CC BY
11ТЕОРЕТИЧН1 ЗАСАДИ ПОБУДОВИ ЗОБРАЖЕНЬ ПРОСТОРОВИХ Ф1ГУР У ШК1ЛЬНОМУ КУРС1 СТЕРЕОМЕТРП
Л.В.Швець, астрант,
Нащональний педагогiчний умверситет т. М.П.Драгоманова,
м. Ки1в, УКРА1НА
У статт1 висвтлеш теоретичнг засади побудови зображень просторових ф1гур у шкшьному курс1 стереометры. Розглянут1 властивост1 паралельного проекщювання. Порушет питання повноти та метричног визначеностг просторових зображень.
Ключовi слова: паралельне проекщювання, повнота та метрична визначетсть просторових зображень.
Постановка проблеми. Пщ час ви-
вчення курсу стереометрп перед вчите-лем постае завдання навчити учшв зо-бражати стереометричш ф^ури та 'х комбшацп за встановленими правилами побудови зображень просторових ф^ур. Учитель повинен у повнш мiрi володiти теоретичними засадами щодо побудов просторових зображень, вм^и досль джувати зображення на предмет 'х повноти та метрично'' визначеностi, що дае змогу розширити сутнiсть принципу IX побудови. Таким чином, обiзнанiсть вчителiв у питанш теоретичних основ принципiв побудови просторових зображень у кура стереометрп допоможе сформувати в учшв умшня та навички виконувати стереометричш зображення, що забезпечить цшсну картину, розу-мшня ними зображень у цшому.
Анал1з актуальних досл1джень. Питання щодо формування й розвитку вмшь старшокласникiв зображати сте-реометричнi ф^ури i 'х комбшацп знайшло свое вщображення в педагог! -чнiй науш. Такi вiдомi педагоги й психологи, як Л.С.Виготський, П.Я.Гальперш, Г.С.Костюк, В.А.Крутецький, В.О.Онищук, Н.Ф.Тализiна, 1.С.Якиманська, Л.М.Фрщ-ман, Я.Й.Груденов, П.О.Шеварьов висв^-лили психолого-дидактичш основи формування в учшв наукових понять. А науковi засади теорп зображення
просторових фiгур з використанням проекцшних методiв зображень у кура стереометрп розробив i обгрунтував професор М.Ф.Четверухiн. Пропагуван-ня його щей знайшло свое вщображення в дисертацшних дослiдженнях Д.Ф.1за-ака (1960 р.), П.Г.Козакова (1966 р.), М.Д.Касьяненка (1966 р.), Г.1.Лернера (1975 р.), Т.П.Гори (1984 р.), В.Г.Коро-вшо' (1987 р.), Р.Л.Аракеляна (1988 р.) та шших дослiдникiв.
Мета статт1 - проаналiзувати теоре-тичнi засади побудови зображень просторових ф^ур у шкшьному кура стереометрп. Розглянути властивосп паралельного проекшювання, поняття повноти та метрично'' визначеносп просторових зображень, задля пiдвищення рiвня гра-фiчноi культури стосовно побудов сте-реометричних фiгур та 'х комбiнацiй.
Виклад основного матер1алу. Пщ час вивчення стереометрп роль рисунка, е, безумовно, виршальною. Вчитель, щоб викликати в учнiв наочне просто-рове уявлення геометричних образiв, поеднуе його разом з викладом теоретичних мiркувань та пояснень. Таке вивчення предмета е конкретшшим i вщ-повiдае практичним завданням засво-ення курсу стереометрп.
Але побудова зображень за правилами будь-якого наперед обраного методу проекшювання потребуе вико-
нання тих чи шших графiчних операцiй, розв'язання певних конструктивних задач, якi абсолютно незрозумш учням, i як наслщок заважатимуть i ускладнюва-тимуть процес навчання.
