CC BY
84
ВЕСТНИКЛ
ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ЩИ1Н ', "
МОРСКОГО И РЕЧНОГО ФЛОТА ИМЕНИ АДМИРАЛА С. О. МАКАРОВА^
УДК 532.511:51-72 А. В. Коптев
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОБТЕКАНИЯ ЦИЛИНДРА ПОТОКОМ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ ПРИ НАЛИЧИИ ЭКРАНИРУЮЩЕГО ЭФФЕКТА
Предложен аналитический метод решения плоской задачи обтекания кругового цилиндра установившимся потоком идеальной среды при наличии экранирующей поверхности. Метод основан на решении краевой задачи для уравнений установившегося движения идеальной несжимаемой среды при граничных условиях непроницаемости вдоль контуров обтекаемого цилиндра и экранирующей поверхности. В качестве определяющих уравнений использовался интеграл уравнений Эйлера для 2D установившегося движения идеальной несжимаемой среды. Решение задачи реализовано с применением асимптотических методов. В результате получены новые формулы, определяющие подъемную силу и лобовое сопротивление обтекаемого тела как функции исходных параметров, справедливые при малых размерах обтекаемого тела по сравнению с размерами набегающего потока. С помощью пакета стандартных программ Maple найдены значения этих величин при различных исходных параметрах и с учетом эффекта экранирования.
Ключевые слова: обтекание, круговой цилиндр, идеальная несжимаемая жидкость, экранирующая поверхность, уравнение, интеграл, подъемная сила, лобовое сопротивление, экранирующий эффект.
1. Экранопланы и экранолеты. По международной классификации (ИМО) экраноплан относится к многорежимным морским судам. Экраноплан — это перспективное транспортное средство, для которого в основном режиме эксплуатации движение происходит над водной поверхностью без контакта с ней, существенно используя при этом эффект экранирования («эффект экрана») [1] - [5]. Для экранолета возможен дополнительно и режим движения на значительном удалении от поверхности («самолетный режим»).
Основной принцип движения экраноплана можно сформулировать как выигрыш в подъемной силе за счет экранирующего эффекта. Экранирующий эффект, или эффект экранирования, был обнаружен в 30-х гг. XX в. результате экспериментальных исследований. Он состоит в том, что при движении потока в узком пространстве между обтекаемым телом и экраном (водной или земной поверхностью) возникает значительное увеличение подъемной силы, и движение может осуществляться в более экономичном режиме при значительной экономии топлива.
Экраноплан способен передвигаться на большие расстояния и на малой высоте над водной (земной или ледовой) поверхностью со скоростями порядка 400 - 600 км/ч. Достоинства экрано-планов и экранолетов как поисковых, спасательных и экономичных транспортных средств очевидны. Производство, освоение и внедрение таких аппаратов органично вписываются в Морскую доктрину, представленную Президентом РФ летом 2015 г. Интерес к таким средствам передвижения проявляется со стороны различных Министерств РФ — Министерства транспорта, МЧС и Минвостокразвития. Однако серийное производство экранопланов и экранолетов в РФ пока не начато. Для организации такого производства требуются современные технологии, высокоточное оборудование и применение специальных конструкционных материалов. Немаловажен и теоретический аспект. Теория экранирующего эффекта на сегодняшний день разработана недостаточно. Теоретические исследования в этой области заметно отстают от потребностей практики.
Необходимо всестороннее теоретическое изучение экранирующего эффекта, которое позволит получить количественные зависимости, расчетные формулы и в конечном итоге позволит более точно рассчитывать основные элементы конструкции [6] - [8].
В данной работе предлагается рассмотрение теоретического аспекта проблемы с помощью модели обтекания кругового цилиндра при наличии экранирующего эффекта. Предполагается, что набегающий поток формируется идеальной несжимаемой средой (газом или жидкостью) заданной плотности. Экранирующий эффект создается за счет горизонтальной плоскости, располо-
са
[128]
женной внизу, на некотором удалении от обтекаемого тела. Таким образом, предлагается рассматривать классическую задачу обтекания кругового цилиндра потоком идеальной несжимаемой среды при существенных уточнениях — обтекание происходит при наличии экранирующей плоскости и при этом допускается наличие завихренности набегающего потока.
Основной целью является вычисление подъемной силы (lift force) и лобового сопротивления (drag) и исследование влияния на эти характеристики экранирующего эффекта. Также поставим задачей выявить количественные зависимости основных характеристик от расстояния до экранирующей плоскости и получить аналоги известных формул типа Чаплыгина - Жуковского для данного случая.
2. Математическая постановка задачи. Задачу предлагается рассматривать в декартовой системе координат, центр которой совмещен с центром окружности, получающейся в результате сечения цилиндра перпендикулярной плоскостью. Ось OX направим перпендикулярно оси цилиндра и параллельно экранирующей плоскости, ось OY — перпендикулярно экранирующей плоскости, вверх. Все дальнейшие выкладки будем вести в безразмерных переменных, при следующем выборе масштабов. Пусть L и U0 соответственно — масштабы длины и скорости, pU2 — масштаб давления. Окружность, задающая контур обтекаемого тела, определяется уравнением х2 + у2 = r2,
R
где r = —--безразмерный радиус цилиндра. Величины p, U0 и r считаем заданными положительными параметрами. Экранирующую плоскость полагаем расположенной параллельно главной оси
H
цилиндра на глубине h = —. Такая плоскость задается уравнением у = -h, где h — некоторый положительный параметр, удовлетворяющий ограничению h > r.
