.31) (или (3.32)) равенство
wo
h
т2
Kz 12 l h
2
(3.33)
или вытекающее из (3.8) и (3.30) равенство
г
*—
z
wo\ *-h J
Kk t( t
12 h
2
(3.34)
Так как t < Д, то сначала происходит потеря устойчивости наклонных стенок 1, 2, когда деформация wo/h достигает значения (wo/h) (формула (3.34),
рис. 4). При этом вертикальные стенки 3 и 4 освобождаются от наклонных ребер, и дальнейшие построения необходимо проводить по расчетной схеме 5, в. В силу формулы (3.11) при wo/h = (wo/h)* должны быть выполнены равенства
а„ = —
Д E /wo
a 1 — v2 V h
Д E
w i . (k)*
— + — а1/ sin а
2t
~ъи 11
K{k) 12 +2t sin3 kK^
a 1- v2 l 12 V h
п2Е
Klk)
n2 E
12 (1 — v2) \h J \a h
12(1 - v2) \h
Д t
----+ — tg а sin3 а), (3.35)
2
t
2
t
полученные с учетом формул (1.1), (3.4) и (3.30). При сжатии дальнейшее деформирование заполнителя после потери устойчивости наклонных стенок также определяется способом нагружения. Если нагружение кинематическое, то при достижении деформацией значения (wo/h)* в соответствии с (3.11) и равенством аЦ = 0
72
В.Н. ПАЙМУШИН
осредненное напряжение az с уровня а* должно упасть до уровня (рис. 4)
- Д * (^Г = KXk - (hV • (3.36)
z a 1 — v2 \ h J x 12 (1 — v2) a \h J
Дальнейшее нагружение заполнителя будет происходить в случае зависимости
-
(3)
az — а33 —
— Е wo
(3.37)
(3.38)
a a 1 — v2 h
с осредненным модулем упругости заполнителя
Е(п)- — —E
z a (1 — v2)
до значения а,**- (рис. 4), определяемого равенством
— V-/- — .
a азз — Kz 12(1 — V2) a \ h
Сравнивая формулы (3.35) и (3.39), можно видеть, что а***- > а*-, так как для рассматриваемых заполнителей
— a(s)* — К2 п2Е — (— V
a а33 — Kz 12(1 — v2) a •
(3.39)
Л2 (—
h) Л h
2
— t 3 —
---+ — tg a sin3 а ~ — •
a h a
(3.40)
Если нагружение заполнителя является силовым, то после потери устойчивости наклонных стенок в силу а(1) — 0 должно быть выполнено равенство
*- — — Е (wo)**-az — a 1 — v2 V h) ’
из которого, применяя формулу (3.35) для определения (wo/h)** , получим
п2 f t\ 2 (_ ta
12 U.
- — (тГ — Kx‘> ^ sin3 *)• (3.4!)
При этом поперечная деформация заполнителя ez с уровня е*- — (wo/h)* скачкообразно увеличивается до уровня е**- — (wo/h)** (рис. 4), а дальнейший ее рост происходит согласно (3.37) с модулем упругости (3.38) до значения а***-, определяемого по формуле (3.39). В момент окончательного разрушения заполнителя должно быть выполнено равенство
E(II)
^ Z
wo)***- — Д _(s)* — K2 п2Е — f — \ h J — a<T33 — z 12(1 — v2) a \ h)
откуда с учетом (3.38) выводим формулу
***-е z
K2 — ( — z 12 V h
2
(3.42)
служащую для определения предельного значения поперечной деформации заполнителя при его окончательном разрушении.
Заметим, что во всех полученных расчетных формулах, используемых для определения а*-, е*-, е**-, а***-, е***-, присутствуют параметры кХк и К. Исходя из результатов теоретических исследований устойчивости пластин, можно утверждать, что их значения находятся в пределах 3 < кХк), К < 4. Эти значения могут быть найдены (и уточнены), исходя из результатов специально проведенных экспериментов, если ориентироваться на использование теоретико-экспериментального метода А.В. Саченкова [7] и многочисленные примеры его применения для решения разнообразных задач теории устойчивости пластин и оболочек.
ТЕОРЕТИКО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСРЕДНЕННЫХ... 73
4. Модули упругости и прочностные характеристики заполнителя при сдвиге
Сдвиг в плоскости y0\z. Пусть v (x,y,z = h) = vo = const, uo = wo = 0. Тогда в соответствии с (2.4), (2.9) и (2.11) el's1) = е33) = 2е\3 = 0, следовательно, П = 0, а
(s)
(k) (k) п О (1)
е11 = е22 = ° 2е12
(2) v0 v0 .
