CC BY
25
---------------------------- © М.М. Конорев, Г.Ф. Нестеренко,
2007
УДК 622.458
М.М. Конорев, Г. Ф. Нестеренко
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ КАЧЕСТВ СИСТЕМЫ«ВИНТ-НАСАДОК»
ДЛЯ КАРЬЕРНЫХ ВЕНТИЛЯТОРОВ
ш И ри рассмотрении влияния параметров насадка на аэро-H динамические качества системы «винт-насадок» (к.п.д., тяга винта и кольца, потребляемая мощность и др.) использовались общепринятые в аэродинамике уравнения Бернулли, Эйлера и неразрывности, закон сохранения энергии, теорема об импульсе силы и изменении количества движения.
Определяющим фактором, входящим во все расчетные интегральные формулы, является разность давлений в любой точке эквипотенциальных поверхностей кольца:
АРк = Ра - Рк = ^2-41 + 2 { -R-X (1)
2 AB Ry
где ра - атмосферное давление, Па; рк - давление на поверхности кольца, Па; р - плотность воздуха, кг/м3; dS - элемент дуги, на радиусе Rv; -к - средняя скорость по поверхности равного потенциала, проходящей по поверхности кольца, м/с.
На рис. 1 представлена схема линий тока и эквипотенциальных линий в меридиональном сечении.
На рис. 2 представлена расчетная схема для вычисления интеграла, входящего в формулу 1.
После перехода к приведенным значениям получим расчетную формулу, определяющую условия равновесия частиц воздуха на поверхности равного потенциала:
R sin(^ - у) = RV cos рк + Г sin рк + RV cos(^ - у). (2)
Поскольку dS = Rqdy то значение интеграла в формуле 1 определяется по формуле:
2{ ^=2) ± ау - г) I- ау.
Ч Л Л
Рис. 1. Линии тока и эквипотенциальные линии в потоке, подходящем к винту
Я
¥
Из рис. 2 значение ЯТ :
- _Я) _ 1 + гк(1 + с°)к)
ЭШ)
где Я - радиус винта, м.
После подстановки 2 и 4 в 3 имеем:
л Я
2! тау -21п
0 %
81п2 )к 2
1
+1
2Гк
(4)
(5)
Из уравнения неразрывности можно определить Ук через среднюю скорость в плоскости вращения винта v1:
(6)
2
где Fр - площадь поверхности равных потенциалов, проходящих через точки, на угле р поверхности кольца, м2.
После интегрирования в системе сферических координат определим Fф:
Fр = 2^(1 + со8Рк). (7)
После подстановки 4 и 7 в 6 и переходе к Гк получим:
2 Рк
(8)
sin
2
[1 + Гк(1 + cos Рк )]2 '
После подстановки З и 8 в формулу 1 получили:
ЛРк - ^ Лрк,
(9)
• 4 Рк sin4 — 2 1 + 2ln sin2 ^ 2
[1 + /к (1 + cos Рк )]4 — +1 2/к
(10)
На рис. З представлено изменение коэффициента разряжения Лрк на поверхности кольца.
Для вычисления тяги, развиваемой кольцом, воспользуемся сферическими координатами (рис. 4).
Выделим на поверхности кольца элементарную площадь dF с координатами фк и Q. Каждый элемент dF развивает подъемную силу dYu = ЛplKdF, направленную перпендикулярно к площадке dF. Величина dF может быть определена формулой:
2п
dF - [R + Гк(1 + cospK)rKdpK J dQ - 2nR\1 + rK(1 + cospKWKdpK. (11)
0
Вертикальная составляющая подъемной силы представляет тягу кольца:
dTK - dYK • sin Рк. (12)
В интегральном виде тяга, развиваемая кольцом, определяется по формуле:
к
п
тк = \21[1 + гк(1 + т^)] • Гк sin^кАРк. (13)
0
Рис. 3. Распределение давления на поверхности кольца
Рис. 4. Несущая поверхность кольца в сферических координатах
После подстановки Арк по формуле 10 в 13 тягу кольца можно представить в виде:
Т = КтУ1, (14)
где т = - массовый расход воздуха в плоскости вращения
винта, кг/с.
Коэффициент тяги кольца К выражается интегральной формулой:
• 4 Рк •
Sin — Sinp,.
2к
[1 + гк (1 + cos Рк)]
1 + 2ln
sin2 Рк 2
1
+1
2^
• dРк.
(15)
Произведем в 15 следующие преобразования с переходом к новой переменной:
— + 1) - sin2 —]3 (—
'27 2 9 27 ' 5 2
[1 + гк(1 + cospк)]3 - 8гк3[(—^ + 1) - sin2 —]3 (^ +1) - a sin2 — - x,
sin pKdpK - -2d sin2 - -2dx .
В результате этих преобразований получим:
К --
4rK 0(a - x)'
[1 + 2ln
]dx.
В 17 выделим 2 интеграла:
J1 - 4r2
1 1 —(2lna - 1)J
(a - x)
J2 - -
1 1 x2 ln x
dx .