К рассмотрению предлагается плоская задача, когда движение одинаково во всех плоскостях перпендикулярных оси цилиндра. В отличие от работы [9], в предлагаемой постановке допускается наличие завихренности набегающего потока. В качестве основных неизвестных, как это и принято при рассмотрении плоской задачи обтекания, полагаем u, v, p, где u и v — скорости потока, соответственно продольная и поперечная, p — давление. В качестве вспомогательной величины рассмотрим функцию тока х, у) [10] - [13].
Решение задачи будем строить в виде разложений по степеням х" • ym, где n и m — целые неотрицательные числа, такие что n + m < N, а N — номер приближения. Предварительные вычисления показывают, что для получения нетривиальных зависимостей достаточно рассмотреть пятое приближение N=5, когда функция тока задается выражением
=ZZ
x"y"
(1)
Величины апт в формуле (1) — некоторые коэффициенты, не зависящие от х и у. В правой части (1) число таких коэффициентов равно 21. Скорости и, V определяются через функцию тока согласно выражениям
u _dFi. dFi
u _ ——; v =---
ду ; '• (2)
Ясно, что при N=5 скорости и и V будут задаваться в виде многочленов четвертой степени относительно хп • ут. Старшим коэффициентом разложения для продольной скорости и является а Положим, для простоты, а = 1. Это соответствует тому, что размерное значение этой величины равно ио, где ио определяет масштаб скорости.
Задачу будем рассматривать при следующих граничных условиях. Условие первое — условие непротекания вдоль контура обтекаемого тела [12] - [13]. Это условие требует, чтобы вдоль контура обтекаемого тела вектор скорости был направлен по касательной. Для нашего случая данное условие можно задать равенством
(ux + vy)
'x +y =Г
2 = 0.
(3)
Второе граничное условие — условие непротекания на экранирующей поверхности. Это условие соответствует тому, что на экранирующей поверхности вектор скорости направлен вдоль нее. Для нашего случая это условие сводится к соотношению
v(x, -h) = 0. (4)
Потребуем также выполнимости дополнительного, третьего граничного условия. Оно получается из рассмотрения выражения u (x, y) при x = -1, т. е. u (-1, y). Это выражение задает профиль продольной скорости в сечении x = -1. В рамках рассматриваемого приближения его можно представить в виде
u (-1, у) = 1 + 5j у + 52 y2 + 53 y3 + 54 y4,
где 5. — некоторые коэффициенты разложения.
Чтобы избежать парадокса Даламбера [12] - [13], потребуем отсутствия симметрии профиля по y. Для этого достаточно потребовать, чтобы нечетные коэффициенты разложения были отличны от нуля:
5, ф 0, 83 Ф 0. (5)
Так что в качестве третьего граничного условия потребуем выполнимости ограничений (5).
В качестве определяющих уравнений рассмотрим 2D уравнения Эйлера для установившегося движения идеальной несжимаемой среды [12] - [13]:
ди ди _ д(р + Ф); dv dv _ д(р + Ф); (6)
дх ду дх дх ду ду
du dv „
= (7)
где Ф — обозначает потенциал внешних сил. Для нашего случая Ф = gy, где g — ускорение свободного падения.
Решение и все последующие вычисления значительно упростятся, если использовать не уравнения (6) непосредственно, а первый интеграл этих уравнений. Вывод и описание первого интеграла уравнений Навье - Стокса для движения вязкой несжимаемой среды и уравнений Эйлера, как частного случая, приведены в работах [14] - [18]. Для случая 2D движения первый интеграл уравнений Эйлера сводится к трем соотношениям:
U 2
p + gy + ~Y + d = 0 (8)
2 2 д2¥2 д2¥2 д 2 "2-v2 + UV = ~~дхду' (9)
где ¥2 — обозначает новое ассоциированное неизвестное, U и d — соответственно модуль скорости и диссипативный член, вычисляемые по формулам:
ГТ /2,2, 1 (д2х¥ 2 д2х¥ 21
и = , d = - ^ ) (10)
Таким образом, в качестве основной задачи, определяющей математическую постановку, имеем граничную задачу для уравнений (7), (9) при граничных условиях (3 - 5). Решение этой задачи позволит определить скорости u, v и неизвестное ¥ Давление определяется затем по соотношению (8) с учетом (1°).
3. Решение. В рамках пятого приближения скорости u и v задаются в виде многочленов четвертой степени относительно xn • ym. Выражения для скоростей получаются из (2) с учетом (1), и они заведомо удовлетворяют уравнению неразрывности (7). Подберем коэффициенты anm так, чтобы изначально удовлетворить граничным условиям (3 - 5). Первым удовлетворим условию (3). Выражения для u и v подставим в левую часть (3) и, приведя подобные члены, приравняем нулю коэффициенты при одинаковых степенях xn • ym. Получим равенства, которые дают новые ограничения на коэффициенты:
J29|
»ВЕСТНИК
ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
МОРСКОГО И РЕЧНОГО ФЛОТА ИМЕНИ АДМИРАЛА С. О. МАКАРОВА
1 , * 1 , й^о ч 1 , 1 / «10 \
а05 = 2 (а03 + т), «50 = 2(«30 + г), а41 = _ТГ (а21 + ~т), а14 = 2 (а12 + г)'
г г г г г г г г
а32 =— + а30 + 2 аХ^ =—+ «03 + 2 О0^' а31 = а13 =— '
^22 ^ / \ ^22 1 / \ «04 = "2 2т1 2 — «20Л а40 = + ^02 — а20) .
