CC BY
259
УДК 537.8
Малыгин В.М.
Теорема Умова-Пойнтинга и вектор плотности потока электромагнитной энергии: разные условия, разные решения
Малыгин Вячеслав Михайлович, кандидат технических наук, начальник лаборатории отдела метрологии и измерительной техники НИИ электромеханики (ОАО НИИЭМ), г. Истра E-mail: [email protected]
Произведен анализ решения, в результате которого Пойнтингом получено выражение для определения вектора плотности потока электромагнитной энергии. Показано, что ошибки в применении вектора Пойн-тинга связаны не с ошибкой в решении, где имеем дело с присутствующим в пространстве и времени процессом переноса энергии, а с неправомерным расширением области использования решения, полученного для одних условий, на другие условия.
Ключевые слова: теорема Умова-Пойнтинга, электромагнитная энергия, поток энергии, вектор плотности потока энергии.
Введение
Используемая в электродинамике теорема Умова-Пойнтинга представляет собой утверждение, что уменьшение энергии w электромагнитного поля в некотором объеме V пространства за единицу времени равно потоку энергии, вытекающему из объема и пересекающему его поверхность F, и уменьшению электромагнитной энергии за счет преобразования ее в другие виды энергии внутри объема:
= + О)
где S - вектор плотности потока энергии, E - вектор напряженности электрического поля, j - вектор плотности электрического тока проводимости.
Теорема исходит из закона сохранения энергии в его локальном виде1 и имеет четкий физический смысл лишь в интегральной форме, применимой для замкнутых поверхностей2.
Пойнтинг, исходя из системы уравнений Максвелла, показал3, что в уравнении (1) плотность энергии электромагнитного поля (в вакууме и с пренебрежительно малой погрешностью в воздухе) может быть определена в виде
w = 80 E • E / 2 + B • B / 2 , (2)
где E - вектор напряженности электрического поля, B - вектор магнитной индукции, 80 _ электрическая постоянная, ц0 - магнитная постоянная.
А входящий в (1) вектор плотности потока энергии S, называемый теперь вектором Пойнтинга, имеет вид
S = (E х B) / Ц0 , (3)
где косым крестом х обозначено векторное произведение.
Но до сих пор, спустя сто тридцать лет, в электродинамике с физическим пониманием полученного Пойнтингом решения (3) есть трудности и возникают парадоксы, на что справедливо обращено внимание в работе А.В. Кочеткова и П.Г. Федотова4. Недоразумения с использованием выражения (3) в основном связаны с вопросами: есть ли перенос энергии в части пространства, где присутствуют статические электрическое и магнитное поля, и как происходит перенос энергии в цепи постоянного тока, по проводнику или через окружающее его пространство (диэлектрик).
1 Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6: Электродинамика. М.: Едиториал УРСС, 2004. С. 285.
2 Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. С. 430.
3 Poynting J.H. "On the Transfer of Energy in the Electromagnetic Field." Phil. Trans. R. Soc. Lond. 175 (1884): 343-361.
4 Кочетков А.В., Федотов П.В. О некоторых несуразностях в изложениях вектора Умова - Пойнтинга. // Пространство и Время. 2014. № 2(16). С. 79-88.
С целью разобраться со сложившейся ситуацией мы покажем далее, что странные с точки зрения общих принципов физики ошибки в трактовке решения Пойнтинга связаны не с его ошибкой в решении, а с неправомерным расширением (в том числе им самим) области использования решения, полученного для одних условий, на другие условия.
Как и Пойнтинг, мы будем использовать макроскопическую электродинамику Максвелла (ЭДМ), не заходя в область микрополей в веществе и квантовой механики (чего мы лишь чуть коснемся в заключительной части статьи). И сразу оговорим, что согласно ЭДМ электромагнитные возмущения в пространстве распространяются с огромной, но ограниченной скоростью, в физическом вакууме это скорость света. Поэтому можно сказать, что ЭДМ это релятивистская теория, и явление магнетизма является релятивистским эффектом1, уже учтенным в ЭДМ.
