CC BY
134
Арсеньев С.А. ©
Доктор физико-математических наук,
Институт физики Земли имени О.Ю.Шмидта. Российская Академия Наук
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЛАВНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ И ПЛАНЕТ
Аннотация
Рассмотрена проблема создания теории и методов расчета магнитного поля Земли и планет. Получено наиболее общее уравнение генерации магнитного поля.
Ключевые слова: магнитное поле Земли и планет, моделирование.
Keywords: magnetic field of the Earth and planets, modeling.
ВВЕДЕНИЕ
Проблема разработки адекватной теории генерации магнитного поля Земли и планет -одна из фундаментальных проблем физики. Ее история начинается с работы Уильяма Гильберта, издавшего в 1600 году сочинение [8]. Он считал, что Земля является намагниченным шаром и объяснил магнитное наклонение стрелки компаса, которым активно пользовались английские моряки. Теория Гильберта господствовала в науке вплоть до начала ХХ века. Можно показать, что намагниченный диполь, расположенный в центре Земли с магнитным моментом 8 10 СГСМ дает хорошее приближение к наблюдаемому полю Земли. Такое же поле можно создать, намагнитив только внутреннее ядро до величины 10 СГСМ. [4].
Гипотеза Гильберта была опровергнута Пьером Кюри, который в 1895 году открыл явление исчезновения остаточной намагниченности тела при нагреве до критической температуры ^ и выше. Температура ^ была названа точкой Кюри, при ее достижении скачкообразно изменяются и другие свойства твердых тел - удельная электропроводность и теплоемкость. Для железа ^ = 758 оС, для никеля ^ = 374 оС, такая температура достигается в недрах Земли на глубине менее 200 км в пределах литосферы. Попытки объяснить недипольную часть геомагнитного поля за счет намагниченности земной коры, то есть верхних 30 км также потерпела неудачу. Оказалось, что требуемая намагниченность горных пород гораздо больше наблюдаемой [23]. Модель Гильберта остаточной намагниченности можно привлечь для объяснения слабого магнитного поля небольших небесных тел типа астероидов или мертвых с геологической точки зрения планет и спутников, у которых отсутствует тектонико-магматическая активность. Например, Марс и Луна не имеют четко выраженного планетарного магнитного поля, оно очень слабое {на Марсе, например в 500 раз слабее главного геомагнитного поля}, хотя на их поверхности встречаются отдельные области его повышенного значения. На Марсе они могут быть связаны с намагничиванием железосодержащих пород вблизи поверхности {именно они дают красный цвет этой планете} в далеком геологическом прошлом, когда там были активны вулканы Олимп и Арсия, а в долине Маринер сформировалась система разломов. Аналогичная ситуация могла быть и на Луне, но более вероятен другой сценарий. Известно, что в прошлом Луна находилась близко от Земли и была частично расплавлена действием приливных сил. Впоследствии она начала удаляться от Земли и охлаждаться. Когда температура пород стала ниже точки Кюри, они приобрели слабую намагниченность от Земли и Солнца.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
© Арсеньев С.А., 2015 г.
В конце ХХ века, когда были открыты и сформированы основные законы электромагнетизма, появилась гипотеза о том, что Земля может быть электромагнитом. Было показано, что, подбирая систему электрических токов, текущих с востока на запад вдоль границы, разделяющей мантию и ядро, при плотности тока пропорциональной косинусу широты, можно намагнить внутреннее ядро до величины 10 СГСМ и получить главное дипольное поле Земли [4, с.205]. Однако уже в 1883 году Горас Лэмб [32] показал, что такие токи будут затухать из-за потерь на нагрев проводника {тепло Ленца - Джоуля} за время порядка 106 лет для сферы с размерами Земли и металлической проводимостью. Неясно как такие токи возникают и устанавливаются в ядре Земли. Поэтому электромагнитные модели главного геомагнитного поля нужно дополнять исследованием электродвижущих сил, поддерживающих электрические токи в недрах Земли.
