Теоретические основания нечетких множеств в САПР Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ В

САПР

THE THEORETICAL FOUNDATIONS OF FUZZY SETS IN CAD

В.П. Игнатов V.P. Ignatov

МГСУ

В работе рассматриваются общие теоретические основания построения нечетких множеств как модельных расширений в системах автоматизированного проектирования.

The paper addresses the general theoretical basis for constructing the fuzzy sets as extensions of the model in computer-aided design.

Рассмотрим общие теоретические основания построения нечетких множеств как модельных расширений в системах автоматизированного проектирования.

Нечеткое множество - это математическая модель класса с нечеткими (размытыми) границами. Элемент такого множества может иметь различную степень принадлежности к нему. Функция, описывающая это свойство, называется функцией принадлежности и дает субъективное представление эксперта об особенностях исследуемого объекта (явления, процесса, цели, ограничений и т.п.). Математический аппарат, основанный на этой теории, позволяет из множества допустимых альтернатив выбирать из них наиболее приемлемые.

Ниже приводятся краткие и необходимые для понимания сведения о свойствах нечетких множеств. Более полную информацию о них можно получить в работах [15].

Определение 1.1. Нечетким множеством А множества X называется множество упорядоченных пар вида (х, |1д(х)), где хеХ, а функция |Дд(х) : Х^ [0,1], называется функцией принадлежности нечеткого множества А .

Функция |Дд(х) характеризует степень принадлежности конкретного элемента хе X нечеткому множеству А., т.е. «...это функция субъективного представления эксперта (исследователя) об особенностях исследуемой операции, характере ограничений и целей исследования. Это такой язык математики, который позволяет учитывать нечеткость исходной информации в математических моделях (Моисеев И.Н.)».

Нечеткое множество называется пустым, если р.0 (х) = 0, VxeX.

Носителем нечеткого множества А называется множество: supp A = { x I xeX, |iA (x) > 0}.

Если нечеткое множество А включает в себя нечеткое множество В, т.е. Вс А, то |iA (х) > |1в (х) и supp B с: supp A.

Определение 1.2. Объединением нечетких множеств А и В в X называется нечеткое множество А и В с функцией принадлежности вида Цдив= max (Ца(х) , |1В (x)}, хеХ.

Определение 1.3. Пересечением нечетких множеств А и В в X называется нечеткое множество А п В с функцией принадлежности вида Ца^в = min {|iA (x), |iB (x)}, х еХ.

Определение 1.4. Разность нечетких множеств А и В в X определяется как нечеткое множество А \ В с функцией принадлежности вида Ца\в (х) = max {0, ца(х) - |iB (x)}

Определение 1.5. Декартово произведение Aj х...х An нечетких множеств A i в Xi, называется нечеткое множество А множества X=Xjx...xXn с функцией принадлежности вида

|iA= min{|iaj (xj), ..., Цдп (Xn)}, х = (xj, ..., Xn) eX.

Определение 1.6. Нечетким отношением R на множестве X называется нечеткое подмножество декартового произведения ХхХс функцией принадлежности |j.R (x,y) : ХхХ —> [0, J ]. Значение |iR (x,y) понимается как степень выполнения отношения xRy.

Определение 1.7. Образом В нечеткого множества А в X при нечетком отображении |дф : X x У^[0,1] называется нечеткое множество с функцией принадлежности вида

Ив (7) = sup min A (ХX ц9 (x y )}

xe X

Если ф обычное отображение вида ф: X ^Y, т.е. |дф(х, у) =1, при

у= ф(х) и yeY, то:

/ив (у) = sup ¡лА ( X )

X ер 1(y)

где yeY и

(р~\У) = {x|X е X,р(X) = у}

Определение 1.8. Если Р- прямое произведение n множеств Xjx...xXn , тогда нечеткое n-арное отношение R определяется как нечеткое подмножество Р, т.е. R с Р, принимающее свои значения в [0,1].