Найбшьш наочнi зображення можна дютати при центральному проекщю-ванш. Це пояснюеться тим, що саме ро-зглядання предмета вже е начебто центральним його проекщюванням на атчатку ока. Проте, розглядаючи неве-ликi предмети здалеку, центральне про-екцiювання можна наближено прийняти за паралельне. До того ж, паралельну проекщю оригиналу легше будувати, шж центральну. Тому в педагогiчному процес застосовують зображення, по-будованi тшьки паралельним проекщюванням, при чому рисунок нео-бов'язково вважати проекщею самого оригiналу, досить, щоб зображення було проекщею ф^ури, подiбноi до оригиналу. Задля унаочнення зображення, у школi використовують проекцiю оригиналу, на якiй однi елементи не закрива-ють iншi. Тому проекщювання повинно бути таким, щоб прямi та площини оригиналу не вироджувалися.
Зображення, яке можна вважати не-виродженою паралельною проекщею оригшалу, або подiбноi до нього ф^ури, причому напрям проекцiювання щодо оригiналу не вказуеться, називають про-екцшним рисунком (втьним зобра-женням).
Зупинимося детальшше на методi паралельного проекщювання та його властивостях. Варто зазначити, що па-ралельна проекщя е важливим випадком центрально!' проекци, коли центром си-метри виступае нескшченно вiддалена (невласна) точка. При цьому вс проек-цiйнi лши, що проходять через таку не-власну точку, - паралельнi. Тому i сама проекцiя дiстала назву паралельна, на вщмшу вiд центрально'!' проекци (з вла-сним центром).
Дамо кшька означень, якими будемо оперувати тд час викладення теоретич-
них основ властивостей паралельних проекцiй.
Означення 1. Зображенням ф1гури назвемо проекцт ф1гури, яка под1бна до оригталу.
Спроектуемо деяку точку А, взяту в простор^ на площину а. Через цю точку проведемо пряму АА1, яка перетинае площину а в точщ А1. Точку А1 називають паралельною проекщею точки А на площину а за напрямом ААь
Означення 2. Пряма АА 1, що визна-чае напрям проекщювання, називаеться проекцтною прямою.
Якщо пряма АА1 перпендикулярна до площини а, то проекщювання називаеться ортогональним, а якщо АА1 не перпендикулярна до а - косокутним. Площина а називаеться площиною про-екщй.
Означення 3. Проекщею ф1гури на площину називаеться множина всгх тих I тшьки тих точок, кожна з яких е проекщею хоча б одшег точки даног ф1гури.
Перетворення одше!' ф^ури в шшу паралельним проекщюванням називають перспективно-афгнним або спор1д-неним перетворенням.
Означення 4. Площина, яка паралельна напряму проекщювання (проекщй-нШ прямт), називаеться проекцИлною площиною.
Властивостг паралельного проекщювання
1. Проекщя точки е точка.
2. Проекщя прямог (непаралельног напряму проекщювання) е пряма.
На^док 1. Проекщею вгдргзка е в1-др1зок.
На^док 2. Проекщею променя е промгнь.
3. В1дношення довжин вгдргзкгв прямог дор1внюе в1дношенню довжин гх проекцт.
Наслщок. При проекщювант середина вгдргзка переходить у середину його проекци.
4. Проекци паралельних прямих па-ралельнг мгж собою.
На^док. Паралельне проекцгювання збер1гае ствнапрямлетсть (протилеж-ну напрямленгсть) промешв.
5. Вгдношення довжин проекцгй па-ралельних вгдргзкгв дор1внюе в1дно-шенню довжин цих в1др1зк1в.
6. При ортогональному проекщюванш проекщя вгдргзка прямог дор1внюе в1др1зку, помноженому на косинус кута його нахилу до площини проекцт.
Паралельне проекщювання е перет-воренням просторово'' ф^ури у ф^уру на площиш, тому вказаш властивосп встановлюють, що колшеаршсть i пара-лельшсть пари прямих е iнварiантними властивостями паралельного проекщювання (тобто не змшюються при де-якому геометричному перетворенш), а вщношення трьох точок прямо'' е його iнварiантом (незмiнним параметром).