С учетом этих ограничений выражения для скоростей принимают вид
и = 1 + а11х + 2а02у + а21х2 + 2а12ху + За03у2 - —ух3 + 2а22х2у - 3—1ху2 + а22 + а20 2а°2^у3
а21 1 ^ 4 2 ( 2а10 ^ 3 3 ( 2 ^ 2 2 4 ( а10 ^ 3 5 ( 1 ^ 4
7Т + Г4 )Х - Г2^а12 + а30 ¡ХУ - Да21 + а03 + Г2 )Х У - ^12 + ¡ХУ - ^03 + ^2 )У, (11)
V = -(а10 + 2а20х + а11у + За30х2 + 2а21ху + а12у2 + 2^а22 + —02 2а20^х3 - 3 х2у + 2а22ху2 - у3 -
Г5 («зо+«¡^ - Г; (а21+Г2)хV- 3 («12+азо+г?) х2у2 - Г2 (а21+аоз+г?) ху3 - Г (а12+а) у4). (12)
Выражения (11) - (12) удовлетворяют и уравнению неразрывности (7), и условию (3), которое соответствует условию непротекания на поверхности обтекаемого тела. Выражения (11) - (12) содержат девять пока не определенных коэффициентов апт.
Далее рассмотрим условие (4). Левая часть (4) есть многочлен четвертой степени относительно х. Для выполнимости равенства (4) достаточно приравнять нулю все коэффициенты при хп, где п = 0, 1, ..., 4. Это приводит к пяти дополнительным ограничениям:
«30 + Ч = ^ 1(*22 + + 4к + А) = 0, «30 + ^ - ^(«12 + «30 + % = 0;
r 2 r r r r r r
a20 - ha21 + h2a22 + h(a21 + a03 + r2) = 0, aw - han + h2an + ^^ - h^ai2 + Г) = (13)
Чтобы удовлетворить условию (5), нужно воспользоваться выражением (11) при x = -1 и рассмотреть первые два нечетных члена разложения по координате у. В результате получаем еще два дополнительных равенства:
«02 - «12 + «22 + 4( «12 + «30 + 2a10] = 8i; ^(«22 - + \(йп + %) = 53, (14)
r ^ Г J 2 Г r r
где S1, 53 — некоторые отличные от нуля параметры.
Таким образом, для того чтобы удовлетворить всем граничным условиям, достаточно разрешить систему семи линейных уравнений (13) - (14) относительно девяти оставшихся коэффициентов anm и получающиеся соотношения использовать в (11) - (12). Предварительный анализ показывает, что мы имеем превышение числа неизвестных над числом уравнений. Три из девяти неизвестных останутся неопределенными. В качестве таких базовых коэффициентов предлагается выбрать a10, a11, a02. Остальные коэффициенты однозначно определяются через них. Решение системы (13) - (14) приводит к следующим результатам:
-_ £10 „ _«02г 2 а11г 2 r21 «10^ Г83 г 2 1 ~ -«11 (л^ h 1 «10 .
КЗ) «2' -ТТ -V-+11+-s, j-2 - r, «, = "l1+J-T?
(л 1 ^a,, 1 -r2 -h 5, (л 2\ ( a,,^ 1 + r2 + h2 „ 4r2
a22 = a02 + I1 - Г2 l-h!1 +-ГЧ?-ai0 + 21, a20 ^i1 + r )'l a02 --J 1+-h2--al° + (§3 ~ .
a _-«oar!+f!+rL\an-rl±hLa -fi+rL\-r2+h (15)
a°3 _ h3 +11 + h2\ h2 h «10 Г + h2\ 4h r2h2 • (15)
Таким образом, выражения (11) - (12), с учетом (15), изначально удовлетворяют и уравнению неразрывности (7), и граничным условиям (3) - (5). Эти выражения содержат в качестве параметров величины г, к, 51, 53, и в них фигурируют три пока не определенных коэффициента а10, ап, а02. Для их определения обратимся к уравнениям (9). В этих уравнениях, наряду с и, V, фигурирует также и ассоциированное неизвестное ¥ Это неизвестное также зададим в виде степенного разложения
^ 2(х, у) = £ £Ьптх"ут, (16)
п=0 т=0
где Ъпт представляют некоторые, пока не определенные коэффициенты.
Подставляя (16) в (9) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях хпут в левых и правых частях, получаем систему линейных неоднородных уравнений относительно Ъпт. Анализ этой системы приводит к следующему выводу. Система допускает решение только в том случае, если выполнены условия совместности. В рамках рассматриваемого приближения условия совместности сводятся к трем уравнениям относительно базовых коэффициентов а а а02. Эти уравнения следующие:
+ _ + ^ + 210 = 0; (17)
h 101 Ъ1 3) 3 3h
а02
(Р - ')' + '2) + 4 (' + Р + '2 (Р + Р)+ '4 (- Р + Р)) + а» ((1 + *))- Р + Р )
г2 ( . 10 6 | г4 ( _ 6 || (2 5 12 2г2 (_ 7 3 | 4г4 ( 3 ..
