CC BY
20
УДК 532
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ДЕБИТА СОВЕРШЕННОГО КОЛОДЦА, ОСНОВАННЫЕ НА УЧЕТЕ ИЗМЕНЕНИЯ ВО ВРЕМЕНИ ОБЪЕМА ГРУНТОВОЙ ВОДЫ
В ВОРОНКЕ ДЕПРЕССИИ
Н.П. Медведев, Н.К. Пономарев
Кафедра гидравлики и гидротехнических сооружений Российский университет дружбы народов
Россия 117198 Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6
Показано, что классическое решение о дебите совершенного колодца, основанное на модели установившегося движения грунтовой воды, не в полной мере согласуется с фактическим характером фильтрации.
Предлагается новый теоретический подход, основанный на взаимосвязи расхода воды, поступающею в колодец, и фактического ее наличия в воронке депрессии. Получены расчетные зависимости для объема воды, находящегося в воронке депрессии, дебита колодца при понижении кривой депрессии во времени и полного времени работы колодца.
1. Некоторые замечания о модели установившегося движения грунтовой воды к совершенному колодцу
Обычно принимается [4], что по прошествии некоторого времени после устройства совершенного колодца вода в нем поднимается до уровня грунтовой воды. При откачивании постоянного расхода уровень воды в колодце и кривая депрессии понижаются. Когда приток воды в колодец путем фильтрации из водоносного слоя и забор из колодца сравниваются, движение фильтрационной воды приобретает установившийся характер.
Модель установившегося движения воды к совершенному колодцу впервые была предложена Дюпюи. Им получены зависимости, определяющие дебит колодца и кривую депрессии. В работах [1,3] отмечается хорошая сходимость формул Дюпюи с более строгими теоретическими решениями.
Однако современные проработки показывают, что зависимости, полученные Дюпюи, содержат некоторую неопределенность и требуют соответствующей корректировки. Рассмотрим эти зависимости.
Известная формула Дюпюи для дебита совершенного колодца имеет следующий вид:
Т-1 2 _ и 2
(Э = 7гкП° V (1)
1п Я/г0
Здесь к - коэффициент фильтрации водоносного грунта; - мощность водоносного пласта; И0 - глубина воды в колодце, уровень которой совпадает с выходом кривой депрессии; г0 -радиус колодца; И - радиус влияния колодца.
Согласно формулы (1) дебит колодца увеличивается с уменьшением А0. Когда кривая депрессии выклинивается у дна колодца (И0 = 0), его дебит достигает наибольшего значения, близкого к максимальному (см. далее табл. 1). Данный вывод не может иметь физического обоснования. Максимальный дебит колодца должен совпадать с максимумом произведения /?0 /вых (/вых _ уклон кривой депрессии на выходе в колодец), который фактически отсутствует.
При установившемся движении фильтрационной воды кривая депрессии описывается следующим выражением:
к
Яп 11п 7? / г0 ^
где И - глубина фильтрационного потока, соответствующая радиусу г.
где И - глубина фильтрационного потока, соответствующая радиусу г.
Для определения радиуса влияния колодца обычно используется формула Зихарда, которую можно представить следующим образом:
— = 3000 ^2-л/Л
1
Н,
(3)
о У
На рис. 1 приведены кривые депрессии для ряда значений наполнения колодца И0 при следующих исходных данных: Я0 = 25 м, г0 = 1 м, к = 0.05 см / с = 0.0005 м/с.
Рис. 1. Кривые линии депрессии по модели установившейся фильтрации в зависимости от глубины наполнения колодца (в искаженном масштабе); в центральной части рисунка график начального участка линий депрессии дан в неискаженном масштабе
Как видно из приведенных графиков, линии кривых депрессии плавно понижаются с приближением к колодцу. Вблизи колодца кривые депрессии резко изгибаются и у края колодца получает практически вертикальное начертание.
Согласно теории, кривые депрессии являются границами потока. Однако по зависимости (2) при всех наполнениях колодца И0 < 0.5 #0 кривые депрессии следуют вблизи его стенок. При выклинивании кривой депрессии у дна граничная линия тока совпадает со стенками колодца.
