CC BY
26Варченко И. С., ассистент Украинская инженерно-педагогическая академия
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ НЕРАЗРЕЗНОГО БАРАБАНА ПРИ МНОГОСЛОЙНОЙ
НАВИВКЕ КАНАТА
В статье изложено теоретическое исследование напряженного состояния цилиндрической оболочки канатного барабана при навивке стального каната в несколько слоев. Исследуется поведение барабана в зоне упругости. В результате анализа поведения цилиндрической оболочки и реборды барабана получено напряжённо-деформированное состояние барабана. Теоретические исследования, которые базируются на уравнении цилиндрической оболочки С.П. Тимошенко, решаемые по теории Герца о статическом деформировании контактирующих объектов, сравниваются с результатами эксперимента, которые были получены путем тензометрических измерений напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки канатного барабана.
Ключевые слова: цилиндрическая оболочка, стальной канат, напряженность оболочки, тензометрия, деформация стенки цилиндрической оболочки, контактные напряжения.
1. Ведение
В подъемно-транспортной технике широкое применение находит многослойная навивка. Однако существуют нерешенные задачи, которые являются камнем преткновения для внедрения многослойной навивки в ряд областей подъемной техники. Главной проблемой навивки каната в несколько слоев является повышенный износ каната. Именно замена каната является основной частью затрат на обслуживание подъемной установки. Известны случаи, когда стоимость каната приравнивалась к стоимости всей подъемной установки без каната. Такие случаи встречаются в шахтном подъеме, где длинны канатов, достигают десятки километров. Поэтому повышение рабочего ресурса подъемного каната при многослойной навивке является актуальной сферой исследований. Решение данной задачи заключается в устранении критических мест, где и происходит повышенный износ каната. Критические места образуются при перегибе и защемлении каната между соседними витками и лобовиной канатного барабана, при формировании высших слоев. Поэтому необходимо исследовать канатный барабан на предмет его взаимодействия с канатом. Исследуется поведение барабана в зоне упругости. В результате анализа поведения цилиндрической оболочки и реборды барабана получаем напряжённо-деформированное состояние барабана. Теоретические исследования, которые базируются на уравнении цилиндрической оболочки С.П. Тимошенко, решаемые по теории Герца о статическом деформировании контактирующих объек-
тов, сравниваются с результатами эксперимента, которые были получены путем тензометриче-ских измерений напряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки канатного барабана.
2. Постановка задачи.
При исследовании напряженно-деформированного состояния неразрезного барабана, являющегося оболочечным элементом конструкции, при многослойной навивке большое значение имеет задача контактного взаимодействия барабана с канатом. Необходимость исследований таких процессов возникает в связи с распространенностью такого рода механизмов в современном подъёмно-транспортном и пр. машиностроении, а также весьма слабой изученностью проблемы, в частности при многослойной навивке каната на барабан. Так же является актуальным вопрос оптимизации конструкции барабана при многослойной навивке. Особый интерес представляет закономерность напряжённо-деформированного состояния барабана в зависимости от числа витков каната. В частности как обечайки так и каната.
3. Напряженно-деформированное состояние цилиндрической оболочки неразрезного барабана.