Оскiльки проекцшний апарат пiд час побудови рисунюв строго не визначе-ний, то чим керуватися у виборi на-пряму проекцiювання? Зрозумiло, що в загальному випадку напрям проекщю-вання мае бути непаралельним до прое-кцшних прямих та площини проекцiй. Зручно обирати площину проекцiй вертикально, а основи фшур, що проекць юються, розташовувати на горизонта-льнiй площинi. Тодi 'х висоти розташо-ванi вертикально i зображуються без спотворень.
Якщо за таких умов користуватися ортогональним проекщюванням, то ос-нови таких ф^ур проекцiювалися б у вiдрiзки. При такому проекщюванш не-можливо визначити, що це за ф^ура. Отже, при горизонтальному розмщенш основи призми, пiрамiди, цилшдра чи конуса не слiд 'х проекцiювати на вер-тикальну площину, застосовуючи орто-гональне проекщювання. Але i косоку-тне проекщювання не завжди дощльне. Тому напрям проекцшних прямих слiд вибирати хоч i довiльно, але так, щоб вiн не був паралельним жоднш гранi многогранника або площинi основи цилшдра чи конуса. При косокутному проекщюванш можливост вибору на-
пряму проекщювання е необмеженими, тому не потрiбно обирати зручне поло-ження само'' фiгури, на вщмшу вiд ортогонального проекцiювання. Для унаоч-нення зображення, многогранникiв, цилшдра i конуса, по можливостi варто, розташовувати так, щоб 'х висоти за-ймали вертикальнi положення i зобра-жалися вертикальними вiдрiзками.
Щоб вшьне зображення було прави-льним, необхщно дотримуватися певних правил. Розглянемо щ правила на прикладi зображення плоских ф^ур методом паралельного проекщювання на одну площину.
Теорема 1.1. Проекщею трикутника може бути трикутник, под1бний до до-вшьного наперед заданого.
Теорема 1.2. Якщо для трьох неко-лгнеарних точок плоског ф1гури в1дом1 гх зображення, то зображення вс1х 1нших точок ф1гури однозначно визначет.
На^док. Довшьшсть побудови зображення допускаеться лише для трьох неколшеарних точок ф^ури (трикутника), а вс iншi точки зображення треба будувати за вказаним у теоремi 1.2 правилом.
Теорема 1.3. Паралельною проекщею кола е елгпс.
На^дки
1. Взаемно перпендикулярш дiаме-три кола зображуються спряженими дь аметрами елшса.
2. Центр кола зображуеться центром елшса.
3. Дотичш до кола зображуються до-тичними до елшса.
4. Квадрат, описаний навколо кола, зображуеться паралелограмом, описа-ним навколо елшса.
Доведення цих важливих теорем ви-кладено на сторшках поабниюв [1], [9]. Ц теореми дають можливють замшити вибiр напряму проекщювання на довь льний вибiр трикутника. Зрозумшо, що тсля такого вибору, коли напрям проекщювання визначено, ступшь довшьно-ст в зображенш шших елемешив фiгури зменшуеться, оскшьки залежить тепер
тшьки вiд довшьного розмiщення фь гури вiдносно площини проекцш. Тому зображення пiрамiди, призми, цилшдра чи конуса зазвичай починаеться з зо-браження !'х основ - многокутника чи круга.
Отже, для визначення форми довшь-но!' плоско!' ф^ури достатньо встано-вити умови, за яких буде вщома форма довшьного трикутника, яка залежить вщ двох незалежних умов (двох купв, двох вщношень його сторiн i т. iн.), тому форма плоско'' ф^ури визначаеться задан-ням двох величин.
Розглянемо зображення просторо-вих фщр. Як не визначаючи положення оригшалу вщносно площини, на яку проекщюють, а також напрям самого проекщювання вщносно ще' площини виконувати зображення просторових фiгур? Вiдповiдь на це питання дае основна теорема аксонометрп, яка назива-еться теорема Польке-Шварца i фор-
мулюеться так: всякий плоский чотири-кутник разом з його диагоналями мо-жна розглянути як паралельну проекц1ю тетраедра будь-яког наперед заданог форми.