+131-4 + 10 + ¥| + 15 (-2 + /62)) + ^ [Г2 - /5 - ¥ + цг [2 - /7 - ¥) + I1 - 22|| + 2 ( ~ ,2 (1 , 6 ^ 4 (0 6 ^ 2 ( , 3 2 ( о , 4 6 ^ 4 ( 2 6
+ад, - г ^+^ j+^ - ¥ JJ+-р +¥+- +¥+Т4 )+ г +Т4))+
+ (36,+5, + г'М + г4&-Ы(5,) + г'§(5, -8,}) + ( » -12 + « +
2Г15 51 83 > г4 („ , „ 383 3§! 3 3 ^ 3г6 ^ ( 10 6 6 2 ( 383 5§3 + г [йй + -И - 2И> т12§1 -1'5§3 + ~¥ -# + 2 + 2/7 ] + 1¥ ^ *11 (-1* + А - ¥ + Г 2Л4 - # +
+ 551 - 3501 + ^Г-28 - 55з + 35^ + а Г14-2Л2 + 4 + 6 + г2- 1,55з + 5§з -7§д + + + 2h2 2h4^ + h2t 251 И2 + h2 + а10[ гЧ1 + h2 + h4 + Г ^ h + 2И3 + h4^ +
„4
+
а*-1,58, + = о; (>8)
+ "1г[7 -3+^+0" >1)++р+^+5.)+<-(6'+35-)=(19)
Уравнения (17) - (19) нелинейные, что является следствием нелинейности исходных уравнений (9). Решение в общем виде уравнений (17) - (19) представляется достаточно сложным. На данном этапе предлагается применить асимптотический подход и тем самым значительно упростить вычисления. Асимптотические методы широко используются в задачах гидроаэромеханики. Достаточно вспомнить известную формулу Н. Е. Жуковского для подъемной силы в случае безвихревого обтекания профиля потоком идеального газа [13]. Применительно к задачам обтекания с учетом экранирования асимптотический подход использовался в работе [19].
Для нашего случая предлагается использовать разложения по малому параметру г2, R2
где г2 —> 1 (или ® 1). В результате будут получены формулы, справедливые для случая малых размеров обтекаемого тела по сравнению с размерами набегающего потока. Разложения а
по степеням г2 зададим в виде
а = а(0) + а® г2 + а(2)г4 + + а (к)г2к +
(20)
где а(П2 — коэффициенты разложения. Эти величины зависят от параметров к, 51, 53, но не зависят от г2. Для получения приближенных формул достаточно найти главные члены асимптотических разложений, а именно — члены, соответствующие к=0 и к=1. Подставим (20) в уравнения (170 -(19), определяющие а а02, а10 и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях (г2)1 в обеих частях. Для значений ] = -1 и ] = 0 получаем следующие соотношения:
(0)а(0) _ _4а(0) + 5. а(0) + а(0) 5) . 11 Г) — ""ПО ~ т "11 I П , о ,
h
h2
(21)
д(°)2 -"10 _
Зк^ 3 - И2
,(0)
15 - И
3И2
(0)4 + а(0)7АМ5 02 "ю 3И3
(22)
а(°)а(°) = и02иЮ — и1
(0)_
(3 - к2) + а°2 (3 - к) + "10 8h(3 - к2) .
Система (21) - (23) представляет квазилинейную систему относительно а1(0), а00), а^ с квадратичными нелинейностями в левых частях. Уравнения (21) - (23) существенно проще уравнений (17) - (19). Для разрешения уравнений (21) - (23) предлагается подход, основанный на следующих рассуждениях. Все члены в левых частях пропорциональны а^. Обозначим эту величину, как %. Тогда (21) - (23) можно рассматривать как систему трех линейных однородных уравнений относительно а1(0), а02), а}0) с главным определителем А, зависящим от к и %. Известно, что система однородных линейных уравнений имеет нетривиальные решения, только если А = 0. Причем, таких решений будет бесконечное множество. Для нашего случая имеем равенство нулю определителя третьего порядка:
(0)_
- + а,
(0)
(58 - 21к2)
(23)
-Хк2 + 5к -4к2
-32к -х8к(3 - к2) + 32к к(15 - к2) 12к2
3к2 - 5 58 - 21к2 -Хк(3 - к2) + 7к2 -15
= 0.
(24)
Равенство (24) приводит к кубическому уравнению относительно %. Каждый корень этого уравнения дает возможное значение неизвестного а}0). Неизвестные а1(0), а02 определяются через него посредством простых линейных операций. Таким образом, будут найдены а1(0), а^, а^ и, значит, построены нулевые члены асимптотики (20) при г2 — 0. Для того чтобы построить следующие члены асимптотики, нужно найти величины а}1/, а02, а^. Вычисления приводят к следующей системе для их определения:
а®
"11
са
(1) 11 _
,(0)
7(0)
+ а®(_ - + 2а(0) а и 1 + "1°(зЙ к ю
т 11 4а0?а1п) + б!)