При указанном расположении кривых депрессии наиболее вероятно непосредственное высачивание грунтовой воды через водопроницаемые стенки колодца, минуя теоретические линии тока.
Р. Р. Чугаев [3] указывал, что при отмеченных выше отношениях /Н0 кривая депрессии выклинивается всегда выше горизонта воды в колодце на величину промежутка высачивания А, которая «....приобретает столь большое значение, что пренебрежение ею влечет за собой сильное искажение кривой депрессии в ее конце». Иными словами: фактическая кривая депрессии в рассматриваемом случае существенно отличается от кривой депрессии, получаемой по решению Дюпюи.
Из зависимости (2) вытекает следующая формула для уклона кривой депрессии:
Ф
(1-Дг) Я°/Г
Н1 1п Я/г0
1
К
Н1
‘Л
я2
2 Л
1п Г / Гп
о у
\r\RI гп
Из полученного выражения следует, что уклон кривой депрессии (принимаемый равным гидравлическому уклону) при г —> оо равен нулю. При подходе к колодцу он возрастает и достигает наибольшего значения при выходе фильтрационного потока в колодец. Здесь рассматриваемый уклон определяется зависимостью
Яо20-/го2/Яо2) 2\ г01пЛ/г0
(5)
В табл. 1 приведены значения уклонов IГ .Г(] и I г_н и дебита колодца О в зависимости от относительной глубины в колодце И0 / Н0 для указанных выше исходных данных.
Таблица 1
1 О 1 Д 1г-г 0 1-я 0 м3/ с0.9
0.9 168 0.515 0.00276 0.0364
0.8 335 0.967 0.00231 0.0607
0.7 503 1.464 0.00203 0.0804
0.6 671 2.049 0.00183 0.0965
0.5 838 2.785 0.00166 0.1093
0.4 1006 3.797 0.00151 0.1192
0.3 1174 5.364 0.00137 0.1263
0.2 1342 8.331 0.00124 0.1308
0.1 1509 16.908 0.00112 0.1327
0 1677 00 0.00100 0.1321
Как видно из табл. 1 пьезометрический уклон с уменьшением относительной глубины И0 / Н0 выклинивания кривой депрессии в колодце возрастает, стремясь к бесконечности при приближении /гг, / Я0 к нулю.
Расход воды, поступающей в колодец, определяется формулой:
б = 2щкИ01г^о. (6)
Когда кривая депрессии выклинивается у дна колодца, то, согласно зависимостей (5) и (6), для расхода воды возникает неопределенность вида 0 • оо, которая исключается только при совместном решении этих выражений, но получающаяся при этом зависимость, как было показано выше, дает физически необоснованный дебит.
При установившемся движении расход воды по длине кривой депрессии остается постоянным. Значит, в любой отрезок времени через рассматриваемое живое сечение, представляющее собой круглоцилиндрическую поверхность глубиной к. протекает один и тот же расход воды. Этот постоянный расход возникает на расстоянии /? от центра колодца и далее следует транзитом.
равный дебиту колодца при данных И() и Л и который, как указывалось выше, следует без
депрессии (на расстоянии Г = Я) определяется
изменения до выходного створа.
Необходимый уклон кривой выражением
и =
н0(1-\2/нр
2Я 1пЛ/гп
(7)
Данный уклон и определяет необходимую начальную скорость Уя грунтового потока, которая создает заданный транзитный расход воды.
Поскольку внутри круглоциллиндрической поверхности радиуса Я фильтрационный поток направлен к центру воронки, а с внешней стороны этой поверхности грунтовая вода практически неподвижна, то теоретически имеет место разрыв непрерывности, чего в действительности не может быть. В последующий момент времени для обеспечения нового постоянного расхода должно произойти увеличение радиуса влияния Л . Одновременно с этим должен сформироваться и новый уклон по всей длине поверхности воронки для притока нового расхода воды.
