ТЕОРЕМАНИНГ ИСБОТЛАШ АЛГОРИТМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРЕМАНИНГ ИСБОТЛАШ АЛГОРИТМИ Э.О.Шарипов

Карши мухдндислик иктисодиёт институти "Олий математика" кафедраси

доценти, С.Ю.Шодиев

Карши давлат университети "Алгебра ва геометрия" кафедраси катта

укдтувчиси, Х.У. Чуянов

Карши мухдндислик иктисодиёт институти "Олий математика" кафедраси

укитувчиси.

Ушбу мацолада 5130100- математика йуналиши талабаларининг э^тимоллар назарияси фанидан эгаллаган назарий билимларини мантиций фикрлаб, сунгра исботлаш

/4 TTTT/^VT1 A TTTTfT ' 11 у 1

АННОТАЦИЯ: ёрдамида амалий татбицларини урганишда мустацил таълим

олиш куникмаларини шакллантириш динамикаси келтирилган.

Калит сузлар: малака талаблари, уцув режа, фан дастури, илгор таълим технологиялари, мустацил таълим, алгоритм, теорема, теоремаларни мантиций исботлашнинг алгоритми, асимптотик формула, Бернулли формуласи, Стирлинг формуласи, таянч тушунчалар, уцитувчининг фаолияти, талабанинг дарс жараёнидаги мустацил фаолияти, гипотеза, гипотезани цийматдорлик даражаси, Пирсоннинг

мувофицлик критерияси, % тацсимот жадвалидан озодлик даражаси, математик кутилма, дисперсия, диаграмма.

This article presents the dynamics of the formation of independent learning skills of students in the direction of 5130100-mathematics, using logical reasoning and proof of each theoretical ABSTRACT knowledge of probability theory.

Keywords: qualification requirements, curriculum, scientific program, advanced learning technologies, self-study, algorithm, theorem, algorithm for logical proof of theorems, asymptotic formula, Bernoulli's formula, Stirling's formula, basic concepts, teacher's activity, student's

independent activity in the lesson, hypothesis, value level hypotheses, Pearson's fit criterion, degree

2

of freedom from the distribution table % , mathematical expectation, variance, diagram.

В данной статье представлена динамика формирования навыков самостоятельного обучения студентов по направлению 5130100- математика, с использованием логических АННОТАЦИИ рассуждений и доказательств каждого теоретического знания

теории вероятностей.

Ключевые слова: квалификационные требования, учебный план, научная программа, передовые технологии обучения, самостоятельное обучение, алгоритм, теорема, алгоритм логического доказательства теорем, асимптотическая формула, формула Бернулли, формула Стирлинга, основные понятия, деятельность учителя, самостоятельная деятельность студента на уроке, гипотеза, уровень значения гипотезы, критерий

соответствия Пирсона, степень свободы от таблицы распределения % , математическое ожидание, дисперсия, диаграмма.

КИРИШ (ВВЕДЕНИЕ / INTRODUCTION)

ОТМларнинг укув машгулотларида талабаларга тушунтирилаётган мавзу материалининг талабалар томонидан узлаштириш даражаси профессор-укитувчининг педагогик махрратига, инновацион фаолиятига, шунингдек куллайдиган укитиш услуби, кургазма курол ва техник воситаларидан фойдаланиши, ахборот-коммуникация технологиялари имкониятларидан фойдаланиши каби тушунчаларга боглик булиб, энг мухдми уз фанини илмий асосда кенг ва чукур билган хрлда укув машгулотларини самарали ташкил этишга олиб келади.

ОТМларнинг барча бакалавр таълим йуналишларида кабул килинган малака талаблари, укув режа, фан дастурларига таяниб укув адабиётлари та^лилини килиш натижасида математикага оид фанларни укитишда талабалардан теореманинг исботини келтириб чикариш учун мантикий асосини билишни, илгор таълим технологиялари ёрдамида мустакил таълим куникмаларини шакллантириш зарурлиги аникланди. Натижада бу жараён талабаларни эркин ва мустакил фикрлашга олиб келади.