Для двухместного отношения используют табличное представление вида:

yi y2 Уз y4 y5

0 0 0,1 0,3 J Xj R = 0 0,6 0,4 0 j Х2 0,2 0,7 0 0,5 0 хз

или запись вида xRy для хеХ и yeY.:

Определение 1.9. Композицией двух нечетких отношений R1 и R2 называется «max - min»- композиция отношений Ri и R2 (обозначается Ri° R2) и определяется выражением:

M-R2° Ri(x,z) = V [^Ri(x,y)A^R2(y,z)] =max[min(|iRi(x,y), |i R2(y,z))],

y y

где xeX, yeY, zeZ, a R1c XxY и R2cYxZ.

v - обозначает max относительно переменной или элемента х;

X

л - обозначает min относительно переменной или элемента х,

X

1.1 при этом запись Ц1(х)= Vц(х, y) эквивалентна записи Ц1(х) = max fj(x, y), y y

а запись ц2(х)= Л |i(x, y) ~ |i2(x)= min |i(x, y).

y y

Определение 1.10. Нечетким отношением строгого предпочтения, соответствующим нечеткому отношению R, называется отношение с функцией принадлежности вида

s/.. ..ч \Vr (x> У) Mr (У,x) при (x, y) >ßR (y,x),

Mr(x, y) =

0 при JUR (x, y) < JUR (y,x)

Это отношение антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно, если транзи-тивно отношение R, т.е. |iR(x,y) = 0; а из |iR(x,y) >0 ^ |j.R(y,x)= 0 и R° Rc R или |iR(x,y) > max min {|iR(x,z), |iR(z,y)}, где символ « ° » означает операцию композиции отношений. Операция max берется по всем zeX.

Определение 1.11. Пусть X - множество альтернатив и ¡j,R - заданное на нём нечеткое отношение предпочтения. Тогда нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив множества (X, |j.R) описывается функцией принадлежности вида:

Эффективные или оптимальные по Парето подмножество недоминированных альтернатив для набора функций fi(x), i=1,..., n имеют функции принадлежности вида:

M"rö' (x) =1" sup[//R(y, x) - MRx, y)]

yeX

и называются четко недоминируемыми альтернативами с функцией принадлеж-

x) = 1 - sup vSR(y, X), x e X

yeX

ности |iRH"(x) = 1.

Определение 1.12. Четко недоминируемым множеством называется множество X*, удовлетворяющее условию:

X* = {x | xeX, №нд(х) = 1}.

Его можно рассматривать в некотором смысле как четкое решение нечетко поставленной задачи.

Определение 1.13. Нечеткое отношение |iR называется сильно линейным, если его функция принадлежности удовлетворяет условию:

max {|iR(x, y), |iR(y, x) } = 1 при любых x, yeX

или эквивалентному условию |iR(x, y) = 1- |iRS (y, x).

Литература

1. Белман P., Заде Л. Принятие решений в расплывчатых условиях. В кн. "Вопросы анализа и процедуры принятия решений". М., "Мир", 1976, стр.172-215.

2. Игнатов В.П. Основы нечеткого моделирования процессов проектирования. - М.: Компания Спутник+. 2000. - 187 с.

3. Волков А.А., Игнатов В.П. Мягкие вычисления в моделях гомеостата строительных объектов // Вестник МГСУ. - 2010. - №2. - с. 279-282.

4. Волков А.А., Лебедев В.М. Гомеостат строительного производства // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. - 2008. - №1. - с. 102-104.

Literature

1. Bellman R., Zadeh L. Decision-making in ambiguous terms. In the book. "Issues of analysis and decision-making procedures." M., "Mir", 1976, p. 172, 215.

2. Ignatov V.P. Fundamentals of fuzzy modeling of design processes. - M.: Company Sputnik +. 2000. - 187 S.

3. Volkov A.A., Ignatov V.P. Soft computing models in homeostat construction projects // Vest-nik of MSUCE. - 2010. - № 2. - S. 279-282.

4. Volkov A.A., Lebedev V.M. Homeostat construction industry // Vestnik of BSTU. V.G. Shukhov. - 2008. - № 1. - S. 102-104.

Ключевые слова: моделирование, математические модели, проектирование, иерархия, нечеткие множества.

Keywords: simulation, mathematical models, design, hierarchy, fuzzy sets.

Рецензент: д.т.н., проф. Григорьев Э.П.