CC BY
27
МАТЕМАТИКА И ИHФОРМАTИKА
ТЕОРЕМА ВОРОНОВСКОЙ-БЕРНШТЕЙНА УДК 94 (470); 94 (510)
ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО СЛУЧАЯ
Ю.Г. Абакумов, к. ф. -м. н.,
профессор каф. «Информатика, вычислительная техника и прикладная математика», ЧитГУ
Научные интересы: теория приближений, функциональный анализ
Основной результат представляет теорема.
Теорема. Пусть Ьп : С (Л) ® С (Л) последовательность линейных положительных операто-
ров таких, что Ln (1, x) = 1,
Ln
£( ti- xi)2
x
i =1
А
® 0. Если, кроме того, для x є Л выполня-
ется
Ln
lim
n
X/ \2m+2
(ti - xi ) ,
x
i =1
0,
Ln
X(ti -x-)2m,
x
i =1
то для f (t) є C2m (Л) верна оценка
2m 1 T if
Ln ( f (tXx ) = f (x) + £ -T £ TT^ (x ) ' Ln
П(о- xj),
є
+
^єн
+ О
( f Ln
W
£(- xj)
j=1
2m
x
(2)
V V"
Доказательство основано на применении теоремы В.С.Климова, М.А. Красносельского, Е.А. Лифши-ца о точках гладкости.
VORONOVSOY-BERNSTEIN'S THEOREM FOR A MULTIVARIATE CASE THE BASIC RESULT IS REPRESENTED WITH THE THEOREM
Theorem. Let Ln : C(A) ® C(A) sequence of linear positive operators, such that Ln (1, x) = 1,
L
Гг ^
r '2
n
I(ti - Xi ) lX i=1
If, except for that for x gA it is carried out
У
L
n
lim -
П ®¥
r
I
i =1
I(ti - Xi )2m + 2
X
/
= 0,
L
n
I(ti - Xi )2m,X
i =1
that for f (t)g C m (A) the estimation is correct
2m 1 ^ if / \
Ln (f (t), x ) = f (x)+ I -X^f-(x )• Ln П (tj - x, )
i=1П
x
JGt
+ o
L
n
1 (J - xj )m l
V
\\
+
J=1
x
(2)
V v-7 //
The proof is based on application of the theorem of V.S. Klimov, M.A. Krasnoselskogo, E.A. Lifshits about
points of smoothness.
* * *
Классическая теорема Вороновской была получена для операторов Бернштейна
п ( к Л
Вп (/(?), X) = "V / — СП1Хк (1 — X)п к , t, X Е [0,1]. Эта теорема утверждает, что
к=0 Iп
Вп (/^), X) = /(X) +-------(-)/"(х) + О (п 1) . Впоследствии теорема была полу-
2 п ' 1
чена в общем виде для любых положительных операторов. Приведенная формула Вороновской получается из общей теоремы, если учесть, что Вп ^ — X, X) = 0,
x(1 — X)
п
Обобщение теоремы Вороновской, которое (для /^) Е С2да[0,1]) выражается
Bn ((t - x)2,x) =--------(см., например, [1]).
Обоб формулой
Bn (f (t)i x) = f (x) + I f (x)Bn ((t - x ) l x ) + 0 ( Bn ((t - x )2m l x)
i-2
называют теоремой Вороновской-Бернштейна.
Предметом статьи является обобщение теоремы Вороновской-Бернштейна на
случай функций многих переменных для произвольных линейных положительных операторов.
Используем отработанную уже методику (см. [2, 3]), основанную на применении теоремы В. С. Климова, М. А. Красносельского и Е.А. Лифшица.
Изложим кратко необходимые сведения.
Обозначим X - действительное банахово пространство, K С X — конус,
Po Е K - точка гладкости K (это значит, что существует единственный, с точностью до постоянного множителя, функционал /IЕ X *, такой, что I (Po )=0 и p Е K ^ I ( p )> 0). Далее, I ( Pl ) ^ 0, I п - последовательность функционалов (1п Е X * ), неотрицательных на K (обозначают 1п Е K *). Тогда (это утверждение и составляет теорему В.С. Климова, М.А. Красносельского и Е.А. Лифшица)
(1п (Pi) ® I(Pi X i = 0Л>|| !п\ = O (1) ) ^ (VP Е X > 1п (p) ® I(p) ) .
