CC BY
11
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ РЕАЛИЗАЦИИ ЛИНЕИНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Шакирова Джамиля Уруспаевна
Старший преподаватель кафедры алгебры и математической кибернетики, г. Оренбург
Теория линейных динамических систем в современном математическом моделировании все чаще используется при описании физических, биологических, экономических и многих других процессов. Одним из наиболее перспективных подходов для исследования динамики различных процессов и управления ими является моделирование, основанное на наблюдении входных и выходных сигналов объекта и представлении его поведения в пространстве состояний. При представлении поведения объекта управления в пространстве состояний не обойтись без понятия динамической системы и задачи реализации.
Теория линейных стационарных динамических систем с самого момента своего создания использовалась для моделирования различных объектов, поскольку свойством линейности хотя бы в первом приближении обладает множество реальных систем различной природы.
В частности, теория линейных стационарных динамических систем с дискретным или непрерывным временем применялась для моделирования технических систем самого разного рода и управления ими. Однако большая часть соответствующих работ была посвящена системам с непрерывным множеством состояний, изменяющимся во времени, так называемым временно-ориентированным системам. Или же, напротив, системам с возможно дискретным множеством состояний, но изменяющим свое состояние лишь с наступлением определенного события, то есть событийно-ориентированным системам[1, с.3].
Эффективным методом исследования линейных систем управления являются алгебраические методы. Алгебраическая теория линейных стационарных управляемых систем начала свое развитие в начале 1960-х годов Р. Кал-маном. Он приблизился к алгебраической формулировке теории линейных стационарных управляемых систем над полями вещественных и комплексных чисел и дал формальное определение динамической системы в работе [5, с.13]. В его понимании, линейная стационарная динамическая система, будучи частным случаем определяемой теоретико-множественным образом динамической системы общего вида, определяются набором линейных дифференциальных (разностных) уравнений:
непрерывное время: X(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx (t); или дискретное время: x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx (t). Векторы x, u, y принадлежат, в классическом случае, вещественным (иногда комплексным) линейным пространствам X ,U ,Y соответственно, причем dim X = n,
dim U = m, dim Y = p. X называется пространством состояний системы X, U - пространством входных сигналов (пространством управлений), Y - пространством выходных сигналов. А, В, С являются линейными отображениями векторных пространств
А: X ^X, В :U ^ X, C:X ^ Y,а при
фиксированных базисах (координатах), что обычно предполагается, они представляют собой П X П, П X т, р X т - матрицы с вещественными или
комплексными коэффициентами [1, с.8].
Алгебраические методы исследования различных проблем теории управления использовались и развивались также такими учеными как Л. Заде [3], Н. И. Осетинский [7] и многими другими.
Задача синтеза линейной динамической модели по экспериментальным данным тесно связана с такой проблемой теории систем как реализация. Для формализации задачи реализации необходимо дать определения основных теоретико-системных понятий, и, прежде всего, определение системы. При этом подход, на основании которого будут даваться эти определения должен быть достаточно общим (не ограничиваться системами вход-выход), с одной стороны, и достаточно формализуемым, с другой стороны. Одним из наиболее общих определений системы удовлетворяющего этому подходу является определение М. Месаровича, Я. Такахары, изложенный в работе [6].
Системой (общей системой) называется отношение на непустых множествах $ С П V, где П - символ
/е/
декартова произведения, V/ - множество индексов. Множество V/ называется объектом системы S.
Другое определение системы, исходящее от Я. К. Виллемса [2], согласно которому под динамической системой понимается любой набор траекторий, также является общим и позволяет рассматривать большой класс систем.
Динамической системой называется тройка X (Т ,Ж, В), в которой т - множество моментов вреТ
мени, Ж - алфавит сигналов, В С Ж - поведение системы.
В наших исследованиях мы будем рассматривать динамические системы, под которыми понимается система вход-выход с пространством состояний и удовлетворяющие некоторым дополнительным требованиям. Данное определение, исходящее от Калмана, является конкретным, допускающим более содержательные интерпретации. Определение для динамической системы с пространством состояний, которого мы будем придерживаться, изложена в работе Пушкова С. Г.[8]:
Линейной стационарной динамической системой с дискретным временем с т входами и р выходами над полем К называется сложный объект X ( F, О, Н, 3 ),
где
F : X ^ X, G: Km ^ X, H : X ^ Kp,
3: Кт ^ Кр, есть К -линейные отображения ( К -гомоморфизмы), X - векторное пространство над полем
K (пространство состояний). Динамическое поведение системы Е определяется следующими уравнениями:
x(t +1) - Fx(t) + Gu(t), y(t) = Hx(t) + Ju(t),
где
t e Z, x(t), x(t +1) e X, u(t) e U = Km, y(t) e Y = Kp.