Повне доведення ще' теореми ви-кладено в поабнику М.Ф.Четверухша [9]. Суть теореми зводиться до наступ-ного. Якщо в площиш а через вершини заданого довшьно чотирикутника ЛВСП провести паралельш прям^ що перети-нають площину а, i вибрати на них чо-тири точки, що не лежать в однш площиш, то утвориться довшьний тетраедр (рис. 1). Змiнюючи положення таких точок i напрям проекцiювання, отрима-емо безлiч тетраедрiв рiзноi форми, серед яких завжди знайдеться тетраедр Л'Б'С'П', подiбний даному i проекцiею якого буде даний чотирикутник ЛБСП.
в'
Рис.1
Отже, з теореми Польке-Шварца слщуе висновок: трам^ задано'' форми можна зображати довiльно, враховуючи при цьому наочнiсть.
Особливо' уваги заслуговуе побудова проекцii кулi. Але спочатку введемо деяк1 поняття, що стосуються побудови проекцii деякого тша. Припустимо, що деяке т1ло ¥' паралельно проекцiюеться на площину а в напрямi I. Сукупнiсть вах дотичних до по-верхнi тша, паралельних напряму I, утво-рюе проекцшну цилiндричну поверхню. Цей цитндр називаеться контурним. Лiнiя дотику контурного цншндра до поверхнi тiла ¥' називаеться видимим контуром тiла
К. Позначимо видимий цилiндр К. Про-екцiя цього контура на площину а називаеться обрисом тша ¥' i позначимо через К.
Якщо розглядати на поверхш ¥' будь-яку криву ^, яка перетинае видимий контур у т. М', то вона проекцшеться в лшш q, що дотикаеться обрису К. Оскшьки про-екц11 всiх точок тша лежать всередиш його обрису (бо, проекцшш променi всiх точок тша знаходяться всерединi контурного ци-лiндра), то обрис е межею области точок, якi являють собою зображення точок да-ного тша, у цьому розумшш обрис може вважатися зображенням тiла на площиш зображень. Розглянемо зображення куш.
При проекцшванш куш на деяку площину проекцшючим буде контурний цишндр, а лiнiя дотику його до куш, тобто контурною лЫею, - коло, з таким же радiусом, як i куля. У випадку косокутно! проекци обри-сом кулi е елiпс (рис. 2). Якщо площина зображення a перпендикулярна до твiрних контурного цилiндра, випадок ортогонально! проекци, то площина зображення пере-тинае контурний цишндр по колу, що i е обрисом куш (рис. 3).
Рис. 2
Рис. 3
Отже, обрисом будь-яко'' кулi може бути як коло, так i елшс. Яке ж з цих зо-бражень використовувати? Коли ми диви-мося на кулю, то й контурну лiнiю завжди бачимо як коло, тому сприйняття нами обрису куш у виглядi елiпса протирiчить наочносп зображення кулi, хоча i е прави-льним.
У педагогiчнiй дiяльностi i в навчаль-них поабниках куля фактично завжди зображуеться у виглядi кола, тобто зображення куш будуеться за допомогою ортогонально'' проекци. Такий принцип побу-дови куш накладае умови на побудову всього зображення. Оскшьки не допустимо, щоб одна частина оригиналу викону-валася в ортогональны проекци, а друга частина того самого оригиналу - в шшш.
Цю побудову можна виконати за до-помогою сумГщення площини, що перпендикулярна до площини рисунка Г проходить через вюь куш, з площиною рисунка. Детально цей споаб побудови описано в поабнику М.Ф.Четверухша [9] з викори-станням поняття висоти точки оригГналу.
