Теоретические исследования вероятностных характеристик оценки скоплений лесосечных отходов методом линейных пересечений Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

ЛЕСОИНЖЕНЕРНОЕ ДЕЛО

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ОЦЕНКИ СКОПЛЕНИЙ ЛЕСОСЕЧНЫХ ОТХОДОВ МЕТОДОМ ЛИНЕЙНЫХ ПЕРЕСЕЧЕНИЙ

С.П. КАРПАЧЕВ, проф. каф. транспорта лесаМГУЛ, д-р техн. наук,

Е.Н. ЩЕРБАКОВ, доц. каф. древесиноведения МГУЛ, канд. техн. наук

Рассмотрим плоский прямоугольный участок лесосеки размером L х H. Пусть на участке находится n скоплений (рис. 1). Будем считать, что все скопления лесосечных отходов имеют форму круга радиуса R. Будем считать, что координаты центров скоплений X, Y подчиняются равномерному закону на интервалах [0, H], [0, L]. Проведем через участок линию отбора длиной l. Пусть угол ориентации этой линии ф также подчиняется равномерному закону и определен на интервале [-п/2, +п/2].

Рис. 1. Схема скоплений на участке лесосеки

Рис. 2. Расчетная схема скоплений на участке лесосеки

karpachev@mgul. ac. ru; scherbakov@mgul. ac. ru

Оценка лесосечных отходов методом линейного пересечения основана на статистической выборке отдельных скоплений отходов, которые пересекли линию отбора [1].

Рассмотрим отдельное скопление радиуса R (рис. 2). Пусть линия отбора имеет длину l.

Определим вероятность пересечения линией L скопления R. Касание линии со скоплением также будем считать пересечением.

Вероятность того, что произвольно выбранная линия L пересечет скопление R, будет равна

p(+|R) = Q+ / Q, (1)

где Q+ - область благоприятных событий (пересечение скопления с линией отбора);

Q - полная система событий (всевозможные положения скопления на площадке).

Определим область благоприятных событий (пересечение скопления с линией отбора) Q+. Сразу определим условие

l > 2R. (2)

Пусть r - расстояние от центра скопления до средины линии отбора. Если центр линии находится на расстоянии

r > R + l/2, (3)

то пересечений со скоплением не будет. Что видно из рис. 3.

Рис. 3. Условие непересечения линии отбора со скоп-

лением

ЛЕСНОИ ВЕСТНИК 4/2009

97

ЛЕСОИНЖЕНЕРНОЕ ДЕЛО

Все случаи пересечений линии отбора со скоплением сводятся к трем:

1. Внутреннее пересечение скопления линий отбора (рис. 4).

Условие внутреннего пересечения

r > R, (4)

то есть, пересечение заведомо есть.

2. Касательное пересечение скопления линий отбора (рис. 5).

Благоприятные углы для пересечения линии отбора со скоплением

Ф*(г) = arcsin(R / r). (5)

Условие касательного пересечения

R < r < R*, (6)

где R* - очевиден из геометрического построения (рис. 6)

R* =yl R2 + (l / 2)2. (7)

3. Пересечение скопления одним концом линии отбора (рис. 7).

Пусть О’ - центр скопления радиуса R. Возьмем на оси OX точку О’ как полюс. Угол между линией отбора и полярным радиусом r определяет условие, когда еще обеспечивается контакт линии отбора со скоплением

Ф(г) = arcsin(y / (l / 2)), (8)

где у - координата точки пересечения двух окружностей (рис. 7).

Выразим координату у в формуле (8) через значение радиус r и R. Составим систему уравнений, связывающих эти величины х2 + у2 = R2;

(х - r)2 + у2 = (l / 2)2. (9)

Решение системы (9) дает

х = (R2 - (l / 2)2 + r2) / 2r; (10)

у2 = R2 - [(R2 - (l / 2)2 + r2) / 2r];

у = ylR2 -[(R2 -(l/2)2 + r2)/2• r]2 . (11) Подставляя (11) в (8) получим благоприятные углы для пересечения линии отбора со скоплением

Ф(г ) = arcsin

R2

[R2 - (l/2)2 + r2]2 4 • r2 l/2

. (12)

Условие касательного пересечения

R* < R < Rc, (13)

где

Rc = R + l / 2.

Область благоприятных событий Q+ будет равна сумме трех составляющих.