—2е 12 = — = —sin а, 12 lh
0(k) = 0(k) =° 0(1) = _ 0(2) =
011 = 022 = °, 012 = 012 =
E
vo
°! Ixz = °J Yyz = h ,
2(1 + v) h
°, Txz = °, T
vo
— sin a,
G v0 yz — Gyz h ■
При этом
ta
"2"
(1)
П = “ a12' v0 = (1)
taE vo2
-------- sin a—,
4(1 + v) h
ab
П
(2)
ta
(2)
012 v0 =
taE
-7-----т sin a ,
4(1 + v) h
(4.1)
(4.2)
Ъ (4.3)
ab vo2
Паь ab vo
= T Tyz vo = T Ez If ■
2 ,yz^ 2~z h' (4.4)
В рассматриваемом случае подстановка выражений (4.3), (4.4) в равенство (1.19) дает зависимость
Tyz = b (al2) “ a12^ (4.5)
и формулу для определения осредненного модуля сдвига заполнителя
tE
Gyz = 2b (1 + v)
sin a ■
(4.6)
Причиной разрушения заполнителя в рассматриваемом случае является потеря устойчивости наклонных стенок в условиях чистого сдвига. В силу принятых предположениях об их шарнирном соединении и опирании кромок критическое напряжение сдвига определяется по формуле
(1)* = п-(2)* = к (k)
ю — —0 12 — Кт
п2Е
012
12(1 — v2) \l
Kk)-----nE-------sin2 а(-
Кт 12(1 — v2) a\h
(4.7)
где K(k) - безразмерный параметр критической нагрузки, для определения которой при Хт = a/l = 1/А > 1 можно пользоваться формулой [11]
K(k) = 5.34 + -3—.
At
(4.8)
При 0(2) = а1^ критическое значение деформации сдвига (vo/h)* будет равно
(1)
Ш * = K(k)
п2 ft
—-------- sin а —
6(1 — v) \h
(4.9)
Следовательно, для определения предельного значения осредненного напряжения Ty*z будет иметь место формула
T * = — 0(1)* = к(k)
Tyz b 012 _ Кт
п2Е
12(1 — v2) \h
— tg a sin2 а■
(4.10)
е
0
z
z
2
2
2
t
2
3
74
В.Н. ПАЙМУШИН
Сдвиг в плоскости x0\z. Пусть u (x,y,z = h) = uo, vo = wo = 0 .В рассматриваемом случае нагружения
е(1) = -е(2) = U0 = UO sin а е(к) = 2е(к) =0
e11 = e11 = i = h ЬШ а, Ь22 = 2e12 =0,
а(1) = _а(2) = E sin U0 а(к) = va(k) а(к) =0
а11 = <7ц = 2 sin J , а22 = va11 , а12 = 0,
1 — v2 h
(4.11)
о£ (1)
а4 ^
2
П = 2 а1г uo, (1)
п
(2)
at (2)
' О а11 U0,
п
(к)
at E щ
---------к sin а —
2 1 — v2 h
(s) (s) n 0 (s) u0 (s) (s) n (s) E u0
£ii = eW =0, 2eW = —, vW = о33 = 0, &W = 777——г ~r,
2(1 + v) h
'11 — e33
'13
П
(s)
h Ab
11 — а33
13
(s) =
Ab E uO
4 °13 u0 8 (1 + v) h
uo uo
ez - 0? Yyz -- 0? Yxz -- h , -- 0 Tyz - 0 TxZ -- Gxz h ,
ab
ab u
П= 2 Txzuo^n = 2 Gxz h'
2 “xz h
(4.12)
(4.13)
(4.14)
(4.15)
(4.16)
Подстановка выражений (4.12), (4.14) и (4.16) в равенство (1.19) приводит к зависимости
A ,04 t / „Ч ,0Ч\
(4.17)
xz xz
z = A + + b sin а (аЦ - о'2'1
11 - 11
и формуле
G = G(1) =________E___
xz xz 2(1 + v)
A 4t
a + b (1 — v)
2
sin2 а
E Г A 2t
2(1 + v) a + h (1 — v)
tg a sin2 а
, (4.18)
служащей для определения осредненного значения модуля сдвига заполнителя на рассматриваемой первой стадии его деформирования.
Как следует из (4.11) и (4.13), при сдвиге в плоскости x01z вторая наклонная стенка находится в условиях сжатия, стенки 3 и 4 - в условиях чистого сдвига. В силу того, что A > t, Kxk) < KT, а возникающие в них напряжения связаны зависимостями
а(к) 2 sin а a(s) а(к)
а11 \ 1- v а13 , а11
при выполнении равенства
(s) o
а 13 при а > 30 ,
а
(2)
11
а(2)*
аи
К2
x
n2E
12(1 - v2 )
2
sin2 а
E
-----^ sin а
1 v2
(4.19)
происходит разрушение второй наклонной стенки из-за ее потери устойчивости от сжатия. При этом критическое значение деформации y*z = (uo/h)* будет определяться по формуле
Y
*
xz
г2
12 V h
(hO^ - К(2)^ ( t | sma,
(4.20)
ТЕОРЕТИКО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСРЕДНЕННЫХ... 75
следующей из равенства (4.19). Используя эту формулу и учитывая выражения (4.11), (4.13), для определения критического значения r*z можно получить формулу
к(2)
п 2 E
12(1 + v)
t\ . /А 2 t . 2
— sin a------1-----— tg a sin а
h J \a 1 — v h
(4.21)
где 3 < K(2) < 4.