Розглянут властивостГ паралельного проекцГювання та теорема Польке-Шварца дають змогу при побудовГ зображення просторово'' фГгури дотримуватися першо'' вимоги: рисунок мае бути правильним, тобто ва його елементи побудоваш за до-помогою одного й того ж методу проек-цГювання.
1з поняттям правильний рисунок тГсно пов'язане поняття позицшно'' повноти зо-браження, зокрема в задачах на побудову. Виконати побудову фГгури на площинГ, застосовуючи креслярськг Гнструменти, цГлком можливо. ВГдшукати невщому фь гуру можна, будуючи прямГ Г кола певного радГусу. Що е неможливим у стереометри. ОскГльки не Гснуе таких шструмеипв, яю дозволили б побудувати площину за трьома заданими точками або описати сферу даного радГуса з центром у данш точцГ.
Тому Гснуе два тдходи розв'язування задач на побудову в простер. Один Гз них, використовуючи вГдповГднГ аксГоми Г тео-реми, доводить Гснування певно'' геомет-рично'' фГгури (так зваш «уявш побудови»). У цьому випадку рисунок мае Глю-стративний характер Г може взагалГ бути вщсутшм. Тобто метою е не побудова рисунка, а доведення Гснування тако'' побудови. 1нший споаб полягае в тому, що по-будова виконуеться на проекцГйному рисунку, що е зображенням даних фГгур.
Задачу на побудову можна розв'язати тшьки тодГ, коли зображення даних фГгур е повним. Дамо наступне означення.
Означення 5. Зображення называешься повним, якщо для будь-яког його точки задано або може бути побудована гг проекция на основну площину.
Наприклад, Гз означення слГдуе, що зо-браження прямо'' буде повним, якщо задана '' проекцГя на дану площину (рис. 4).
У цьому випадку для довшьно" точки К прямо' МЫ завжди можна визначити й про-екцiю К1 на площину ос.
Зображення призми, цишндра, пiрамiди i конуса завжди повш. У випадку пiрамiди i конуса за напрям проекцшвання обирають, наприклад, бiчне ребро або твiрну идпои-дно, що робить зображення повним.
Якщо зображення не е повним, то його називають неповним. Неповнi зображення характеризуе коефщент неповноти, що дорiвнюе кшькост точок, задання проекцiй яких перетворюе зображення у повне. Вза-гал коефiцiент неповноти можна визна-чити за допомогою поняття - точковий базис, який е системою незалежних точок зображення. Три точки базису, що не лежать на однш прямiй, визначають площину, а четверта, взята поза щею площи-ною, задае напрям проекцшвання. Поло-ження iнших точок визначаеться за допо-могою вказаних. Якщо точковий базис зображення складаеться з п точок, то коефщ-ент неповноти такого зображення обчис-люеться за формулою: к = п - 4.
З поняттям правильного зображення пов'язано також поняття його метричног визначеноат.
Означення 6. Зображення ф1гури, ори-гтал яког визначений до под1бност1, называешься метрично визначеним.
Оскшьки апарат проекцшвання, що вь дповщае тому чи шшому проекцшному рисунку, не вказуеться, то не юнуе загаль-ного правила для вимрювання куив орип-налу за його проекцшним рисунком. Для з'ясування метрично' визначеност проек-иАйного рисунка аналiзують зв'язок мiж властивостями ориг1налу та властивостями знайдено'' проекцii. При паралельному про-
екцiюваннi зберiгаеться ряд властивостей орипналу при переходi до проекцiйного рисунка: точки орипналу вщображаються в точки; прямi в прямi, причому збершаються вiдношення трьох точок; зберiгаеться пара-лельн1сть прямих, вiдрiзкiв та вщношення паралельних вiдрiзкiв. Проте iснують вели-чини, що характеризують форму орипналу, але не зберiгаються при переходi до проек-цiйного рисунка. Наприклад, величина ль нiйного кута, вщношення непаралельних вiдрiзкiв. Так1 величини вказують на прое-кцiйному рисунку довшьно.