АДАБИЁТЛАР ТАХДИЛИ ВА МЕТОД (ЛИТЕРАТУРА И МЕТОД /

LITERATURE REVIEW)

Х,одиса ва жараёнларни моделлаштиришнинг э^тимоллар назарияси ва математик статистика фанида тутган урни Лаплас, Пирсон, М.И.Грабар, К.А.Краснянская, Г.И.Ивченко, Ю.И.Медведев, Ш.Фармонов ва бошкалар томонидан урганилган.

В.Е.Гмурман, Н.Н.Ряузов, А.А.Самарский, М.Г.Абдураимов, А.А.Абдушукуров, А.А.Имомов, М.М.Султанова, Х.А.Музаффаров ва бошкалар томонидан э^тимоллар назарияси билимлари математик статистикани узлаштиришда восита эканлиги таъкидланган.

ОТМларнинг математика бакалавр таълим йуналишларида теоремаларни мантикий исботлашнинг алгоритми ёрдамида мустакил таълим куникмаларини ривожлантириш схемаси 1-расмда келтирилган [3].

Теорема

Укнтувчнншгг фэолияш (юрдин аторлик йунал-шрувчилик. / Теорема шарти ва хупосаснни аниклаштириш

хамьорлик. маслахатчштк) / \ Теорема шарти ва унляги таянч тушунчплдрни лникгтлга

\

\ \ Теорема шаршга мое читаки чизиш в а унн июхлаш К?лланилаашан таяыч гуш'.'нчалар шиши

Укувчинлнг ларе жараеинзаги мустаиш фаолияти У s / Теорема исботида таянч тутунчаларнннг кллланишп Теорема хулосаснни кглтнрио чпк лрнш

\ Теорема хуяое асн

Теорема исботлянди

1-расм. Теоремаларни мантикий исботлаш схемаси.

Куйида биз теоремаларни исботлашда укитувчи ва талаба фаолиятларини интеграцияси асосида теоремани мустакил исботлаш мотивациясини оширишга доир мисоллар келтирамиз.

МУХ,ОКАМА (ОБСУЖДЕНИЕ / DISCUSSION)

1-Мисол. n - та бир-бирига боглик булмаган тажриба ёки синовда А ходиса m - марта руй бериши хдкидаги Бернулли формуласи - р (m) = cmpmqn-m куринишда булиб, бу формулада m ва n - катта сонлар булганда уни хисоблаш маълум кийинчиликларга олиб келади, шунинг учун n-р(m) эхтимоллик учун бошка асимптотик формула топиш масаласи тугилади.

Кайсики, p = q = 1 - булганда, асимптотик формулани франциз математиги

Муавр 1730 йилда топган, p e]0,l[ учун 1783 йилда англиялик олим Лаплас -асимптотик формулани топган.

Теорема. Агар бир-бирига боглик булмаган n - та тажриба (синов)да

P (А) — p (0 < p < 1) га тенг булса, А ходисанинг m - марта руй бериши эхтимоли

n^да да Pn(m)~—j^= -v(x) га тенг. Бунда, <p(x) — -^■ e 2x ,

■yjnpq у/2л

_ m - np _ \m - np\ x — — i— — i— ~ < c .

n,m I /

yjnpq yjnpq

У;итувч ининг фаолият и

(кордина торлик,

йуналти рувчили к,

хамкорл ик,

маслахат чилик).

Талабан инг дарс

Теорема шарти бир-бирига богли; булмаган n - та тажриба (синов)да А ходиса эхтимоли узгармас ва у P (А) — p (0 < p < 1) га

тенг булишидир.

Теорема хулосаси А ходиса роса m - марта руй бериши эхтимоли n да такрибан Pn (m)» J— ■ (p(x) га тенглигидир.

yjnpq

Таянч тушунчалар: бир-бирига богли; булмаган n - та тажриба (синов)да А ходисанинг роса m - марта руй бериши эхтимоли Бернулли формуласи: р (m) — cmpmqn~m.