2r^o(a - x)3
Представим в 17 x2 - (a - x)2 + 2a(a - x) - a2. Тогда:
(16)
(17)
(18)
2
X
2
x
J1 =-^—(21п a — 1)[Г———ъ 2а Г-1 4724 'Ч (a - г) ^
^ 2 г ёх
_2^^^a —1)[1---------------ъ2а I---------------2— a I------
4г ■' (a — г) ■' (a — г) ■' (a — г)
1 a 2 2a
= —2 (21п a —1)[-----------2 — 1n(a — х)--------]
4г2 2(а — х)2 (a — г)
1 ли пг3 1 a — 1 a2 2a
= —г- (21п a — 1)[- — 1п------+---------- --------]
4г/ 2 a 2(a — 1)2 (а — 1)
После подстановки значения а в 19 получим:
1 2г +1 1 1
^ = -[21п(-Ь—) — 1] • [1 + —г1п(2?к +1) — -] =
2 2г 2г г
о +11 2 2
)—-] •[1+ж1п( в. +1) - т
— _ г
где Вк = 2гк = 2— - относительная ширина кольца.
R
Решение уравнения 18 производим путем интегрирования по частям:
Х ^х = dV 1п х = а du = —;
(а — х)3
V = [ а------ — 1п(а — х)-—].
2(а — х) (а — х)
В результате получим:
32 =—^{Ьх[-----------а-2 — 1п(а — х)--------2а~] ——|-------— 2
2гк 2(а — х) (а — х) 2^ х(и — х)
+2а [——------ъ [ 1п(а — х) —}.
х(и — х) ^ х
Все три последние интеграла являются табличными, либо интегрируются по частям.
- +
1 2 0 1
J2 =----------------------г{1п х[-а-- — 1п(а — х)--------------а—]------------[1п
2 27. 2(а — х)2 (а — х) 2
х ] —
(а — х)
(22)
—21п
/і м ,х х х
+ (1п а)1п х — (- + ""+-ігт )}■
а а 2 ап
а — х
х
а — х
х
У второго, третьего и четвертого слагаемых значения при 1п х
введем в значения первого:
J2 = —т12{1п х[
2г
2(а — х)2
а — х 2а 3 3
— 1п(--------)-ъ — ] — 1п(а — х) —
(а — х) 2 2
(23)
1 . ^ ч ^х х2 хп
(-------) — (— + -^Т + • • • • +-г)}
2 (а — х) а а 2 апп
Следует отметить, что в результате этого выражение в квадратных скобках первого слагаемого обращается в 0 при х = 0, а при подстановке верхнего предела х = 1 1пх = 0.
В итоге получим общее решение второго интеграла, входящего в расчетную формулу коэффициента тяги кольца:
1 “ хп 1 х 3
J2 = ^ [Х ~гп + о (7^;) + о 1п(а — х)]
27к2 Пап 2 (а — х) 2
Б„
1 1 2г 1
= — [( к )п — + о 27 27 +1 п2
кк
1 Б 3, -
(24)
+7 — -ВД +1)] = БТ [X (^Г-+ - 21п( Бк +1)].
2 Бк ,=1 Бк +1 п 2 2
Общее решение исходного уравнения для коэффициента тяги винта представится в виде:
К = J1 + J2 =
і (Бк +1, 1
1п( к_ ) — Б 2
2 - 2 1 + =- 1п( Б +1) —
Б2 Б
+
Б
1 Б 3,
X (^ТГ) • -2 + Т — 21п( Бк +1)
Бк +1 п 2 2
(25)
Необходимо отметить, что ряд, составленный из суммы X (^Б—) •"“т является мажорируемым (абсолютно сходящимся),
“Т Бк +1 п
поскольку существует сходящийся л 1 1 1ч
(1 + — + — +-----1------ +—), который имеет предел
22 32 (п +1)2
числовой
ряд
п
— = 1,64493.
6
Однако при расчете суммы членов мажорируемого ряда можно ограничиться 20 членами. При этом сумма остатка отброшенных членов численного ряда не превысит 4 %.
2
а
а
(Бк) — Sn (Бк)| < є в интервале Бк =0,1 - 1,0.
В результате расчетов по формуле 25 установлено, что Бк = 0,5 является оптимальной Ктах = 0,25 (рис. 5). На основании исследований В.И. Шайдакова [1] при 7к К ^ 0,5, однако по
предлагаемой им формуле К=0,52 при 7к =0,4
(Вк = 0,8) и К = 0,594 при Вк = 3. Следует отметить, что определять предел значения К при Вк не совсем корректно: у при-
вода «летающих платформ» может оказаться недостаточно мощности для их подъема и перемещения, а у карьерных вентиляторов на основе турбовинтовых двигателей, помещенных в кожух (насадок), габариты и вес будут неприемлемыми.
Для определения оптимальной глубины расположения винта в насадке необходимо учесть, что при любых Вк, Г графики функ-
Рис. 6. К определению С
ции Дрк = f (г ,фк) имеют точку перегиба при фк = 180° (рис. 3). Наличие этой точки свидетельствует о зоне максимальной степени эжекции на поверхности кольца.
Исходя из тригонометрических соотношений (рис. 6), относительная глубина расположения винта в насадке мо-
жет быть определена по формуле:
с = [1 + гк (1 + +
+Г (1 - sin (рк)
г = 0,25 и
копт
При (рк = 120° ск = 0,654.
(26)
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Шайдаков В.И. Аэродинамические исследования системы «Винт в кольце» на режиме висения. // Труды/ МАИ. М.:1959. - Вып.111. с.41-47.
Коротко об авторах ---------------------------------------------
Конорев Михаил Максимович - доктор технических наук, зав. лабораторией экологии горного производства (ЭГП),
Нестеренко Геннадий Филиппович - кандидат технических наук, ст. научный сотрудник лаборатории ЭГП,
Институт горного дела УрО РАН, г. Екатеринбург.