Статические поля
Вопрос с переносом энергии в непараллельных статических электрическом и магнитном полях (их источники неподвижны относительно наблюдателя) затронут в работе Л.И. Мандельштама2, где сказано, что утверждение о наличии потока энергии в таких условиях физически бессмысленно.
К этому можно добавить, так как вектор Пойнтинга в (1) это вектор, характеризующий поток энергии, то есть перенос ее из одной области пространства в другую за некоторое время. Что подразумевает наличие у электромагнитной энергии (представленной в виде (2)) еще и импульса3 (наличие скорости в определении импульса связывает понятия пространства и времени). Электромагнитное излучение (электромагнитные волны) обладают энергией и импульсом и это динамический процесс, в статических электрическом и магнитном полях энергия есть, а вот импульс в статических полях при неподвижных источниках отсутствует. Этого достаточно, чтобы считать вопрос закрытым, непонятно, почему в научно технической литературе столь долгое время встречаются ошибочные утверждения по этому поводу.
Например, в весьма глубоком и содержательном курсе физики признается, что «поток энергии должен быть связан с потоком импульса»4. И в нем же на следующей странице приведен пример с заряженным цилиндрическим конденсатором, помещенным в постоянное однородное магнитное поле, и утверждается (впрочем, как и в Фейнманов-ских лекциях и в работе И.Е. Тамма5) о наличии непрерывной циркуляции электромагнитной энергии в пространстве между обкладками конденсатора. «Доказывается» это тем, что при разрядке подвешенного на нити конденсатора он начнет вращаться, упуская из вида, что это переход от статики к динамике, значения разности потенциалов и тока изменяются при этом во времени, уменьшаясь до нуля. В результате доказывается закон сохранения энергии, запасенная в объеме пространства между обкладками конденсатора энергия статического электрического поля покидает этот объем и преобразуется в механическую (кинетическую) энергию вращения конденсатора. Но это не позволяет утверждать о наличии потока энергии в статике.
Но остается другой вопрос, связанный с переносом энергии в цепях постоянного тока. Так как без достаточных обоснований утверждается известными авторами со ссылкой на решение Пойнтинга, что в цепи постоянного тока (это уже не статика) электромагнитная энергия от источника ЭДС через окружающее проводник пространство (диэлектрик) поступает внутрь провода6. А там уже электромагнитная энергия преобразуется в энергию тепловую.
Чтобы с этим разобраться, рассмотрим весь ход решения Пойнтинга, а не только его результат в виде (3).
Решение Пойнтинга
В Фейнмановских лекциях подробно с использованием современных обозначений показано, как получено Пойнтин-гом выражение (3) 7. Хотя, например, тот же Р. Фейнман говорил о понимании физики8, что «настоящие физические ситуации реального мира так запутаны, что нужно обладать гораздо более широким пониманием уравнений», и некоторые примеры использования вектора Пойнтинга выглядят «сумасшедшей теорией»9. Бесспорно также и то, что недостатки теоретической модели не могут быть исправлены никакой строгостью математических рассуждений и расчетов10.
Обратим внимание при анализе решения Пойнтинга на среду в объеме, где происходит перенос и преобразование энергии, и условия на поверхности этого объема. Основное решение уравнения (1) в знаменитой работе Пойнтинга11 на основании системы уравнений Максвелла подразумевает наличие электромагнитного возмущения, распространяющегося в пространстве со скоростью, близкой (в зависимости от среды) к скорости света в вакууме. Это электромагнитное возмущение имеет место в объеме пространства, заполненном физическим вакуумом с включением равномерно распределенных в объеме электрических зарядов, не покидающих этот объем (не пересекающих его поверхности). Именно при такой среде (хотя равномерное распределение зарядов это не обязательное требование) решение наиболее физически понятно. Имеем однородную среду с макроскопической точки зрения, с одинаковыми условиями на поверхности рассматриваемого объема. В ходе решения использовалась теорема Гаусса, позволяющая преобразование поверхностного интеграла от нормальной составляющей вектора в интеграл от дивергенции вектора по объему, ограниченному этой поверхностью. Затем интегралы были отброшены, а решение полученного дифференциального уравнения имеет вид (3).