После разрушения второй наклонной стенки вместо (4.17) будет иметь место зависимость
А
+ 7 a 13 b
(II) А (3) . t . (1)
Txz = rx(z > = — a13 + T sin aaW =
E
2(1 + v)
А t
a + h (1 — v)
tg a sin a
а вместо (4.18) - формула
G — G(II) —
Gxz — Gxz —
E
2 (1 + v)
А t
a + h (1 — v)
tg a sin2 a
• <4-22>
(4.23)
где использованы формулы (1.1) и соотношения (4.11), (4.13), (4.15). При этом воспринимающая нагрузку ячейка периодичности будет состоять из первой наклонной стенки, работающей на растяжение, и двух вертикальных стенок толщиной А/2, имеющих форму параллелограмма (рис. 6) и работающих на сдвиг.
Для определения критического значения ^(3)* при потере устойчивости вертикальных стенок, исходя из результатов работы [12], можно записать формулу следующего вида:
а
(s)*
13
12
5.34 + 4 b2
D* \J 1 + cos2 a
1 + cos a
2
1 + cos2 a
(4.24)
где в силу (1.1) в рассматриваемом случае
l2
b2
1
4 cos2 a
DS
п 2 E
12 (1 — v2) sin4 a
п 2 E
12 (1 — v2) sin2 a
2
(4.25)
Процесс деформирования указанной ячейки периодичности так же, как и при сжатии, будет зависеть от способа нагружения. Если нагружение является кинематическим, то осредненное напряжение Txz с уровня rX^z падает до уровня,
76
В.Н. ПАЙМУШИН
определяемого по формуле
G (II4*
xz !x
G(H)
цо\*
h )
= K(2)
X
n2E
24(1 + v)
t
h
2
sin a
A t a + h (1 — v)
2
tg a sin2 a
(4.26)
Если же нагружение является силовым, то деформация yxz с уровня y*xz скачкообразно возрастает до уровня -у**. Для его определения должно быть составлено равенство t*z = G xZ^Yx* , откуда при учете формул (4.21) и (4.23) следует формула
У
**
z
G(II) G z
K2) П-K 6
t
h
2
sin a
A 2 t a 1 — v h
tg a sin2 a
A t
a + h (1 — v)
tg a sin2 a
(4.27)
__ _ _ _ 5k sk 5k
причем ясно, что yxz > yxz.
Процесс деформирования в соответствии с зависимостью (4.22) будет продол-
r (s) (s)z
жаться до тех пор, пока не будет выполнено равенство , которое в силу
(4.13) запишется в виде
E (ио\zzz = (s)* 2(1 + v)\ h) = ai3 ’
(4.28)
где <+)z определяется по формуле (4.23). Из (4.27) находится критическое значение деформации у xz :
,zzz = f «о 4zzz = 2gi3)z (1 + v)
xz V h J E
(4.29)
при достижении которого должно произойти разрушение вертикальных стенок от потери устойчивости. При этом в силу (4.22) критическое значение осредненного напряжения txz будет равно
zzz
1 xz
<s)z
а13
A t
a + h (1 — v)
tg a sin2 a
(4.30)
Формулу (4.23) можно записать в следующем структурном виде:
(5.34 4----о— ) V1 + cos2 a х
\ cos2 aJ
a(3)z = ют ( 5.34 +
1 + cos a
2
1 + cos2 a
n2E
12 (1 — v2) sin2 a у h
т) . (4.31)
где введен близкий к единице поправочный коэффициент жт . Так как при проведении физических экспериментов в момент разрушения фиксируются величины tz*,z и Y*x*, то при их использовании с учетом (4.30) и (4.31) подлежит идентификации коэффициент жт.
Следует отметить, что после разрушения вертикальных стенок в наклонной стенке будет сформировано растягивающее напряжение
а
( ) 11
E
1 — v2
sin a
ио\zzz
h
2
1 - V
a(s)z а 13
sin a,
(4.32)
ТЕОРЕТИКО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСРЕДНЕННЫХ... 77
Табл. 1
№ строки № образца 1 2 3 4 5 Средние значения
1 w0, мм 0.096 0.127 0.108 0.122 0.173 0.125
2 PZ, кг 669 762 623 523 731 662
3 & гэ 0.0060 0.0079 0.0067 0.0076 0.0108 0.0078
4 а*гэ, МПа 0.415 0.472 0.386 0.325 0.453 0.41
5 ЕЭ, МПа 69.2 59.7 57.6 42.8 41.9 54.2
6 Еэ, МПа 2570.2 2217.4 2139.4 1589.7 1556.3 2013.1
7 Епр/Е э 0.92 1.06 1.10 1.49 1.52 1.17
8 кэ 12.95 17.06 14.47 16.41 23.32 16.84
9 Кг 16.7 22.0 18.6 21.1 30.1 21.0
которое еще может и не достигнуть уровня avj %/1 — v + v2 . Тем не менее за момент окончательного разрушения заполнителя следует принимать потерю устойчивости от сдвига вертикальных стенок 3 и 4, ибо при этом для ребер х\ = 0 и х\ = = а оставшейся наклонной стенки 1 «исчезают» опоры на вертикальных стенках. Следовательно, диаграмма деформирования заполнителя при сдвиге в плоскости x0iz будет иметь структурный вид, показанный на рис. 7, где точками изображена кривая, наблюдаемая в экспериментах.