Рассмотрим теперь специальную ситуацию.
Пусть Po - точка гладкости K , а I (Pl) > 0. Последовательность Iп Е K * такова, что Щ = 0{1), !п(Po) ® 0!п(Po) * 0, !п(Pl) ® I(ЛХ PЕ ^гI (то есть I (p) = 0). Тогда, согласно теореме В. С. Климова, М. А. Красносельского и Е.А. Лифшица, Iп (p) ® 0. Можно поставить вопрос: как определить предел последова-
!п(P) о
тельности
!п(Po)
Предполагаем, что существует элемент у Е ^ГI, у Е K, у £ Ип {Po, p}, такой, что Нш !п (У) = 0 . Здесь ИпГ означает линейную оболочку множества Р .
п®¥ ^(
Рассмотрим пространство Р = Ип {p, Po, у} и конус K(p) = K • Р. Обозначим 2 - текущий элемент пространства Р . Равенством
Ф п (2) =
!п(Po)
определяется последовательность линейных непрерывных на Р неотрицательных на K (Р) функционалов Фп . При этом Фп (Po ) = 1, Фп (у) ® 0 .
Если, кроме того, на Р определен линейный непрерывный функционал у(2) неотрицательный на K (Р) и такой, что у(у) = 0 и у - точка гладкости K (Р), то
Пт Фп (2) = Нш ^(2) = V(2) (1)
п®¥ п®¥ ^ (Po)
для всех 2 Е Р .
Фигурирующий в (1) функционал V будем называть функционалом Вороновской. Каких-то общих правил нахождения (вычисления) функционала Вороновской не известно.
В качестве теста мы будем использовать следующий признак: если для любого
г е Р такого, что у(г) > 0, найдется 1 е]0,1] такое, что + (1 — 1)у е К(р), то V
- функционал Вороновской (см. [3]).
Перейдем к рассмотрению конкретной ситуации.
Обозначим А = [а,Ь]г, г > 0 - целое, ?,хе Л, ? = (^,..., 1г), х = (х^...,хг). Разъясним некоторые используемые далее понятия.
Размещением с повторениями из г элементов (для определенности из элементов множества {1,2,...,г}) по I элементов будем называть упорядоченное множество (последовательность) (^1,...,Пт), пI е {1,...,г}. При этом для каждого I можно записать
П е пт).
Обозначим Тт - множество всех размещений с повторениями из г элементов по
I. Если Т е Тт, то будем писать |т| = I. (Например, (1, 3, 4), (4, 1, 4), (4, 4, 1) - раз-
3 I I
личные элементы множества Т4 , если обозначить То = (4, 4, 1), то То = 3 ).
Пользуясь этими обозначениями, формулу Тейлора для /(?) е С2т (А) в окрестности ? = х можно записать в виде
2т 1 л / ___
/(*) = /(х) + X “ X Пл/ (х)П(*] — х]) + Р(*).
I =1 1 • |т| =/ Пл V ]ет
]ет
Сформулируем результат.
Теорема. Пусть Ьп : С (А) ® С (А) последовательность линейных положитель-
ных операторов таких, что Ьп (1, х) = 1. для х е А выполняется
К
ХЬ — х/ )2,
х
I=1
А
® 0. Если, кроме того,
К
Нш -
п
2т+2
х
I =1
0
к
то для /(?) е С2т (А) верна оценка
2т
I =1
2т 1 л I / __
ип(/(),х)=/(х)+X-у X П^(х) • ип П(— х1)
I =1 |т| ^И0*]
х
]ет
+
]ет
+ О
Доказательство
Г Г
К
V V
\\
Х(—х])
]=1
2т
х
/У
(2)
(3)
Для х е А и /(‘) е C2т (А) положим
2т 1 л I /
Р (‘) = / (‘)- / (х) —X 77 X ТТТГГ(х )П(о — х]) +
I=1 I• |г|= ПЛ‘] ]ет
]ет
г ~\2т
ч2т
. — ( х ) ‘ . — х ■
(2т ]3 Р0 (‘ ) = ^ (‘к — хк )2т > У (‘) = ]С (‘к — хк )2т+2.