В рассматриваемом объеме электромагнитное поле производит работу над зарядами, его энергия преобразуется в тепловую энергию вещества (кинетическую энергию зарядов) и частично энергия поля покидает рассматриваемый
1 Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 5: Электричество и магнетизм. М.: Едиториал УРСС, 2004. С. 26.
2 Мандельштам Л.И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике. М.: Наука, 1972. С. 19.
3 Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6. С. 299.
4 Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 3: Электричество. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. С. 350.
5 Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6. С. 299; Тамм И.Е. Указ. соч. С. 499.
6 Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6. С. 298; Тамм И.Е. Указ. соч. С. 432; Сивухин Д.В. Указ. соч. С. 349; Иродов И.Е. Электромагнетизм. Основные законы. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. С. 277; Терлец-кий Я.П., Рыбаков Ю.П. Электродинамика. М.: Высшая школа, 1990. С. 107.
7 Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6. С. 298.
8 Там же. Вып. 5: Электричество и магнетизм. С. 29.
9 Там же. Вып. 6. С. 298.
10 Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 1: Механика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. С. 23.
11 Poynting J.H. Op. cit.
объем. О наличии транзитного потока энергии на основании только уравнения (1) и решения (3) сказать ничего нельзя. Отметим, что применение вектора Пойнтинга в задачах, связанных на практике с потоком энергии в виде радиоволн, когда среда удовлетворяет оговоренным выше условиям, вопросов обычно не вызывает, в отличие от переноса энергии в электрических цепях.
Перенос энергии в электрических цепях постоянного тока
Исходя из принципа, что истина конкретна, рассмотрим теорему (1) применительно к электрической цепи постоянного тока, где выделим объем V, включающий в себя проводник (часть замкнутой электрической цепи), имеющий определенную площадь поперечного сечения, и часть диэлектрика (например, воздух), заполняющего остальное пространство. Цепь уединенная, неподвижная в лабораторной системе отсчета, других источников электрической энергии, кроме изображенного на рис. 1 источника электродвижущей силы (ЭДС), нет.
О) б) в)
ской цепи (В), где 1 - источник ЭДС, 2 - проводник электрической цепи.
Обратим внимание, что рассматриваемый нами объем V состоит из двух частей, сред с разными физическими характеристиками. Поэтому при использовании уравнений Максвелла в работе с (1) нужно учитывать наличие граничных условий1. И в правой стороне равенства (1) должен стоять еще поток энергии, переносимый пересекающими поверхность частицами2. То есть мы исходим из общих положений физики, развитых Н.А. Умовым, что поток энергии это не математическая фикция, а реальный физический процесс. Поток энергии является следствием движения материи (вещества) и распространения возмущения (перемещения состояния) среды и полей3.
В рассматриваемом нами примере энергия может (пока мы делаем такое предположение, доказательство приведем ниже) переноситься в проводнике электрической цепи постоянного тока направленно движущимися в проводнике под действием сторонней ЭДС электрическими зарядами (электрическим током).
Тогда для энергии в объеме V, изображенном на рис. 1а, уравнение Умова-Пойнтинга следует представить в виде
- 5(J wdV)/d t = \Fj SvdF + FSrdF + F SydF + J (E • j)dV (4)
Мы получили одно уравнение (4) с тремя неизвестными векторами плотности энергии, чтобы их найти, понадобятся еще два вспомогательных уравнения. Пойнтинг в этих условиях решил проблему просто, но только для одного частного случая, физическую ситуацию в котором мы рассмотрим сначала, а потом сравним с другими возможными вариантами.
1. Решение уравнения (4) для объема V, сквозь который проходит проводник с током, можно получить, если принять условие, что через торцы проводника поток энергии не проходит (значения S2 и S3 равны нулю), как сделал Пойнтинг в своей статье (в первом из приводимых им примеров применения закона переноса энергии)4. Источник ЭДС (исток энергии) в объеме V отсутствует, но в пространстве вокруг проводника в этом объеме накоплена магнитная энергия (энергия тока). Накопленной там же энергией электрического поля можно пренебречь5, так как конденсаторов в цепи нет. Пренебрегаем и энергией магнитного поля внутри проводника (что можно делать не всегда, это зависит от геометрии цепи).