5. Экспериментальные исследования тест-образцов
и идентификация значений свободных безразмерных параметров
5.1. Сжатие заполнителя в поперечном направлении. С целью исследования соответствия принятых предположений о характере деформирования и разрушения ячейки периодичности заполнителя рассматриваемой структуры реальному процессу ее деформирования были проведены испытания на сжатие тестобразцов в виде плоских трехслойных пластин с заполнителем, содержащим в направлении оси х пять, а в направлении оси у - шесть ячеек периодичности. Заполнитель изготовлен по «ручной» технологии из непропитанной полимерной бумаги «NOMEX» толщиной t = 0.13 мм, являющейся в соответствии с данными работы [9] ортотропным материалом с модулями упругости Ei = 3.10 ГПа, E2 = 1.80 ГПа в двух взаимно перпендикулярных направлениях и осредненным коэффициентом Пуассона v = 0.25 + 0.3. Геометрические параметры ячейки периодичности заполнителя имели значения h =16 мм, а =22 мм, l = 20 мм, c =26 мм, так что согласно (1.1) sin а = 0.8, cos а = 0.6, b = 24 мм. В силу значительной толщины клеевой прослойки Sk между двумя слоями бумаги средняя толщина вертикальных стенок оказалась равной Д = 2t + Sk ~ 0.38 мм. При этом рабочие размеры испытываемых тест-образцов имели значения ai = 130 мм, а,2 = 124 мм.
На рис. 8 представлены экспериментальные диаграммы деформирования образцов в виде зависимостей P = P (wo), где P - действующее на образец усилие, wo -взаимное смещение внешних несущих слоев в направлении сжатия. Предельные их значения, при достижении которых происходит исчерпание несущей способности заполнителя, приведены в строках 1 и 2 табл. 1. Значительное отличие экспериментальных кривых от принятой теоретической диаграммы (рис. 4) свидетельствует о весьма значительном влиянии на механическое поведение заполнителя тех или иных отклонений в геометрии стенок заполнителя от принятых при теоретических построениях как идеально плоских.
В строках 3 и 4 табл. 1 приведены предельные значения деформаций e*z = = wZ/h, осредненных значений напряжений aZ = Pz/(ab) и модуля упругости
78
В.Н. ПАЙМУШИН
Рис. 8
EZ = &*z/£*z, соответствующего аппроксимации реальных диаграмм az = Ez (sz) линейным законом Gz = EzSz . Считая, что все стенки заполнителя имеют модуль упругости материала E, и введя обозначения Ez = E^ = E^1^, формулу (3.12) запишем в виде
E э = Ez (1 - v2
A 2t з
----+ — sin3 а
a b
(5.1)
Найденные по этой формуле значения Eэ приведены в шестой строке табл. 1, которые для заполнителя рассматриваемой структуры незначительно отличаются от приведенного в [13] значения Enp = yEiE = 2.36 ГПа (строка 7 табл. 1). Следовательно, упругие характеристики материала полимерной бумаги «NOMEX», определяемые путем испытаний образцов на растяжение, в заполнителе изучаемой структуры при указанном виде нагружения, в отличие от [14, 15], «реализуются» практически на 100%.
Формула (3.34) для рассматриваемого заполнителя принимает вид
г*— « 0.46 • 10-3 Kik),
(5.2)
в силу которой
azz- = Els*- = 0.54 • 10-4 Kxk)Ez. (5.3)
При K(xk) ~ 3 + 4 определяемые по формулам (5.2) и (5.3) значения sZ— практически на два порядка меньше значений £Zэ и ^э, приведенных в табл. 1 (строки 3 и 4). Следовательно, можно считать, что наклонные стенки ячейки периодичности теряют устойчивость в условиях сжатия заполнителя практически на начальной стадии его нагружения, не участвуя при этом в формировании осредненного модуля упругости Ez на последующих стадиях, и приведенные на рис. 8 диаграммы практически полностью соответствуют процессу деформирования лишь вертикальных стенок ячейки периодичности, имеющих толщину A .
По аналогии с (5.2) формула (3.42), соответствующая окончательному разрушению вертикальных стенок, принимает вид
szzz— = 0.463 • 10-3 KzB. (5.4)
Значения KZB, в предположении sZZZ— = еZэ, определенные по формуле (5.3), приведены в строке 8 табл. 1, они оказались в 3-4 раза выше коэффициента Kz ~ 4,
ТЕОРЕТИКО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСРЕДНЕННЫХ... 79
Рис. 9
определяемого из теоретического решения задачи об устойчивости пластины в условиях двухстороннего сжатия.
Исходя из (3.39), составим формулу
к2
12<э (1 - ^2) ah2
п2Е эДЗ
(5.5)
Найденные по этой формуле значения коэффициента Kz, соответствующие использованию данных табл. 1, приведены в строке 9. Они в среднем на 30% выше значений, приведенных в строке 8. Значительно большее их значение в сравнении со значением Kz ~ 3 + 4 объясняется главным образом формированием в зоне сопряжения наклонных стенок с вертикальной стенкой двух наклонных ребер, подкрепляющих вертикальную стенку с двух сторон, имеющих толщину Д и ширину b — l = 2 мм. После потери устойчивости наклонных стенок ребра продолжают участвовать в восприятии внешней нагрузки совместно с вертикальной стенкой толщиной Д , увеличивая ее приведенную изгибную жесткость.
