CC BY
6УДК 517.5
ТЕОРЕМА ВЛОЖЕНИЯ РАЗНЫХ МЕТРИК ДЛЯ ОБОБЩЕННОГО КЛАССА НИКОЛЬСКОГО
Т. Ф. Исмагилов1
В работе рассматривается класс функций, являющийся обобщением известных классов Никольского. Доказывается теорема вложения разных метрик.
Ключевые слова: модуль гладкости, конструктивная характеристика, теорема вложения.
A class of functions being a generalization of well-known Nikolskii's classes is considered in the paper. An embedding theorem of different metrics is proved.
Key words: modulus of smoothness, structural characteristics, embedding theorem.
Хорошо известны классы функций Никольского Hr и SHp и теоремы вложения для них (см., например, [1, 2]). В настоящей работе рассматривается класс функций SmHr, являющийся обобщением этих классов, и доказывается теорема вложения разных метрик для функций из этого класса. Определения. Будем писать f Е Lp, если f (x\,... ,xn) — измеримая функция n переменных,
/ 2п 2п \i/p
2-^-периодическая то каждому из них и такая, что \\f \\p < го, где \\f \\p =1 f ... f \f \p dxi ... dxn I ,
Vo о /
если 1 ^ p < го; \\f \\p = supvrai \f\, если p = го.
xie[0,2n],i=i,...,n
Пусть дано s (1 ^ s ^ n) различных индексов i\,...,is, каждый из которых принимает одно из значений 1,...,n, тогда набор этих индексов будем записывать в виде (ii,...,is).
Обозначим через ,..,kis (f,^i1,... )р s-Mepnbift(1 ^ s ^ n) модуль гладкости функции f Е Lp порядка, ki1,..., kis соответственно по переменным xi1 ,...,xis , т.е.
wki. ...kis (f,5il ,...,6is )p = SUP \\Ahl 'IhS f \\p ,
даД^:/ = £ (-1?^/(Х1,...,Хг-1,Хг + щнг,хг+ъ...,хп), Д;^/ = д%<р,<р = /.
V:— 0
Если функционалы Л(/,5,1) и В(/, 5,I) неотрицательны, то запись Л(/,5,1) ^ В(/,5,1) будет обозначать, что существует такая положительная постоянная с, не зав таящая от /, 5 и I, что Л(/,5,1) < сВ(/,5,1). *
Будем писать / Е БП? Нг, есл и 1 ^ р ^ го, г > 0 1 ^ т ^ и и выполнены условия
0) / Е Ьр]
1) шк. (/, 5 )р < 5Г, V %1 = 1,...,и;
i^J ! Uil)Р ^ Ui1 !
2) wki1 ki2 (f,64,6i2 )p < 5rh 5ri2, V (ii, i2) с (1,...,n);
т) .. к:т (/,5ч ,...,5гт )р < 51 ...51т, V (Ч ,...,гт) С (1,...,и), где кг. > г, 5г. Е (0,1).
Класс БПтН совпадает с классом Ир, если т = 1, и совпадает с классом БНр, если т = и. Пусть Т,= Т1:, (х1,... ,хп) Е Ьр и является тригонометрическим полиномом от переменной хг. порядка 1г., 1 ^ ij ^ и, к. =0,1, 2,....
Через У[: ..^ (/)р обозначим наилучшее приближение в-мерным (1 ^ в ^ и) углом по перемен-
s
ным xi1,..., xi3 функци и f Е Lp в метри ке Lp, т.е. Y. ...(f )p = inf \\f - £ Tk, \\p
1... Ti. ,...,Ti. "" =
li1' ' lis j=i
Вспомогательные утверждения. Для доказательства основного результата этой работы нам понадобятся следующие вспомогательные утверждения.
Исмагилов Тимур Фаритович — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tismagilovQmail.ru.
Лемма 1[3]. Если f £ Lp, 1 ^ p ^ ж, то f представима в виде
n n i2-1 n is — l ¿3 — 1 ¿2 — 1
f = fo+ Efii + EEfM + ••• + E E • ••EEf^ + ••• + fii>->i«> (i)
il = 1 i2=2 ii = 1 is=sis-i =s—1 i2=2 ii = 1
где fo ^постоянная, каж дая из fii...,is — функция, зависящ ая от s переменных xii ,...,xia, 1 ^
s ^ n, такая, что f fii...,isdxij =0, Vj = 0, l^^s, и fii...,is £ Lp. Для этих функций справедливы o ' '
соотношения:
а) Yh,..,i„(f)p = Yh,..,in(fii,..,in)p;
б) Yiii ,...,iis (fh,..,is )P < Yki ,..,kg (f )p, V ^••^Q С (1,•••,n), где s = — 1;
(n
Yiii ,...,iis (fii,...,is )p + E Yiii ,...,iis (fii,...,is,ij3+i )p +
Js + i=S + 1
n js + 2 — 1 \
+ E E Yiii ,...,iis (fii ,...,is,ijs+i ,ijs + 2 )P + ••• + Yiii ,..,ii3 (f1,...,n )H , V (i1,•••,iS) С (l,•••,n),
js + 2 = S+2 js + i = S+1 J
где s = — 1
Лемма 2 [4]. Для того чтобы функция f £ S^H^, где 1 ^ p < q ^ ж, 1 ^ т ^ n, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
0) f £ Lp
1)\(/)p«(i-Tif, Vii = 1
2) < {lii+1)r\li2+1)r, V(ii,i2) С (1,..., п);
т) YiH...iimU)p ^ {lii+1)r!.{hm+1)r, У(к,...,гт) С (1 ,...,п).