Таянч тушунча хулосаси:Бернулли формуласи: р (m) — cmpmqn-m

га, Стирлинг формуласи: s\—42ns ■ ss ■ e- ■ e9s , бунда Qs<— ни

12s

тадби; килиш.

^улланиладиган таянч тушунчалар тизими.

1. n\, m\ ва (n - m)\ лар учун Стирлинг формуласини куллаш.

2. Каср ифодани соддалаштириш.

z2 z3 ^2 3

3. Izl < 1, ln(l + z)— z--+----- ва ln(l - z) — -z--------

Ii V / 2 3 v У 2 3

ёйилмалардан фойдаланиш.

[\ m / \n-m

np I I nq I ифодани соддалаштириш ва\вп -вт -в\ айирмани

m j ^ n - m j

бахолаш.

_ m - np m

5. x — .—_ тенгликдан m, n - m ва — ларни аниклаш.

■sjnpq np

^apaeHH

garu

MycraKu

^aonHAT H.

Pn (m) —

V2

__n -n 9„ m n-m -m m

% ■ n ■ n ■ e ■ e n ■ p ■ q ■ n ■ n

42% ■ m ■ mm ■ e- ■ eem

■J2% ■(n - m) ■ (n - m)n-m ■ e'{n-m) ■ ee-

pn(m)-i% V

n

np

m(n - m) V m

nq

n - m

■ e

„en-em-e.

n ^m ^n-m

(2)

e - e. - e,,-ml -%m\< -k f1+- +— | (3)

1 1 12 v n m n - m J

i

npq

m - np r

x — —,—- ^ m — np + y] npqx — np

f

1 +

i

np

\

x

(4) rnyHgaH ^ofiganaHHÖ,

n - m — n - np - npqx — nq -yjnpqx —

nq

1 -

—x

nq j

(5);

np

m np

1 +

q

np

x

np

1 +

q

—x np

(6);

n - m nq

Jnpq ■

x

— 1 -

An

nq

nq

f ™\-m(

nq

ll

px (7);

nq

m j V n - m

m

np J

n-m

v nq J

•\-(n-m)

(6),(7)

1 +

V

np

x

1 -

i

•\-(n-m)

x

nq

(8). 3H^H 6y TeHraHK HaTypan

norapu^naHMH3 Ba (4), (5) TeHraHKnapra Kypa:

ln An — -np

f rr ^ f f f — \

1 + V i q —x np J ln 1 + V y q —x np j - nq 1 - V i p —x nq j ln 1 - V i p —x nq J

(9) 3-TaaHH

TyrnyHnara

MyBO^HK;: ln An — -np

f — \

1 + q —x

V i np J

q 12 q

-x — x — + o

f ^ 1

np 2 np

v n2

nq

1 -

-x

nq

i

p 12 p x — x —— o

f \ 1

V n2 J

nq 2 nq

-1 x2+o| |

A — e 2 w n J Kenuö

12

— — x + o

2

1 öyHgaH, vn J

1^1 1 f 1 1 1

1

12 V n m n - m J 12n

11

1 + — + -

(4),(5) 1

12n

v n

\

m n - m n J

1

1 +-=- + -

qp

p + J—x q V n

x n J

m

n-m

m

n-m

m

3

1

Таянч тушунчаларнинг кулланиш натижасида теорема хулосаси келиб

4npq ■ Р„ (т) = -j= -Jnpq

n

' \ m / ч n-m

np | t nq |

i(n - m)

m(n - m) V m ) V n - m

чикади: x e6n 6m 6n-m = ■ лInpq ■

n

np

1 +

np

x

nq

1-

x

nq

1

1 2 t 1 I 12n

—x2+ol -,= I

x e 2 u") ■ e

qp qp

p+ —x q-.—x V V n V n )

42ж

i , i i

. . - 1+--!=

t 1 I 12n , qp qp

1 +

V

q

np

x

1 -

x +o I x q-\\— x

_e 2 wn)e V in in ) ^

x

nq

1

^ ,— e 2

x

x

11

1+

1

1

1 1 -1x2

Демак, натурал сон учун Pn (m)» . - e 2 . Бундан теорема исботи келиб

yjnpq V 2^

чикади.