Величини, яким при виконаннi проек-цiйного рисунка надаються довiльнi зна-чення, називаються параметрами.
Усi побудови, яю виконуються на пов-ному, метрично визначеному зображеннi, не можуть мiстити н1яких елемент1в довi-льност!, бо 'м вiдповiдають цiлком визна-ченi побудови в оригiналi. Отже, метрично визначене зображення е повним зображен-ням.
Навпаки, повне зображення до його ме-тричного визначення допускае деяку довь льнiсть щодо метричних операцш, що виконуються на цьому зображенш. Наприклад, чотирикутник з дiагоналями е повним зображенням тетраедра, але цей проекцiй-ний рисунок зображае тетраедр будь-яко' форми. Ця довiльнiсть залежить вiд запасу в^них параметрiв, задання яких робить зображення метрично визначеним. Пщра-хунок цього запасу параметрiв називаеться параметражем зображення. Вщповщний коефiцiент називаеться параметричним числом i позначаеться буквою р. Це число становить запас вiльних параметрiв пов-ного зображення, який може бути витраче-ний п1д час виконання зображення. Також параметруються ва операцii, виконуванi на рисунку з урахуванням 'х област1 iсну-вання, щоб виконувана побудова була дш-сною проекцiею ориг1налу. Параметричне число повного зображення позначають через р. Щоб неповне зображення стало повним, потрiбно задати к незалежних па-раметрiв. Знайдене повне зображення мет-
рично визначимо, якщо задамо ще р неза-лежних параметрГв. Отже, р = к + р .
Параметричне число вказуе на кГлькГсть параметрГв, якими можна довГльно корис-туватися, виконуючи проекцГйний рисунок. Так для метрично'' визначеносп трикут-ника, зображеного на проекцГйному рисунку, досить вказати величину двох купв, яю е незалежнГ. Отже, для проекцшного рисунка трикутника параметричне число р = 2 . Оскшьки, щоб метрично визначити проекцГйний рисунок плоско'' фГгури, до-сить метрично визначити зображення будь-якого трикутника ще'' фГгури, то парамет-ричне число проекцГйного рисунка плоско'' фГгури р = 2 .
ПроаналГзуемо, скГльки необхГдно за-дати умов, щоб визначити форму просто-рово'' фГгури. У випадку паралельно'' прое-кци основу для розв'язання питання дае теорема Польке-Шварца, яку називають теоремою Гснування. З ще'' теореми випли-вае, що при довГльному метричному визна-ченнГ будь-якого тетраедра, можна визна-чити форму фГгури, аналопчно як Г для плоско'' фГгури. Отже, щоб визначити форму двох граней тетраедра, необхГдно задати чотири умови, оскГльки кожна грань е трикутником Г вимагае по двГ умови. Але и! граи можуть бути нахиленГ одна до одно'' по-рГзному, тому варто задати ще один параметр (наприклад, двогранний кут, висоту тлн.). Таким чином, метрична визначешсть повного зображення просторово'' фГгури обумовлюеться заданням п'яти незалежних параметрГв, р = 5.
Зображення фГгур визначено'' форми, таких, як куб, сфера та шшГ правильнГ многогранники, завжди е метрично визначе-ним. Разом Гз тим, зображення правильних призм Г пГрамГд, а також кругового цилГн-дра Г конуса, е метрично невизначеними.
Отже, якщо при розв'язуваннГ задач або при вивченнГ теоретичних питань потрГбна лише ГлюстрацГя, то варто використовувати неповш зображення, якГ дозволяють довГ-льно задавати точки Г лГни перетину та ГншГ елементи рисунка. Якщо маемо повне зо-браження, то при розв'язуваннГ позицшно''
задачi довшьний вибiр елеменпв двох гур не можливий i ix необидно будувати. Разом Í3 тим, повне i метрично невизначене зображення при розв'язанш метричжя за-дачi допускае вiльний вибiр визначаючих елементiв, що спрощуе побудову. Тому при розглядi конкретних задач доцiльно умову формулювати в загальному виглядi (без числових вiдношень), щоб зображення було метрично невизначеним.
