CC BY
73
АГРОПРОМЫШЛЕННАЯ ИНЖЕНЕРИЯ
УДК 631.374
ТЕОРЕМЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ШАРНИРНОСТЕРЖНЕВЫХ МЕХАНИЗМОВ И МАНИПУЛЯТОРОВ
ANALYTICAL GEOMETRY NEW THEOREMS AND THEIR USE IN HINGED-ROD MECHANISMS AND MANIPULATORS RESEARCH
В.И. Пындак, доктор технических наук, профессор
ФГОУВПО Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия
VJ. Pyndak
Volgograd state agricultural academy
Теоремы выражают зависимость между длинами и координатами плоских и пространственных образований, что позволяет при преобразовании систем координат выполнять комплексные исследования механизмов и манипуляторов.
New theorems show dependence between flat and spatial formation length and position data, that allows to carry out mechanisms and manipulators complex research during position data system transformation.
Ключевые слова: теорема, система координат, механизм, манипулятор, кинематика, силовой анализ.
Key words: theorem, position data system, mechanism, manipulator, cinematic, force analysis.
Современные методы исследования параметров кинематики, статики и динамики пространственных шарнирно-стержневых механизмов базируются на сложный математический аппарат (по существу недоступный конструкторам), несмотря на сравнительную простоту объектов исследования. В последние годы в сельском хозяйстве и в других отраслях получают заметное распространение гидрофицированные шарнирно-стержневые (шарнирно-рычажные) погрузочные манипуляторы, в том числе с пространственным приводным механизмом, для которых отсутствуют инженерные методы кинематического и силового анализа.
Для использования при исследованиях и инженерных расчетах манипуляторов, содержащих пространственный и плоские шарнирностержневые механизмы, нами предложены теоремы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве.
Теорема 1 (на плоскости). Если заданы координаты двух точек А (ха,Уа) и В (хв,ув), то координаты третьей точки С (х,у), удаленной от точки А на расстояние //, а от точки В - на расстояние /2, определяются из системы уравнений
(х-хл)2+(у-уАУ = 11:
(х-хц)2 + (у-у„)г - I? (1)
В общем виде система уравнений (1) имеет два решения:
*1.2 - аР± Ь-Д; У1.2 = ср± ¿-/я- (1Л)
Очевидно, что решение (1.1) имеет смысл, если q > О, причем два решения возможны при д > 0. Но решение со знаком «минус» перед корнем опускается по условиям конструирования; д = 0 недопустимо, поскольку все точки (А, В, С) находятся на одной прямой.
Теорема 2 (в пространстве). Если заданы координаты трёх точек А (хА, у А, 2а), В (хв,ув,гв) И С (хс,ус,2с), не лежащие на одной прямой, то координаты четвертой точки М (х,у,2), удаленной от указанных точек на расстояния I}, ¡2 и /? соответственно, определяются из системы уравнений (* - хАУ + (у - уАУ + (2 - 2лу = II ;
{х-хвУ + (у-уя)2 + С^-^в)2 = *2 ; (2)
(х - ХСУ + (у-УсУ + (2 - 2СУ = II (2.1)
В общем виде система уравнений (2) также имеет два решения: *1,2 = «! - а2и ± аъЛ[й; у12 = - Ь2и ± Ь3^[И;
г12 = с 1~ с2и±сът/П. (2.2)
Здесь решение имеет смысл, если и > 0, но по конструктивным соображениям знак «минус» перед корнем опускается. При II = 0 все четыре точки располагаются в одной плоскости, и пространственная структура вырождается.
В качестве примера приложения теорем 1 и 2 покажем кинематическое и силовое исследование сельскохозяйственных манипуляторов с пространственным и плоскими приводными механизмами [2, 3]. Один из манипуляторов (рис. 1) включает трехзвенную шарнирно-сочленённую стрелу, коренная секция 001 которой входит в состав пространственного механизма. Здесь ведущими звеньями механизма являются два гидроцилиндра АС и ВС, а ведомым звеном -коренная секция.
Цилиндры расположены под углом друг к другу, их штоки сведены вместе в специальном шарнире С и обеспечивают подъём (опускание) и разворот секции 001 и всей стрелы в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Шарниры О,А,В имеют две степени свободы, а шарнир С - не менее трёх, что необходимо для подвижности и манёвренности стрелы в пространстве - в базовой системе координат Оху2.
Промежуточная О /О а и концевая ОаК секции стрелы имеют привод от своих гидроцилиндров СВ и /Ж соответственно. Это плоские шарнирно-стержневые механизмы, ведущими звеньями которых являются цилиндры. Их движение происходит в плоскости стрелы.
Объёмное образование в виде треугольной пирамиды образуется осями цилиндров АС и ВС и прямой ОС, проходящей через соответствующие шарниры. Используя теорему 2 - её систему уравнений (2), определяем искомые значения координат вершины С «пирамиды». Применительно к обозначениям на рис. 1 система уравнений записывается в виде:
х1 + у1 +2* = г{ ;
(*с - а)2 + (ус - ЬУ + (гс + с)2 = \\; (3)
(;*е + а)2 + (ус - ЪУ + + с)2 = 1\
Результат решения уравнений (3):
Ч ~ —аЬи + с\- V аси + Ь\П
Х‘ 4а ' 4а(£>2 +с2) ’ 2с 4а(Ь2 + с2)' (4)
Из (4) следует, что координаты «вершины» С являются функциями длины // и ¡2 цилиндров; в и и и, которые записываются громоздкими выражениями и здесь не приводятся, также входят /] и Ь.