В XIX веке в связи с накопившимися данными наблюдений была поставлена и решена задача формального математического описания магнитного поля Земли { вариации магнитного склонения и наклонения начали наблюдаться в Лондоне с 1540 года [4]}. Русский ученый И.М.Симонов в 1835 году доказал, что потенциал магнитных частиц, равномерно распределенных в теле планеты, совпадает с потенциалом диполя [25]. Затем появились работы немецкого математика Карла Гаусса [7], в которой магнитный потенциал Земли был разложен в ряд по шаровым функциям. Было показано, что основной член этого ряда, описывающий главное геомагнитное поле, совпадает с потенциалом диполя Симонова. Магнитный момент главного диполя равняется магнитному моменту однородного намагниченного шара и выражается через среднее намагничивание
M=4pR3I • {1}
3 сР
Физический смысл остальных членов ряда Г аусса-Симонова раскрыл другой русский ученый Н.А.Умов [28]. Это, в частности, дало возможность определить вековые изменения геомагнитного поля, обнаруженные Геллибрандом в 1634 году. Формально, члены ряда Гаусса-Симонова соответствуют различным комбинациям из одного, двух, трех и более диполей {то есть диполям, квадруполям, октуполям и мультиполям}. К 1950 году были найдены численные значения всех основных коэффициентов ряда Гаусса-Симонова [9], причем оказалось, что коэффициенты, соответствующие основному диполю Симонова, за столетие уменьшились почти на 7 %, Земля как бы размагнитилась и этот процесс продолжается и в настоящее время.
Главный результат этих исследований состоит в том, что почти 99 % современного геомагнитного поля может быть представлена полем диполя Симонова, расположенным вблизи центра Земли. Ось диполя наклонена к оси вращения Земли на угол a » 11,5 градусов, и геомагнитные полюса отстоят от географических полюсов на 11,5 градусов. При этом в северном полушарии находится южный магнитный полюс { вектор магнитной индукции направлен вниз}. Величина магнитного момента диполя в настоящее время составляет 8,3 10 А *м , а средняя величина магнитной индукции вблизи поверхности Земли равна приблизительно 510-5 Тл. Напряженность геомагнитного поля убывает от магнитных полюсов к магнитному экватору от 55,7 до 33,4 А/м {от 0,7 до 0,42 Э}. Не дипольное поле получается вычитанием эталонного дипольного поля из наблюдаемого в данное время. В целом отклонения от поля диполя имеют характерный размер 104км и величину в максимуме до 10-5 Тл, образуя мировые магнитные аномалии { например, Бразильскую, Сибирскую, Канадскую}. Главное геомагнитное поле испытывает лишь медленные вариации { их называют вековые вариации} с периодом от 10 до 104 лет, причем наблюдается их выраженный полосовой характер: 10-20, 60-100, 600-1200 и 8000 лет. Основной период -около 8000 лет - характеризуется изменением дипольного момента в 1,5 - 2 раза. В ходе вековых вариаций мировые аномалии движутся, распадаются и возникают вновь. В тропиках хорошо выражен западный дрейф геомагнитного поля со скоростью около 0,2 градусов в год. В результате вековых вариаций геомагнитный полюс прецессирует относительно географического полюса с периодом около 1200 лет.
Николай Умов [28], анализируя ряд Гаусса-Симонова, высказал мысль, что близость оси магнитного полюса диполя к оси вращения Земли не случайна, то есть Земля намагнитилась благодаря своему вращению. Эту гипотезу поддержал в начале ХХ века английский ученый Сазерленд, который в серии работ 1900, 1903, 1904 и 1908 годов предложил конкретный механизм такого намагничивания [10,11]. Благодаря гравитации и огромному давлению внутри Земли электроны проводимости выдавливаются из глубинных недр к ее поверхности. В результате происходит разделение зарядов: центральная область Земли заряжается положительно, а приповерхностные области - отрицательно. Вся планета остается нейтральной, то есть полный заряд Земли равен нулю. Из-за вращения Земли возникает и вращение зарядов. Движение же зарядов, в том числе круговое, по определению есть электрический ток, и он должен порождать магнитное поле. Это, по мысли Сазерленда, и есть главное магнитное поле Земли.
Гипотезу Сазерленда проверил виртуоз физического эксперимента П.Н.Лебедев в 1909-1911 гг. [17]. Он предложил заменить гравитационные силы центробежными, они возникают при вращении тела. На специально построенной установке П.Н. Лебедев вращал образцы из эбонита, латуни {медно-цинковый сплав}, воды и бензола. Скорость вращения образцов доходила до 35000 об/мин. Но стрелка магнитометра так и не отклонилась! В 1928 году эксперименты П.Н. Лебедева повторили американцы Сванн и Лангакр, а в 1984 году -русский физик из Дубны Б.В.Васильев [10;11] с тем же нулевым результатом. Надо отметить, что в распоряжении Б.В.Васильева была техника очень высокого уровня -сверхпроводящие экраны и сквиды {квантовые супер чувствительные магнитометры}. Несмотря на это, убедительных доказательств возникновения магнитного поля при вращении диэлектриков, пара и диамагнетиков так и не было получено.