Якщо ж задана ф]гура визначено'1' форми, вщповщно, зображення метрично ви-значене, то i в позицшних, i в метричних задачах всi необхщш елементи потрiбно обов'язково будувати.
Висновки. Розглянут теоретичнi аспе-кти та засади побудови зображень стерео-метричних фiгур, розробленi професором М.Ф.Четверуxiним, дозволяють зробити наступи] висновки: плоскi зображення гур у шюльному курс] стереометри буду-ються за правилами паралельного проек-щювання. Оскшьки зображення в курс] стереометри мають здебшьшого ]люстра-тивний характер, то для 1'х побудови засто-совуеться в1льне паралельне проекцш-вання. Довшьшсть у побудов] е обмеженою i пов'язана з поняттями повноти чи непов-ноти та метричноi визначеносп рисунка. З огляду на це в практичшй дшльносп пщ час вивчення курсу стереометри варто ко-ристуватися неповними або повними мет-рично невизначеними зображеннями для простоти виконання побудови.
1. Боровик В.Н. Курс еищог геометрп: навч. поабник / В.Н.Боровик, В.П.Яковець. - Суми: ВТД «Ушверситетська книга», 2004. - 464 с.
2. Гольдберг Я.Е. С чего начинается решение стереометрической задачи: пособие для учителя /Я.Е.Гольдберг. - К.: Рад. шк., 1990. -118 с.
3. Зенгин А.Р. Основные принципы построения изображений в стереометрии: пособие для учителей / А.Р.Зенгин. - М. : Учпедгиз, 1962. -108 с.
4. Лернер Г.И. Психология восприятия объемных форм (по изображениям) / Г.И.Лернер. -М..: Изд-во Моск. ун-та, 1980. -136 с.
© Shvets L.
5. Лепський М.М. Нарисна геометр1я: по-абник для педагоггчних ¡нститут1в /М.М.Леп-сыкий. - К.: Рад. шк., 1961. -118 с.
6. Лоповок Л.М. Зображення круглих ты: Поабник для вчителгв середньог школи / Л.М.Лоповок - К. : Рад. шк., 1961. - 64 с.
7. Савченко В.М. Изображение фигур в математике /В.М.Савченко. - К. : Вища школа, 1978. -136 с.
8. Сверчевська I.A. Розвиток умть стар-шокласнимв розв'язувати конструктивна задачi/ 1.А.Сверчевська // Дидактика матема-
тики: проблеми i дошдження: мгжнар. зб. наук. po6im. - Донецьк: Вид-во ДонНу. - 2008. -Вип. 30. - С. 148-157.
9. Четверухин М.Ф. Изображение фигур в курсе геометрии: пособие для учителей / М.Ф.Четверухин. -М..: Учпедгиз, 1958. -216с.
10. ЧетверутнМ.Ф. Стереометричш за-дачi на проекцтномурисунку/ М.Ф.Четверушн. - К.: Рад. шк., 1954. -112 с.
Резюме. Швец Л.В. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ СТЕРЕОМЕТРИИ. В статье излагаются теоретические основы построения изображений плоских и пространственных фигур в школьном курсе стереометрии. Рассмотрены свойства параллельного проектирования. Затронуты понятия полноты и метрической определенности пространственных изображений.
Ключевые слова: параллельное проектирование, полные изображения, метрически определенное изображение.
Abstract. Shvets L. THEORETICAL BASIS FOR IMAGE CONSTRUCTION IN THE SCHOOL COURSE OF STEREOMETRY. Theoretical basis of construction images ofplanes and spatial figures in the school course of stereometry has been stated. Features of concurrent engineering have been considered. The notion of integrity and metrical distinctness of spatial figures has been involved.
Key words: concurrent engineering, full image, metrical distinct images.
Стаття представлена професором М.1.Бурдою.
Надшшла доредакцп 19.09.2011 р.