Решение (4) проверяется на соблюдение условия II > 0 при различных сочетаниях длины цилиндров. Если размеры механизма и положения его шарниров выбраны неудачно (ввиду неочевидности задачи) и при // = Ь = 1пШх (или наоборот) (I < 0, то
пространственный механизм попадает в мертвое положение, что недопустимо. Соблюдение и > 0 (с определенным запасом) - это и есть условие существования этого специфического механизма.
Теоремы 1 и 2 используются в сочетании с преобразованиями систем координат. При кинематическом анализе манипулятора необходимо определить обобщенные координаты геометрического характера, которые выражаются углами поворота ведомых звеньев. Для пространственного механизма это углы ср иу/ поворота коренной секции - ее прямой ОС в вертикальной и горизонтальной плоскостях (рис. 1), которые определяются при переходе от прямоугольной к сферической системе координат:
<р = агстд +У?> = агс1:9 хс!Ус (5)
Рисунок 1
Возвратившись к базовой системе координат Oxyz, находим координаты точки Оi - конца коренной секции и начала новой системы координат Oyizf.
= L1cos(^<p + (p0}s\njp ; yl = Lj соз(ф + <p0) cos ip; zy = Lj sin(<5P + <p0), (6)
где L; = 001, <Pq = ОС, ’ ^001 .
Углы вит поворота последующих звеньев стрелы определяются в своих - плоских системах координат - с использованием теоремы 1. Координаты точки С в системе
°чУ^1-Ус = -OjC' - d; z'e = -СС = е.
При определении координат вершины D треугольника OjDOj система уравнений (1) принимает вид:
(Уо)2 + =г£; (7)
(y¿ + d)z + (z'D + е)г = í|.
Отсюда определяются VD И ZD, а третью обобщенную координату находим при переходе к цилиндрической системе координат:
0 = arctg z'D/y¡>. (8)
Подобным образом в своей системе координат OjyjZj определяется четвертая обобщенная координата - угол т поворота концевой секции (рис. 1). Возвратившись к базовой (неподвижной) системе отсчета Oxyz и используя известные формулы преобразования систем координат, находим положение точки К - оголовка манипулятора, несущего грузозахватный орган,
хк =(£'iCos^J,‘ + ¿2 eos 9Л + L3 eos г*) sinjp;
Ук = (¿iCQS <рл + ¿2 eos 0* + cost") cosi/f; (9)
zK = Lt sin <pm + l2 sin 9* + ¿3 sin r",
где (р* = (р + (рд;в* = (р + (рд-в + вд;т* = (р + (рд-в+вд-т-тд;
L: = 0,0:; U = 02K; 0Q = D, 0,02; T0 = 02K, 02K(pис. 1).
Координаты (9) являются функциями всех четырех обобщенных координат, которые, в свою очередь, через координаты узловых точек С, D, Е ЯВЛЯЮТСЯ функциями ДЛИНЫ гидроцилиндров ¡¡...и. При изменении длины последних оголовок К совершает сложное пространственное движение, а при всех сочетаниях и 1ЮПах (fl = 1. . .4) образуется
объемная зона действия манипулятора - его кинематические возможности. Это способствует также созданию систем управления манипуляторами [1].
Полученные значения координат узловых точек и обобщенных координат используются при силовом анализе и динамическом исследовании манипуляторов. Пространственная система сил, действующих на исследуемый манипулятор (рис. 2), включает: внешние силы - вес груза О и секций стрелы G\, Сг,Сз; искомые силы - усилия в штоках гидроцилиндров F1...F4, составляющие реакции R в опорном шарнире О, момент в этом шарнире (показан вектор-момент Мо).
Для примера представим начало решения - систему уравнений с учетом сил, действующих на коренную секцию и ее гидроцилиндры,
тц1'1 + тпР2 К/ 0; т 2 ¡¡ч + т22Ь 2 + К 2 = 0;
И1з \Ь \ + П1у21<2 + Кз (2
¡114/1''I + т42Р2 + т4;Мо = Оук-Су, (10)
т51р! + пп21'2 + т53Мо = Охк + Ох;
т6,/') + т62Р2 = 0,
где С - приведенный вес всей стрелы; (х,у) - текущие координаты точки приложения этого веса; ту (¡=1,2,3; ¿=1,2), т¡у (к=4,5; q=l,2,3), т61, т62 - коэффициенты и направляющие косинусы при силах Рг,Р2 и частично при моменте М0 (определяются своими зависимостями).
После решения системы уравнений (10) получим искомые силы и момент как функции текущих значений длины цилиндров I}, 12, координат узловых точек и обобщенных координат ср и у/. Далее рассматриваются следующие секции стрелы в своих плоских системах координат (рис. 2), со своими обобщенными координатами и определяются усилия в цилиндрах 1''з,1и и реакции в опорах О] и 02.
Таким образом, предложенные теоремы аналитической геометрии в сочетании с преобразованием систем координат позволяет решать широкий круг задач при конструировании и исследовании шарнирно-стержневых манипуляторов с пространственным и плоскими механизмами.
Библиографический список
1. Герасун, В.М. Системы управления манипуляторами на основе пространственных исполнительных механизмов [Текст] / В.М. Герасун, И.А. Несмиянов // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2010. - № 2. - С. 24-28.
2. Пындак, В.И. Алгоритм кинематического и силового анализа шарнирно-стержневых манипуляторов [Текст] / В.И. Пындак, Н.В. Кривельская, И.А. Ляпкосова // Справочник. Инженерный журнал. - 2010. - № 4. - С. 31-34.
3. Пындак, В,И. Кинематический и силовой анализ гидроманипуляторов с пространственным приводным механизмом [Текст] / В.И. Пындак, С.С. Муха // Справочник. Инженерный журнал. - 2002. - № 6. - С. 30-33.
E-mail: mshaprovPbk.ru