5.2. Сдвиг заполнителя в плоскости x0z. В соответствии с методикой, предложенной в [16], испытания на сдвиг в плоскости x0z проводились на специальных тест-образцах по схеме, изображенной на рис. 9 и позволяющей реализовать в заполнителе почти постоянные по его длине ai (за исключением зон краевых эффектов) касательные напряжения Txz.
Несущие слои тест-образцов, представляющих собой пятислойные прямоугольные пластины, выполнены из стального листа толщиной t = 10 мм; рабочие размеры заполнителя равны ai = 120 мм и a2 = 84 мм, заполнитель включал в себя пять ячеек периодичности в направлении оси 0х и четыре ячейки - в направлении оси 0у. Испытаниям были подвергнуты образцы с заполнителем, имеющим те же параметры ячейки периодичности, что и образцы, изготовленные для испытания на сжатие.
Полученные экспериментальные результаты в виде зависимостей P = P (ио) для шести тест-образцов представлены на рис. 10, а предельные значения усилий P и перемещений ио , при достижении которых происходит разрушение заполнителя, - в строках 1 и 2 табл. 2.
Все приведенные на рис. 10 графики имеют ярко выраженные участки практически линейной зависимости P от ио , а некоторые из них - ярко выраженные нелинейные участки на начальной и завершающей стадиях нагружения. Все они по виду значительно отличаются от предполагаемой теоретической диаграммы
80
В.Н. ПАЙМУШИН
Рис. 10
Табл. 2
№ строки № образца 1 2 3 4 5 6 Средние значения
1 P*, кг 2054 2410 2000 2410 2876 2465 2369
2 Ащ, мм 0.51 0.57 0.53 0.53 0.61 0.61 0.56
3 YXz э 0.032 0.036 0.033 0.033 0.038 0.038 0.035
4 Txz э , кг/см 11.87 13.93 11.56 13.93 16.62 14.25 13.69
5 GXz, г/см2 371 370 350 422 437 375 387
6 E(II), кг/см2 33264 33174 31181 37836 39181 33622 34698
7 E(I), кг/см2 24730 24664 23331 28130 29130 24997 25797
8 жТ 1.56 1.84 1.61 1.61 1.86 1.85 1.73
P = P (uo), изображенной на рис. 7. Для объяснения такого отличия обратимся к формуле (4.20), которую представим в виде
п 212
u0 = KiX) ~12h sin a = 0-69 •10-3 KX2) ■ (5-6)
При потере устойчивости второй наклонной стенки в условиях двухстороннего сжатия Kx ~ 3 У 4. При этом, принимая во внимание (5.6), получаем значение
~ (2 У 2.75) • 10-3 мм, что на два порядка меньше значений uo, реализующихся в эксперименте (рис. 10). Следовательно, все представленные на рис. 10 диаграммы практически полностью соответствуют стадии деформирования после потери устойчивости второй стенки. Поэтому целесообразно считать, что в формировании модуля сдвига Gxz участвуют только вертикальные стенки, находящиеся в условиях сдвига, и первая наклонная стенка, находящаяся преимущественно в условиях одноосного растяжения.
Исходя из характера экспериментальных кривых, следует предположить, что некоторые из тест-образцов в среднем имели почти плоские наклонные стенки, у которых диаграмма деформирования P = P (u0) является почти линейной и на начальной стадии нагружения, а у других тест-образцов наклонные стенки в среднем, по-видимому, имели значительные начальные прогибы. В силу этого на начальной стадии нагружения наклонные стенки с искривленной срединной плоскостью при растяжении должны сначала «выпрямиться», не участвуя в формировании осредненного модуля Gxz, что и соответствует нелинейным участкам приведенных диаграмм деформирования.
ТЕОРЕТИКО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСРЕДНЕННЫХ... 81
В силу вышеизложенного для обработки полученных результатов в рассматриваемом случае, в отличие от [14, 15], целесообразно ввести в рассмотрение лишь касательный модуль Gxz = oXZ'1, аппроксимируя графики рис. 10 зависимостью Txz = GxzYxz и вычисляя предельные значения перемещений Ди*, при достижении которых происходит разрушение заполнителя, имеем Ди* = u+ — и- (рис. 10). Полученные предельные значения P* и Ди* приведены в строках 1 и 2 табл. 2. В ней приведены также найденные по формулам первого приближения (ai — l « « ai — h - эффективная длина заполнителя)
Ди0
P*
2 (ai — h) a2 ’
Gx
xz э
Y
xz э
xz э
h
Y
xz э
(5.7)
предельные значения сдвиговых деформаций, касательных напряжений и модуля поперечного сдвига, соответствующие экспериментальным данным. Проведенные вычислительные эксперименты показали, что они незначительно отличаются от максимальных значений Y*z , T*z и Gxz, определяемых по предложенной в [16] вычислительно-экспериментальной методике.