НАТИЖАЛАР (РЕЗУЛЬТАТЫ / RESULTS)

Бунда H0 -нолинчи гипотезани ифодалаймиз: иккита танланма уртасида математик компетентлигини шаклланишида теоремаларни мантикий исботлаш схемасидан фойдаланганда сезиларли фарк йук, H1 - мукобил гипотеза: танланмалар уртасида касбий компетентлигини шаклланишида теоремаларни мантикий исботлаш схемасидан фойдаланганда эса сезиларли фарк мавжуд. Тажриба-синовда дастлаб билим даражаларининг якинлик мезони асосида гурухлардан танланма усули билан тажриба ва назорат гурухлари учун 145 нафар талабанинг натижалари тахлил килинди (1-жадвалга каранг).

1-жадвал

Карши давлат университети талабаларинингП-курс 2021 йил кузги семестр бошида "Эх,тимоллар назарияси ва математик статистика" фанидан назарий ёзма иши

натижалари

Гурухлар 5 "аъло" 4 "яхши" 3 "коникарли" 2 "коникарсиз" Жами

ТГ 19 22 24 9 74

НГ 17 20 24 10 71

Жами: 36 42 48 19 145

H0: "Тажриба гурухи ва назорат гурухи бахолар таксимоти бир хил". Ушбу гипотезани кийматдорлик даражаси« — 0,05 билан текширамиз. Бу ерда мукобил гипотеза H: "Тажриба гурухи ва назорат гурухи бахолар таксимоти фарк килади. Пирсоннинг мувофиклик критериясини куллаймиз:

X — n1

j—1 n1j + n2 j

n

1j

n

2j

V n1

n

(

2 j

nn

1 n2 j —1

n1 jn2 - n2jn

n1j + n2j

1 )2

Пирсон теоремасига кура бу статистика H0 гипотеза тугри булганлик шарти остида озодлик даражаси v — m -1 га тенг булган х2 таксимотга интилади[49,80].

х2 —

-Z

n1n2 j—1

ni jn2 - n2jn

n1, + n2j

1 )2

1

74 ■ 71

(19 ■ 71 -17 ■ 74^ (22 ■ 71 - 20 ■ 74)2

19 +17

22 + 20

+

(24 ■ 71 - 24 ■ 74)2 (9 ■ 71 -10 ■ 74)

2Л

24 + 24

+ ■

9 +10

— 0,19

X2 таксимот жадвалидан озодлик даражаси V = 4 -1 = 3 ва 1-а = 0,95 мос келувчи критик кийматни оламиз. Критик нукта =Х-« = Хо,95(з) = 7,815 дан куриниб турибдики хКуз. = 0,19 < х2р. = 7,815 бу иккала гурух бахолар таксимоти бир хил.

2-жадвал

Карши давлат университети талабаларининг П-курс 2021 йил кузги семестр охирида "Эх,тимоллар назарияси ва математик статистика" фанидан назарий ёзма иши

натижалари

Гурухлар 5"аъло" 4"яхши" 3"коникарли" 2"коникарсиз" Жами

Тажриба гурух 31 30 11 2 74

Назорат гурух 17 21 24 9 71

Жами 48 51 35 11 145

2 1

х —

(

74 ■ 71

(31 ■ 71 -17 ■ 74)2 (30 ■ 71 - 21 ■ 74)2 (11 ■ 71 - 24 ■ 74)2

31 +17 30 + 21

\2Л

11 + 24

+

(2 ■ 71 - 9 ■ 74)2 2 + 9

—14,90

j

булиб, хКу3. —14,90 >х2. — 7,815 бунда H1 гипотеза уринли эканлигини куриш мумкин.

Энди хар бир гурух учун математик кутилма ва дисперсияларни хисоблаб уларни таккослаймиз.