Для получения такого условия отключаем источник ЭДС (без обрыва цепи) и накопленная в магнитном поле энергия в течение некоторого времени уменьшается, возвращаясь в проводник и преобразуясь в нем в тепловую энергию, что подтверждается экспериментально. Источником энергии (распределенным в пространстве истоком), поступающей в проводник, в этом случае служит запасенная в магнитном поле энергия.
Выделим объем пространства вокруг проводника, заполненный только диэлектриком (граничащий внутри с боковой поверхностью проводника) рис. 16, и уравнение (4) для этого однородного пространства (с одинаковыми условиями на сплошной поверхности выделенного объема) с учетом отсутствия потерь электромагнитной энергии в диэлектрике запишем в виде
- d(J wdV )/öt = J SvdF (5)
Преобразовав правую часть уравнения (5) с помощью упомянутой выше теоремы Гаусса, и, отбросив затем ин-
1 Тамм И.Е. Указ. соч. С. 426.
2 Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 2: Теория поля. М.: Наука, 1988. С. 108.
3 Гуло Д.Д. Николай Алексеевич Умов. М.: Наука, 1971. С. 121, 135.
4 Poynting J.H. Op. cit.: 350-351.
5 Тамм И.Е. Указ. соч. 432.
тегралы, получим дифференциальное уравнение
dw/dt= V • Si
(6)
Учитываем только плотность энергии, запасенной в магнитном поле (2), используем одно из четырех основополагающих уравнений ЭДМ, согласно которому производная магнитной индукции по времени равна ротору напряженности электрического поля, и раскроем (6)
Вторым слагаемым в правой части (8), включающим ротор В, можно пренебречь. Так как ротор В равен производной Е по времени (плотности тока смещения) плюс плотности тока проводимости. Ток проводимости в диэлектрике вообще отсутствует, а током смещения в этих условиях в квазистационарном, медленно меняющемся во времени поле (еще одно необходимое условие) можно пренебречь, условия квазистационарности четко сформулирова-
где C - постоянная величина, это может быть ротор или при интегральном рассмотрении транзит энергии.
Обозначение для магнитной индукции Впот мы ввели, чтобы показать некоторое различие по содержанию одинаковых по форме выражений (3) и (9). В (3) поле В вихревое (как и поле Е), в (9) поле Впот в точках пространства потенциальное (хотя в целом магнитные силовые линии замкнуты сами на себя, магнитные заряды в природе не обнаружены), а поле Е вихревое.
Итак, мы получили, с учетом известных направлений векторов Е и Впот в пространстве, что в данном частном случае энергия действительно поступает в проводник из окружающего пространства (где сосредоточена запасенная энергия магнитного поля) и преобразуется в энергию тепловую. Но долго это продолжаться не может, так как значение запасенной в магнитном поле энергии не бесконечно. И ток в цепи уже не постоянный, это переходной процесс, ток уменьшается от некоторого значения (имевшего место до отключения источника постоянной ЭДС) до нуля.
2. Вторая ситуация соответствует подключению источника ЭДС (истока энергии) к электрической цепи, где нет никакой запасенной электромагнитной энергии (внутреннюю энергию вещества и микрополей в нем не рассматриваем). Значение тока в цепи возрастает, как и значение векторного потенциала3 A в рассматриваемом нами окружающем проводник пространстве (в нашем первом примере значение A со временем уменьшалось).
Известно, что в рассматриваемом квазистационарном случае векторы Е и В могут быть выражены следующим образом: В через ротор векторного потенциала А, а Е определяют через скорость изменения векторного потенциала A во времени, но не только. Значение Е зависит еще от градиента скалярного потенциала ф, но у нас в потенциальном электрическом поле энергия не накапливается (мы оговорили отсутствие конденсаторов в цепи), и нет преобразования электрической энергии в другие виды энергии в диэлектрике из-за отсутствия в нем свободных зарядов. Значит, это потенциальное электрическое поле (силовое поле) в энергетических процессах не участвует.
