CC BY
22ВЫСОКОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ, Серия А, 2007, том 49, № 7, с. 1279-1286
ТЕОРИЯ, МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 541.64:537.3
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МОДЕЛИ РОУЗА-ФАУЛЕРА-ВАЙСБЕРГА. БИПОЛЯРНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ1
© 2007 г. А. П. Тштнев*, Р. Ш. Ихсанов**, В. С. Саенко*, Е. Д. Пожидаев*
*Московский государственный институт электроники и математики 109028 Москва, Трехсвятительский пер., 3/12 **Федеральное государственное унитарное предприятие "Научно-исследовательский институт приборов" 140080Лыткарино Московской обл., промзона Тураево, стр. 8 Поступила в редакцию 09.08.2006 г.
Принята в печать 11.01.2007 г.
Приведены результаты численных расчетов кинетики радиационной электропроводности (кривых переходного тока) для модельного полимера согласно теории Роуза-Фаулера-Вайсберга при биполярном транспорте носителей заряда (времена облучения 104-106 с). В отличие от случая монополярного транспорта вид кривых переходного тока заметно изменяется в области времен, превышающих момент достижения максимума тока. Стационарное значение по-прежнему достигается, но его увеличение по сравнению со случаем монополярной проводимости непропорционально велико относительно малого параметра %, характеризующего относительный вклад в ток неосновных носителей заряда. Учет образования радиационных ловушек в процессе облучения несколько смягчает этот эффект, однако расхождение выводов теории для двух типов проводимости резко возрастает при оценке времен восстановления полимера после предварительного облучения.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время модель радиационной электропроводности полимеров Роуза-Фаулера-Вайсберга, основанная на квазизонной теории неупорядоченных твердых тел, широко используется при обработке и интерпретации экспериментальных данных, а также для прогнозирования обратимых изменений электрофизических свойств полимерных диэлектриков в полях ионизирующих излучений [1-3]. В последнее время физический смысл основных параметров модели претерпел существенные изменения [4-6], однако ее математический аппарат остался неизменным.
В нашей предыдущей работе [7] подробно рассмотрены такие вопросы радиационной электропроводности полимеров при длительном об-
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 0503-32312).
E-mail: aptyutnev@yandex.ru (Тютнев Андрей Павлович).
лучении, как ее немонотонная кинетика, значительное отличие кривых переходного тока при исходном и повторном облучении, дозовые эффекты. Как известно, в модели Роуза-Фаулера-Вайсберга полностью пренебрегается подвижностью носителей заряда одного знака, так что она рассматривает случай монополярной проводимости.
К настоящему времени накоплено немало экспериментальных данных, указывающих на то, что подвижность неосновных носителей заряда в большинстве полимеров хотя и мала, но не настолько, чтобы ей можно было пренебречь, а в ПЭВД, например, подвижности электронов и дырок близки [8].
Естественно, что учет биполярности резко усложняет модель и ее аналитическое рассмотрение. Единственная известная авторам работа [9] относится к стационарному состоянию модели, в которой параметры электронов и дырок идентичны. Поэтому в данной работе для анализа би-
полярной модели Роуза-Фаулера-Вайсберга (в дальнейшем биполярной модели) используется, как правило, численное моделирование.
ТЕОРИЯ
Классический вариант модели
Система уравнений биполярной модели Роуза-Фаулера-Вайсберга в ее классическом представлении, не учитывающем образования радиационных ловушек в процессе облучения, имеет следующий вид:
+ ^ +
d-N = go- krNo J pdE - k 'rN'o J p dE - ^N0 N0
0 0
ddp = kcN0(M- p) - pv0exp- KKp < , (1)
|p = k'cN0(M- p') - p'v0exp(-E) - k^p'
N = N0 + J pdE = N0 + Jp'dE
0 0
По определению, радиационная электропроводность
Y r( t) = e [Ц0 N0 (t) + ^0 N0 (t)] (2)
Здесь N0(t) - концентрация основных носителей заряда (в дальнейшем электронов) в проводящем состоянии (в зоне переноса) с микроскопической подвижностью ц0; N(t) - полная концентрация электронов, включая и те, что захвачены на ловушки; g0 - скорость объемной генерации носителей заряда; kr - коэффициент объемной рекомбинации квазисвободных электронов с захваченными дырками; kc - константа скорости захвата квазисвободных электронов на электронные ловушки; M0 - суммарная концентрация электронных ловушек, экспоненциально распределенных по энергии (E > 0 и отсчитывается вниз от дна зоны переноса); p(E, t) - энергетическая плотность распределения захваченных электронов; v0 - эффективный частотный фактор термического
освобождения захваченных электронов из ловушек; E1 - параметр экспоненциального распределения ловушек по энергии. Дисперсионный параметр а = kT/Ej, где k - постоянная Больцма-на. Соответствующие параметры для дырок обозначены штрихами.
