Научная статья на тему 'Теоретично-методичні засади геометричного моделювання числових рядів'

Теоретично-методичні засади геометричного моделювання числових рядів Текст научной статьи по специальности «Автоматика. Вычислительная техника»

CC BY
4
0
Поделиться
Ключевые слова
гармонічний ряд / геометрична прогресія / математичний аналіз / моделювання / числові ряди

Аннотация научной статьи по автоматике и вычислительной технике, автор научной работы — В. В. Корольський, С. В. Шокалюк, Ю. А. Мельниченко

Проблема візуалізації абстрактних математичних понять та об’єктів, пошук їх геометричних інтерпретацій, зокрема із залученням сучасних інформаційно-комунікаційних технологій, різних Інтернет-сервісів та мобільних застосунків, набуває неабиякого поширення у різних науково-методичних колах. У нових публікаціях та навчальних посібниках з вищої математики чи математичного аналізу можна віднайти достатню кількість різноманітних прикладів унаочнення математичних абстракцій за розділами «Дослідження неперервності функції», «Диференціювання функції» чи «Інтегрування функції» тощо. При цьому приклади візуалізації числових рядів, точніше скінченної кількості їх елементів, є досить одноманітними й методично непривабливими, незважаючи на їх практичну значущість. Саме здійснення геометричного моделювання числових рядів надає можливість будувати нові числові ряди різних видів, добирати порівнювані числові ряди, з’ясовувати їх специфічні, непомітні при використанні традиційних знакових моделей закономірності поведінки членів ряду та їх застосування в теорії і практиці. У статті наведено всі етапи геометричного моделювання числових рядів на прикладі двох – гармонічного ряду та ряду геометричної прогресії. Для гармонічного ряду розглянуто зразки лінійної та квадратичної інтерпретації, виведено формули загальних членів отриманих рядів. Для ряду геометричної прогресії розглянуто випадки, коли знаменник прогресії дорівнює одиниці, менше за одиницю та більше за одиницю. Колектив авторів працює над реалізацією програмного засобу для автоматизації демонстрацій розглянутих геометричних моделей числових рядів за різних значень параметрів. В якості інструментального засобу програмної реалізації обрано хмаро орієнтоване середовище математичного призначення – CoCalc. Основним структурним компонентом середовища CoCalc є мережна система комп’ютерної математики SageMath. Режим доступу до середовища – http://cocalc.com.

Похожие темы научных работ по автоматике и вычислительной технике , автор научной работы — В. В. Корольський, С. В. Шокалюк, Ю. А. Мельниченко,

THEORETICAL AND METHODOLOGICAL PRINCIPLES OF GEOMETRIC MODELING NUMERICAL SERIES

The problem of visualizing abstract mathematical concepts and objects, searching for their geometric interpretations, in particular with the use of modern information and communication technologies, various Internet services and mobile applications, acquires an enormous spread in various scientific and methodical fields. New publications and manuals on higher mathematics or mathematical analysis show sufficient number of various examples for the description of mathematical abstractions by sections "Investigating the continuity of a function", "Differentiating a function" or "Integrating a function," etc. In this case, examples of visualization of numerical rows, more precisely the finite number of their elements, are rather monotonous and methodically unattractive, in spite of their practical significance. The implementation of the geometric modeling of numerical series gives the opportunity to construct new numerical series of different types, to find comparable numerical series, to find out their specific, imperceptible when using traditional sign models of the regularities of the behavior of the members of a series and their application in theory and practice. In the article all stages of geometric modeling of numerical series are shown on the two examples harmonic series and a series of geometric progression. For harmonic series we consider examples of linear and quadratic interpretation, and derive the formulas of the general terms of the obtained series. For a number of geometric progressions we consider cases where the progressive denominator is equal to one, less than one and more than one. The team of authors is working on the implementation of a software tool for automating the demonstrations of the geometric models of numerical series under consideration at various parameter values. As a tool of software implementation we use CoCalc, a cloud-oriented environment for mathematical purposes. The main structural component of the CoCalc environment is SageMath's network system of computer mathematics. mode of access by environment – http://cocalc.com.

