Теоретические основы информационного анализа технологических систем … Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 669 + 519.2

С.Ш. Кажикенова

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАЦИОННОГО АНАЛИЗА ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Самоорганизующиеся иерархические системы относятся к классу многоуровневых и многоцелевых систем. Использование меры определенности и неопределенности информации позволяет анализировать общие механизмы энтропийноинформационных закономерностей технологических переделов, являющихся фундаментальной основой всех самопроизвольно протекающих процессов накопления информации, приводящих к самоорганизации технологических систем.

Поэтому очень важно найти адекватные математические модели оптимального решения и постановки задач для анализа химикометаллургических процессов с количественной оценкой их технологического совершенства.

Для информационного анализа качества технологических продуктов и процессов их получения количественные оценки ценности информации могут производиться только после предварительной договоренности о том, что в каяедом конкретном случае имеет для рассматриваемых металлургических процессов ценность.

Алгоритмы вычисления информационной емкости системы, предложенные Шенноном, позволяют выявить соотношение количества детерминированной информации и количества стохастической информации, которую нельзя заранее предугадать, а тем самым дать возможность определить качественную и количественную оценку определенной технологической схемы.

При общей характеристике энтропийноинформационного анализа любых объектов широко используется статистическая формула Шеннона для выражения неопределенности любой системы [1]:

N

Н = -Еа-^2Л’ (1)

/=1

где р, - вероятность обнаружения какого-либо однородного элемента системы в их множестве Ы;

N

Т,Рг =Ь Р, >0, ¡ =

1=1

Мы рассмотрим применение данной формулы для количественной оценки неопределенности качества продукта или технологического передела через неопределенность главного элемента систе-

мы. В качестве вероятности обнаружения главного элемента технологической системы можно принять его содержание в продукте, выраженное в долях единицы.

До опубликования созданной К.Шенноном теории, Р.Хартли предложил определять количество информации по формуле [2]:

Нтах =log2N, (2)

где Нтах ~ количество информации; N - число элементов системы.

Неопределенность технологического процесса должна совпадать с количеством информации, получаемой, если процесс действительно происходит. Таким образом, количество информации будет также служить и количественной мерой неопределенности этого технологического процесса.

Для энтропийно-информационного анализа технологического передела необходимо выбрать единую меру статистических и детерминистических начал в любом целом. Наиболее полно эта мера выражается в информации, которая может быть выражена в различных отношениях: свободная и связанная, субъективная и объективная, реальная и потенциальная и т.д. [3]. Столь же правомерно использование энтропии как меры неупорядоченности, которая также охватывает весь спектр состояний системы, включая полную упорядоченность. Информация, как мера определенности, отражает функцию структурного начала в технологической системе, а энтропия, как мера неопределенности, ее бесструктурного дополнения [4].

Теорема 1. Если l(d), l(h) - относительные

значения информации 1(d) , энтропии 1(h) и на основании закона сохранения суммы энтропии и информации выполнено условие:

+ = (3)

то /(й?) есть решение уравнения:

1Щ)п +7р)-1 = о,

где пе Z,n> 0.

Доказательство. В работах [5,6] показано, что на основании закона сохранения максимума энтропии выполняется равенство:

Нтах = 1(d)+I(h)

где Не!) - информация; 1(к) - энтропия; Нтах -максимальная информационная емкость системы. По условию теоремы имеем:

~г)=\,

где 7(б/) - = _[№)_- относительные

^ ша\ ^ п]а\

значения информации и энтропии.

Их гармония возможна тогда и только тогда, когда пропорциональны их относительные изменения. Данная зависимость приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными [5, с.220]:

щ

Проинтегрируем его:

1п/(/г) = п 1п ¡(с/) + 1пс =>

1пЩ = 1п7ЩП -с =>

1Щ=с-1Щп

(4)

(5)

и зададим следующие начальные условия для определения произвольной постоянной с:

п =1 => /(/г) = /(¿/). (6)

Так как п GZ, п>0 , где Z- множество целых чисел, то с= 1 . Таким образом, решение дифференциального уравнения (4) при заданных начальных условиях (6) запишется в виде:

1Щ = 1ЩП 1ЩП +1Щ-\ = 0, (7) что и требовалось доказать.

Математическое описание процесса развития любой системы задается формулой [7]:

д21

>0,

д21

>0,

дМ£

где М - масса; N - число элементов технологической системы.

