CC BY
33
УДК 534.222
И.Б. Старченко
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ АНТЕННЫ
Характерной особенностью всякой реальной среды является ее неоднородность. Рассеянные случайными неоднородностями волны, накладываясь на первичную волну, вызывают флуктуации результирующего поля, которые характеризуются отклонением показателя преломления ^ от среднего значения =1.
Поведение параметрической антенны в воде, содержащей случайные меняющиеся во времени неоднородности, представляет практический интерес. Они возникают вследствие таких факторов, как локальная турбулентность и температурная микроструктура. В параметрической антенне две взаимодействующие высокочастотные волны при распространении испытывают флуктуации по амплитуде и фазе. Следовательно, эти флуктуации переносятся и на объемную плотность источников разностной частоты. Кроме того, при распространении волны разностной частоты от параметрической антенны, на эту волну также накладываются флуктуации за счет среды распространения.
Уравнения ХЗК первого и второго приближений имеют вид [1]:
Решение уравнения первого приближения (1) для бигармонической волны
Пусть первичные волны в элементарном объеме dVi задаются следующим общим выражением [2]
(ры = от - - случайная фаза первичной волны; Ап - комплексная амплитуда,
представляют, соответственно, флуктуации амплитуды и фазы в
дт дх 2с0р0 дТ J 2
(1)
С \ 0, 0- J
(2)
(1)
накачки можно записать в виде р ’ = рь + р2 + е.п.
х - продольная координата, со - круговая частота, т- время,,%2і) и (£1г.,Б21)
логарифмическом масштабе в элементарном объеме dVi,
Хт = х(х',г ), $т = $(х',г ). Теоретические результаты для осевых флуктуаций
акустической волны разностной частоты, возникающих за счет нелинейных взаимодействий между плоскими первичными волнами в случайной среде, впервые были представлены Смитом [2]. Плотность источника в элементарном объеме dVi задается выражением (для Фурье-компоненты разностной частоты О)
4i
£П2 B B e~ j(T-SU + S2i ) з B1iB2ie •
4c0p0
(4)
где е - нелинейный параметр, со - скорость звука в воде, р0 - плотность воды.
Решая уравнение (2), получим выражение для расчета амплитуды давления волны разностной частоты в статистически неоднородной среде [3]
Р-{г,X) = -8^_J___dx'J A(,r')A2*(x,r')exp((,r') + X2i (xy))
8c0 p00 x x 0
X
x exp
-j
Kr2 + r'2
2 x - x
-- Sn (x,r')+ S2i (x,r')
/ \
Krr'
x -x
(5)
r’dr ’ •
С другой стороны в (5) амплитудные и фазовые флуктуации волны разностной частоты определятся выражением
Р _ = Ро_ехР (х_ + _) (6)
где Р0 _ - давление ВРЧ в среде, свободной от рассеивателей.
Приравняем (5) и (6)
sK2 x Ю e-ax’
P0_exP(x_+ jS-) = -71—J J--------;AiA*exP
J J r — r
-j
rKr2 + r'2 ^
8C0P0 0 J0 x - x ^ 2 x - x
x exP[Xli + X2i + j(S1i - S2i )] r 'dr'dx
J n
Krr
r \
X
V x-- J
(7)
Вводя обозначение
-ax’
I (x, r') = A1 (x', r')A* (xf, r')- exp <
x x
-j
t \
Krr V x - x ' J
перепишем (7) в виде
x Ю
J J1 (x',r')exp[xii + Zn + j(Sii - S2i)]drdx
exP (x_ + jS _) = —---------------------------------------------------—- (8)
J JI (x', r')dr'dx'
0 0
Знаменатель в (8) известен - это давление ВРЧ в однородной среде. Разделим в (8) действительную и мнимую части. В предположении малости флуктуаций Х| << 1, IS << 1, разложим exp в ряд, ограничимся первыми двумя членами. Тогда с точностью до постоянного множителя (8) запишется в виде
1 11 ( + Д- (к'
X + ^-----------------------
Л, — J — х го
| | Мт'(х '
о о
где X =Хц +Х2г, 8 = $1,- + $2г ■
Разделяя действительную и мнимую части, получим следующие выражения для флуктуаций амплитуды и фазы волны разностной частоты.