Почему же Лебедеву не повезло с новым открытием? Дело в том, что он использовал образцы не способные намагничиваться. Стоило ему заменить свой, например, эбонитовый образец, на образец, сделанный из железа, или никеля, или кобальта и он получил бы магнитное поле от ферромагнетика, намагничивающегося при вращении. Это явление было открыто в 1909 году Самуэлем Барнеттом, в физике оно получило название прямого гиромагнитного эффекта Барнетта. Кроме того, в 1908 году английский физик О.Ричардсон, следуя идеям Максвелла [35], теоретически исследовал связь намагничивания и вращения, и указал на возможность обратного гиромагнитного эффекта - ферромагнитное тело, намагниченное вдоль некоторой оси, приобретает около нее вращательный импульс, пропорциональный намагниченности. Это явление было экспериментально обнаружено в 1915 году де Гаазом и А. Эйнштейном.
Гиромагнитные явления легко объяснить, если ввести магнитный момент р.
Например, если замкнутый электрический ток плотности j{r} течет в ограниченном объеме V, то создаваемый им магнитный момент есть
Если ток, создается движением системы из k точечных зарядов ek с массой mk , имеющими скорость vk, то формулу {2} можно записать в виде
и индекс «среднее» означает усреднение микроскопических величин по времени. Стоящее в правой части {3} векторное произведение пропорционально вектору момента количества движения частицы Lk = mk [rk х vk]. Следовательно,
1
{2}
fi=
{3}
'ср
fl =
e
L.
{4}
2 mc
Формула {4} относится к системе зарядов, находящихся в вакууме. В сплошной среде в нее вводят дополнительный коэффициент пропорциональности и записывают в виде тензорной связи магнитного момента Mi и момента импульса Li
M =^— 1 2 mc
gjLj.
{5}
Тензор второго ранга gij содержит 9 величин, которые называются гиромагнитными коэффициентами [16]. Их значения, измеренные для ряда ферромагнетиков, можно найти в таблицах С.В. Вонсовского [6,с.396]. Фактически при вращении ферромагнетиков возникает эквивалентное магнитное поле [16]
H =
e
2 mc
{6}
пропорциональное скорости вращения wj . Он намагничивает ферромагнетик до величины
1 = %н,, {7}
где % - магнитная восприимчивость вещества. Подставляя {7} в {1} находим магнитный момент ферромагнитной Земли
4 4 e
M, = 4pr3 cH, = 4pR3 c{-—} teJ-1 w.
3 3 2 mc J J
{8}
Как видим, чем сильнее вращается ферромагнитное небесное тело, тем больше его магнитный момент, намагниченность и магнитное поле.
К сожалению не все так просто - эффекты Барнетта и де Г аза Эйнштейна не работают при температурах выше точки Кюри tk . Поэтому ядро Земли, хотя оно и состоит из ферромагнитных сплавов железа и никеля [18], намагничиваться вращением не может. Тем более не может намагничиваться и мантия Земли, которая состоит в основном из силикатов. Близость оси вращения Земли к оси основного магнитного диполя оказывается случайной и гипотеза Николая Умова не подтверждается. Совпадение этих осей наблюдается на Сатурне, где aS » 10 и где скорость вращения планеты w = 1,67 10-4 рад/c превышает скорость вращения Земли w = 7,29 10-5 рад/c. Однако на лежебоке Уране, где au » 600 и скорость вращения юи = 1,63 10-4 рад/c, магнитное поле Hu = 22800 нТл вполне сравнимо с магнитным полем Сатурна Hs = 21000 нТл и с магнитным полем Земли HE = 30950 нТл {здесь Hu, Hs, HE - напряженности дипольного поля планет на поверхности у экватора [12]}.