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Теоретично-методичні засади геометричного моделювання числових рядів»

Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION

Has been issued since 2013.

Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА

Видаеться з 2013.

http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/

Корольський В.В., Шокалюк С.В., Мельниченко Ю.А. Теоретично-методичн засади геометричного моделювання числовихряд'в. Ф'!зико-математична освта. 2018. Випуск 4(18). С. 81-89.

Korolskyi V., Shokaliuk S., Melnychenko Yu. Theoretical And Methodological Principles Of Geometric Modeling Numerical Series. Physical and Mathematical Education. 2018. Issue 4(18). Р. 81-89.

DOI 10.31110/2413-1571-2018-018-4-013

УДК 378.016:517

В.В. Корольський1, С.В. Шокалюк2, Ю.А. Мельниченко3

Кривор'вький державний педагогiчний унiверситет, Украна

1k_mathemathics@kdpu.edu.ua, 2shokalyuk@kdpu.edu.ua, 3yulia.melnichenko.995@gmail.com

ТЕОРЕТИЧНО-МЕТОДИЧН1 ЗАСАДИ ГЕОМЕТРИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ЧИСЛОВИХ РЯД1В

Анотац'я. Проблема в'1зуал'1зацП абстрактних математичних понять та об'ект'в пошук ¡х геометричних iнтерпретацiй, зокрема i3 залученням сучасних iнформацiйно-комунiкацiйних технологiй, р'!зних 1нтернет-сервав та мобльних застосунк'в, набувае неабиякого поширення у р'вних науково-методичних колах. У нових публiкацiях та навчальних посбниках з вищо¡' математики чи математичного анал'!зу можна в/'днайти достатню к'шьк'!сть р'вномаштних приклад'в унаочнення математичних абстрак^й за роздлами «Досл'дження неперервност'1 функцИ», «Диференц'ювання функцп» чи «1нтегрування функцп» тощо. При цьому приклади в'вуал'вацПчисловихряд'в, точнiше скнченно¡' клькостi ¡х елементiв, е досить одномантними й методично непривабливими, незважаючи на ¡х практичну значущiсть.

Саме здйснення геометричного моделювання числових ряд'!в надае можлив'!сть будувати новi числов'1 ряди р'вних вид/'в, добирати порiвнюванi числов'1 ряди, з'ясовувати ¡х специфiчнi, непомтш при використанн традицйних знакових моделей законом/рностi повед/нки член/в ряду та ¡х застосування в теорп i практицi.

У статт'1 наведено ва етапи геометричного моделювання числових ряд'!в на приклад'1 двох - гармонiчного ряду та ряду геометрично¡' прогресИ.

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Для гармонiчного ряду розглянуто зразки лiнiйно¡ та квадратично¡' нтерпретацП, виведено формули загальних членiв отриманих ряд'!в. Для ряду геометрично¡' прогресП розглянуто випадки, коли знаменник прогресП дорiвнюе одиницi, менше за одиницю та бльше за одиницю.

Колектив автор'в працюе над реалiзацiею програмного засобу для автоматизацП демонстра^й розглянутих геометричних моделей числових ряд'!в за р'вних значень параметр'¡в. В якост'1 iнструментального засобу програмно¡ реал'!зацП обрано хмаро орiентоване середовище математичного призначення - CoCalc. Основним структурним компонентом середовища CoCalc е мережна система комп'ютерно¡' математики SageMath. Режим доступу до середовища - http://cocalc.com.

Кnючовiслова: гармонiчний ряд, геометрична прогресiя, математичний анал'з моделювання, числов'1 ряди.