, , \ 5 ■ 31 + 4 ■ 30 + 3-11 + 2 ■ 2 ^

M (хтаж.) —---— 4,21

, , ч 5■ 17 + 4■ 21 + 3■ 24 + 2■ 9

M (ХШ3.) —---— 3,64

Энди дисперсияни хисоблаш учун квадратик математик кутилма

хисоблаймиз: 11

m

1

1

m

1

м (х Тж )= m (х а )=

52 • 31 + 42 • 30 + 32 -11 + 22 • 2

74

52 -17 + 42 • 21 + 32 • 24 + 22 • 9

= 18,40

71

= 14,26

Бундан D(Xmax) =М(х2таж)-(м(Хтаж))2 = 0,67 D(Xm3) = м(х2шз)-(м(Хшз))2 = 1,01 ни хисоблаб топамиз.

Назорат гурухда ахвол деярли узгаргани йук, лекин тажриба гурухида уртача бахо кутарилди ва бахоларнинг уртача баходан четланиши янада камайди. Яъни талабалар билим даражалари деярли бир-бирига якинлашди.

1-жадвал ва 2-жадвалларга мос равишда тажриба боши ва тажриба охириларида тажриба ва назорат гурухларидаги узлаштириш даражасининг диаграммаларини келтирамиз (1-ва 2-расмлар).

1-расм. "Эх,тимоллар назарияси ва математик статистика" фанидан тажриба бошида талабаларнинг узлаштириш даражасининг диаграммаси.

35 30 25 ¿0 15 10 5 0

кТажриба гуру* ■ 11ааоратгурух,

2-расм. "Эх,тимоллар назарияси ва математик статистика" фанидан тажриба охирида талабаларнинг узлаштириш даражасининг диаграммаси.

ХУЛОСА (ЗАКЛЮЧЕНИЕ / CONCLUSION)

Олий таълим муассасалари талабаларида математик компентентлигини шакллантириш теоремаларни таянч тушунчалар асосида исботлашнинг мантикий схемасини амалиётга татбик этиш буйича амалга оширилган барча ишлар куйидаги хулосаларни чикаришга имкон беради:

- ОТМларнинг укув машгулотларида талабаларга тушунтирилаётган мавзу материалининг талабалар томонидан узлаштириш даражаси ошди;

- укитувчининг кординаторлик,йуналтирувчилик, хамкорлик, маслахатчилик фаолияти - булгуси математика мутахассисининг дарс жараёнидаги мустакил фаолиятини амалга оширади;

- укитувчи ва талаба фаолияти "Шахсга йуналтирилган" таълим технологияси асосида интеграциясидан фойдаланган холда индивидуал когнитив фаолияти учун макон яратади;

- укитувчи ва талаба узаро алокалари учун янги шарт-шароитлардан бири ахборот технологияларидан унумли фойдаланиш, таълим субъектлари манфаатдор булиб, ахборотларни эълон килишда вакт тежалиб,икки томонлама мулокотни ташкил килиш оркали талабанинг аклий фаолиятини, мантикий фикрлашини ривожлантиришга олиб келинди.

Тадкикот шуни курсатдики, ахборот технологиялари ва таълим технологияларига асосланган таълимнинг интеграцияси, талабаларнинг билимларини куп киррали, куп функцияли, асосли килади, уларнинг дунёкарашини кенгайтиради, кийин ва ностандарт вазиятларда тугри харакат килишга тайёргарликни шакллантиради.

АДАБИЁТЛАР РУЙХАТИ (REFERENCES).

1. Грабар М.И., Краснянская К.А. Применение математической статистики в педагогических исследованиях. - М.: 1977.- 127 с.

13

2. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математической статистика, «Высшая школа», - М.: 1994.- 223 с.

3. Шарипов Э.О. Академик лицейларда математик анализ асосларини укитиш методикаси.: Пед.фан.фалс.д-ри. ... дис. - Тошкент: УзМУ. 2019. - 144 б.

4. Карасев А.И. Теория вероятностей и математическая статистика,"Статистика", -М.: 1977.-274 с.

5. Боровков А.А. Теория вероятностей, "Наука" -М.: 1987 г.

6. http//www.msu.ru/ - МГУ