Таким образом, гипотезу о намагничивании Земли и планет вращением фактически похоронил П.Н. Лебедев в 1911 году. Однако она, как птица Феникс, способна возрождаться из пепла снова и снова. В 1947 году Блэкетт [30] сравнив магнитные поля Земли, Солнца и звезды 78 Девы, предложил эмпирическую формулу
. , const*G112 т {9}
м, =---------L >
c
связывающую магнитный момент Мi с угловым моментом Li {здесь G - постоянная тяготения Ньютона}. Формула {9} по существу {с точность до констант} совпадает с гиромагнитным соотношением {5} и гипотезой Вильсона [36], которая повторяет гипотезу Н. Умова [28] о возможности намагничивания Земли вращением. Московский физик Е.В. Ступоченко обосновал и вывел соотношение {9}, считая, что гравитация внутри небесного тела вызывает поляризацию атомов, а плотность небесного тела постоянна [26]. Работы Блэкетта и Ступоченко интенсивно обсуждались специалистами {см. обзоры [4; 10;11 ;23]}. Было показано, что если магнитное поле создается вращением всей массы небесного тела, то его горизонтальная составляющая будет убывать с глубиной. Однако измерения в шахтах показали обратное - горизонтальная составляющая геомагнитного поля с глубиной возрастает. Отсюда следует, что источник главного геомагнитного поля находится внутри Земли. Лабораторные эксперименты, проведенные самим Блэккетом, не подтвердили
гипотезу Умова. К тому же уточненные данные о магнитном поле Солнца не соответствуют формуле {9}.
Новые идеи в проблеме происхождения магнитного поля Земли и планет пришли из астрофизики, изучающей звезды. В 1903 году Хэйл {Hale G.C.} обнаружил сильные магнитные поля вокруг пятен на Солнце {известных еще древним китайцам и заново открытых Галилеем в 1611 году}. Было сделано предположение, что, они связаны с вихревыми движениями фотосферы вокруг пятен, хотя конкретных теоретических моделей предложено не было. В 1919 году английский физик-теоретик Джозеф Лармор [33] писал: «Поверхностные явления на Солнце указывают на существование внутренней циркуляции вещества, главным образом в меридиональных плоскостях. Это внутреннее движение индуцирует электрическое поле, действующее в движущейся среде: и если вокруг оси Солнца образуется проводящий контур, то электрический ток потечет по нему и сможет в свою очередь увеличивать индуцируемое магнитное поле. Таким образом, внутреннее циклическое движение может действовать подобно циклу динамо с самовозбуждением и поддерживать постоянное магнитное поле на неизменном уровне за счет энергии внутренней циркуляции».
Идея Лармора о порождении магнитных полей звезд механизмом динамо была подхвачена немецким физиком Вальтером Эльзассером [31], который попытался применить ее к планетам, в частности к Земле, имеющей расплавленное металлическое ядро, в котором могут циркулировать электрические токи. Они-то и создают согласно идее динамо главное геомагнитное поле за счет энергии крупномасштабных течений. Эльзассер полагал, что течения, и токи в расплавленном ядре имеют термоэлектрический характер. Ему возразил Яков Френкель, который в 1947 году указал на то, что термоэлектрическая теория ведет к существенным трудностям [29]. Рассмотрев наиболее вероятное физическое состояние ядра Земли, Я. И. Френкель предложил заменить термоэлектрические токи токами вертикальной конвекции, возникающей из-за выделения теплоты при распаде тяжелых радиоактивных веществ в ядре Земли. При этом он сравнивает ядро Земли с турбогенератором. Роль турбины играют конвекционные токи, так как градиент температуры в ядре оказывается сверхадиабатическим. При наличии слабого затравочного начального магнитного поля эти токи будут обеспечивать постепенное усиление поля до тех пор, пока потери на преодоление вязкости и сопротивления не компенсируют работу Архимедовых сил плавучести, вызывающих конвекцию. Используя весьма правдоподобные оценки по порядку величины, Я.И.Френкель [29] нашел, что магнитное поле внутри Земли может достигать 10 000 эрстед, что существенно больше магнитного поля наблюдаемого на ее поверхности. Далее он показывает, что эту цифру можно снизить, разбивая конвекцию на ряд ячеек, аналогичных, например ячейкам Бернара. В этом случае средняя величина поля оказывается обратно пропорциональной квадратному корню из числа ячеек, то есть уменьшается.