Х_ =
о о
х го
(Ю)
| | Мт (х'
о о
1 1 [ Яе (1) $ + 1т (1) X, (' (х'
хго
$
о о
л ^
1 1 Мт' (х'
(11)
о о
Для среднеквадратичных флуктуаций амплитуды и фазы ВРЧ получим 2\ 1
х го
X
Л
1 1 Мт'(х'
V о о
■1 1[Яе (1,)Яе (11 \xixi) + 1т (1, )1т(+ )(8+-
о о
(12)
{8_2) =
х го
1 1 Мт (х ’
V о о
- Яе )1т (. )(() + {ZjSi))
1 1[Яе (1>)Яе ( )) ^у) +1т (+)1т (+ KXiX■)
хго
+
о о
(13)
+Яе (^)1т (• )((} + (SjXi))
Уравнения (12), (13) дают среднеквадратичные значения амплитуды и фазы разностной частоты в терминах различных корреляционных функций.
Исследуемые корреляционные функции имеют вид и .
Здесь и представляют собой пространственные корреляционные
функции для флуктуаций амплитуды и фазы, соответственно. Индексы I и у относятся к различным выборкам. представляет собой функцию
пространственной кросс-корреляции амплитудных и фазовых флуктуаций в элементарных объемах V- и V]. Здесь члены
и ^1(2)Д(2)у > являются
пространственно-корреляционными функциями для сигналов, передаваемых из одной и той же точки и принимаемых в двух разных точках. Члены х2 7),
(х2гХ17) и ^£2^, ^2г^ являются членами пространственной кросскорреляции. Т.к. то ((%1г + Х2г )(Х1, + Х2г )} = (4Хо,Хо) , где Хо - флуктуации
волны центральной частоты /0 (средняя флуктуация). Для расчета
корреляционных функций первичных волн параметрической антенны воспользуемся известными выражениями [4], полученными для линейного моночастотного сигнала:
2 = ^(и2)^3^ + В2 ), (14)
п 41 й , г
где В = —-, а - размер неоднородностей, к - волновое число, Ь - расстояние
ка
до приемника.
Продольная автокорреляция флуктуаций амплитуды (фазы) в различных точках приема. Если расстояние между приемниками АЬ' порядка радиуса корреляции а' (АЬ ' ~ а') и ка>>1, то
{хх) = ( = ^П{м2) к 2аЬ. (15)
Коэффициент корреляции может быть определен как
N, = Х_Х_/_______у,\м }< 1. (16)
- /22/2 / Х_Х_,
Отношение флуктуаций линейного сигнала такой же частоты, что и ВРЧ Хь можно оценить как (^хЬ) = г ) = (Х27). Тогда
л ш
~2 / ЦКе(7г )Ке(I, )К_гАГ'
хк / = .0.0
(17)
ХЬ (Р )2
Здесь Рь - звуковое давление в линейном случае. Оценочные расчеты
Х2 /
показали, что << 1, т.е. флуктуации разностной частоты в дальней зоне
/ Хь
сравнимы с флуктуациями линейного сигнала, что также согласуется с расчетными зависимостями среднеквадратичных отклонений амплитуды и фазы волны разностной частоты, показанными на рис. 1.
x, м
a)
б)
Рис. 1. Расчетные значения среднеквадратичных флуктуаций амплитуды (а) и фазы (б) волны разностной частоты параметрической антенны (fo=150 кГц,
F_=10 кГц, P0=250 кПа, диаметр антенны 30 см, ^2^=8-10"8, a=5 м [5]).
1- разностный сигнал параметрической антенны, 2 - линейный сигнал с частотой эквивалентной разностному сигналу.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Новиков Б.К., Руденко О.В., Тимошенко В.И. Нелинейная гидроакустика. Л.: Судостроение, 1981. 264 с.
2. Chotiros N.P., Smith B.V. A Theoretical and Experimental Study of the Behavior of a Parametric Array in a Random Medium. J. of Sound and Vib. 1981. V. 74. №3. Pp. 395-410.
3. Старченко И.Б. Теоретическое исследование формирования параметрической антенны в среде со случайно-изменяющимися параметрами на основе уравнения Хохлова-Заболотской-Кузнецова. // Доклады IX научной школы-семинара академика Л. М. Бреховских "Акустика океана", XII сессия Российского акустического общества. М.: ГЕОС.- 2002. C. 175-179.
4. Чернов Л.А. Волны в случайно-неоднородных средах. М.: Наука, 1975. 172 с.
5. УрикР.Дж. Основы гидроакустики. Л.: Судостроение, 1978. 446 с.