Постановка проблеми. Математичний аналiз позицюнуеться як фундаментальна наука лопчно побудованих структур, ям можуть бути моделями реальних об'екпв, явищ та процеав. Будуються ц структури за допомогою формально визначених понять, наприклад функщя, похщна, штеграл тощо. Але в сучасних умовах вивчення як шктьного курсу математики, так i математичного аналiзу у закладах вищо''' освти, базовим поняттям стае «модель». У контекст сказаного ми розумiемо, що математичний аналiз в сво''й зм^овш структурi побудований на знакових моделях. Знаковi моделi i застосування 'х при вивченн математичного аналiзу (вiзуалiзацiя та дослщження отриманих геометричних моделей) заслуговують окремо' уваги.

Аналiз актуальних дослщжень. Теоретично-методичн засади реалiзацií принципу наочност при вивченн окремих роздЫв математичного аналiзу (границя функцй дослщження неперервносп, диференщювання, Ытегрування тощо) не е новою науковою проблемою, зокрема iз залученням сучасних засобiв Ыформацйно-комунтацшних технологш, у тому чи^ lнтернет-сервiсiв та мобтьних застосунюв [1; 4; 5]. У той же час при вивченн роздту «Числовi ряди» принцип наочност майже не мае мкця. Але результати наших попередых дослщжень [2; 3] показують, що його реалiзацiя може бути здшснена шляхом використання геометричних моделей багатьох видiв числових рядiв. Застосування 'х в змют роздту «Числовi ряди» не ттьки наочно тюструе останы, але i допомагае з'ясувати 'х специфiчнi, непомiтнi при використанн знакових моделей закономiрностi поведiнки члеыв ряду i 'х застосування в теорп i практицi. Бiльш того, застосування геометричних штерпретацш дозволяе будувати рiзнi види числових рядiв.

ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)

Мета статл. Розкрити можливост застосування геометричних моделей при вивченн роздту «Числовi ряди» в межах курсу «Математичний аналiз» при тдготовц фахiвцiв з iнформатики i фiзико-математичного профiлю, а також спрямувати одержан результати на посилення ефективностi лабораторних занять з методiв наближених обчислень.

Методи дослщження. При виконаннi означеного дослщження були використанi переважно теоретичн методи, зокрема, аналiз та синтез науково''' та спецiальноí лiтератури з питань вiзуалiзацií абстрактних математичних понять, а також метод моделювання для унаочнення числових рядiв.

Виклад основного матертлу. Не будемо розглядати означення структури, моделi i т.п. Вiдмiтимо лише те, що якщо ми маемо модель певного об'екта, то вся Ыформа^я про нього вкладена в його структурi i вщображаеться певними математичними зв'язками мiж параметрами елемен^в структури. В контекстi нашого дослiдження ми маемо певну геометричну структуру, параметрами яко' можуть бути лшп, периметри, площi чи об'еми. Числовi значення цих параметрiв вщображаються елементами (членами) вiдповiдноí знаково' модели якою i е певний числовий ряд. Змкт вищезазначеного пояснимо на прикладах геометрично'' iнтерпретацií гармонiчного ряду (1) та числового ряду геометрично' прогресп (13).

Знакова модель гармоычного ряду мае вигляд:

J1, n е N

n

Вiзуалiзацiю знаково''' моделi (1) можна реалiзувати за допомогою iнтеграла

1

fxn-1dx

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

(1)

(2)

i квадрата з параметром 1, розмщеного в системi координат Оху (рис. 1).

КриволЫшна сторона ОВ трикутникiв ОАВ, вписаних у квадрат ОАВС, задаеться функ^ею /(х) = х""1, х е[0;1], пеМ . За допомогою штеграла (2) обчислюемо площi квадра^в ОАВС i трикутникiв ОАВ.

Рис. 1. Квадрат з параметром а = 1, в який вписан! криволiнiйнi трикутники ОАВ

1

^ (1, х1-1) = | х'-^х = х| = 1 0

^ (1, х2-1) = 1 хбх =1 х211 = -

2 J 9 1о -)

3(1, x") = J x2dx-

1 W=1

5n(1, xn-1) = { xn-1dx =1 xn!l =1 i n 10 n

Враховуючи, що n = 1,<x> одержуемо HecKiH4eHHy суму значень площ:

(3)

t Sn (1, xn-1)

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Зрозумiло, що мае мкце рiвнiсть

t Sn (1, xn-1) = tt1

n=1 n=1 n

(4)

(5)

Таким чином, одержуемо геометричну модель числового ряду (1), елементами якого е послщовысть наступних площ (рис. 2).