Модель конвективного динамо Я.И. Френкеля [29] была затем развита и дополнена в многочисленных работах Эльзассера, Булларда, Паркера, Зельдовича, Соколова, Геллмана, Герценберга, Бакуса, Брагинского и других авторов { см. подробнее обзоры [4;3;5;13;14;15;20;21;22;23]}. Лоус и Уилксон [34] построили лабораторную модель работающего динамо, которая продемонстрировала способность менять полярность магнитного поля. Подобные смены полюсов действительно регулярно наблюдаются на Солнце с периодом 22 года и обнаруживаются в палеомагнитных данных отражающих геологическую историю Земли [19]. Согласно этим данным главное геомагнитное поле за последние 4 миллиона лет четыре раза меняло свою полярность. Теория динамо объясняет инверсии поля нестабильностью самого механизма генерации поля и вариациями в структуре ядерных течений.
Гидродинамические процессы внутри ядра Земли можно изучать, анализируя данные о вековых вариациях скорости суточного вращения Земли, которые связаны с перераспределением момента вращения между мантией и ядром Земли. Этот момент существенно зависит от характера конвекции и волновых движений в ядре Земли.
Наблюдаемые астрономами изменения продолжительности суток удивительных образом совпадают с изменениями скорости западного дрейфа главного геомагнитного поля [4].
Хотя модели динамо позволяют качественно объяснить основные особенности главного геомагнитного поля, окончательная теория, дающая метод расчета и прогноза магнитного поля Земли до сих пор не построена. Проблемы вызваны не только недостатком сведений о процессах происходящих в недрах Земли, но и математическими трудностями решения полной системы уравнений магнитной гидродинамики, состоящей из связанных между собой уравнений гидродинамики и уравнений электромагнитной теории Максвелла. Пытаясь избежать эти трудностей, многие авторы идут на упрощения задачи, принимая различные, сомнительные {а иногда и просто неверные} гипотезы. Например, было построено очень много лабораторных механических моделей дискового динамо, иллюстрирующих возможность усиления поля {см. обзоры [4], [23]}. Но применить их к реальным процессам нельзя - в ядре Земли нет никаких металлических дисков, вращающихся на осях, оснащенных особыми токосъемниками. В современных лабораторных моделях вращаются не диски, а специальные цилиндры в электропроводящей жидкости. Они самовозбуждаются и производят собственное магнитное поле за счет энергии вращения. Однако в этих моделях не соблюдаются принципы теории подобия и размерности, позволяющие переносить результаты лабораторных опытов на реальные природные процессы [24]. Теоретическое моделирование всегда выполняется в приближении заданного поля скоростей течений { так называемые модели кинематического динамо}. При этом неявно предполагается, что магнитное поле на течения электропроводящей жидкости не влияет. Это условие выполняется в слабых магнитных полях. Однако, в недрах Земли, как уже отмечалось выше, магнитные поля могут достигать очень больших величин.
УРАВНЕНИЕ ИНДУКЦИИ
Во всех современных работах по теории динамо, вместо полной системы уравнений магнитной гидродинамики, используется одно, приближенное «уравнение магнитной индукции»
-----rot[vхH] + rot[v rotH 1 = 0 ,
Э t l m J
2
в котором vm = c / 4 ps - так называемая “магнитная вязкость”, с - скорость света в вакууме и s - электропроводность {удельная проводимость} вещества ядра. При записи уравнений в данной работе мы используем симметричную, абсолютную систему единиц Гаусса [27], в которой все величины выражаются в единицах СГС {сантиметр, грамм, секунда}, а единица электрического заряда определяется через силу взаимодействия Кулона. Используя тождества
rot [VxH ] °{H V}v - {v V}H + vdivH - Hdivv , {11}
rot {rotH} ° grad {divH}-A H {12}
и учитывая, что
divH = 0, divv = 0 {13}
{магнитные заряды отсутствуют, жидкость несжимаема}, уравнение {10} можно привести к виду
DH
Dt
где
v AH ={HV}v ,
m к j у
{14}
+ {v V} H
dH = э H Dt Э t
- полная {субстанциональная} производная от поля H в переменных Эйлера.