Положительная вторая производная свидетельствует об ускоренном развитии системы. Суть этого ускорения в том, что при переходе на более высокий структурный уровень технологического процесса вступает в действие закон или принцип прогрессивного увеличения разнообразия [7].

В математическом понимании принцип увеличения разнообразия состоит в том, что с переходом на более высокие структурные уровни число элементов, образующих данный структурный уровень, имеющий различные признаки, увеличивается по закону:

1гП тК

(8)

где п - порядковый номер рассматриваемого уровня технологической системы, п (=Z, п>0 ; Ля

- число элементов п - го уровня; к - длина кода элементов на каждом уровне иерархической сис-

темы; N0 - число элементов уровня технологической системы, принятого за начало отсчета п=0.

Более строго этот принцип выразится следующим образом:

ПА/

= N Г

(9)

Теорема 2. Пусть - число элементов п -го уровня иерархической системы, п GZ, п>0,1о -емкость информации нулевого уровня. Тогда емкость информации п - го уровня в расчете на один элемент выражается формулой:

1п кп I,,

где к - длина кода элементов на каждом уровне иерархической системы.

Доказательство с очевидностью следует из свойств логарифмической функции:

1„ = 1()£ М„ =кп /о^'Мо кп 10 .

Для многоуровневой иерархической системы технологического передела важным является описание нижестоящего уровня как взаимодействие взаимосвязанных подсистем, каждая из которых обладает своими информационными свойствами. Поэтому при получении информационной оценки основное внимание обращено на внутриуровневые и межуровневые взаимодействия. Рассмотренный подход, на наш взгляд, полностью соответствует основным требованиям системного энтропийно-информационного анализа, так как обеспечивает при моделировании иерархической системы технологических процессов целостность ее рассмотрения за счет общетеоретических и методических концепций, позволяющих целиком удерживать в поле зрения всю систему в целом для решения задачи на всех уровнях. Кроме того, на основе учета основных элементов в системе и связей между ними обеспечивает полноту и всесторонность рассмотрения. Предложенный алгоритм упрощения при моделировании позволяет адекватно отразить реальный технологический передел и учесть определяющие факторы в иерархической системе.

Теорема 3 Информационная емкость иерархической системы и п - го уровня определяются равенствами:

Н

= Е^ = і°в*Е

II*.

т=О

і=о 0 + !)•

1п =

н

п(тах) _ т=о

П кт 1°Я N

(10)

{п +1)/ (п + 1)! где Нп(тах) - максимально возможная энтропия системы.

Доказательство. Согласно закону сохранения, количество детерминированной информации

рассчитывается как разность между максимально возможной энтропией технологической системы Нп(тах) и некоторым текущим значением энтро-пии А«.:

In(d)= Нп(тах) -Н„ У

Нп(тах) Hfif'maxj H I;;(h) ^

=Hn .(11)

Максимум информации находится по формуле Хартли, которая применительно к уровневой выразится следующим образом:

Нп(тах) logN„. (12)

где Nn. определено формулой (9).

Информационная емкость технологической системы зависит от информационных свойств системы на различных уровнях системы и определяется формулой [5] :

Т

п (п +1)/’

где А1п - максимальное приращение информации.

Подставляя значение А1п = Нп(тах) , получим формулы для определения информационной емкости иерархической системы и п - ого уровня системы:

п ff , п П т

г «=| „yïL,

h(i+1) h(>+iy

ческой системы определяется по ее стохастиче-

н

«(max) т=0

Tlkm !°g N

(п +1) (п +1)!

что и требовалось доказать.

Из формулы (10) следует, что информационная емкость любого уровня технологической системы, за исключением нулевого, всегда меньше максимально возможного и не может превзойти некоторое определенное для каяедого уровня значение.

Теорема 4 Информационная емкость технологической системы определяется по ее стохастической части.

Доказательство. Доказательство проведем от противного. Допустим, что информационная емкость технологической системы определяется по ее детерминированной части 1„ /„ . Тогда из

равенства (11) получим:

Ifi(h) Нп(тах) Лг Нп(тах)

1--

1

(13)

(п + \)!_

Если п=0 , то 1о ф)=0. Это означает, что этот уровень оказывается полностью детерминированным. Но так как на нулевом уровне отсутствует какая-либо организация элементов, то мы приходим к противоречию.

Если же информационная емкость технологи-

ской части I„ I n (d). то:

In(h) =

Н

п(тах)

{п +1)/

Если п=0, то Io (d)=0 и детерминация полностью отсутствует, что и требовалось доказать.