Из условия электронейтральности полимера следует, что N = N, и по этой причине N формально не фигурирует в системе (1).
Первое уравнение в системе (1) описывает изменение полной концентрации электронов в результате их генерации ионизирующим излучением (первое слагаемое справа) и последующей убыли вследствие бимолекулярной рекомбинации (второе слагаемое справа описывает скорость убыли квазисвободных электронов путем их рекомбинации с захваченными дырками, а третье - скорость убыли захваченных электронов при их рекомбинации с квазисвободными дырками). Считается, что после рекомбинации захваченного электрона с дыркой электронная ловушка оказывается свободной и способной к захвату квазисвободного электрона. Последнее слагаемое отвечает рекомбинации электронов и дырок
в квазисвободном состоянии, причем k2 = kr + kr. Для дырок соответствующее уравнение полностью аналогично приведенному выше.
Два последующих уравнения системы, известные также как уравнения многократного захвата, описывают стохастические процессы захвата квазисвободных электронов и дырок на ловушки своего класса, последующего их термического освобождения и рекомбинации захваченных носителей заряда с квазисвободными противоположного знака.
Последнее уравнение системы (1) показывает, что полные концентрации электронов и дырок равны и представлены двумя фракциями носителей заряда: подвижных и захваченных на ловушки.
Методика численного решения системы уравнений (1) описана нами ранее [7]. Для проведении расчетов выбраны следующие значения параметров основных носителей заряда, близкие к тако-
вым для ПС [10]: а = 0.3, |0 = 10-5 м2/В с, кг = 7 х х 10-14 м3/с, кс = 3.3 х 10-15 м3/с, т0 = 3 х 10-11 с (М0 = = 1025 м-3), v0 = 2 х 107 с-1. Кроме того, принято, что при мощности дозы Я0 = 100 Гр/с скорость объемной генерации носителей заряда g0 = 1 х х 1022 м-3 с-1 (что приблизительно соответствует радиационно-химическому выходу свободных зарядов 1.6 на 100 эВ поглощенной энергии в ПС в электрическом поле 4 х 107 В/м и комнатной температуре).
Рассмотрение полученных результатов для биполярной модели целесообразно начать со случая равенства всех параметров модели для электронов и дырок (так называемая симметричная модель). На рис. 1 представлены рассчитанные кривые переходного тока для нескольких значений дисперсионного параметра а. Для удобства сравнения приведены также кривые для монополярной проводимости (дырки не принимают участия в переносе электрического тока).
Как и следовало ожидать, при временах облучения, по крайней мере на порядок меньших времени достижения максимума, имеет место простое удвоение тока монополярной проводимости. Это объясняется тем, что в соответствующем временном интервале вклады носителей заряда аддитивны, и в силу симметричности модели ток удваивается. Значения кривых в максимуме (угт) также отличаются в ~2 раза. Примечательно, что времена достижения максимума т для обеих сравниваемых моделей практически совпадают у всех расчетных кривых. Однако самое интересное наблюдение касается хода кривых при I > 1т.
Если при монополярной проводимости спад кривых в логарифмических координатах ^ уг -
I ярко выражен, а выход на стационарное значение сильно затянут, то в биполярном случае подобный спад едва заметен, причем время достижения квазистационарного значения резко сокращается. Оба эффекта тем сильнее выражены, чем меньше дисперсионный параметр (ср. кривые 1 и 2 с кривыми 5 и 6).
Причины подобного поведения кривых переходного тока легко понять, если рассмотреть ста-
уг, Ом 1 м 10-9
10
10
10
10
11
12
6
10-
101
103
105 Время, с
Рис. 1. Изменение во времени радиационной электропроводности модельного полимера при непрерывном облучении. 1, 3, 5 - симметричная модель, 2, 4, 6 - классическая модель. Дисперсионный параметр равен 0.5 (1,2), 0.3 (3, 4) и 0.1 (5, 6).