Геометрична модель представлена на рис. 2 дозволяе розглядати плош^ представлен на рис. 3.

3

3

0

n=1

Рис. 2. Геометричн модел'1 член'ш гармон'много ряду; значення площ S(1, хп -1) посл'довно в'дображають значення члене ряду

Рис. 3. Площ '1 кривол'ншних трикутник'ш, вписаних в квадрат з параметром а = 1, криволiнiйнi сторони задаються

в межах квадрата функ^ями / (х) = х""1, пеИ, х е (0;1)

За допомогою рiвностей (3) одержуемо значення площ на рис. 3

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

г 1г2г3г4г " ■

5 =-, 52 =-, 5з =- , 54 =- , ..., Б" =- I т. д.

1 2 2 3 3 4 4 5 " п +1

Таким чином одержуемо рiвнiсть

ад ад

1С 5 = Т— 1 " 1 п +1

(6)

У правш частинi рiвностi (6) маемо вщомий числовий ряд з загальним членом а = " . Геометричн моделi

" п +1

членiв ряду показанi на рис. 3.

Геометрична штерпретащя числових рядiв (1) i (2) дозволяе пояснити студентам розбiжнiсть обох рядiв i звернути

ад п

'х увагу на те, що при цьому необхщна умова збiжностi рядiв Цт5 = 1- (6) виконуеться для ряду (1) i не

п^ад п +1

виконуеться для ряду (6): 1

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

(1): !1т~ = 0,

п^ад п

(6): = 1.

М» п +1

Прим1тка 1. Для рядiв (1) i (6) мае мiсце наступна рiвнiсть

5п(1) + 5(п"1)(6) = п (7)

Прим1тка 2. Ряд (1) породжуе ряд (6), тому що вщношення мiж сусiднiми членами ряду (1) дорiвнюе послiдовним членам ряду (6):

1 1 1 _2 . 1.1-1.1 _ п" 1 ■ 1 . 1 _ п ¡т

2 ' 2 ' 3 ' 2 3 ' 4 ' 3 4 ' ""' п ' п -1 п ' п +1 п п +1 "

Прим'тка 3. На рис. 3 вiдповiдними е 51 ряду (6) i 52 ряду (1), 52 ряду (6) i (1 - 53 (1)), 53 (6) i (1 - 54 (1)) i т.д. Використовуючи рис. (2) i (3) i змiст примiток (1-3) маемо можливкть вiзуалiзувати аналiз характеру змiн члеыв рядiв (1) i (6), а також зв'язок мiж цими рядами.

У розглянутих випадках числових рядiв (1) i (6) ми ототожнювали величини площ з вiдповiдним значенням члеыв цих рядiв. Тому в цьому разi ми можемо говорити про квадратурну геометричну штерпрета^ю числових рядiв.

В окремих випадках для одного i того ж числового ряду можна провести рiзнi квадратуры штерпретацп. Так, для числового ряду (1), такою квадратурною штерпрета^ею можуть бути величини площ послiдовнiсть прямокутниюв, породжуемих квадратом з параметром а = 1, показаних на рис. 4

хЬ 1

Sn =tSk =t1 (8)

k=1 k=1 k

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Враховуючи, що n , одержуемо гармоычний ряд (1) з квадратурною геометричною iнтерпретацiею у виглядi

, ■ ■ ,1 сум площ прямокутник1в з основою а = 1 I змшною висотою Ь = — .

п

Для гармоычного ряду (1) можна показати його лшмну геометричну iнтерпретацiю, представлену на рис. 5.