<х ж n (i i'
Лемма 3 [4]. Пусть / G L°p, 1 < р < q < оо; и Е ••• Е П g^2-i-i...2-n-i(/)p < оо,
vi=0 vn=0 i=l
тогда
1) f е L0;
оо оо п (1 _ l\
2)l>i-i...2"™-i(/)i< Е ••• Е «>'r2,1_i...2^_i(/)p;
vi=Ni v„=N„ i=l
оо оо оо оо п
3)Vn-i Е ••• Е Е ... Е
=N^ -l vis =Nis -l ^^ =0 Vin =0 j=l
V(ii,...,is) Q (1,...,n).
Лемма 4 [4]. Если f е L0, 1 ^ p ^ ж, ri > 0, li = 0,1, 2,... , i = 1, 2,...,n, и
Yh,..,in(f )p «П
n 1
. (и + 1Г'
г=1
то для любых натуральных в и г^ таких, что 1 ^ в ^ и, (г1 ,...,г3) С (1,...,и); справедливо неравенство
3 1 ^„..^(Яр < П +!)%■•
Теорема вложения разных метрик. Основным результатом работы является следующая теорема вложения разных метрик.
Теорема. Если / е Б^Щ, 1 < р < д < оо; г* = г - % - > 0, то / е .
Доказательство. Из определения наилучшего приближения углом следует, что для любого набора т индексов (г^,...,) С (г1 ,...,г3) С (1,...,и), вде 1 ^ т ^ в ^ и, выполнена оценка
т
Y2vii —1...2vis —1(f )Р ^ П 2 k=1
Полученное неравенство верно для каждого из Ст наборов индексов (ij1 ,...,ijm) Q (^,...^8). Так как игк (Vк = 1,...,в) во всех этих наборах встречается Ст—1 Раз> то) перемножая левые и
правые части полученных неравенств, извлекая корень степени Ст из произведения и учитывая, св—1
что "Г1 = приходим к оценке
к—1
Докажем, что / Е Ьд, для этого покажем, что каждое слагаемое представления (1) принадлежит пространству Ьд. Так
как /о постоянная, то У/о Уд ^ |/о| < го. Обозначим
ОО ОО 8 {1_1\
Е ••• Е 1К • 1.....- .....О,-
V:1 —о —о j—1
(а) Пусть в ^ т. Используя для У2":1_ 1 \(/%\...,г.,)р утверждение б леммы 1, затем неравенство (2), получим
го го s , (л л\\
Е ••• Е
Vi, =0 Vis =0 j=1
s 1 1
Этот ряд сходится, если г > т .
(б) Пусть s ^ т. Используя для 1 2vis_ 1(fil ,..,is )р утверждение б леммы 1, а затем лемму
2, получим
5« ¿ ... ¿ П 2-^Hi-i)).
Vií =0 Vis =0 j=1
Этот ряд сходится, если г > ^ —
Применяя первое утверждение леммы 3, получим, что каждая функция представления (1) принадлежит L®, если г > „ (р — д) Для Для 1 ^ s ^ т. Следовательно,
г г п (11А ^
/ £ L„, если г > —---. (3)
т \p qj
Зафиксируем произвольный набор переменных Xi1 ,...,Xis, такой, что (ii,...,is) Q (1,... ,n). 1) Пусть m ^ s. Оценим Y^Niji 1 i(fil .....is )q для любого набора (i j1 ,...,ijm) Q (i1,...,is).
Сначала рассмотрим случай, когда (ij1,..., ijm) = (i1,..., im).