ционарное состояние облучаемого полимера. Полная концентрация электронов определяется в первую очередь электронами, захваченными на ловушки, энергетическое распределение концентрации которых описывается выражением
Р (Е) =
М (Е)
в +
КЖ
ехрI-кТ
(3)
где в = 1.0 (монополярная проводимость) и к \
1 + 7-4 > 1.0 (симметричная модель). Видно, что
кс)
если при Е > кТ (очень глубокие ловушки) они в первом случае заполнены полностью р (Е) ~ ~ М(Е), то во втором степень их заполнения очень мала р (Е) ® в-1М(Е) < М(Е) и при кг/кс = 100 она составляет ~0.01. Это обстоятельство приводит к резкому сокращению времени установления квазиравновесия и увеличению стационарной радиационной электропроводности при биполярном симметричном транспорте носителей заряда в 21 - А(1 + кг /кс)А(1 - а) раза по сравнению со случаем монополярной проводимости [7, 9] (здесь А = (1 + а)-1).
1
Время, с
Рис. 2. Изменение во времени радиационной электропроводности модельного полимера при непрерывном облучении. Биполярная проводимость при X =1 (1), 10-1 (2), 10-2 (3), 10-3 (4), 10-4 (5), 10-6 (6) и 0 (7) - монополярная проводимость. Дисперсионный параметр 0.1 (д0 = 3.7 х х 1021 м-3 с-1).
Отметим также, что характерный для монополярного транспорта участок спада переходного тока после прохождения максимума по степенному закону у ^ Г*1 - а)/2 заменяется более мягким и существенно менее протяженным. Фактически подобный спад прослеживается только для а < 0.3, да и лишь, по-видимому, на теоретических кривых.
А каковы эти эффекты в полимерах со слабой степенью биполярности? Ответ на поставленный вопрос требует некоторого уточнения. В первую очередь следует установить, какой из параметров или какая их комбинация адекватно описывает подобный случай.
При нормальном транспорте в качестве такого параметра выступает, как известно, отношение подвижностей неосновных и основных носителей заряда. При дисперсионном транспорте ситуация осложняется.
Данные, позволяющие судить о степени биполярности того или иного полимера, получают, как правило, из времяпролетных экспериментов. Времена пролета при прочих равных условиях тем короче, чем больше величина £ = |0Т0 vа
(То1 = ксМ0). Эта же комбинация напрямую определяет и значение обеих компонент радиационной электропроводности (электронной и дырочной) к концу малосигнального облучения, когда их вклад в суммарный сигнал все еще аддитивен [5, 6]. За малый параметр, характеризующий степень биполярности полимера, естественно принять отношение X =
В рамках диффузионно-дрейфового приближения при изменении |0 автоматически изменяются константы кг и кс, прямо пропорциональные этому параметру (первая - в соответствии с формулой Ланжевена, а вторая - с формулой Дебая), а произведение |10Т0 вообще не меняется. Поэтому для изменения ^ варьировали т0 при неизменных |0, v0 и а. В любом случае параметр биполярности X = £/<; < 1.0.
Как видно из рис. 2, снижение параметра X приближает вид кривых переходного тока к монополярному пределу, однако это происходит не пропорционально значению указанного малого параметра, и подобное отклонение от пропорциональности тем сильнее, чем меньше его значение. Так, при X = 0.01 стационарные значения кривых 3 и 7 различаются в 5 раз, а при X = 10-4 - все еще в 1.32 раза (кривые 3-7 практически совпадают при Г < ¿и).
Модель, учитывающая генерацию радиационных ловушек
Система уравнений (1) заметно усложняется при попытке описания радиационной электропроводности с учетом образования радиационных ловушек в процессе облучения. Предполагается, что скорость генерации радиационных ловушек пропорциональна мощности дозы и равна Xg0 (как правило, X < 1.0). Фактически параметр X представляет собой отношение радиационно-хи-мических выходов доживающих до комнатной температуры свободных радикалов и свободных зарядов. Гибелью радиационных ловушек прене-брегается (т.е. их накопление пропорционально
(а)
дозе облучения) и они считаются глубокими ло- у Ом ^ м-1 вушками. После окончания облучения (т.е. на этапе отжига) их полная концентрация, включающая как пустые, так и заполненные ловушки, остается неизменной. В этом случае система уравнений преобразуется к виду
10
11
= g0- кгм01 р'-Е - кХ | р-Е -
- къN0 N0- КN0 N - кгК0 N
^Р = ксЖо(М- р) - рVoexp(-Е ) - кХр
Е_
кТ
|р = кСЖ0(М - р') - р'v0exp- кгКор'
-Ж,
(4)
' = ксКо
Х| go (,') -'
- N.