к
2а1(00) (2 _ 7)
+ а(0)7 _ 4а(0) h
3 - к: 3к2
) = 0'
а(°)2
10 ■ h2
+ 2h2 а11
а (°)а (0) 02 11
^ (h2 _ 1)а10)а;
(0)а(0) , 10
1 ^ а(0)а(0)__а(0) + а(0) (5 + 35 V
"02"м 2к 11 10 1
7(1)
оц | а}Ц) _ ь | + 4а02) + а®
| о(0) _ 3 + А|-_о(0)2__ + о 10 | "11 "11 т7.з ^"10
,к2 + 6
(0)2
3к3
к4 _ 2к2 _ 3 к5
+ о(°)о(°) 11 10
5к2 + 6 3
2к4
+ , -> °0>олл +
к
2И02Щ1
а(0)д(0) + д(0)3(2^2 -1) + д(0)3(1 - Ь2) _ д(0)_3 _ 35 + 53
"10 ^3 02 3 ь2 ^"11 ^ у3 10 2
Следуя описанной процедуре, последовательно разрешим систему (21) - (23) относительно aj(0), aj(0), a$, а затем и систему (25) относительно off, a$, a®. В результате будут определены, с точностью до членов первого порядка, величины anm, а затем и Ьпт. Тогда по формулам (11) - (12) и (8) определятся и основные неизвестные u, v и p. Это позволит, в свою очередь, вычислить и все другие интересующие нас величины.
4. Подъемная сила и лобовое сопротивление. Исходные общие формулы для вычисления этих важнейших характеристик при обтекании тела потоком несжимаемой среды приведены в [12] - [13]. Для нашего случая их можно представить в виде:
2п 2п
Fy = -J p (r cos ф; r sin ф)-r sin ф^ф; Fx = -J p (r cos ф; r sin ф)-r cos yd ф. (26)
0 0 В формулах (26) интегрирование производится по углу ф, вдоль контура окружности радиуса r в пределах от нуля до 2п. Подынтегральное выражение определяется функцией p(x, y), где x = r cosф, y = r sinф. Функцияp(x, y) находится согласно уравнению (8), с учетом (10), (16).
Последовательные преобразования по формулам (26) с учетом (8) приводят к следующим результатам. В рамках рассматриваемого приближения подъемная сила F и сила лобового сопро-
j—r 2Т2Т12 y
тивления F отнесенные к величине pnr L U определяются выражениями:
_F_= g + 1 +1 а(0) + С 7 3
pnr 2L2U02
' y - g + a(0)a(0) + a(0) + a(o) \ 7 - 3 \ + a(0)(1 - A) +
ЛТ2ТТ2 - g + 2 a11 a10 + 4 a02 + a11 I 4h 4 1 + a10(1 h2> +
+r 2 f 7+3 >|-aM f 21+AVfA -1Yat f1 + _A_+АY24M+
2h ^4 h2) 2h2 ^ 4 h2) 2h ^h2 2) 2h ^2 2h2 h4) 2h2
.(0) fj - M (1+AYa(0) ÍA+A- - 21+f 1 § - 11s 1+1 a(0)a(i)+1 a(0)a(i) -
02 t1 2h2 j 2h t2 + h2 J + ^ 12h4 + 2h2 hJ + U§3 8 bjJ + l*11 *10 + 2a0 Üj1
+ I 1 _ ,2
* . 2/ 2
-«ф^^)}; (27)
^ _ (0) (0) (0)21 3 7 ] 5 (0) 2) 3 (0) (0) 5 (0)2
рлтчщ"а02а10 + а10 12-4л2)+ 4а11 +г г4Ла11 а02 + 8Л2а11 -^('7 +13) + «(5 + $) + ^ (£ + ) + 8324? + (1 * - 5
+ а(%(1) + а(0)а(1) + а(0)а(1) (3__—1 + 5 а(1) 1 (2 8)
+ а02 а10 + а10 а02 + а10 а10 I 3 2^2 I 4 а1П . (28)
Произведем краткое описание и анализ этих формул. Полученные формулы (27) - (28) являются новыми, они позволяют вычислять Fy и Fx как функции определяющих параметров. Данные формулы, как и известные формулы Жуковского, имеют асимптотический характер. Формулы (27) - (28) справедливы при малых значениях квадрата радиуса обтекаемого тела г2. Правые части формул представлены суммами двух групп слагаемых. Первые группы есть результат нулевого приближения по г2. Слагаемые первых групп зависят от значений базовых коэффициентов в нулевом приближении, т. е. зависят от а|0), а}0, а02. Эти слагаемые дают основной вклад в величины Fy и Fx. Слагаемые вторых есть результат первого приближения по г2, они пропорциональны
г2. Эти слагаемые зависят также и от значений базовых коэффициентов в первом приближении,
„(1) „(1) „(1) т. е. от величин а\0, ац, а02.
В правых частях присутствуют в качестве параметров также величины к, 51, 53. Величина к представляет расстояние от обтекаемого тела до экранирующей плоскости и во многом определяет степень влияния экранирующего эффекта на Fx и F . Поскольку к присутствует лишь в знаменателях правых частей, то очевидно, что при уменьшении величины к влияние эффекта экранирования будет возрастать.
Гш|
»ВЕСТНИК
ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
МОРСКОГО И РЕЧНОГО ФЛОТА ИМЕНИ АДМИРАЛА С. О. МАКАРОВА
Параметры 5р 53 определяют зависимость степени несимметричности набегающего потока на Fx и F . Чем более несимметричен набегающий поток, тем больше по модулю величины 5р 53. Поскольку в правых частях формул (27) - (28) величины 51 и 53 присутствуют с разными знаками, то их влияние на Fx и Fy неоднозначно.