Исходя из (4.23) и (4.18), составим формулы вида
где
ДО)
E (11) =
Д 2t
a + h (1 — v)
2 (1 + v) Glz E (I) = 2 (1 + v) Glz
Д(П) ’ E Д(1) ’
tg a sin2 а, Д(11) =-----+ —-------- tg a sin2 a.
a h (1 — v)
(5.8)
(5.9)
Найденные по этим формулам значения модуля упругости материала приведены в строках 6 и 7 табл. 2. Видно, что у всех образцов E(II) > Ei, а E(I) ~ ~ (Ei + E2) /2, что, казалось бы, и соответствует процессу формированию модуля Gxz на стадии, предшествующей исчерпанию несущей способности второй стенки ячейки периодичности. Единственным объяснением полученного результата в виде неравенства E (II) > Ei является наличие на вертикальных стенках толщиной Д наклонных ребер, подкрепляющих их с двух сторон и естественным образом формирующихся в силу того, что c > b, так как c — b = 2 мм. Эти подкрепляющие ребра участвуют в формировании модуля Gxz на всех этапах деформирования, но не учтены при выводе формул (4.18) и (4.23). При их учете в теоретических построениях во второй формуле (5.9) величину Д следует заменить на некоторую приведенную (осредненную) толщину Д* > Д, что и приводит к уменьшению
значения E (II) .
На основе проведенного выше анализа, к практическому применению следует рекомендовать формулу (4.23), в которой для модуля упругости материала E необходимо принимать величину Ei = 3.1 ГПа, вычисляя при этом величину Д по формуле Д = 2t + Sk .
И, наконец, обратимся к формуле (4.30), которая при исследуемых геометрических параметрах принимает вид
а(3)д = 0.00786 жтE.
(5.10)
Отсюда в силу Д(11) « 0.029, принимая в формуле (4.29) за т*** экспериментально найденные значения t*z э , а в формуле (5.10) за E - значение E(II) из табл. 2, получим
Жт
xz э
■ 103
0.228 E(II)
4386
Txz э
E (II) .
(5.11)
82
В.Н. ПАЙМУШИН
Определенные по этой формуле значения жт приведены в строке 8 табл. 2. Как и следовало ожидать, они оказались больше единицы. Из вышеизложенного можно заключить, что полученный результат жт > 1 является вполне ожидаемым, и он обусловлен как влиянием указанных выше подкрепляющих ребер толщиной 2t на величину критического напряжения ст1^* вертикальных стенок, так и формированием в стенках при их сдвиге косых волн, не препятствующих стенкам воспринимать нормальные напряжения растяжения в направлении их образующих после потери устойчивости.
Таким образом, для теоретического определения осредненного значения предельного напряжения т*** к практическому использованию следует рекомендовать формулы (4.29) и (4.30), принимая во второй из них жт « 1 и за величину Е - значение модуля упругости материала Е1.
5.3. Сдвиг заполнителя в плоскости y0z. Для заполнителя, имеющего те же параметры ячейки периодичности, что и в предыдущих разделах, испытания на сдвиг в плоскости y0z также проводились на тест-образцах по схеме, предложенной в работе [16] и кратко описанной в п. 5.2. В отличие от вышеизложенного, заполнитель имел по четыре ячейки периодичности как по ширине, так и по длине, так что в рассматриваемом случае для вычисления площади среза имели место значения ai = 84 мм, a2 — h « 80 мм. Были проведены испытания шести тест-образцов, для которых графики зависимости P = P (vo) приведены на рис. 11. Они оказались принципиально отличными от зависимостей P = P (uo) наличием линейных участков на начальной стадии нагружения и ярко выраженной нелинейной зависимостью P от vo на последующих стадиях вплоть до разрушения заполнителя.
Используя формулу (4.10) и принимая Е = Ei = 3100 МПа, при исследуемых геометрических параметрах заполнителя составим выражение
P* =2ai (a2 — h) т* « 1.25 K(k).
(к)
Из него, полагая KT ~ 10, что примерно соответствует моменту потери устойчивости наклонных стенок в условиях сдвига и формированию в них наклонных «выпучин», для P* получим значение P* = 12.5 кг. Данное значение усилия более чем на порядок ниже экспериментальных значений P , до достижения которых полученные диаграммы деформирования с приемлемой степенью точности можно считать линейными. С целью построения простейших «рабочих» формул для аппроксимации полученных диаграмм деформирования примем линейные зависимости двух видов
ТУz = Yyz и Tyz = GCyzYyz, (5.12)
соответствующие введению в рассмотрение касательного и секущего модулей поперечного сдвига осредненного заполнителя.
Введя коэффициент запаса и принимая для всех шести тест-образцов единое предельное значение vC = 1.25 мм, а также считая, что при vo = vC происходит окончательное разрушение заполнителя, рассмотрим значения P*, P*, v0 и vk (рис. 12), из которых усилие P* соответствует моменту разрушения заполнителя, P* - пределу линейно-упругой деформации, vk - моменту разрушения заполнителя в рамках первой из принятых аппроксимаций (5.12). Для каждого образца соответствующие значения P*, P*, vy и vk приведены в табл. 3.