В данной ситуации направление вектора Впот в пространстве в уравнении (9) останется таким же, как в первой ситуации, а вот направление вектора Е изменится на противоположное. Что определяется изменением знака производной от A по времени и приводит к изменению направления вектора Sl. Теперь энергия будет поступать из проводника в окружающий его диэлектрик (пока значение тока увеличивается), накапливаясь в окружающем проводник пространстве в виде энергии магнитного поля.
Еще отметим, что уравнение (8) написано для мгновенных значений входящих в него физических величин, из него исчезло время (в (3) и (9) тоже). Это, как образно замечено в работе А.Н. Матвеева4, подобно мгновенной фотографии, по ней нельзя судить, как, в каком направлении будет развиваться процесс и лишь подразумевается, что он вообще развивается.
Поэтому мы рассмотрели две «фотографии» при возникновении и исчезновении тока в цепи (включение и отключение источника ЭДС) и ниже рассмотрим для полноты картины третью (при постоянном токе в цепи с неизменными во времени его значениями). Так как все физические процессы развиваются в пространстве и времени, и в первоначальном уравнении (1) мы имели дифференциалы по пространственным и временным осям четырехмерного пространства-времени.
Мы рассмотрели квазистационарные поля и токи, при нарушении условий квазистационарности наблюдается (особенно при значительном увеличении частоты переменного тока) все большее безвозвратное излучение электромагнитной энергии в окружающее пространство, анализ чего не является целью данной статьи.
3.Третья ситуация соответствует установившемуся режиму работы цепи постоянного тока. Обратим внимание, хотя заряды в проводнике движутся (в отличие от статики), распределение зарядов в пространстве остается (при макроскопическом подходе) стационарным, неизменным во времени. «Но если распределение зарядов стационарно, то поле их должно
1 Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6. С. 290/
2 Матвеев А.Н. Электродинамика. М.: Высшая школа, 1980. C. 200.
3 Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 5. С. 280; Матвеев А.Н. Указ. соч. С. 202.
4 Матвеев А.Н. Указ. соч. С. 204.
(7)
(8)
(9)
быть тождественно с электростатическим полем соответственно распределенных неподвижных зарядов»1. То есть поле вне проводника, где вдобавок в диэлектрике нет никаких свободных и движущихся зарядов, а в вакууме нет зарядов вообще, является статическим. С электрическим полем внутри проводника все не так просто, но его мы пока не касаемся.
При постоянном токе (в стационарном поле) значение вектора Впот не меняется во времени, а производная по времени от векторного потенциала A равна нулю, то есть значение Е в (9) рано нулю. Следовательно, значение вектора плотности потока энергии Sl в диэлектрике тоже равно нулю. Потока электромагнитной энергии во всем пространстве вокруг проводника нет, никакой поток энергии через боковую поверхность проводника цепи не поступает из этого пространства в проводник и из него. Наличие в диэлектрике вне проводника стороннего электрического поля, созданного источником ЭДС (быстро уменьшающимся при удалении от него) роли не играет, в данном случае оно статическое, а статические поля при неподвижных источниках не участвуют в создании потоков энергии.
Но если через боковую поверхность проводника, как мы показали выше, поток энергии поступать не может, то, следовательно, он проходит через его торцы, что мы доказали методом от противного. Если мы обратимся к физике твердого тела, то там подтверждается наличие переноса энергии в проводнике с электрическим током. Так как электроны, движущиеся за счет внешних сил (а у нас это сторонний источник ЭДС, преобразователь химической, механической или других видов энергии в энергию электрическую) несут с собой заряд и энергию2.