к=1 к=1
^ - конус неотрицательных на А функций, Р = 1т ({Р0 (‘), у (‘), р(‘)}) , К (р )= К П Р.
Заметим, все г (‘), принадлежащие Р, обладают следующими свойствами:
2 (х) = 0, все частные производные от первого до (2т — 1) -го порядка (включительно) в точке ‘ = х обращаются в нуль, все смешанные производные порядка 2т обращаются в нуль в точке ‘ = х,
л2т_ л2т_ л2т_
3 2/ \ 3 2/\ 3 2/\
-2т(х)=^2т(х)=к =^2т(х).
37 л?2т ' 3‘
3 2т2 3 ?!
3 2
Следовательно, если ^т (х) > 0, то 2(‘) имеет в ‘ = х минимум (равный ну-
лю).
1 32т-
Покажем, что определенный в Р функционал V(г) = ------- ---- — (х) является
^ (2т)7 3‘\тК '
функционалом Вороновской, у (‘) - точка гладкости К (р) .
Пусть 2 (‘) такова, что V (2 )> 0. Для 8 > 0 будем обозначать Е(8) = {‘: |‘ — х| £ 8}, где ‘ — х| - евклидово расстояние от ‘ до х, А§ = А \ Е(8). Тогда можно найти достаточно малое £ > 0, а по нему 8 > 0, такое, что (‘ е А8 ) ^ у (‘)> £, (‘ е Е (8 ))^ 2 (‘)> 0. Последнее следует из того, что 2 (‘) имеет в ‘ = х минимум, равный нулю. Обозначим М > 0 константу, для которой выполнено \2 (‘ )|£ м .
Тогда, также, как и для других случаев, рассмотренных в этом разделе, получим,
что при 1 =------- имеет место включение
М + £
12 (‘) + (1 — 2) у (‘) е К (р) .
Таким образом, при условии выполнения (2) имеем
К (р(‘)>х) 1 Э2тр ( ) 1 32т/
------------------=------------тт(х)"
1ІШ -
К
/ ч 2т
1( о- х]) ,х
і=1
(2т)! Э
2т
(х)
или
Ьп (р(і),х)
1 Э2 тг ( )К
Лт (х)К
(2т)! Эі2
/ \ 2т
1(0 - хі) ,х
і=1
+ о
X/ \2т
(-хі) х
і=1
\\
//
Раскрывая р(‘) и произведя преобразования, получим (3). Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Виденский В.С. Линейные положительные операторы конечного ранга. Учеб. пособие. - Л.: ЛГПИ, 1985. - 68 с.
2. Абакумов Ю.Г., Банин В.Г. Линейные функционалы и условия аппроксима-
ции. Учеб. пособие. - Чита: ЧГПИ, 1993. -42 с.
3. Абакумов Ю.Г., Банин В.Г. Аппроксимативные свойства некоторых классов линейных операторов. - Чита: СО РАН: ЧГПИ, 1993. - 62.
ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ КУЧНОГО ВЫЩЕЛАЧИВАНИЯ УРАНА ИЗ БЕДНЫХ ВЫСОКОКАРБОНАТНЫХ РУД
УДК 662.349.5:662.775:669.822
А.А. Морозов, соискатель каф.
ПРМПИ, ЧитГУ
Научные интересы: совершенствование процессов и повышение эффективности кучного выщелачивания урановых руд
В статье рассмотрены вопросы повышения эффективности кучного выщелачивания урана из бедных высококарбонатных руд путем использования в качестве поверхностно-активных веществ (ПАВ) гу-матов натрия (ГН). Результаты ряда проведенных исследований на высококарбонатном (более 40 % по CaCOз) рудном материале «Аргунского» месторождения показали возможность эффективного применения ГН в процессе содового выщелачивания урана (рис. 2). Степень извлечения урана сопоставима с величиной извлечения при использовании перманганата калия (67,3 %) и составляет 65,6 % за 226 сут. Установлен рациональный диапазон расхода данного вида ПАВ - 6...8 кг/т.
Полупромышленными испытаниями по кучному выщелачиванию бедных высококарбонатных урановых руд доказана эффективность применения в качестве ПАВ гуминовых веществ, в частности гуматов натрия, являющимися альтернативой использования дорогостоящих окислителей и других активаторов ■