1

Рис. 4. Площ1 прямокутникв з основою a = 1 i висотами h =—, n e N

n

Рис. 5. Лншна нтерпретац'я гармончного ряду

1 1

Якщо з'еднати точки з координатами (1;1), (2;—), ( 3;—) i т.д., отримаемо ряд прямокутних трапецш з однаковою

2 3

висотою Ь = 1. Значення площ цих трапецй складають наступний числовий ряд

3 5 7 9 11 13 15 1,3 5 7 11 13 15 17

— + — + — + — + — + — +-+... = — (— + —+ —+— + — + — + — +...)

4 12 24 40 60 84 112 4 1 3 6 15 2 1 28 3 6

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

(9)

Загальний член ряду (9) мае вигляд

2п+1

(10)

2n(n +1)

1 1

При з'еднанш точок (1; 0) i (2; —); (2; 0) i (3; —) i т.д. одержуемо числовий ряд довжин дiагоналей прямокутних

2 3

трапецш

V5 V1Ö VT7 -У26 л/37

--1---1---1---1---+... (11)

2 3 4 5 6

Загальний член ряду

V(n+1)2 +1

(12)

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

" n +1

Числовим рядом геометрично''' прогресс! називають ряд

a + aq + aq2 + aq3 +... + aqn~1 +... (13)

де a eR, q e R - знаменник прогресй , neN.

Сума S ряду (13) може бути обчислена за допомогою формули

S = lim Sn (14)

n ^да

де S = a + aq + aq2 + aq3 +...+aqn~1 - частинна сума ряду (13).

При вивченн числових рядiв задача обчислення суми е однieю з основних. Але розв'язання u,ie'i задачi важко сприймаеться бiльшiстю студентсько''' аудиторп. Тому, на нашу думку, варто надати наочност при розв'язаннi задач на обчислення сум числових рядiв взагалi i окремо при обчисленн сум числових рядiв виду (13). Значення суми залежить вщ значення знаменника прогресй' - параметра q. Розглянемо випадки: 1) q = 1; 2) q > 1: 3) q < 1.

(1) q = 1. Геометрична штерпрета^я цього випадку вiдображена на рис. 6.

Рис. 6. Ряд геометрично)'прогресп q = 1, членами якого е значення площ ,а2 ,...,а^ З рис. 6 наочно видно, що Sn - n-а частинна сума ряду (13) мае значення суми площ прямокутник1в 3i сторонами 1

(15)

(16)

Sn + + - +

За формулою (14) одержуемо суму ряду (13) за умови, що q = 1:

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

S = li mS„ = l i mna = œ

Висновок: ряд розбiжний.

(2) q > 1. В цьому випадку геометрична ¡интерпретация ряду (13) мае вигляд, показаний на рис. 7.

Рис. 7. Геометрична нтерпрета^я ряду (13) за умови, що д > 1; членами ряду е значення площ а , а,,..., стп1

Зрозумто, якщо порiвнювати геометричнi iнтерпретацií ряду (13) на рис. 6 i 7, i враховуючи висновок про розбiжнiсть ряду на рис. 6, то одразу можна стверджувати, що ряд геометричноí прогресп зi знаменником q > 1 -розбiжний i його сума прямуе до ад , коли п^ад .

(3) q < 1. Геометрична iнтерпретацiя ряде показана на рис. 8.

Рис. 8. Ряд геометричноï прогресП3i знаменником q < 1, членами якого е значення площ ,а2 ,...,а^

У цьому випадку ми спостер^аемо, що виконуеться необхщна умова збiжностi числових рядiв

! I тгп =! I та^-1 =0 (17)

Але виконання необхiдноí умови не гарантуе збiжностi ряду. Тому використаемо для з'ясування збiжностi чи розбiжностi ряду одну з вщомих достатнiх умов, якою е умова Даламбера. Вщповщно до цiеí умови обчислимо таку границю:

lim aq = limq = q < 1

n^œ aqn 1 n^œ

(18)

Достатня умова збiжностi числового ряду виконуеться для ряду (13) у випадку коли знаменник прогресп q < 1 на вщмшу вщ випадкiв 1 i 2.

i а

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Примтка. Зрозумто, що дослщження ряду геометрично'' прогресй можна здйснювати i за допомогою достатньо' ознаки S = limSn.