В рамках принятых предположений деформация сдвига yCz , единая для всех образцов и соответствующая аппроксимации полученных диаграмм секущими прямыми, в первом приближении будет равна Ycz = vC/h « 0.078. Этой деформации будут отвечать напряжения t*z э, соответствующие разрушению заполнителя
ТЕОРЕТИКО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСРЕДНЕННЫХ... 83
Рис. 11
Рис. 12
Табл. 3
№ строки № образца 1 2 3 4 5 6 Средние значения
1 P, кг 456 500 517 537 571 592 529
2 py, кг 273 327 327 296 327 327 313
3 V V0 , мм 0.78 0.68 0.81 0.92 0.79 0.70 0.78
4 Vq , мм 0.50 0.50 0.50 0.50 0.46 0.40 0.48
5 Tyz э, МПа 0.30 0.33 0.34 0.35 0.38 0.39 0.35
6 t%z э, МПа 0.18 0.22 0.22 0.19 0.22 0.22 0.21
7 Yyz 0.049 0.043 0.050 0.057 0.049 0.044 0.049
8 Y Y yz 0.031 0.031 0.031 0.031 0.029 0.025 0.03
9 Gcyz, МПа 3.846 4.231 4.359 4.487 4.872 5.0 4.487
10 Gk Gyz 61.22 76.74 68.00 61.40 77.55 88.63 71.42
11 /О k Gyz 58.06 70.96 70.96 61.29 75.86 88.0 70.00
и вычисляемые по формуле первого приближения r^z э = Р*/ [2 (а2 — h) ai]. Их значения, а также значения напряжений Tyyzэ = Ру/ [2 (a2 — h) ai] приведены в строках 5 и 6 табл. 3.
Таким образом, принимая во внимание формулы (5.12), найденные значения деформаций и напряжений необходимо подчинить равенствам
т* = Gc Y
yz э yz !'•
c Yc yz yz
= Gkz
Ty = Gk Yy
yz э yz yz
(5.13)
84
В.Н. ПАЙМУШИН
Полученные из них значения Gcyz, Gkyz и Gkgz приведены в строках 9-11 табл. 3,
причем различие приведенных в них значений Gyz и Gyz обусловлено только принятой степенью точности обработки полученных экспериментальных данных.
Если считать, что E = Ei = 3100 МПа, то полученная теоретическая формула (4.6) приводит к значению Gyz = 5.167 МПа. Оно вполне удовлетворительно соответствует значениям строки 9 табл. 1. Значительное отличие значений, приведенных в строках 9-11, указывает на более сложный характер взаимодействия наклонных и вертикальных стенок ячейки периодичности в условиях сдвига в плоскости y0z, чем в принятой выше теоретической модели.
Тем не менее, оставаясь в рамках принятой модели деформирования, для вычисления модуля Gyz к практическому использованию следует рекомендовать формулу
G
yz
tEnp
2b (1 + v)
sin а,
(5.14)
если расчеты на прочность проводятся для определения напряженно-деформированного состояния трехслойных конструкций в пределах их упругой работы и линейного деформирования, и формулу (ж - поправочный коэффициент)
G
yz
tEnp
ж—-—-—-2b (1 + v)
sin а
(5.15)
при ж ~ 1.5 + 1.7, если расчеты проводятся для определения предельного напряженно-деформированного состояния конструкции.
И, наконец, обратимся к формуле (4.10). В ней, как и при получении формул (5.14), (5.15), исходя из данных экспериментов, следует идентифицировать значение коэффициента Кт = кТк') для двух предельных значений усилий P* и P*. Введя обозначение
r
2
П
12(1 - v2)
t
h
3
2
tg a sin2 а
0.232 • 10~6,
(5.16)
запишем ее в двух формах
т y т *
К y = ‘yz э К * = yz э
т rE , т rE .
Если принять E = Ei = 3100 МПа и для Tyz э, t*z э табл. 3, то из формул (5.17) следуют значения
(5.17)
принять средние значения
Ку « 292, КТ « 487.
которые больше чем на порядок превышают значения, определяемые по теоретически установленной формуле (4.8). В силу значительного разброса экспериментальных данных, введя коэффициенты запаса, к практическому применению следует рекомендовать формулы
т y = Кy tEi т * = К* tEi
'yz ±vt' Ь 'yz ±vt' 1’
принимая для Ку и К* значения Ку ~ 200 + 250, К* ~ 400 + 450.
(5.18)
Заключение
Следует отметить, что все экспериментальные исследования были проведены на тест-образцах из заполнителя в виде М-гофра, изготовленного по «ручной»
ТЕОРЕТИКО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСРЕДНЕННЫХ... 85
технологии, чем, по-видимому, и объясняется большой разброс получаемых экспериментальных данных. В связи с этим приведенные выше числовые значения безразмерных коэффициентов, содержащихся в структурных формулах, могут быть значительно уточнены при использовании более качественно изготовленного заполнителя для экспериментов.