Количество детерминированной информации ищется как разность между максимально возможной информацией технологической системы и ее стохастической информацией и определяется равенством:

In (d) — Нп(тах) ~ (/0 —

Нг

= Н

п(тах)

п(тах)

= Н

п(тах)

1--

1

(п + \)!

(п + \)!

Теорема 5 Предельная степень детерминации и неустранимой стохастичности технологической системы определяются как:

d-y

где/І; ставляющая. /

h\

1Ъ„ M н.

2 п(тах) 2]п(тах)

- системная детерминированная со-

системная стохастическая состав-

(h) -■

- системная максимальная инфор-

ляющая,

Ну

ах)

мация.

Доказательство. Очевидно, технологическую систему в целом должны характеризовать вышеуказанные системные составляющие информаций.

На основании равенства (11) с учетом Нп = /„ (к) и (10) получим формулы для определения уровневой и системной детерминированных составляющих:

In(d) = logN Y[km

т= 0

1--

1

1-

(п + 1)! 1

(14)

1тп{а)=1°81^Т ПК

1=0т=0

Максимальная информация п - ого уровня и суммарное значение максимальной информации с учетом формул (9) и (12) определяется следующим образом:

П

Я»(тах) =1°8ЖП К’ т=0

п(тах)=1°81*Т П кт (15)

щтах) .=0т=0

Для установления предельной степени детерминации технологического передела вычислим предел:

б/у = lim

11 О

+ITn(h)

I

Z„(d)

H

Я,

: у

^ п(тах) ■ (16)

Степень неустранимой стохастичности технологического передела выразим, используя теорему сложения вероятностей двух противоположных событий:

и

Ип(Ю

я^

(17)

у

¿-•п(тах) что и требовалось доказать.

Для предельных характеристик технологической системы степень детерминации равна коэффициенту избыточности

Нщах

используемого в теории информации; Нтах - максимально возможная энтропия системы, Нг - энтропия системы в рассматриваемый момент. Для предельных характеристик технологической системы отношение h/d равно коэффициенту сто-Нг 1-і?

хаотичности

G = -

используемого в

1г *

теории информации; /г - реализованная информация.

Смысл избыточной информации связан с познанием технологической системы, при котором извлекаемая информация всегда меньше объективно содержащейся в ней в виде детерминированных соотношений. Коэффициент стохастичности может изменяться от нуля до бесконечности и более детально отражает стохастические и детерминированные свойства технологической системы. Величина, равная 1/0=0 • Дает более наглядное представление о возможностях непредсказуемого развития технологической системы, поэтому по аналогии с коэффициентом стохастичности ее можно назвать коэффициентом детерминированности.

При подстановке (8) в (10), (14) - (15) получим формулы для определения всех видов информации иерархической системы:

к‘

кп logN (п +1)!

{h) = logN^

In(d) = kt

1-

1

IZn(d) = logNZk

i=0

(,n +1)! 1-

log N

-i У (18)

(19)

H

n(max)

= kn log N, я,

n(max)

= log N Yjk*

(20)

Из формул для детерминированной составляющей и максимальной информации технологической системы следует, что они не имеют конеч-

Таблица 1. Сравнение степеней детерминации и стохастичности по расчетам теоремы 1 и теоремы 5 для к=2,Ыо=2

п є Z '„И і, М d„ hn dT.„

0 0 1 0 1 0

1 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,3333

2 0,6180 0,3820 0,8333 0,1667 0,6190

3 0,6823 0,3177 0,9583 0,0417 0,8000

4 0,7245 0,2755 0,9917 0,0083 0,8989

5 0,7549 0,2451 0,9986 0,0014 0,9496

6 0,7781 0,2219 0,9998 0,0002 0,9749

7 0,7965 0,2035 1,0 0 0,9875

8 0,8111 0,1889 1,0 0 0,9937

9 0,8245 0,1755 1,0 0 0,9969

10 0,8354 0,1646 1,0 0 0,9984

11 0,8446 0,1554 1,0 0 0,9992

12 0,8528 0,1472 1,0 0 0,9996

13 0,8599 0,1401 1,0 0 0,9998

14 0,8662 0,1338 1,0 0 0,9999

15 0,8722 0,1278 1,0 0 1,0

16 0,8774 0,1226 1,0 0 1,0

їх пределов при П —-}оо и являются неограни-

ченными функциями. Относительно стохастической части (24), мы имеем сходящийся по признаку Даламбера числовой ряд - предел отношения п+1 -го члена к П— му члену ряда:

/ п+1

'(п + 1)' = lim

= 0<1-

/=о

lim —

и-»со (п + 2У-кп п^>соП + 2

Значит, стохастическая составляющая информации при самоорганизации иерархических систем ограничена.