Далее обратимся к уравнению (4) для области пространства, занятой проводником с постоянным током, показанной на рис. 1 в. Электрическая энергия в проводник цепи от источника ЭДС поступает и там она преобразуется в тепловую энергию, баланс энергии соблюдается, что подтверждают эксперименты. Вот теперь мы имеем полное право на основании приведенного выше доказательства (уже не предположения) для объема, занятого проводником электрической цепи, выражение (4) представить в виде
- | S2•dF + | Sз•dF = (Е • ^У (10)
Снова воспользуемся теоремой Гаусса и решим уравнение (10) аналогично тому, как мы это делали в первой ситуации. Только теперь значение производной по времени от А равно нулю во всем рассматриваемом пространстве. Представим напряженность Е электрического поля через градиент скалярного электрического потенциала ф, раскроем полученное выражение, учтем, что дивергенция плотности постоянного тока равна нулю, и получим
V • £ = - Е • ] = (Уф) • ] = V • (ф ]) - ф (V • ]) = V • (ф ])
Из чего имеем, что в проводнике плотность потока энергии 5д можно представить в виде
Яд = ф ] + С (11)
В проводнике с постоянным током поле Е не вихревое, а потенциальное («электрическое поле стационарных токов есть поле потенциальное»3). Его можно обозначить как Ед ф. В результате мы получили, исходя из конкретных физических условий, третье решение теоремы (1), отличающееся от решений (3) и (9) как по форме, так и по содержанию. Из-за чего мы и ввели обозначение вектора плотности потока энергии в проводнике в виде Яд.
Два решения (9) и (11) нельзя свести к одному, в ЭДМ кроме электромагнитного поля только плотность электрического тока выступает как независимая величина4. Что признал А. Эйнштейн после попытки создать общую теорию поля, в том числе выразить заряды через поля. Современные же попытки создать общую теорию приводят к слишком сложным теоретическим построениям (например, теория суперструн5), пока не поддающимся экспериментальной проверке.
В завершение убедимся, что полученное нами решение не противоречит известным решениям в теории электрических цепей. Подставим полученное выражение (11) в интегральное уравнение (10), и получим известную в теории постоянных токов формулу для определения мощности Р преобразования электрической энергии в энергию тепловую на участке цепи между точками 2 и 3 (плоскостями) рис. 1 в по известным значениям разности скалярных потенциалов и тока,
Р = (ф2 - ф3) J (12)
Обсуждение полученных результатов
При попытках разобраться с локализацией потока энергии многих специалистов вводит в заблуждение (кроме приведенного Пойнтингом6 и широко растиражированного в научно технической литературе примера) еще один известный пример с переносом энергии к потребителю в коаксиальном кабеле7. Когда используют выражение (3) и, зная значение Е и В в площади поперечного сечения диэлектрика между центральным проводом и оболочкой кабеля, после интегрирования определяют полный поток электромагнитной энергии, проходящий в единицу времени через сечение кабеля к потребителю, численно равный (12). Исходя из этого, утверждают о локализации потока энергии в диэлектрике (ток постоянный).
Но такой же результат мы получили, подставив выражение (11) в интегральное уравнение (10), и утверждаем о локализации потока энергии в проводнике. Имеем парадокс, два разных объяснения одного и того же явления, в чем можно запутаться.
1 Тамм И.Е. Указ. соч. С. 173.
2 Маделунг О. Теория твердого тела. Пер. с нем. М.: Наука, 1980. С. 207.
3 Сивухин Д.В. Указ. соч. Т. 3. С 176.
4 Эйнштейн А. Сущность теории относительности. М.: Издательство иностранной литературы, 1955. С. 39.
5 Грин Б. Элегантная Вселенная: Суперструны, скрытые размерности и поиски окончательной теории. М.: УРСС: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011.
6 Poynting J.H. Op. cit.
7 Матвеев А.Н. Указ. соч. С. 298.
Подвох здесь в том, что значение тока однозначно связано с циркуляцией (это интегральные величины) вектора В по пути вокруг проводника (закон полного тока). А разность потенциалов между, например, точками 2 и 3 (на плоскостях поперечного сечения проводника при постоянном токе) одинакова (в потенциальном поле) при интегрировании напряженности электрического поля по любому пути I как в диэлектрике, так и в проводнике
(ф2 - фз) = /Е • dl = /Ед ф • dl
Но поля Е и Ед ф разные, поле Е в диэлектрике статическое, а поле Ед ф стационарных токов от него существенно отличается. Так как для его поддержания необходима непрерывная затрата энергии1, и заряды, возбуждающие поле Ед ф, находятся в движении2, а не в статичном положении. В переносе энергии участвует не статическое поле Е, а динамическое поле Ед ф, локализованное в проводнике, где локализован и перенос энергии. Движущиеся заряды в цепи постоянного тока участвуют в переносе энергии, там же, где есть не меняющееся во времени потенциальное электрическое поле и нет движущихся зарядов, нет и потока энергии.