Работа выполнена в рамках договора № 02.G25.31.0122 между НПО ОАО «ОКБ им. М.П. Симонова» и Министерством образования и науки РФ по реализации комплексного проекта по созданию высокотехнологичного производства, выполняемого с участием ФГБОУ ВПО «Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева - КАИ», а также за счет средств субсидии, выделенной Казанскому федеральному университету для выполнения государственного задания в сфере научной деятельности.
Summary
V.N. Paimushin. Theoretical and Experimental Determination of Average Elastic and Strength Properties of M-Ribbed Type Folded Cores.
The approximate analytical solution for the direct problem of determining the average elastic and strength properties of M-ribbed type folded cores in transverse tension and compression as well as their shear properties in two mutually perpendicular planes is built. The resulting formulas except for the basic mechanical and geometrical governing parameters contain dimensionless coefficients, which are to be determined by solving the inverse problem on the basis of specially conducted experiments using A. Sachenkov's theoretical and experimental method. The developed technique is used to determine the characteristics of M-ribbed folded cores made of NOMEX polymer paper.
Keywords: multi-layered structures, core, folded structure, M-ribbing, elastic and strength characteristics, energy averaging, plate, buckling, critical load, approximate analytical solutions, structural formulae, specimen, test, transverse compression, shear, identification.
Литература
1. Берсудский В.Е., Крысин В.Н., Лесных С.И. Технология изготовления сотовых авиационных конструкций. - М.: Машиностроение, 1975. - 216 с.
2. Ендогур А.И., Вайнберг М.В., Иерусалимский К.М. Сотовые конструкции. Выбор параметров и проектирование. - М.: Машиностроение, 1986. - 200 с.
3. Панин В.Ф., Гладков Ю.А. Конструкции с заполнителем. Справочник. - М.: Машиностроение, 1991. - 272 с.
4. Александров А.Я., Брюккер Л.Э., Куршин Л.М., Прусаков А.П. Расчет трехслойных панелей. - М.: Оборонгиз, 1960. - 271 с.
5. Noor A.K., Burton W.S., Bert Ch.W. Computational models for sandwich panels and shells // Appl. Mech. Rev. - 1996. - V. 49, No 3. - P. 155-199.
6. Акишев Н.И., Закиров И.И., Паймушин В.Н., Шишов М.А. Теоретико-экспериментальный метод определения осредненных упругих и прочностных характеристиках сотового заполнителя трехслойных конструкций // Механика композитных материалов. - 2011. - Т. 47, № 4. - С. 543-556.
7. Саченков А.В. Теоретико-экспериментальный метод исследования устойчивости пластин и оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек. - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1970. - Вып. 6-7. - С. 391-433.
8. Закиров И.М., Катаев Ю.П., Никитин А.В., Акишев Н.И. Шевронные структуры, конструкция и технология изготовления. - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2006. - 242 с.
86
В.Н. ПАЙМУШИН
9. Закиров И.М., Алексеев К.А., Акишев Н.И., Каюмов Р.А., Никитин А.В., Закиров И.И. Изготовление трехслойных панелей со складчатым заполнителем из полимерной бумаги. - Казань: ФЭН, 2009. - 232 с.
10. Каюмов Р.А., Закиров И.М., Алексеев К.П., Алексеев К.А., Зиннуров Р.А. Определение несущей способности панелей с шевронным заполнителем // Изв. вузов. Авиац. техника. - 2007. - № 4. - С. 8-10.
11. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. - М: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1963. -880 с.
12. Акишев Н.И., Закиров И.И., Иванов В.А., Паймушин В.Н., Шишов М.А. О приближенных аналитических решениях задач устойчивости косоугольных пластин при комбинированных видах нагружения // Изв. вузов. Авиац. техника. - 2011. - № 2. -
С. 3-7.
13. Артюхин Ю.П., Саченков А.А. К расчету ортотропных пластин и оболочек // Исследования по теории пластин и оболочек. - Казань: Изд-во Казан. ун-та, 1967. -Вып. 5. - С. 300-310.
14. Паймушин В.Н., Закиров И.М., Карпиков Ю.А. Теоретико-экспериментальный метод определения механических характеристик заполнителя складчатой структуры в виде Z-гофра Теоретические основы и сжатие заполнителя в поперечном направлении // Изв. вузов. Авиац. техника. - 2012. - № 3. - С. 10-17.
15. Паймушин В.Н., Закиров И.М., Карпиков Ю.А. Теоретико-экспериментальный метод определения механических характеристик заполнителя складчатой структуры в виде Z-гофра (сдвиг заполнителя в плоскостях поперечных сечений) // Изв. вузов. Авиац. техника. - 2013. - № 3. - С. 19-26.
16. Паймушин В.Н., Закиров И.М., Луканкин С.А., Закиров И.И. Вычислительноэкспериментальный метод определения осредненных упругих и прочностных характеристик при сдвиге заполнителей многослойных конструкций // Механика композитных материалов. - 2012. - Т. 48, № 4. - С. 355-368.
Поступила в редакцию
25.08.14
Паймушин Виталий Николаевич - доктор физико-математических наук, профессор кафедры прочности конструкций, Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева; главный научный сотрудник, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.
E-mail: vpajmushin@mail.ru