Таким образом, доказанные в данной работе теоремы показывают неразрывную связь детерминированной и стохастической составляющих, из которых первая является доминирующей и обеспечивающей устойчивость, а вторая определяет наиболее тонкие изменения и оптимальную информационную емкость технологических систем. В связи с этим видим и объективную необходимость энтропийно-информационного подхода к их изучению.

Сопоставим расчетные данные новой модели, рассчитанные по формулам (18) - (20), с расчетными данными теоремы 1 и представим сравнительные показатели по степени детерминации иерархической системы в табл. 1. Различие новой и модели, построенной по теореме 1, иллюстрируем

графически в координатах п, б/ на рис. 1.

Мы видим, что при переходе на более высокий структурный уровень вступает в действие закон или принцип прогрессивного увеличения

Рис.1. Зависимость степени детерминации от уровня (П- номер уровня, б/ степень детерминации, 1 - зависимость по теореме 1, 2 - уровневая детерминация по новой модели, 3 - системная детерминация по новой модели

разнообразия [5]. Так как распределение вероятностей по этим уровням не влияет на качество продукции, то при расчетах достаточно ограни-

читься только мсждууровнсвыми корреляциями. Из таблицы 1 видно, что уровневая детерминация

с1п и гармонизированная детерминация ] п (с!)

совпадают только для первых двух уровней. В дальнейшем уровневая детерминация резко возрастает, приближаясь на седьмом уровне к единице. Системная детерминация занимает промежуточное положение. Очевидно, Iп (¿/) ближе к

системной детерминации, для которой значение детерминации меньше за счет вклада нижних уровней, отличающихся большей сто хаотичностью. Системная детерминация, как видно, существенно зависит от длины кода элемента к. На втором уровне технологической схемы получается значение, практически совпадающее с отношением золотого сечения. Отсюда следует, что при произвольной элементной базе должны отличаться особой распространенностью трехуровневые системы с бинарным принципом организации. Однако все три модели требуют идентификации при сравнении с практическими данными, что требует самостоятельного анализа.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Шеннон К. Э. Математическая теория связи // Работы по теории информации и кибернетике. - М.: ИЛ, 1963.-С. 243-332.

2 Хартли Р. Передача информации // Теория информации и ее приложения. - М.: ИЛ, 1959. - С. 5-

35.

3 Налимов В. В. Вероятностная модель языка. - М.: Наука, 1979. - 69 с.

4 Волъкенштейн М.В. Энтропия и информация. - М.: Наука, 1986. - 192с.

5 Малышев В. П. Вероятностно-детерминированное отображение. - Алматы: ¥ылым. 1994. - 376 с.

6 Сороко Э. М. Структурная гармония систем. - Минск: Наука и техника, 1984. - 264 с.

7 Седов Е. А. Эволюция и информация. - М.: Наука, 1976. - 232 с.

□ Автор статьи:

Кажикенова Сауле Шарапатовна

- канд.техн. наук, доцент каф. «Высшая математика» (Карагандинский государственный технический университет) Email: [email protected]

УДК 669 + 519.2

С.Ш. Кажикенова, В. П. Малышев

ЭНТРОПИЙНО-ИНФОРМАЦИОННЫЕ ОЦЕНКИ В ОБЛАСТИ ЦВЕТНОЙ

МЕТАЛЛУРГИИ

Совершенствование технологического процесса производства меди с учетом беднеющего и комплексного по составу сырья невозможно на основе только традиционных методов вскрытия причинно-следственных связей в процессах общей технологической схемы с анализом их материальных и тепловых балансов. Необходим дополнительный энтропийно-информационный анализ для определения баланса между неопределенностью и завершенностью технологических переде-

лов или схемы в целом, то есть информационного баланса любых производственных процессов.

Подобное дополнение диктуется тем, что если материальный и тепловой балансы основаны на использовании всеобщих законов сохранения массы и энергии, то последний из всеобщих законов сохранения - закон сохранения суммы информации и энтропии - до сих пор в металлургии не используется.

При общей характеристике энтропийно-