Для цього використовуеться формула, за якою задаеться Sn. Для одержання формули помножимо рiвнiсть (19) на q:

S = a + aq + aq2 +... + aqn-1 (19)

i далi обчислимо рiзницю мiж одержаною рiвнiстю i рiвнiстю (19)

Sn (q -1) = a(qn -1) ^ Sn =

a(qn -1) q -1

(20)

Далi обчислюемо суму ряду S:

S =

, -v ,■ a(q" -1)

першии випадок (q = 1): lim—--

q -1

невизначен а границя;

другий випадок (я > 1): Ит| ° I Ит(яп - 1)=ю, ряд розб'жний;

пЛ я -1)

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

трет'!й випадок (я < 1): Ит[ ° I Ит(яп -1)= ° , ряд зб'жний.

я -1)1 - я

Розглянута геометрична iнтерпретацiя числового ряду нескшченно! геометрично! прогресй пов'язана з площами прямокутникiв, тобто е квадратурною. Але можна розглянути i лiнiйну геометричну iнтерпретацiю, представлену на рис. 9-11.

Рис. 9. Довжина вiдрiзкiв, поставлених у т.т. "п" в'дображае члени ряду (13) з> знаменником д = 1

Рис. 10. Довжина вiдрiзкiв, поставлених у т.т. "п" в'дображае члени ряду (13) з'1 знаменником д > 1

Рис. 11. Довжина вiдрiзкiв, поставлених у т.т. "п" в'дображае члени ряду (13) з> знаменником д < 1

Розглянемо шшу штерпретащю ряду геометрично! прогресй (13). При цьому врахуемо, що параметр а е стльним множником i завжди може бути врахований. Будемо розглядати ряд (13) з припущенням, що а = 1:

1 + я + Я2 + Я3 +... + я"-1 +... (21)

Знову будемо розглядати три випадки:

(1) q = 1:

Рис. 12. Значення площ а ,ст2 ,...,ст^ е членами ряду геометричноï прогресП 3i знаменником q = 1

Сума ряду S = limSn = limn — 7c = œ . Ряд розб1жний.

n^œ n^œ 4

(2)qf>l:

Рис. 13. Значення площ а, а2,..., а^ е членами ряду геометричноï прогресП з'1 знаменником q > 1

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Сума ряду S = li mSn = œ.

Маемо ряд з1 знаменником q2

1 1 2 1 4 1 2n

— K + — wq + — wq +... + — wq +... (22)

4 4 4 4

Ряд (22) е рядом з квадратурною геометричною штерпретац1ею. З 1ншого боку маемо:

N0N1 = 1; N0N1 = q ^ N0N2 = 1+q i т. д. ^ ONn = 1 + q + q2 + ... +qn"1 (23) ^ ON = 1 + q + q2 + ... +qN"1 + qN +... (24)

Таким чином, ряд геометрично!' прогресп (24) з1 знаменником q > 1 породжуе ряд шшо! геометрично! прогресП (22) з1 знаменником q2.

Можна також розглядати ряд, членами якого е значення довжин /1, /2, ..., /п - 1,., де Ii = 1л; I2 = lnq; I3 = lnq2; ...; ln = 1nqn-1;...

1n(1 + q + q2 +■■■ + qn-1 + ■■■) Ряд (25) е рядом лшшно! геометрично! штерпретацп.