Кроме перечисленных величин в правой части формулы (26) для F присутствует и g. Эта величина есть безразмерное ускорение свободного падения. Она представляет относительный вклад от архимедовой силы в выражении для F При обтекании воздушной средой со скоростями порядка 500 (км/ч) вклад от этой величины по сравнению с другими слагаемыми мал.
5. Результаты расчетов. При некоторых значениях определяющих параметров по формулам (26) - (28) были произведены расчеты Fx и Fy. Расчеты были выполнены для случая r = 0,2, что соответствует предположению о малости размера цилиндра по сравнению с размерами набегающего потока. Безразмерное расстояние до экранирующей плоскости принималось как h =2,0; h =1,0 и h =0,5. Эти значения соответствуют расстоянию до экранирующей плоскости равному 10R; 5R и 2,5R соответственно. Рассматривая Fx и F при значениях h в указанном порядке, т. е. при убывании h, представляется возможным проследить влияние экранирующего эффекта на Fx и Fy. Чем меньше h, тем ожидаемо больше это влияние. Значения параметров 51 и 53 при расчетах были выбраны как 51 = 53 = 4. Это соответствует средней степени несимметричности набегающего потока.
Предварительно в качестве вспомогательных величин были вычислены значения базовых коэффициентов а11, a02, аш. Значения нулевого и первого членов асимптотических разложений аПт и a®,, которые присутствуют в правых частях формул (27) - (28), были найдены с помощью стандартных программ пакета Maple. Результаты представлены в табл. 1.
Таблица 1
Значения базовых коэффициентов
h \ a nm a(0)11 \ a(1)11 r2 a(0) \ a(1) r2 " 02 02 ' a(0) \ a(1) r2 " 10 10 '
2,0 4,158 \ -0,014 2,138 \ -0,042 0,766 \ 0,022
1,0 2,000 \ 0,100 1,500 \ 0,065 1,000 \ 0,020
0,5 2,588 \ 3,007 4,873 \ -10,929 0,326 \ -0,620
Каждая строка таблицы соответствует определенному значению к. Численные значения коэффициентов представлены в столбцах таблицы. Для удобства анализа и расчета по формулам
(27) - (28) значения коэффициентов представлены в виде дроби, в числителе которой дано аЩ,
(1) 2
а в знаменателе — апт • г .
Результирующие значения лобового сопротивления и подъемной силы, вычисленные согласно (27) - (28) при указанных значениях определяющих параметров, представлены в табл. 2.
Таблица 2
Лобовое сопротивление и подъемная сила как функции расстояния до экранирующей плоскости
С0
[130]
Каждая строка таблицы соответствует определенному значению к в убывающем порядке от к = 2,0 до к =0,5. Значения Fx и F представлены в столбцах таблицы. Эти значения есть результат вычисления F и Fx по асимптотическим формулам с точностью до членов порядка г2, т. е. с учетом и нулевого, и первого приближений. При изменении величины к от 2,0 до 0,5 можно просле-
h \ F. 1 F x F y
2,0 7,263 3,477
1,0 3,830 3,219
0,5 3,455 19,574
ВЕСТНИКЛ
ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
МОРСКОГО И РЕЧНОГО Ф) ОТА ИМЕНИ АДМИРАЛА С. О. МАКАРОВА.
дить следующие закономерности. Величина F возрастает от значения 3,477 при к=2,0 до 19,574 при к =0,5. Т. е. при уменьшении расстояния до экранирующей поверхности в четыре раза имеем увеличение подъемной силы в 5,63 раза. Таким образом, имеем увеличение подъемной силы в результате экранирующего эффекта при приближении к экранирующей поверхности.
Еще одно проявление экранирующего эффекта можно проследить, если рассмотреть изменение величины Fx в зависимости от к. Величина Fx убывает от значения 7,263 при к =2 до 3,455 при к =0,5. Таким образом, при уменьшении расстояния до экранирующей плоскости в четыре раза лобовое сопротивление уменьшается в 2,10 раза.
Выводы. Предлагаемая модель и методика расчета позволяют на практике определять подъемную силу и лобовое сопротивление при обтекании цилиндра потоком идеальной несжимаемой среды при наличии экранирования. Получены формулы, позволяющие определять эти величины, как функции определяющих параметров.
Представляется возможным также определить поле скоростей и давление вблизи обтекаемого тела и оценить влияние экранирующего эффекта на эти характеристики.
Теоретическое обоснование получила высказанная ранее гипотеза о возрастании подъемной силы при приближении обтекаемого тела к экранирующей поверхности. Также получило теоретическое обоснование убывание лобового сопротивления при приближении обтекаемого тела к экранирующей поверхности.
В основном режиме движения экраноплана и то, и другое являются благоприятствующими факторами. Таким образом, теоретически доказано, что выгода от эффекта экранирования получается двойная. С одной стороны, увеличивается подъемная сила, а с другой — уменьшается лобовое сопротивление.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Белавин Н. И. Экранопланы / Н. И. Белавин. — Л.: Судостроение, 1977. — 232 с.
2. МаскаликА. И. Крылатые суда России: история и современность / А. И. Маскалик, Р. А. Нагапетян, А. Я. Вольфензон. — СПб.: Судостроение, 2006. — 240 с.