{15}
Уравнение индукции {10} или {14} является очень плохим приближением к действительности и его применение ведет к ошибочным результатам. Причина состоит в том, что при его выводе были сделаны необоснованные предположения. А именно:
1. Электропроводность вещества ядра считается очень большой величиной. Фактически считают, что s ® ¥, но диффузионный член с vm в уравнениях {10} или {14} оставляют, потому что он пропорционален c2, а скорость света с - очень большая величина. Тем не менее, поскольку величина s также является очень большой, диффузия в таких моделях динамо является слабой, она лишь слегка сглаживает и размывает магнитные поля. Иногда ей вообще пренебрегают, рассматривая уравнение индукции в виде
— + {v V} Й = {Й V v} Э t
{16}
Адвективный член {vV}H переносит поле H как пассивную примесь со скоростью v. Генерация же поля осуществляется за счет эффекта растяжения магнитных силовых линий движущейся средой, который описывается членом {HV}v. При этом, для того, чтобы механизм растяжения работал, приходится накладывать существенные ограничения на поле возможных скоростей v и на топологию магнитных силовых линий. Результатом является большое количество запретительных теорем: антидинамо Каулинга, антидинамо Зельдовича, антидинамо Булларда, Геллмана и другие [23;22;5;19;14,21;16]. Для среды с бесконечно большой электропроводностью { идеальная плазма или сверхпроводник}, для которой справедливо уравнение {16}, имеет место теорема о “вмороженности силовых линий магнитного поля “. Здесь могут возникать волны Альвена, эффект выталкивания силовых линий магнитного поля из сверхпроводника и другие явления [1;14;16;22]. Подобные среды можно найти в космосе, где магнитное число Рейнольдса Rm = U L /vm {U - характерная скорость, L - характерный масштаб} очень велико, Rm >> 1 из-за больших астрономических масштабов L или исчезающей магнитной вязкости vm ® 0 {за счет сверхпроводимости s® ¥}. В ядрах планет магнитное число Рейнольдса мало Rm<<1. Масштабы здесь отнюдь не галактические, а сопротивление металлов с ростом температуры растет, то есть в ядрах планет электропроводность не может быть очень большой. Таким образом, современные модели динамо, основанные на уравнениях {10},{14}или{16}, для построения теории магнетизма Земли и планет абсолютно не пригодны.
2. При выводе “уравнения индукции” {10} или {4} или {16} авторы работ
[4;23;5;15;20;21;22;29;31] необоснованно пренебрегли токами смещения Максвелла. Это недопустимо, потому что нарушается закон сохранения заряда, который является таким же фундаментальным законом, как и закон сохранения энергии. В результате из “уравнения индукции” исчезла вторая производная по времени и оно, из уравнения гиперболического типа превратилось в вырожденное параболическое уравнение типа уравнения диффузии с источником, роль которого играет правый член в уравнении {16} или {14}. Известным дефектом подобных уравнений является отсутствие конечной области, занимаемой полем. Диффузионный размыв приводит к тому, что мы можем обнаружить поле на любом, в том числе на бесконечно большом расстоянии от источника, куда оно переносится мгновенно {отсутствует конечная скорость передачи магнитных возмущений из одной области в другую}. Электрический заряд в таких моделях не сохраняется, он может исчезать или появляться, создавая фиктивные электрические и магнитные поля не адекватные действительности.
УРАВНЕНИЕ ГЕНЕРАЦИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Покажем, как вывести правильное уравнение генерации магнитного поля, не обладающее указанными дефектами. Для этого выпишем уравнения Максвелла при наличии токов и зарядов, но при отсутствии поляризации и намагничивания, что уместно при высоких температурах в недрах Земли и планет. Имеем
1 Эй
c Э t
+ rot E = 0
{17}
1 дE r 4p r n c д t c
div E = 4p р , divH = 0 , e
{18}
{19}
Уравнения {19} является следствием уравнений {17}, {18} и закона сохранения объемного заряда ре
дре r „ {20}
д t
+ div j = 0
Для замыкания этой системы нужно привлечь закон Ома, учитывая движение проводящей среды и наличие сильных магнитных полей
j=s{E+Ecm} + %xH] + pev+k[jhxH] . {21}
c
Здесь k и jh - постоянная Холла и токи Холла, существенные в сильных магнитных полях, Ест - сторонняя электродвижущая сила, возникающая в ядрах планет за счет, например, электрохимических процессов.