Формирование этого нового уклона возможно лишь в том случае, если в то же время происходит понижение прежней линии кривой депрессии. Тогда вода, занимавшая ранее поры начального положения депрессивной воронки, будет поступать в общий поток, что вызовет увеличение расхода воды по пути. Однако это явление также не учитывается решением Дюпон, так как расчетная форма кривой депрессии вытекает из условия установившейся фильтрации.
Ниже предлагается новый путь решения задачи о дебите совершенного колодца, лишенный отмеченных выше несоответствий.
2. Исходные теоретические предпосылки и получение расчетных зависимостей
Ранее отмечалось, что приток воды в колодец происходит из воронки депрессии. Поэтому дебит колодца взаимосвязан с объемом воды в порах фунта воронки депрессии. Объем воронки депрессии изменяется во времени в результате увеличения величины
сработки 2Ко (рис. 2).
Для решения задачи о дебите колодца в зависимости от изменения объема фильтрационной воды в воронке депрессии необходимо получить зависимость для кривой депрессии и объема воды в воронке депрессии.
П .Я. Полубаринова-Кочина [2] указывает, что кривая депрессии обычно хорошо аппроксимируется квадратичной параболой. Наши проработки показали, что в случае расчета дебита совершенного колодца наилучшие результаты получаются в том случае, когда кривая депрессии описывается экспоненциальной зависимостью следующе-
—ах
го вида: г =
Здесь I - глубина воронки депрессии на расстоянии г от центра колодца, - величина понижения кривой депрессии у края колодца (глубина выклинивания кривой депрессии), а - параметр, зависящий от отношения / Н0, х - функция, зависящая
от относительного радиуса г / г0.
Соответствующий анализ и расчеты позволили зависимости для а их предста-
На рис. 3 представлены кривые депрессии, отвечающие зависимости (9).Значения глубины и радиуса воронки депрессии даны в относительных величинах 2 / Н() и
г / г0. Вычисления выполнены при тех же исходных данных, что и кривые депрессии, представленные на рис. 2.
вить следующим образом: а =
С учетом записанных выражений зависимость для кривой депрессии получает вид
(9)
%
\
/г
77/ / п//})////1/}П )77П!}ПН1П/Н1?/П ГГТ/'П
Рис. 3. Кривые линии депрессии в зависимости от глубины сработки воронки депрессии (в искаженном масштабе); в центральной части рисунка линии депрессии на начальном участке графика приведены в неискаженном масштабе
Для уклона кривой депрессии имеем
/ = 0.5 а0
(10)
При Г —> со уклон кривой депрессии стремится к нулю. Наибольшее значение уклон кривой депрессии получает при ее выклинивании в колодец (г - г0). Будем этот уклон называть уклоном кривой депрессии на выходе в колодец. Он равен
Глубину на выходе фильтрационного потока в колодец, вне зависимости от глубины воды в колодце, следует принимать равной расстоянию от дна колодца, до точки
выклинивания кривой депрессии, т.е. /гГо = Н0 - .
Сказанным подтверждается тождественность истечения фильтрационной воды как при свободном высачивании, так и при наличии воды в колодце. Это предположение, принятое без строгих доказательств, имеет под собой вполне понятное логическое объяснение: скорость фильтрационного потока определяется одним и тем же уклоном кривой депрессии как на участке непосредственного высачивания А, так и в воду, находящуюся в колодце.
Соотношения Н0 > ИГ(1 практически не могут иметь места, т.к. в этом случае нарушается свободное истечение фильтрационной воды в колодец, а, следовательно, должны изменяться как форма кривой депрессии на выходе в колодец, так и поступающий в него расход воды. Подобное явление может наступить лишь тогда, когда либо совсем прекращается забор воды из колодца, либо когда он резко уменьшается в течение длительного периода. В этом случае вода в колодце начнет подниматься и глубина в нем
может стать больше ИГо. Последнее приведет к подтоплению кривой депрессии на выходе в колодец, т.е. изменению условий свободного формирования кривой депрессии. Такой случай полностью вписывается в модель установившегося движения, который изложен в начале данной работы.