3. Маскалик А. И. Экранопланы. Особенности теории и проектирования / А. И. Маскалик [и др.]. — СПб.: Судостроение, 2000. — 320 с.
4. Петров Г. Ф. Гидросамолеты и экранопланы России: 1910 - 1999 / Г. Ф. Петров. — М.: Русавиа, 2000. — 248 с.
5. Небылов А. В. Российские экранопланы: новые перспективы в международном сотрудничестве / А. В. Небылов, В. А. Небылов // Русский инженер. — 2013. — № 4 (39). — С. 33-36.
6. Болотин А. А. Математическое моделирование движения экраноплана при разгоне /А. А. Болотин // Труды НГТУ — 2013. — № 5 (102). — С. 283-286.
7. Nebylov A. V. Wing-in-ground Effect Vehicles: Modern Concepts of Design and New Role of Automatic Control / A. V. Nebylov, V. A. Nebylov // 3-rd European Conference for Aero-Space Sciences (EUCASS), EUCASS Association. — 2009. — Pp. 1-10.
8. Lange R. H. Large Wing-in-Ground Effect Transport Aircraft / R. H. Lange, J. W. Moor // Journal of aircraft. — 1980. — Vol. 17. — № 4. — Pp. 260-266.
9. Фролова К. В. Несжимаемое потенциальное течение около цилиндра при наличии циркуляции и экранирующей поверхности / К. В. Фролова, В. А. Фролов // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук. Ч. 6. Аэромеханика и летательная техника: материалы 52-й науч. конф. МФТИ. — М.: Жуковский, 2009. — С. 31-33.
10. Milne-Thomson L. M. Theoretical Hydrodynamics / М. M. Thomson. — London: Macmillan and Co. LTD. — New York: St. Martin's Press, 1960.
11. Кочин Н. Е. Теоретическая гидромеханика: в 2 ч. / Н. Е. Кочин, И. А. Кибель, Н. В. Розе. — М.: Изд-во физико-математической литературы, 1963. — Ч. 2. — 727 с.
12. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа / Л. Г. Лойцянский. — М.: Наука, 1987. — 833 с.
13. Валландер С. В. Лекции по гидроаэромеханике / С. В. Валландер. — Л.: Изд-во Ленинградского государственного университета им. А. А. Жданова, 1978. — 294 с.
»ВЕСТНИК
......иШИЯ- ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
^МОРСКОГО И РЕЧНОГО ФЛОТА ИМЕНИ АДМИРАЛА С. О. МАКАРОВА
14. Коптев А. В. Первый интеграл и пути дальнейшего интегрирования уравнений Навье - Стокса / А. В. Коптев // Известия Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена. — 2012. — № 147. — C. 7-17.
15. Koptev А. V. Generator of Solution for 2D Navier - Stokes Equations / A. V. Koptev // Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. — 2014. — Vol. 7. — № 3. — Pp. 324-330.
16. Коptev А. V The Structure of Solution of the Navier - Stokes Equations / A. V. Koptev // Вестник национального исследовательского ядерного университета МИФИ. — 2014. — Т. 3. — № 6. — С. 656-660. DOI: 10.1134/S2304487X1406008X.
17. Коптев А. В. Как разрешить 3D уравнения Навье - Стокса / А. В. Коптев // Известия Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена. — 2015. — № 173. — C. 7-15.
18. Koptev A. V. Perspectives of Solution of the Navier - Stokes equations / А. V. Koptev // International Conference on Mathematical Control Theory and Mechanics. — Suzdal, 2015. — Pp. 172-174.
19. Панченков А. Н. Асимптотические методы в задачах оптимального проектирования и управления. / А. Н. Панченков, Г. М. Ружников [и др.]. — Новосибирск: Наука, 1983. — 265 с.
THEORETICAL RESEARCH OF THE FLOW AROUND CYLINDER OF AN IDEAL INCOMPRESSIBLE MEDIUM IN THE PRESENCE OF A SHIELDING EFFECT
We offer an analytical solution method for plane problem of an ideal steady incompressible fluid flow around a circular cylinder in the presence of the shielding surface. The method is based on solving a boundary value problem for the equations of steady motion of an ideal incompressible fluid with the boundary conditions of impermeability along the streamlined contours of the cylinder and the shielding surface. As the constitutive equations we use integral of the Euler equations for 2D steady motion of an ideal incompressible fluid. In the result of solving the problem using asymptotic methods derived new formulas that determine the lift force and the drag of the streamlined body as functions of initial parameters. The formulas obtained are fair at the small sizes of a streamline body in comparison with the sizes of the running stream. Using the standard software package of Maple programs we performed calculations andfound out the values of these quantities for different values of input parameters with regard to shielding effect.
Keywords: overflow, circular cylinder, ideal incompressible fluid, shielding surface, equation, integral, lift force, drag, shielding .effect.
REFERENCES
1. Belavin, N. I., Ekranoplana. Leningrad: Sudostroenie, 1977.
2. Maskalik, A. I., R. A. Nagapetjan, and A. Ja. Vol'fenzon. Krylatye suda Rossii: Istorija i sovremennost. SPb.: Sudostroenie, 2006.