-К
V
/ '
= КК
X' I ,') -'
- N'
- К N0 N
- krNо N
N = N0+ | р-Е + N = N0 + | р'-Е + N
0
0
10
13
10-
102
105
10-10 10-11 10-12 10-13
10
101 103 Время, с
105
Здесь N и N - концентрация заполненных радиационных ловушек для электронов и дырок соответственно. Выражение для радиационной электропроводности (2) по-прежнему сохраняется. Очевидно, что приведенная выше система является естественным распространением аналогичной системы из работы [7] на случай биполярной проводимости полимера.
На рис. 3 а представлены результаты расчета радиационной электропроводности в рамках классической и симметричной моделей для нескольких значений X. Видно, что каких-либо неожиданностей не происходит, и асимптотический ход кривых имеет вид гиперболических зависимостей у ^ ,-1, причем они приобретают этот вид тем раньше, чем больше параметр X.
Рис. 3. Влияние радиационных ловушек на кривые переходного тока модельного полимера с биполярной (1-3) и монополярной (4-6) проводимостью. X = X' = 0 (1, 4), 0.0001 (2, 5) и 0.01 (3, 6). % = 1.0 (а) и х = 0.01 (б).
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТОВ
Франкевич одним из первых последовательно развивал точку зрения на то, что только учет би-полярности транспорта генерированных носителей заряда позволяет правильно описать основные закономерности бимолекулярной рекомбинации электронов и дырок в полимерах [10-12]. Правда, при проведении количественного анализа в цитируемых работах использовали не экспоненциальное, а моноэнергетическое распределение ловушек по энергии как для электронов, так и для дырок (опять же симметричный случай). Здесь следует указать на упоминавшуюся ранее работу [9] и монографию [13].
Отказ от монополярного приближения сопровождается появлением ряда неожиданных резуль-
1
6
0
0
+
+
Bpeмя, c
Рис. 4. Bлияниe paдиaциoнныx лoвyшeк Ka ^и-выe пepexoднoгo тoкa мoдeльнoгo пoлимepa c бипoляpнoй пpoвoдимocтью (х = G.G1). À = À' = = 10-2 (1); À = 1G-2, À' = 10-4 (2); À = 1G-4, À' = 1G-2 (S); À = 10-4, À' = 1G-4 (4).
тaтoв дaжe нa чиcтo кaчecтвeннoм ypoвнe. Пpи paвeнcтвe пapaмeтpoв мoдeли для элeктpoнoв и дыpoк cпaд тoкa в пpoцecce oблyчeния пocлe пpo-xoждeния им мaкcимyмa пpaктичecки иcчeзaeт, тотя в мoнoпoляpнoм cлyчae (а < G.5) пoдoбнoe cнижeниe тoкa дocтaтoчнo чeткo выpaжeнo (ecre-cтвeннo, в лoгapифмичecкиx кoopдинaтax lgj -lg t ). Ta^ дaжe пpи а = G.l фиа 1, кpивaя З) y^-зaннoe cнижeниe cocтaвляeт Bcero 1.41 paзa, в тo вpeмя кaк для мoнoпoляpнoй пpoвoдимocти oнo гopaздo бoльшe (~9.53 paзa). Caмo вpeмя дocти-жeния мaкcимyмa пpи этoм пpaктичecки нe измe-няeтcя.