Расход воды, поступающей в колодец,
Поскольку Иг = Н0 - г ^ и принимаемая для уклона на выходе в колодец формулу (11) для дебита колодца будем иметь
Коэффициент а0 должен определяться по значению предельного уклона на выходе фильтрационного потока в колодец. /првых . P.P. Чугаев [4] отмечает, что уклон кривой депрессии лишь в редких случаях может превышать единицу. В табл. 1 приведены значения уклона / на выходе в совершенный колодец, соответствующие модели
установившегося движения фильтрационного потока. В пределе этот уклон стремится к бесконечности.
Учитывая все сказанное относительно невозможности следовать фильтрационному потоку по линиям депрессии, представляется, что в первом приближении (до получе-
(11)
Q = 2л г0 к Нч /вых
(12)
(13)
ния надежных натурных данных) величину уклона /првнх. можно приближенно при-
нять равной 1.3. Тогда, по зависимости (11), коэффициент а0 ~ 0.12.
Выше отмечалось, что дебит колодца напрямую взаимосвязан с количеством грунтовой воды, находящейся в воронке депрессии. Действительно, воронка депрессии является тем резервуаром, из которого и черпается грунтовая вода.
Объем воды в кольце воронки депрессии толщиной сЬ" и высотой г определяется выражением
(ІЇ¥Ьс! = єітс Г гсі г .
(14)
Здесь Б - коэффициент водоотдачи, который в случае песчаного незаиленного грунта можно принять равным коэффициенту пористости. Далее в расчетах принято 8 — 0.3. После подстановки в (14) значения г по (9) будем иметь
-«о
(і\¥Нп - 2єпгг е
го
“а г сі Г .
Интегрирование полученного выражения в пределах от г = г0 до г — х и исклю-
чение возникающей неопределенности вида 0 • оо по правилу Лопиталя позволяет получить следующую зависимость:
ИЪ,=4 єтгІН,
1 м 3 го 6 * 6 (г } г0
н0 «0 и] и у +— а0 и)
Є ^Шо . (15)
В табл. 2 приведены значения уклона на выходе в грунтовый колодец, дебита колодца и объема воды в воронке депрессии в зависимости от относительной величины г / Н0 .Использованы те же исходные данные, что и при расчетах, приведенные в табл. 1
________________________________________ Таблица 2
** Н0 ■^ВЫХ (2 м3 / с IV/,103 м3 Д 1¥Ьч: 103 бср м/с ґ сут.
0.1 0.324 0.023 2.72 2.7 0.0230 1.37
0.2 0.512 0.032 21.7 19.0 0.0275 8
0.3 0.660 0.036 73.5 51.8 0.0340 17
0.4 0.784 0.037 174 100 0.0365 31
0.5 0.895 0.035 341 167 0.0360 53
0.6 0.994 0.031 588 247 0.0330 86
0.7 1.088 0.026 935 347 0.0285 141
0.8 1.173 0.018 1395 460 0.0220 242
0.9 1.255 0.010 1989 594 0.0140 491
1.0 1.330 0.000 2726 737 0.0050 1706
Из данных табл. 2 следует, что максимум дебита колодца наблюдается при 2^ / Н0 .=0.4. Данное значение записанного отношения представляется более правдоподобным, чем то, которое вытекает из модели установившегося движения и которое определяет, что максимальный расход воды имеет место при значении г 1Нй, близком к единице, т.е. когда происходит полная сработка кривой депрессии.
При гГ|) / Н(] >4 наблюдается постепенное уменьшение дебита колодца, который при достижении кривой депрессии дна колодца стремится к нулю.
В последнем столбце табл. 2 приведено время источения воды из воронки депрессии, соответствующее каждому последующему приращению объема воды ДIV , который формируется при понижении выхода кривой депрессии на 0.1 Н(). За расчетный расход принималось значение Оср, равное средней величине расхода воды за время, в
течение которого кривая депрессии понижалась на указанную выше величину.