Подставим закон {21} в уравнение Ампера-Максвелла {18} и возьмем от результата операцию ротор. Учитывая {11} - {13}, получим
1 д rotE + c к H + srotE+ srotE +
4p д t s
4p
+— rot[vxH] +perotv+krot[jhxH] = 0 ,
Отсюда, учитывая {17}, найдем
д H - c2DH + 4psdH = 4pcsrotE + д t2 д t cm
{22}
+ 4psrot[vxH] + 4pcpe rotv+4pckrot[ jhxH] .
Уравнение {22}, принимая во внимание формулы {11},{13}, удобно записать в виде
д2 H
д t2
- c2 DH + 4ps
DH
Dt
= 4ks{h v)
v +
{23}
+ 4pcsrotE + 4pcр rotv+4pckrot[ j xH]
Мы получили наиболее общее уравнение генерации магнитного поля в недрах Земли и планет.
Уравнение генерации {23} учитывает не только эффект растяжения силовых линий магнитного поля {первый член в правой части}, но и работу внутренних ЭДС {второй член в правой части}, а также возникновение магнитного поля за счет движения объемных зарядов { третий член справа} и генерацию магнитного поля токами Холла { четвертый член справа}. Масштабным анализом легко показать, что первый член в правой части уравнения генерации поля {23} намного меньше второго, третьего и четвертого члена и в первом приближении может быть вообще отброшен [2]. Это, возможно, потому что второй, третий и четвертый член умножаются на скорость света с, а первый член справа в уравнении {23} такого большого множителя не имеет. Другими словами, генерация поля за счет растяжения магнитных силовых линий полем скорости в недрах Земли и планет неэффективна по сравнению с другими механизмами. Из-за конечной электропроводности s теорема Альвена [1] о «вмороженности» силовых линий магнитного поля H в движущуюся со скоростью v среду не работает, так как захват магнитного поля движением среды является слабым. Гораздо более важной является возможность генерации магнитного поля движением зарядов, токами Холла и сторонними { электрохимическими} электродвижущими силами в ядрах Земли и планет.
Существенно также, что первые три члена в левой части уравнения генерации поля {23} описывают распространение возмущений магнитного поля с конечной скоростью, не
совпадающей со скоростью света в вакууме с. Они учитывают затухание возмущений из-за наличия конечного сопротивления среды, обратного ее электропроводности s.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Сформулируем основные результаты, полученные в данной работе.
1. Проблема разработки адекватной теории происхождения главного магнитного поля Земли и планет рассмотрена как история возникновения и проверки различных гипотез. Последовательно отброшены как несостоятельные гипотезы о намагничивании ферромагнитной Земли остаточным магнетизмом, разделение зарядов за счет гравитации и вращения в недрах Земли, о токах вызываемых термоэдс в неравномерно нагретой Земле {периоды вековых вариаций геомагнитного поля намного меньше характерных времен перестройки теплового поля}. С физической точки зрения наиболее привлекательной является теория гидромагнитного динамо. Однако она, хотя и качественно объясняет основные особенности геомагнитного поля, но до сих пор не доведена до стадии законченной теории.
2. Основные затруднения связаны не только с недостатком фактических сведений о внутреннем строении Земли и планет, но и с математическими трудностями решения полной системы уравнений магнитной гидродинамики. В статье подробно обсуждено основное уравнение современной теории динамо - так называемое «уравнение индукции». Показано, почему это уравнение является плохим приближением к действительности и почему применять его для построения теории магнетизма Земли и планет нельзя.
3. Получено уравнение генерации магнитного поля Земли и планет. Оно принимает во внимание токи смещения Максвелла и удовлетворяет закону сохранения электрических зарядов. Учитываются также движение электропроводящей магмы в ядре Земли, наличие объемных зарядов, токи Холла, а также сторонние электродвижущие силы {например, электрохимического происхождения}, вызывающие незатухающие токи в ядрах Земли и планет и порождающие магнитное поле.
Литература
1. Альвен Г., Фельтхаммар Л.Г. Космическая электродинамика. М.: Мир, 1967. 260 с.
2. Арсеньев С.А. Электромагнитные поля в торнадо и смерчах// Вестник Московского универ. Сер.3: физика и астрономия - 2012 - № 3- С. 51 - 55.
3. Арсеньев С.А., Бабкин В.А., Губарь А.Ю., Николаевский В.Н. Теория мезомасштабной турбулентности. Вихри атмосферы и океана. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамики», 2010. 308 с.
4. Ботт М. Внутреннее строение Земли. М.: Мир, 1974. 375 с.