3. Maskalik, A. I., et al. Ekranoplani. Osobennosti teorii Iproektirovania. SPb.: Sudostroenie, 2000.
4. Petrov, G. F. Gidrosamolety i jekranoplany Rossii: 1910-1999. M.: Rusavia, 2000.
5. Nebilov, A. V., and V. A. Nebilov. "Rossiiskie ekranoplani: novie perspektivi v megdunarodnom sotrudnichestve". Russkij inzhener 4(39) (2013): 33-36.
6. Bolotin, A. A. "Mathematical modeling of wig vehicle motion during its take-off run." Trudy NGTU 5(102) (2013): 283-286.
S 7. Nebylov, A. V., and V. A. Nebylov. "Wing-in-ground Effect Vehicles: Modern Concepts of Design and New
S Role of Automatic Control." 3-rd European Conference for Aero-Space Sciences (EUCASS), EUCASS Association.
g 2009: 1-10.
8. Lange, R. H., and J. W. Moor. "Large Wing-in-Ground Effect Transport Aircraft." Journal of aircraft 17.4
■T6 (1980): 260-266.
9.Frolov, K. V., and V. A. Frolova. "Nesjimaemoe potensialnoe techenie okolo cilindra pri nalichii ekranirujusei poverhnosti." Sovremennye problemy fundamental'nyh i prikladnyh nauk. Chast' 6. Ajeromehanika i letatel'naja tehnika. - Materialy 52-oj nauchnoj konferencii MFTI. M.: Jukovskii, 2009: 31-33.
10. Milne-Thomson, L. M. Theoretical Hydrodynamics. London: Macmillan and Co. LTD. New York: St. Martin's Press, 1960.
11. Kochin, N. E., I. A. Kibel, and N. V. Rose. Teoreticheskajagidromehanika. Ch. 2. M.: Izd-vo fiz.-mat. lit., 1963.
ВЕСТНИК/
ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
МОРСКОГО И РЕЧНОГО ФЛОТА ИМЕНИ АДМИРАЛД С. О. МАКАРОВА^
12. Lojcjanskij, L. G. Mehanika zhidkosti i gaza. M.: Nauka, 1987.
13. Vollander, S. V. Lecsiipo Hidroatromechanike. L.: Izd-vo Leningradskogo gosudarstvennogo universiteta im. A.A. Zhdanova, 1978.
14. Koptev, A. V." First Integral and Ways of Further Integration of Navier - Stokes Equations." Izvestia: Herzen University Journal of Humanities & Sciences 147 (2012): 7-17.
15. Koptev, Alexander V. "Generator of solutions for 2 D Navier-Stokes equations." Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics 7.3 (2014): 324-330.
16. Koptev, А. V. "The Structure of Solution of the Navier - Stokes Equations." Vestnik natsional 'nogo issledovatel'skogo yadernogo universiteta "MIFI" 3.6 (2014): 656-660. DOI:10.1134/S2304487X1406008X
17. Koptev, A.V. "How to Solve 3d Navier - Stokes Equations." Izvestia: Herzen University Journal of Humanities & Sciences 173 (2015): 7-15.
18. Koptev, A. V. "Perspectives of Solution of the Navier - Stokes equations." International Conference on Mathematical Control Theory and Mechanics. Suzdal, 2015: 172-174.
19. Panchenkov, A. N., G. M. Rujnikov, et al. Asimptoticheskie metodi v sadachah optimalnogo proektirovania I upravlenia. Novosibirsk: Nauka (Siberian Department), 1983.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
INFORMATION ABOUT THE AUTHOR
Коптев Александр Владимирович — кандидат физико-математических наук, доцент. ФГБОУ ВО «ГУМРФ имени адмирала С.О. Макарова»
Koptev Aleksandr Vladimirovich — Phd, associate professor Admiral Makarov State University of Maritime and Inland Shipping
Alex. Koptev@mail. ru
Статья поступила в редакцию 8 декабря 2015 г.
УДК 531.31, 539.3 В. Н. Глухих,
В. М. Петров, Н. Ю. Сойту
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ УПРУГОСТИ С УЧЕТОМ АНИЗОТРОПИИ СВОЙСТВ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ДЛЯ НАМОТКИ ОТВЕТСТВЕННЫХ ОБОЛОЧЕК И СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ В СУДОСТРОЕНИИ И ПОРТОВОЙ ИНФРАСТРУКТУРЕ
В статье рассмотрен новый многоуровневый подход, позволяющий на этапе проектирования конструкций из композитных материалов, полученных методом намотки, определить основные наиболее важные физико-механические характеристики для этих конструкций в зависимости от анизотропии, от- с
вечающие за напряженно-деформированное состояние и критические нагрузки, приводящие к разрушению. с
Изложены результаты, которые показывают, что в плоскости, перпендикулярной
упругости могут иметь несколько экстремальных значений в зависимости от сочетания величин модулей )
упругости и коэффициентов поперечной деформации. Приведены результаты расчетов и построенные на Е
их основе характерные кривые, подтверждающие анизотропию свойств основных физико-механических характеристик композиционного материала. В целом предложенная теория после дополнительных экс- ^^^ периментальных исследований может быть адаптирована не только для расчета оболочек из композиционных материалов, но и для других конструктивных исполнений.
Ключевые слова: композиционные материалы, математическая модель, цилиндрические оболочки, анизотропия свойств, модуль упругости, главные напряжения, постоянные упругости, коэффициент Пуассона, модуль сдвига.