Добавим еще, что изменение направления тока в проводнике цепи не сказывается на преобразовании электрической энергии в энергию тепловую (и другие виды энергии). Как это изменение не сказывается и на направлении в целом потока энергии в двухпроводной линии электропередачи (или коаксиальном кабеле) при наличии сосредоточенной нагрузки. Мы получим, что поток этот всегда направлен от источника ЭДС (источника энергии) к потребителю (нагрузке).
Помочь нагляднее представить перенос энергии в цепи постоянного тока нам может аналогия с гидродинамикой, с циркуляцией жидкости в замкнутой системе с работающим насосом, выполняющим роль источника энер-гии3 (аналог источника ЭДС). При увеличении создаваемого насосом давления передний фронт его распространяется в жидкости вдоль трубопровода со скоростью звука (аналог скорости электромагнитного возмущения в электрической цепи), что существенно выше скорости жидкости (тока в проводнике, скорости направленного дрейфа зарядов). Скорость жидкости возрастает медленнее, постоянная времени переходного процесса зависит от инерционности системы (в электрической цепи от магнитного поля, магнитного потока). В установившемся режиме циркуляции жидкости (или потока электрических зарядов) поток энергии локализован в трубопроводе (или в проводниках электрической цепи).
Но это подход феноменологический (по внешним признакам). Такой подход характерен для ЭДМ при рассмотрении физических процессов в веществе, когда фундаментальная система уравнений Максвелла дополняется материальными уравнениями. Это, например, закон Ома в дифференциальной форме для проводника цепи постоянного тока
;' = X • Ед ф , (13)
где X - удельная электропроводность вещества, коэффициент, значение которого определяют опытным путем для различных проводящих ток материалов. Следующим шагом в понимании физических процессов внутри вещества была электронная теория Лоренца, давшая много, но уже к середине прошлого века выглядевшая немного наивной по сравнению с квантовой механикой4. Теоретическое обоснование закона Ома на современном уровне уводит нас в микромир, в область квантовой (волновой) механики5.
Для пояснения процесса переноса энергии в проводнике электрической цепи может быть полезна модель на границе классической и квантовой физики. В этой модели проводник (с одинаковой площадью поперечного сечения и одинаковой удельной проводимостью) представим в виде цепочки последовательно включенных одинаковых микро конденсаторов (отойдем от макроскопической модели и учтем дискретное строение вещества). При подключении этой цепи к источнику ЭДС все конденсаторы зарядятся одинаково по всей длине цепи и практически одновременно6 (запаздыванием электромагнитного возмущения в квазистационарном случае можно пренебречь). А интегрально сумма электрических напряжений между пластинами всех конденсаторов будет равна напряжению между клеммами источника ЭДС.
Затем свободные электроны с энергией, превышающей энергию выхода из металла (обладающие к тому же волновыми свойствами7), преодолевают расстояние между пластинами микро конденсаторов (одновременно по всей длине цепи) и ускоряются, получая дополнительную энергию за счет имеющегося там потенциального электрического поля. Попадая на следующую пластину, электроны передают энергию атомной решетке, происходит электрон-фононное взаимодействие8 (фонон - это квазичастица, квант колебательного движения атомов кристалла). Место покинувших пластину электронов занимают другие, также несущие энергию9, при прохождении постоянного тока (макроскопическое, усредненное представление, скорости здесь малы, но огромно число движущихся электронов) устанавливается стационарное состояние.
При макроскопическом подходе, усредняя, мы и получаем напряженность потенциального электрического поля в проводнике в виде Ед ф при прохождении в нем тока с плотностью j (13).
Конечно, мы рассмотрели весьма упрощенную модель, но она все же позволяет перебросить мостик между ЭДМ и квантовой механикой при объяснении локализации потока энергии в проводниках электрической цепи постоянного тока.
1 Тамм И.Е. Указ. соч. С. 177.