Пoлимepы, y кoтopыx пapaмeтp бипoляpнocти х < G.G1, ecтecтвeннo oraec™ к клaccy мaтepиaлoв c мoнoпoляpнoй элeктpoпpoвoднocтью. Пoлyчeн-ныe нaми peзyльтaты пoкaзывaют, чтo и в этом cлyчae poль бипoляpнocти Bce eщe вeликa. Дeй-cтвитeльнo, из cpaвнeния кpивыx S и 7 та pиc. 2 в oблacти бoльшиx вpeмeн cлeдyeт, чтo pacчeтнoe знaчeниe cтaциoнapнoгo тoкa в бипoляpнoм crcy-чae бoльшe, чeм в мoнoпoляpнoм, пoчти в 5 paз. ^к виднo, poль мaлoгo пapaмeтpa х = G.G1 нeпo-мepнo вeликa.
Из paccмoтpeния pиc. 3 acto, чтo oтмeчeнныe вышe ocoбeннocти для пoлимepoв c бипoляpнoй пpoвoдимocтью пoлнocтью coxpaняют cвoю cилy
Bpeмя, c
Рис. 5. KpnBbie пepexoднoгo то^ мoдeльнoгo пoлимepa c бипoляpнoй (1, 2, 2') и мoнoпoляp-гой (S, 4) пpoвoдимocтью для иcxoднoгo (1, S) и пoвтopнoгo oблyчeния (2, 2', 4) cпycтя 103 (2) и 3 x 105 c (2', 4). Длитeльнocть oблyчeния 1G4 (1, S) и 105 c (2, 2', 4). À = 1G-4 (1-4), х = = 10-2 (1, 2, 2'). Ha BcraB^ Bce кpивыe пpeдcтaв-лeны в paйoнe мaкcимyмa бoлee пoдpoбнo.
и пpи yчeтe oбpaзoвaния paдиaциoнныx лoвyшeк. B oблacти гипepбoличecкoгo cпaдa (j ^ t-1) нa-блюдaeтcя oпpeдeлeннoe пoдoбиe кpивыx ^pe-xoднoгo тoкa (cp. кpивыe 2 и З та pTO. 3 a или ^и-выe, пpивeдeнныe та pTO. 36 для тex жe À). Xoд кpивыx j(t) в oблacти бoльшиx вpeмeн для paзли-чaющиxcя знaчeний À и À' пoкaзaн нa pиc. 4. O6pa-щaeт нa ce6fl внимaниe близocть кpивыx 2 и S в oблacти бoльшиx вpeмeн.
Bлияниe cлaбoй бипoляpнocти (х = G.G1) та o^ жиг пpeдвapитeльнo oблyчeннoгo пoлимepa ил-люcтpиpyeт pиc. 5. Этот вoпpoc зacлyживaeт дaльнeйшeгo изyчeния.
^CTwa ypaвнeний (4) для бипoляpнoй мoдe-ли, yчитывaющaя oбpaзoвaниe paдиaциoнныx лo-вyшeк в пpoцecce oблyчeния, нecмoтpя нa ee жyщyюcя гpoмoздкocть, имeeт яcный физичecкий cмыcл. Пo cyти дeлa, oнa являeтcя, пo-видимoмy, нaибoлee oбщим видoм yнивepcaльнoй физито-мaтeмaтичecкoй мoдeли paдиaциoннoй элeктpo-пpoвoднocти пoлимepoв.
Дeйcтвитeльнo, yчacтиe oбoиx нocитeлeй зapя-дa (элeктpoнoв и дыpoк) в пepeнoce элeктpичe-cкoгo то^ нe дoлжнo вызывaть кaкиx-либo co-
мнений. Вопрос состоит лишь в определении параметров модели для неосновных носителей
заряда (, , V0 и а').
Основные радиационно-химические продукты радиолиза, акцептирующие с одинаковой эффективностью как электроны, так и дырки, -это свободные радикалы. Тогда в принципе можно считать, что X = X'. Задача сводится к определению (или оценке) радиационно-хими-ческого выхода свободных радикалов, стабилизирующихся в полимерной матрице при температуре облучения.
Существующая в литературе информация по обоим вопросам достаточно ограничена [14-18], поэтому исследование радиационной электропроводности при длительном облучении может быть использовано для ее уточнения. Время расчета одного варианта симметричной модели с применением пакета математических программ MATLAB составляет 20 с, так что эта модель может с успехом применяться для определения параметров переноса электронов и дырок путем подгонки расчетных кривых под результаты лабораторных испытаний. В таком качестве обсуждаемая модель может рассматриваться как универсальная физико-математическая модель радиационной электропроводности полимеров полуэмпирического уровня.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вайсберг С.Э. // Радиационная химия полимеров / Под ред. Каргина В.А. М.: Наука, 1973. С. 376.