Дал1 розглянемо ряд, який складаеться з1 значень площ прямокутних трапец1й (див. рис. 13):

(25)

S к

N01qN2, $N1qq2N2

, ..., s

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Nn4n4n+1Nn+1, -

(26)

Для спрощення запису площ1 (26) позначимо через S0, S1, -, Sn+1,... Обчислимо значення вказаних площ

1

q + q2 1

Маемо ряд

1 + 4 1,

= = 2

S, =■

■ = 4q(1 + q)

S, =

2

2 2

= \q2(1 + q)

q2 + q3 1

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Sn=-qn(1 + q)

-(1 + q)(1 + q + q2 + - + qn-1 +■■■)

(27)

(3) q < 1. Геометрична штерпретац1я представлена на рис. 14:

у

Рис. 14. Значення площ аг, ...,оп,... е членами ряду геометричноУ прогресй 3i знаменником q < 1

1п(1 + q + q2 +■■■ + qn-1 + ■■■)

Ряд (29) e числовим рядом квадратурно! штерпретацп. Ряд, членами якого e довжини кривих /1, /2, ..., /п-1,... мае вигляд

in + -nq+-nq2 + ■■■ + inqn-1 + ■■■ = -п(1 + q + q2 + ■■■ + qn-1 + ■■■)

(29)

(30)

2 2 ' 2 ' 2 1 2 Ряд (30) - це числовий ряд лшмно'| iнтерпретацiï. Ряди (25) i (30) щентичы, але ряд (25) розбiжний, а ряд (30) -збiжний.

Аналогiчно ряду (28) можна побудувати числовий ряд для сум величин площ прямолЫшних трапецш 12N2N1, 23N3N2, 34N4N3 i т. д. Значення площ цих трапецш складають наступний числовий ряд:

1 + q q + q2 q2 + q3

+

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

+

+ ■ +

qn-1 + qn

2 2 2

1 qn

-q° +q + q2 + q3 +■■■ + — + ■

1 + qn

q + q2 +q3 + ■■■ + qn-1 + —-— + ■

+ ■■

Sn = Sn-1 +

1 + qn

2

_q(1-qn-2) t1 + q» ьn-1 = : +

1-q

lim Sn-1 = lim

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

q(1 - qn-2) 1 + q"

1-q

2

4

q + 1

1-q' 2 2(1 -q) 2(1 - q)

1 2q + 1- q

Ряд (31) збiжний i мае суму ■

4+1

-, q < 1.

2(1-4)

Висновки. Отже, геометричне моделювання числових рядiв (або у лiнiйнiй, надае можливiсть унаочнити характер 3MÎH члеыв ряду, виконання (або невиконання) також обчислити суму ряду.

Тривае робота колективу авторiв щодо реалiзацiï програмного засобу розглянутих геометричних моделей числових рядiв за рiзних значень параметрiв у математичного призначення CoCalc (скорочення вщ Collaborative Calculation http://cocalc.com; основний структурний компонент - мережна система комп'ютерно!'

(31) ^

(32)

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

(33) ^

(34)

(35)

(36)

або у квадратурнш iнтерпретацiï) необхiдноï умови його збiжностi, а

для автоматизацп демонстрацiй хмаро орieнтованому середовищi in the Cloud; режим доступу: математики SageMath).

Список використаних джерел

1. Ботузова Ю. В. Диферен^альне числення функци ктькох змiнних: розробки практичних занять в аспект використання комп'ютерних, мобiльних технолопй та lнтернет-ресурсiв у вивченнi математичного аналiзу. Навчальний посiбник для студентв фiзико-математичних факультетiв педагогiчних унiверситетiв / Юровоград : Авангард, 2016. 144 с.

2. Корольський В. В. Геометрична Ытерпретащя числових рядiв. Новин комп'ютернi технологи. 2017. Том XV. С. 57-62.

3. Корольський В. В., Габ С.С. ЛЫшна, квадратурна та кубатурна геометрична Ытерпрета^я числових рядiв засобами моделювання. Новин комп'ютерн технологи. Кривий Рiг : Видавничий центр ДВНЗ «Криворiзький наuiональний уыверситет», 2018. Том XVI. С. 67-73.