Для исследования напряжённо-
деформированного состояния барабана будем использовать уравнения цилиндрической оболочки С.П. Тимошенко:
д2и ^ 1 - / д2и ^ 1 + Л д2V /дм _ 1 - /и2 д2 и
1 -/
К
Н2 ( д2рх
дх2
д2 V
дУ2 Ам + -
ду2
2
1 - ид V 1+ и д и
+———т +
дхду Я дх |2- 1 дw
ЕН
1-и
дг2
дх
2
2 дхду Я ду
, д2 V
рН—г; ЕН дг2
д2Рх д2Ру Л 1 ( ди дv w1 -/(
дх2
ду2
+ — Я
и
дх ду Я У
ЕН
12
1 - / д 2рх Л 1 + / Н2 д2 Рх 1 -/(дм
дх
2
Н_ 12
V
22
ду2
2 2 дхду
-К
& + Р =
/ д2М
рН +р Л;
1 -и2 ъ д2р
ЕН 12 дг2
д2Ру 1 - /л д2 Ру 1 + /д2Ру Л 1 -¡(дм 1 -Л2 Н2 д2Р:
ду2
дх2
2 дхду
-К
¥+Р
ЕН 12 дг2
(1)
где и, V, м - компоненты перемещения точек срединной поверхности цилиндрической оболочки барабана; вх, вУ - углы поворота в направлении координатных осей; х - координата вдоль оси барабана; у = Я -в - координата, направленная по касательной к окружности (в = 0 ^ 2ж); г - время; Я - радиус срединной поверхности; Н - толщина оболочки; р - плотность материала; /I - коэффициент Пуассона (/ = 0.3); Е - коэффициент упругости
(Е = 2.1-105 МПа); А =
д2 д2
дх2 ду2
- оператор
ж
Лапласа; К = - коэффициент сдвига;
К = К
1 -V 2
Применяя операторный метод Лурье, приведем уравнения (1) к виду, который позволит выразить и, V, Рх, Ру через м :
где
(
д
2 V (
А-—у дг г
А-
1 д
2
К йг2
А--
У V
2 д_ 1 - / дг2
2
д
2
А-—у дг г
А--
(
А--
1 + К
д2 Л 1 ' /ч , ПГ)3
1 + К2(1 + 12Я3 /Н3) дг2
1 + К2(1 + 12Я /Н )
/V
3
2 д_ 1 - и дг г
2
1 + К
V
А-^ - К
дг2
и
д
2 д2
дх2
2
ду2
д2 2ц д
и-2+--
дх 1 - / дг У ду \ду
д2 ( д2 „ ч д2 2 ■ + (2 + /)— + -
дх 1 - / дг
1 -и2 Я2 С
^ (
А2--г дг2
Е Н2
3-/л 2 д А-
А-^ - К
дг2
V
А-
д
2 V
2 V
1 - и 1 - и дг2
и =
1д
/ V
2
дг2
А--
2 д
2
/ V
1 - и дг2
Я дх2
дм2 хдм2 Л
^+(2+и) д? +
д
Р,
2
2/ дм
2
А2-^т дг2
3-/А- 2
д
2
1 - и 1 - и дг2
V =
1д
2
Я ду2 V ду
дм2 .дм2^
+ (2 + и)
дх2
+
дг2 ^С1 - и)Я дх2
д2 ( 2/ дм д2 [(1 -и)Я ду2
л
л
А --
К
2д
Н2/12 1 -идг2
А --
К
2д
Н2/12 1 -¡дг2
р•=т1^ <е1
1 - / дх
Р, = 1+^-д ¡8!
1 -/ ду
1 + и К 1 Г 1 м 1 иди л 1 д2 м
8 = Ам +
1 -/Н /12
, м--
2К
Я ду + Я
2 + Я 'дх
К дг2
(2)
2
х
х
х
Воспользуемся синус преобразованием Фурье по координатам x и y
F (X, у, t) = YZfmn (t )sin
mnx
Sin
пжу
, (3)
где I - расстояние от точки приложения нагрузки до заделки.
По времени применяем преобразование Лапласа
F (X, у, p) = j f (x, у, t )e~ ptdt.
(4)
где р=!& .
Тогда нормальное перемещение срединой поверхности оболочки от взаимодействия с канатом примет вид:
х у, р) = п (Р) в1п —— вт —— . (5)
т п I 1\
Составляющая давления на оболочку от навивающегося каната примет вид:
пг л / л • тжх . пжу
Р(ху,р) = п(Р)§1П—— . (6)
т п I ^
Подставив выражения (5)-(6) в первое уравнение системы (2), получим выражение для нахождения коэффициентов ат п. Упростим
часть выражений полученных при преобразовании для соблюдения регламента размера статьи. Представим последнее выражение в виде:
. . lL2)(m, п, p) am п (Р) =-Т(ÍW-Г • Чш п (Р) • (7)
L ) (m, п, p) Предположим, что составляющая давления от каната распределена равномерно по площадке контакта шириной k (рисунок 1) равномерно P(X, у, t) = qcr по области F , которая представляет собой спираль вокруг цилиндрической оболочки барабана:
F : X = st, у = R sin cot, z = R cos cot,
S _ (8)
o 2ж'
h - шаг винтовой линии; qcr - радиальная
нагрузка сердечника от r-го слоя навивки каната [1]; r=1,..,5 - слои навивки каната на барабан; Тогда
/ л qcr ГГ • mnx . ппу
Чтп(t) = ~jj£ jj , (9)
где F - область контакта каната с барабаном.