5. Буссе Ф.Х. Проблемы теории динамо планет. В кн.: «Космическая и магнитная гидродинамика». М.: Мир, 1995. С. 58 - 66.
6. Вонсовский С.В. Магнетизм. М.: Наука, 1971. 1032 с.
7. Гаусс К. Избранные труды по земному магнетизму. М.-Л.: изд-во АН СССР, 1952. 341 с.
8. Гильберт В. О магните, магнитных телах и большом магните - Земле. М.: изд-во АН СССР, 1956.
9. Головков В.П., Коломийцев Г.И., Потапова И.М. Динамика главного магнитного поля Земли. В кн.: «Электромагнитные и плазменные процессы от Солнца до ядра Земли». М.: Наука, 1989. С.212 - 232.
10. Григорьев В.И., Григорьева Е.В., Ростовский В.С. Бароэлектрический эффект и электромагнитные поля планет и звезд. М.: Физматлит., 2003. 191 с.
11. Григорьев В.И. Электромагнетизм космических тел. М.: Физматлит., 2004. 112 с.
12. Долгинов Ш.Ш. Исследование магнитных полей планет. В кн.: «Электромагнитные и плазменные процессы от Солнца до ядра Земли». М.: Наука, 1989. С.247 - 261.
13. Жарков В.Н. Внутреннее строение Земли и планет. М.: Наука,1983.416 с.
14. Зельдович Я.Б., Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д. Магнитные поля в астрофизике. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»,2006. 384 с.
15. Краузе Ф., Рэдлер К.Х., Магнитная гидродинамика средних полей и теория динамо. М.: Мир,1984. 315 с.
16. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука,1992. 663 с.
17. Лебедев П.Н. Магнитометрические исследования вращающихся тел. В кн.: «Избранные сочинения». М.: Гос. тех.- теор. издат., 1949. С. 229 - 242.
18. Магницкий В.А. Внутреннее строение и физика Земли. М.: Наука,2006. 392 с.
19. Монин А.С. История Земли. Л.: Наука,1977. 228 с.
20. Монин А.С. Теоретические основы геофизической гидродинамики. Л.: Гидрометеоиздат., 1988. 424 с.
21. Моффат Г. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. М.: Мир, 1980. 343 с.
22. Паркер Е. Космические магнитные поля. Их образование и проявления. М.: Мир, 1982.В 2-х томах.
23. Рикитаки Т. Электромагнетизм и внутреннее строение Земли. Л.: Недра. 1968. 332 с.
24. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1970.
25. Симонов И.М. Опыт математической теории земного магнетизма// Учёные записки Казанского университета - 1835.
26. Ступоченко Е.В. О происхождении магнетизма Земли// ДАН СССР - 1948 - Т.62 - № 4 - С. 477 -481.
27. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Гос. тех. - теор. издат., 1957. 620 с.
28. Умов Н.А. Избранные сочинения. М.-Л.: Гос. тех. - теор. издат., 1950.
29. Френкель Я.И. Земной магнетизм. В кн.: «Собрание избранных трудов. Научные статьи». Том II. М.-Л.: АН СССР, 1958. С. 572 - 583.
30. Blackett P.M.S. The magnetic field of massive rotating bodies// Nature {London} - 1947 - Vol. 159 - P. 658 - 666.
31. Elsasser W.M. On the origin of the Earth’s magnetic field// Phys. Rev. - 1939-Vol. 55 - P. 489 - 498.
32. Lamb H. On electrical motions in a spherical conductor// Phil. Trans. Roy. Soc. {London}. Ser. A -1883- Vol. 174 - P. 519 - 549. Also : 1889 - Vol.180- P.513 - 518.
33. Larmor J. How could a rotating body such as the Sun become a magnet ? // Rep.Brit. Ass. Advmt. Sci. {for 1919} - 1920 - P. 159 - 160.
34. Lowes F.J., Wilkinson I. Geomagnetic dynamo: a laboratory model// Nature {London} - 1963 -Vol.198 - P. 1158 - 1160.
35. Maxwell J.K. Treatise on Electricity and Magnetism. Oxford: Vol.2, 1904.
36. Wilson H.A. An experiment on the origin of the Earth’s magnetic field// Proc. Roy. Soc. {London}. Ser. A - 1923 - Vol. 104 - Pp.451 - 455.