4. Семертов С. О., Словак К.1. Теорiя та методика застосування мобтьних математичних середовищ у процеа навчання вищо'' математики студентiв економiчних спеuiальностей. lнформаuiйнi технологй i засоби навчання. 2011. Том 21, № 1. 18 с. URL: http://journal.iitta.gov.ua/index.php/itlt/article/download/413/369.

5. Словак К. I., Попель М. В. Технолопя створення лекцшних демонстрацй для ММС «Вища математика». Теорiя та методика електронного навчання. Том 3. 2011. С. 335-345.

2

References

1. Botuzova Yu. V. Dyferentsialne chyslennia funktsii kilkokh zminnykh: rozrobky praktychnykh zaniat v aspekti vykorystannia kompiuternykh, mobilnykh tekhnolohii ta Internet-resursiv u vyvchenni matematychnoho analizu. Navchalnyi posibnyk dlia studentiv fizyko-matematychnykh fakultetiv pedahohichnykh universytetiv / Kirovohrad : Avanhard, 2016. 144 s.

Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

2. Korolskyi V. V. Heometrychna interpretatsiia chyslovykh riadiv. Novitni kompiuterni tekhnolohii. 2017. Tom XV. S. 57-62.

3. Korolskyi V. V., Hab S.S. Liniina, kvadraturna ta kubaturna heometrychna interpretatsiia chyslovykh riadiv zasobamy modeliuvannia. Novitni kompiuterni tekhnolohii. Kryvyi Rih : Vydavnychyi tsentr DVNZ «Kryvorizkyi natsionalnyi universytet», 2018. Tom XVI. S. 67-73.

4. Semerikov S. O., Slovak K.I. Teoriia ta metodyka zastosuvannia mobilnykh matematychnykh seredovyshch u protsesi navchannia vyshchoi matematyky studentiv ekonomichnykh spetsialnostei. Informatsiini tekhnolohii i zasoby navchannia. 2011. Tom 21, № 1. 18 s. URL: http://journal.iitta.gov.ua/index.php/itlt/article/download/413/369.

5. Slovak K. I., Popel M. V. Tekhnolohiia stvorennia lektsiinykh demonstratsii dlia MMS «Vyshcha matematyka». Teoriia ta metodyka elektronnoho navchannia. Tom 3. 2011. S. 335-345.

THEORETICAL AND METHODOLOGICAL PRINCIPLES OF GEOMETRIC MODELING NUMERICAL SERIES V. Korolskyi, S. Shokaliuk, Yu. Melnychenko

Kryvyi Rih State Pedagogical University, Ukraine

Abstract. The problem of visualizing abstract mathematical concepts and objects, searching for their geometric interpretations, in particular with the use of modern information and communication technologies, various Internet services and mobile applications, acquires an enormous spread in various scientific and methodical fields. New publications and manuals on higher mathematics or mathematical analysis show sufficient number of various examples for the description of mathematical abstractions by sections "Investigating the continuity of a function", "Differentiating a function" or "Integrating a function," etc. In this case, examples of visualization of numerical rows, more precisely the finite number of their elements, are rather monotonous and methodically unattractive, in spite of their practical significance.

The implementation of the geometric modeling of numerical series gives the opportunity to construct new numerical series of different types, to find comparable numerical series, to find out their specific, imperceptible when using traditional sign models of the regularities of the behavior of the members of a series and their application in theory and practice.

In the article all stages of geometric modeling of numerical series are shown on the two examples - harmonic series and a series of geometric progression.

For harmonic series we consider examples of linear and quadratic interpretation, and derive the formulas of the general terms of the obtained series. For a number of geometric progressions we consider cases where the progressive denominator is equal to one, less than one and more than one.

The team of authors is working on the implementation of a software tool for automating the demonstrations of the geometric models of numerical series under consideration at various parameter values. As a tool of software implementation we use CoCalc, a cloud-oriented environment for mathematical purposes. The main structural component of the CoCalc environment is SageMath's network system of computer mathematics. mode of access by environment - http://cocalc.com.

Key words: harmonic series, geometric progression, calculus, simulation, numerical series.