0
оболочкой барабана
или Для вычисления (9) были использованы
q r sin wt st mfíx n^y функции Бесселя и функции Струве. Бесселевы
tfm п (t) = -c- I I sin-sin —-—dxdy = функции и функции Струве являются трансцен-
R оо 1 R ' дентными функциями, не выражающимися че-
рез элементарные функции. Имеем:
, а+ 2k
("I)' [l
J°(x) = Ъ k! r(k + a +1) функция Струве
, 2k
\k I x
( xЛа+1 ( ) i 2 ,
Ha(x) = I -1 —^YT-функЦия Бесселя
2 ¡ k=0 rlk + -Irík + a +
где Г( 5 )=| е~ хх5-1йх (5 > 0)
гамма-
, ч Г(2)*(т, п, р) ч
ат п (Р) = г(1) } , , Р) • Р(Р) , (10)
Г ) (т, п, р)
функция. Для нахождения оригиналов выражения
Окончательные выражения для коэффици- (10) воспользуемся теоремой о свертке: ентов п (р) имеют вид:
где Г
а (г) = Г1 Г2) (т, п, р)
Г (т, п, р) Г(1) (т, п, р)
г. 8
г1Р(р)] = {£А -^(г-г1) -Р(г^)йг,,
(11)
Г(1)(т, п, р)
8 Г(2*} (т, п, ) -г 8
Е-!-—е1 = Х А
0 1 =1
^ -г
=1 П(-+ 8)
1 = 1
9=1
(5, 5 ) = (а + ¡Ьч, а + Ь) - корни характери- 1) если комплексные корни
стического уравнения восьмого порядка <Л, 5 ) = (а9 + гЬ9, а1 + гЬ1) имеют и действи-
Г(1) (т, п, р) = 0 ; 8Л - символ Кронекера. тельную и мнимую часть, не равную нулю: Беря по частям интеграл (11), получаем для
г = :
тп(?т) = |ХА --Р^Н =
0 1=1
9 к1 8
: X | X А - (ЯГ-''} - (СОБ а, 9 - ^) +1БШ Ьj 9 - ^)) - Р(г й =
к=1 (к-1)т 1=1
8 Я I
= ХХ4 \Р
1=1 к=1 I
и.
к, 1
в..
( ьЛ 1 +-1 а
V 1 У
+ (Н-1,1 - Нк ,1)
Ч,, ик-1, У а,.
в , в1
V 1 1 У
+ (Нк-1,1 - Нк ^)
2Ь,.
^ 8 Ва 8 В.8,
V 1 11 1 У
Н
к,
- р.
Ь
1
Ва 8 В,.
оо
У
ик-1,1 ( ь л
В а.