Общее время работы рассматриваемого колодца при среднем дебите 0.02 м3/с составляет 1577 сут. или 4.3 года.
Приведенные расчеты полностью согласуются с физическими представлениями о формировании дебита колодца из грунтовой воды, содержащейся в воронке депрессии
При физическом объеме выполненного колодца, равного 78.5 м3 , время заполнения его водой составляет 57 мин. или примерно один час. При этом начальное понижение
воронки депрессии Z составит 0.038 Н0. Следовательно, после заполнения колодца
водой максимальное понижение уровня грунтовых вод перед колодцем составит 9.5 см.
При исключении забора воды из колодца кривая депрессии будет постепенно вы-полаживаться, а уровень воды в колодце приближаться к первоначальному уровню грунтовых вод. Однако этот процесс будет протекать очень медленно.
Таким образом, предложенный метод расчета позволяет получить ответ на все вопросы, связанные с работой совершенного колодца. При расчете по предложенному методу отпадает также необходимость в определении радиуса влияния колодца, точное назначение которого затруднительно.
Выводы
1. Рассмотрение классической модели установившегося движения фунтовой воды к совершенному колодцу показало, что отдельные существенные стороны формирования дебита остаются неучтенными, а расчетные зависимости дают приемлемые результаты только при относительных величинах сработки кривой депрессии, не превышающих 0.5 На.
2. При глубине сработки больше половины мощности водоносного пласта происходит существенное увеличение пьезометрического уклона на выходе кривой депрессии в колодец, а при й0 /Я0 < 0.9 уклон становится более 17. В этом случае скорость фильтрации приближается к 1м/с, что невозможно при фунтовом потоке. Когда кривая депрессии выклинивается у дна колодца, пьезометрический уклон равен бесконечности. Значит, теоретически к такому же значению должна приближаться скорость фильтрации, что не реально.
3. Предложен новый подход к решению задачи о дебите совершенного колодца, основанный на задании кривой депрессии в форме экспоненты. Входящие в расчетные
зависимости функциональные выражения и коэффициент а0 обоснованы теоретически.
4. По предложенной расчетной зависимости для дебита колодца максимум расхода
воды имеет место при гг =0.4 //п. При увеличении 2, дебит колодца плавно умень-
г '0 ' * '0
шается до нуля при полной сработке кривой депрессии. Полученный результат не противоречит физическому представлению о безнапорной фильтрации.
5. Запас фунтовой воды, которая может поступить в колодец, определяется объемом фунтовой воды в воронке депрессии. Получена зависимость объема воды в воронке от относительной глубины сработки кривой депрессии.
6. Дан расчет времени понижения кривой депрессии при отборе воды из колодца и полное время его работы.
7. При расчете по предложенному методу отпадает необходимость в определении радиуса влияния колодца.
THEORETICAL RELATIONSHIP OF THE BOREHOLE OF PERFECT BLIND HOLE BASED ON THE ALTERING ACCOUNTING INTO THE TIME OF THE VOLUME OF GROUND WATER IN THE DEPRESSION HOPPER
N. P. Medvedev, N. K. Ponomarev
Department of Engineering People’s Friendship University of Russia Miklukho-Maklaya st,, 6, Moscow, 117198 Russia
A new thearetical approach based on the relationships of water consumption and water volume in the funnel, is suggested.
Николай Константинович Пономарев родился в 1949 г., окончил в 1977 г. РУДН. Канд. техн. наук, доцент, зав. кафедрой Гидравлики и гидротехнических сооружений РУДН, декан инженерного факультета. Автор 48 научных работ в области гидравлики нижних бьефов, каналов и водосборов.
N.K. Ponomarev (b. 1949) graduated from Peoples’ Friendship University of Russia in 1977. PhD(Eng), ass. professor, head of Hydraulics and Hydraulic Engineering Department, dean of Engineering faculty. Author of more than 50 scientific works in the field of hydraulics downstream water, channels and spillways.