Применив к Y Nil n■ Afil ...is )q утверждение 3 леммы 3, заключаем, что 2 1 1..... 2 1 ' '
Y2Nil-1.... , 2Nim-1(fil...is )q < го го го го s , N
« Е ••• Е Е .....(4)
Vil =Nii -1 Vim =Nim -1 Vim + 1 =0 Vis =0 k=1
Теперь запишем I следуюпщм образом: оставим неизменными суммы по Vil,..., Vim и разобьем каждую из сумм по Vim+l,.. .,Vis на две суммы от 0 до K и от K + 1 до го. Получим
I = I0 + I1 + ... + Ii + ... + Is-m-1,
где Ii — сумма всех сумм, в каждой и з которых l пределов суммирования из Vim+l, . ..,Vis берется от K + 1 до го.
Оценим сумму Ii, в ней Cls_m сумм, рассмотрим одну из них:
го го K K го го s
Е ••• Е Е ••• Е Е ••• Е
Vil =Nil-1 Vim =Nim-1 Vim + l =0 =0 Vis_l + l =K+1 Vis =K+1 k=1
Оценив в-мерный угол 1 2via- 1(/г1...г, )р большим по величине приближением (т + 1)-мерным
(т + 1 ^ т +1 ^ в) углом 1 2viв-l+1_ 1 1(/г1..лв)р, а затем воспользовавшись утвер-
ждением б леммы 1, будем иметь
те те К К те
'ч« Е ... Е Е ... ЕЕ ...
VII =Хгх-1 Щт =Ът-1 Щт+1 =0 =о ще_1+1 =К + 1
... £ ( П --1,2^-1+1-1.....*
Vis =K+1 \ k=1 )
Пользуясь оценкой (2) для наилучшего приближения (m + ¿)-мерным углом, получим
те те K K те те S/\ m
Е ... Е Е ... Е Е
vii =Nii —1 Vim =Nim —1 Vim +1 =0 Uis-l =0 Vis-l +1 =K Vis =K k=1 k=1
k=S—i+1
Аналогичные оценки устанавливаем для остальных Iik, 1 ^ k ^ Cls_m. В итоге получим
Ii <С 2 fc=1 2 4™+г VP <?772 vp 9
Положим ^ =
E Nik
k=1 '
T - E Nik(T-™(p-q)) тогда Ii ^ 2 k=1 .
Так как полученная оценка для /¿от I не зависит, то оценка для I будет такой же. Следовательно, подставляя эту оценку в (4), имеем
V \ ^о ¿=1 ^ ч); 9 .е, гН ч);
Аналогичными рассуждениями для любого набора (г^1,..., ) С (г1 ,...,г3) доказывается справедливость неравенства
.....л.,-^--'-)««2 " . <5>
Так как оценка (5) верна для любого набора (гу1 ,...,г^т) С (г1 ,...,г3), то, применяя лемму 4 и учитывая, что /г1...г, £ получаем
_ у^ дг. (г—— Г- —
для любого набора из £ неповторяющихся индексов (ге1,..., ге1) С (г1,..., г3), где £ = 1,...,т. 2) Пусть в < т. Оценим У2мч-1 2^з-1(/ь,...,1,)?• Воспользовавшись утверждением 2 леммы 3, приходим к оценке
Г1-1
^iu!.....^..//«...¡Ji« Е ••• Е Л 2Vik _i(/ii...iä)p.
= ^ =Wis fc=1
Применяя утверждение 5 леммы 1, а затем лемму 2, получаем
те те s fi_i\
=^is fc=1
fi Л - E Ni,(r-(i-i-)) - t
< E ••• E II 2Щк\~р~^)2~щкг < 2 fc=i П Vp 977 <2 fc=i
v^ =Ni1
Vis =Nis k=l
Так как fi1...ia £ LLp, то с учетом леммы 4 имеем
-еМ r-^(i-i))
У2-:£1 ^(А..^)я « 2 ^ ^ , (7)
для любого набора из £ неповторяющихся индексов (Цё1,..., iet) С (i 1,..., is) где £ = 1,...,в.
Применяя утверждение в леммы 1, а затем неравенства (6) и (7), получаем, что для любого набора (Ц]^,...,^) С (1,...,и), 1 ^ £ ^ т, выполнено неравенство
^ • (8)
Согласно лемме 2, если выполнены условие (3) и неравенство (8), то / Е Б^Н . что и требовалось доказать.
Работа выполнена при поддержке программы "Ведущие научные школы РФ", проект НШ-3682.2014.1, и РФФИ, проект № 13-01-00043.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Никольский С.М. Функции с доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей кратному условию Гёльдера // Сиб. матем. жури. 1963. 4, № 6. 1342-1364.
2. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. 2-е изд. М.: Наука, 1977.
3. Лизоркин H.H., Никольский С.М. Классификация дифференцируемых функций на основе пространств с доминирующей смешанной производной // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1965. 77. 143-167.
4. Потапов М.К. О приближении углом // Proc. Conf. on constructive theory of functions (approximation theory). 1969. Budapest: Akad. Kiado, 1972. 371-399.
Поступила в редакцию 04.06.2014