Рис. 4. Внутреннее пересечение линии отбора со скоплением

Рис. 5. Касательное пересечение линии отбора со скоплением

Рис. 7. Пересечение скопления одним концом линии отбора

98

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2009

ЛЕСОИНЖЕНЕРНОЕ ДЕЛО

1. Вполне очевидно, что внутренняя область благоприятных событий по п. 1 (рис. 4) будет равна

Q+1 = л^л22 = п222. (14)

2. Внешняя область касательных пересечений скопления линий отбора (рис. 5) будет равна

R* ф(г) R* r

Q+ = 2nJdr• r J dф = 4nJdr• r• arcsin—. (15)

r

R -ф(г) R

R* , . R

Вычислим интеграл I dr • r • arcsin —, j r

применяя метод интегрирования по частям

R*

R

r

I dr • r • arcsin-

R r

= (R*2/2) агсйп(ЯГЯ*) - (7*274) + (+/2)VR*2 - R2; Учитывая, что R*2 = R2 + (/ / 2)2, имеем

R*2/2 = arc2п(Я/СГ) - 0i-74) 2 (RRy^R 2 - R2 =

1

R2 r /

= — Г------arccos- ,------------

2 2R ^12 + (/ / 2R)2

/2 . R

+— arcsin -

] +

8 ф2 + (/ / 2R)2 '

Окончательно, внешняя область касательных пересечений скопления линий отбора (15) будет равна

R*

R* ф8 ( r )

•r

R -ф8 (r) R

2

Q+ = 2nJ dr • r J dф = 4nJ dr • r -ф(г Д

= 4n{R2 / 2[(/ / 2R) - arctg(/ / 2R)]+ R

l2

+— arcsin- ---------------

8 ^12 + (/ /2 R)2

}; (16)

3. Внешняя область пересечения скопления одним концом линии отбора (рис. 7)

определяется условием

2 ф(г)

Q+ = 2nJ dr • r J dф = 4nJ dr • r ^(r Д

-ф(г )

„ V Jr2[R2 ~(l/2)2+r2f /4-r2 = 4л I dr ■ r -— -2-------d-----

//2

(17)

Общая область благоприятных событий будет равна

Q+ = Q1 + Q+2 + Q3 = n222 + 4n{R2 / 2[(/ / 2R) -

72

l2

- arctg(/ / 2R)] +— arcsin —1=

8 ^1+(/ /2R)2

, V л/я2[Я2 -(//2)2 + r2]2 / 4-r2

+4л drr-— -------2--2----------

i //2

} +

. (18)

R

Область возможных событий будет

равна

Q = nLH. (19)

Таким образом, вероятность, что линия отбора длиной / > 2R на площадке размером LxH пересечет скопление лесосечных отходов радиусом R, будет равна

Р + =

Q+

~Q

R2ll п •2+4п{ Т[22 ~ arctg 22]

l2

arcsin

п L • H 1

+

+ ■

Ш VOlll I--------

8 ^1 + (//22)

п L • H

- +

}

2

, V л/я2 Я2-(//2)2+г2 2/4-г2

4л \dr-r-2i-— -----------------

A U2

+-

K-LH

-. (20)

Формула (20) неудобна для практического пользования, поскольку трудно вычислить интеграл. Попытаемся упростить выражение (20). Усилим условие (2)

/ >> 2R, (21)

что на самом деле имеет место на практике.

Таким образом, при / >> 2R, область благоприятных событий можно определить согласно (18), как

Q+ = Q1 + Q+2 + Q3 =

= п222 + 4л^(1 / 2)2-/ + 4п22 = 2л27. (22) Тогда

Q+ 2л-R • / = 2 • R • /

Q = л • L • H ~ L • H

(23)

Формулу (23) можно обобщить и для случая, когда форма площадки лесосеки не прямоугольная

p+ = 2-R-// Я, (24)

где Я - площадь участка.

Математическое ожидание числа пересечений скоплений с линией створа будет равно

M[m] = p+N, (25)

где N - число скоплений.

Дисперсия числа пересечений скоплений с линией отбора будет равна

D[m] = p+(1 - p+)N. (26)

Библиографический список

1. Карпачев, С.П. Учет лесосечных отходов методом линейных пересечений / С.П. Карпачев, Е.Н. Щербаков и др. // Экспресс-информация. Зарубежный опыт. - М.: ВНИПИЭИлеспром, 1987. - Вып. 13. - 6 с.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2009

99