1 V 1У
ь2 2Ь
о 8 о а 8 о 8
Н
к -1,1
где
= еат(9 к) [Ь соб Ьj т(т - к) - а бш Ь] т(т - к)], ик_^ = еат(9-(к-1)) [Ь С0БЬJ т(т - (к -1)) - а} яп ЬJ т(т - (к -1))]: Н = еат(9-к) соБЬ т(т - к),
к ,3 ~ 1 ■
ат(9-(к-1))С08 ЬJ т(т - (к -1)), 2 , 1.2
Нк-и = е
в = а;+Ь1;
2) если комплексные корни ствительную часть, не равную нулю:
(^, 5 .) = (а + гЬ , а + Ь ) имеют только дей-
Т 8
кт 8
,(9Т) = \Х А - е(9Т-° -Р&Щ =Х / X А - еа(9Т) -Р^ =
к=1 (к-1) т 1=1
0 1=1 89
А
1=1 к=1
Р
1 а т(9-(к-1)) 1 а т(9-к) 1 а т(9-к) ^^е е ~е
а2 т а а2 т
Р„
к-1
1 ат(9-(к-1)) 1 атт(9-(к-1)) ^ 1 а]т(9-к)
а
а2т
а .Г
3) если комплексные корни мнимую часть, не равную нулю:
(5,5,) = (а + гЬ„, а + гЬ,) имеют только
х 9 I у 9 9 J J
(12)
(13)
Ь
1
+
+
+
а
1 8
Хчт) = /£ А
■в5' (дт-Ч) • Р(А № =
0 '=1
Я к1 8
= X I XА' • (1 +'Ь (Я* -О)• Р(ЧИ =
к =1 (к-1)г '=1
8 Я I
= Х Х4 Ь
'=1 к=1 I
сов Ь*т(д - к) - в1п Ь*т(я - к)
Ь
(14)
сов Ь.т(д - к) + вт Ь.т(д - к) сов Ь.т(д - (к -1)) + вт Ь.т(д - (к -1))
+Р
вт Ь - (к -1)) - сов Ь - (к -1))
Ь
совЬ:Т(я - к) + вт Ь:Т(я - к) совЬ ,т(д - (к -1)) + вт Ь ,т(д - (к -1))
Ь)т
Нормальное перемещение срединой поверхности оболочки примет вид
/ ^ хр^р ^ • тжх . пжу w(x, у,Ч) = ХХатп (Ч)в1П—рв1п — .
т п I 1\
В результате итерационного процесса находим значения w(t) на каждом шаге по времени. Графики изменения этих величин приведены на рисунках 2, 3 и 4.
Применяя методы численного дифференцирования к системе уравнений (2), можно получить и(х, у, Ч), у(х, у, Ч), рх (х, у, Ч), ру (х, у, Ч) .
Тогда, зная компоненты перемещения точек срединной поверхности и углы поворота в направлении координатных осей, можем получить деформации на поверхности цилиндрической оболочки барабана. Зная деформации, легко получить напряжения в искомых точках, что и показано на рисунках 2-4.
Получение значений интенсивности деформации связано с численным дифференцированием и потерей точности.
Однако, полученное аналитическое решения позволяет селать вывод, что зависимость
перемещений (12 - 14) и деформаций от параметров нагрузки и оболочки не носит мультипликативный характер.
Схема расположения тензорезисторов
а
+
Рис. 4. Напряжения, Па в тот
4. Выводы
Представленное решение получено с использованием теории Герца о статическом деформировании контактирующих объектов: каната и оболочки. Решение получены в перемещениях, оценка деформаций и напряжений требует двойного дифференцирования, что связано с дополнительной потерей точности. Это объясняется тем, что на участке гладкого и монотонного изменения перемещений их вторые производные, отражающие деформации, претерпевают резкие изменения. Градиенты изменения деформаций значительно превышают градиенты изменения перемещений.
Решение получено для всей оболочки, что предопределяет его сложность тогда, как интерес представляет гораздо более ограниченная область вокруг места контакта.
Наиболее целесообразным является построение зависимостей, в которых учтено взаимное
9-10 в зависимости от времени, с
влияние основных характеристик нагрузки и
объекта.
Среди приложений задачи прочности обо-лочечных элементов барабана при многослойной навивке каната на барабан можно отметить такие задачи, как определение прочности барабана подъёмно-транспортных, шахтных и прочих сооружений; прочности элементов тонкостенных конструкций при производстве различных технологических операций или при воздействии на них эксплуатационных нагрузок.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ковальский. Б.С. Теория многослойной навивки каната. // Доклады Академии Наук СССР 1950. Том LXXIV, №3. МЕХАНИКА 1950. С -. 429-431
2. Александров, М. П. Грузоподъемные машины : учебник/ М. П Александров. - М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. - 552 с. -ISBN 5-7038-1519-9.