2. Ванников A.B., Матвеев В.К., Сичкарь В.П, Тют-нев А.П. Радиационные эффекты в полимерах. Электрические свойства. М.: Наука, 1982.
3. Тютнев А.П. // Химия высоких энергий. 1996. Т. 30. № 1. С. 5.
4. Тютнев А.П, Садовничий Д.Н., Саенко В С, По-жидаев Е.Д. // Высокомолек. соед. А. 2000. Т. 42. № 1. С. 16.
5. Тютнев А.П, Саенко В С, Пожидаев Е.Д. // Высокомолек. соед. Б. 2004. Т. 46. № 12. С. 2104.
6. Тютнев А.П, Саенко В С, Пожидаев Е.Д, Костюков НС. Диэлектрические свойства полимеров в полях ионизирующих излучений. М.: Наука, 2005.
7. Тютнев А.П, Ихсанов Р.Ш, Саенко В С, Пожидаев Е.Д. // Высокомолек. соед. А. 2006. Т. 48. № 11. С. 2015.
8. Тютнев А.П, Саенко В С, Пожидаев Е.Д, Колесников В.А. // Высокомолек. соед. А. 2004. Т. 46. № 6. С. 1014.
9. Mingaleev GS, Tyutnev AP, Vannikov A.V., Arkhipov V.I., Rudenko A.I., Login V.M., Ursu V.A. // Phys. Status Solidi. A. 1985. V. 88. № 2. Р. 655.
10. Франкевич Е.Л. // Успехи химии. 1966. Т. 35. № 7. С. 1161.
11. Франкевич Е.Л. // Химия высоких энергий. 1967. Т. 1. № 6. С. 567.
12. Франкевич Е.Л. // Химия высоких энергий. 1967. Т. 1. № 6. С. 572.
13. Тютнев А.П, Ванников А.В, Мингалеев Г.С., Саенко В С. Электрические явления при облучении полимеров. М.: Энергоатомиздат, 1985.
14. Милинчук В.К., Клиншпонт Э Р, Пшежецкий С.Я. Макрорадикалы. М.: Химия, 1980.
15. Пикаев А.К. Современная радиационная химия. Твердое тело и полимеры. Прикладные аспекты. М.: Наука, 1987.
16. Тютнев А.П, Саенко В С, Никитенко В.Р., Кун-дина Ю.Ф, Пожидаев Е.Д, Ванников А.В. // Журн. научн. и прикл. фотографии. 2001. Т. 46. № 6. С. 28.
17. Тютнев А.П, Саенко В С, Смирнов И.А., Пожидаев Е.Д. // Хим. физика. 2005. Т. 24. № 12. С. 10.
18. Тютнев А.П, Абрамов В Н., Дубенсков П И, Саенко В С, Пожидаев Е.Д, Ванников А.В. // Химия высоких энергий. 1987. Т. 21. № 2. С. 148.
Theoretical Analysis of the Rose-Fowler-Vaisberg Model:
Dipolar Conductivity
A. P. Tyutneva, R. Sh. Ikhsanovb, V. S. Saenkoa, and E. D. Pozhidaeva
a Moscow State Institute of Electronics and Mathematics, Trekhsvyatitel'skii per. 3/12, Moscow, 109028 Russia b Research Institute of Instrumentation, promzona Turaevo 8, Lytkarino, Moscow oblast, 140080 Russia e-mail: aptyutnev @yandex.ru
Abstract—Results of numerical calculations on the kinetics of radiation-induced conductivity (current transients) in a case polymer in terms of the Rose-Fowler-Vaisberg model assuming dipolar carrier transport (irradiation times of 104-106 s) are reported. Unlike the case of unipolar transport, the pattern of current transients noticeably changes at times after passing a maximum in current. A steady-state value is still attained; however, its increase relative to the case of unipolar conductivity is nonproportionally high with respect to a relatively small value of the parameter %, which characterizes the relative contribution of minority carriers to the current. Allowance for the formation of radiation traps during irradiation somewhat mitigates this effect; however, the discrepancy between the conclusions of the theory for the two types of conduction strongly increases for the estimates of polymer recovery time after preliminary irradiation.