Размерность пространства состояний X (dim X) определяет размерность системы Е
(dim X ) . Во многих, если не в большинстве случаев, вместо данной модели используется модель без учета связи в прямых каналах. В этом случае J = 0 и модель приобретает вид: x(t + 1) = Fx(t) + Gu (t),
y(t) = Hx (t). Такое представление часто оказывается более предпочтительным, поскольку, как будет показано в дальнейшем, отображение J не влияет на решение задачи реализации [4].
При решении задач управления методами теории пространства состояний учитываются некоторые фундаментальные свойства динамических систем, которые не встречаются в классической теории управления, оперирующей только входными и выходными сигналами системы. Этими свойствами являются достижимость, наблюдаемость, управляемость и другие. Критерии управляемости, наблюдаемости, достижимости, идентифицируемости впервые были доказаны Р. Калманом и были введены соответствующие понятия: достижимость, наблюдаемость и реализация.
В теории управления динамическими системами при решении задач синтеза систем управления важными оказываются такие свойства объекта управления, как управляемость, идентифицируемость, достижимость, наблюдаемость.
Система с конечным числом состояний представляет собой идеализированную модель для большого числа физических приборов и явлений. Методы, развиваемые для систем с конечным числом состояний, являются полезными при решении разнообразных задач. Системы над конечными полями возникают в связи с многими практическими приложениями. В связи с этим, классическая проблема реализации динамических систем представляется возможным в проведении четкой классификации систем с фиксированным числом состояний, входов и выходов над конечным полем и оценки числа наблюдаемых, достижимых и канонических линейных динамических систем.
В работе [9] приведен краткий обзор о классификации линейных динамических систем, выведены формулы нахождения числа наблюдаемых, достижимых и канонических линейных динамических систем над конечными полями.
Обобщая результаты теоретического анализа динамических систем в пространстве состояний, можно сделать вывод, что для динамических систем над полями и кольцами теория реализации хорошо развита. Существуют методы, алгоритмы и численная реализация некоторых алгоритмов, позволяющих строить алгебраическую реализацию заданной динамической системы. Анализ литературы, посвященной динамическим системам, показал, что внимание авторов, в основном, сосредоточено на исследовании свойств и синтезе подобных систем. Однако актуальным и значимым остается вопрос о классификации линейных динамических систем над конечными полями.
Список литературы:
1. Васильев О. О. Булевы линейные стационарные динамические системы и математическое моделирование булевых потоков в сети. Дисс. на соискание ученой степени к. т. н. - Москва, 2011. - 138 с.
2. Виллемс Я. К. От временного ряда к линейной системе // Теория систем. Математические методы и моделирование: Сборник переводных статей. - М.: Мир. 1989. С. 8-191.
3. Заде Л.. Дезоер Ч. Теория линейных систем. Метод пространства состояний. - М.:Наука. 1970.
4. Калинкина С. Ю. Методы представления интервальных динамических систем в пространстве состояний. Дисс. на соискание ученой степени к. ф-м. н. - Бийск, 2005. - 115 с.
5. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. - М.: Мир, 1971.
6. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: Математические основы. - М.: Мир, 1978.
7. Осетинский Н.И. К теории реализации линейных стационарных систем над полем. III // Программирование. 1976. — №1. - С. 70-76.
8. Пушков С. Г. Алгебраические методы представления динамических систем в пространстве состояний: точная и приближенная реализации. Дисс. на соискание ученой степени д. т. н. - Бийск, 2004. -186 с.
9. Шакирова Д.У. О классификации линейных динамических систем над конечными полями / /Актуальные вопросы образования и науки: сб. науч. тр. по мат-лам Междунар. науч.-практ. конф. 30 сентября 2014 г.: Часть 11. Тамбов. С. 164-165.
О РЕАЛЬНОЙ ВОЗМОЖНОСТИ ЯВЛЕНИЯ УСКОРЕННОГО РАСШИРЕНИЯ
ВО ВСЕЛЕННОЙ
Шарипов Марат Рашитович
Докт. фил. наук, доцент кафедры ЕНГД, НИИТТ (филиал) ФГБОУ ВПО КНИТУ-КАИ им. А. Н. Туполева, г. Нижнекамск
Аннотация. В статье показано, что ускоренное расширение Вселенной есть кажущийся космологический эффект на локально плоской 3-мерной гиперповерхности в псевдопространстве 4-мерной гиперсферы мнимого радиуса. Причём, на 3-мерной сфере земной поверхности, этот эффект известен всем мореплавателям и путешественникам, соответствуя видимому превышению уровня математического горизонта над её 2-мерной поверхностью (геоида).
Ключевые слова. Космологическое красное смещение (ККС); доплеровская и лоренцева компоненты ККС; постоянная Хаббла; ускоренное расширение Вселенной.