2 Сивухин Д.В. Указ. соч. Т. 3. С. 176.
3 Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. М.: Высшая школа, 2002. С. 246.
4 Мандельштам Л.И. Указ. соч. С. 135.
5 Детлаф А.А., Яворский Б.М. Указ. соч. С. 596.
6 Сивухин Д.В. Указ. соч. Т. 3. С. 101, 606.
7 Детлаф А.А., Яворский Б.М. Указ. соч. С. 504.
8 Маделунг О. Указ. соч. С. 207.
9 Там же. С. 217.
Что касается переноса энергии в цепях переменного тока, широко распространенных в электроэнергетике, то при условии пренебрежительно малого значения реактивного сопротивления1 по сравнению с активным можно принимать во внимание только поток энергии, локализованный в проводниках, плотность которого (мгновенные значения) характеризуется выражением (11).
При учете реактивного (в нашем случае индуктивного) сопротивления в (11) нужно учесть связь скалярного и векторного потенциалов, но значения векторного потенциала при той же длине и диаметре проводника цепи зависит от ее конфигурации в пространстве, влияющей на топологию магнитного поля2, что усложняет решение. В целом это можно рассматривать как появление по длине проводников цепи дополнительных стоков (в другие моменты времени истоков) энергии, что принципиально не скажется на рассмотренной выше локализации и направлении потоков энергии.
В заключение рассмотрим пример с переносом энергии от источника ЭДС по двухпроводной линии к удаленному потребителю с сосредоточенной у него нагрузкой (активным и индуктивным сопротивлением). Известно, что реактивная энергия, передаваемая за четверть периода от генератора (источника ЭДС) во внешнюю цепь, равна энергии, передаваемой из внешней цепи в генератор в течение следующей четверти периода3.
Теперь в данном примере на основании проведенного анализа можно уточнить локализацию потоков энергии в пространстве. Электрическая энергия от генератора поступает к потребителю по проводникам двухпроводной линии электропередачи. Там часть ее преобразуется в другие виды энергии (например, в энергию тепловую), а другая часть накапливается в виде энергии магнитного поля (в отсутствии электрических конденсаторов у потребителя) в пространстве вокруг проводников (в диэлектрике). Затем в течение следующей четверти периода переменного синусоидального тока накопленная энергия возвращается по проводникам линии электропередачи к генератору.
Выводы
Теорема Умова-Пойнтинга при определении плотности потока электромагнитной энергии имеет несколько решений в зависимости от конкретных условий. Свести их к одному решению нельзя, так как плотность тока проводимости в электродинамике Максвелла нельзя свести к электромагнитным полям.
В цепи постоянного тока поток электрической энергии поступает от источника энергии (источника ЭДС) к потребителю, будучи локализован в проводниках.
При изменениях значений тока во времени (и выполнения условия квазистационарности) энергия дополнительно поступает из проводника в окружающий его диэлектрик в виде энергии магнитного поля (тем меньше, чем меньше индуктивность цепи) при увеличении значений электрического тока и возвращается (при отсутствии индуктивных связей с другими цепями) обратно при уменьшении тока.
ЛИТЕРАТУРА
1. Грин Б. Элегантная Вселенная: Суперструны, скрытые размерности и поиски окончательной теории. М.: УРСС: Книж-
ный дом «ЛИБРОКОМ», 2011. 288 с.
2. Гуло Д.Д. Николай Алексеевич Умов. М.: Наука, 1971. 320 с.
3. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. М.: Высшая школа, 2002. 718 с.
4. Иродов И.Е. Электромагнетизм. Основные законы. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. 319 с.
5. Кочетков А.В., Федотов П.В. О некоторых несуразностях в изложениях вектора Умова - Пойнтинга // Пространство и
Время. 2014. № 2(16). С. 79-88.
6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 2: Теория поля. М.: Наука, 1988. 512 с.
7. Маделунг О. Теория твердого тела. М.: Наука, 1980. 416 с.
8. Мандельштам Л.И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике. М.: Наука, 1972. 440 с.
9. Матвеев А.Н. Электродинамика. М.: Высшая школа, 1980. 383 с.
10. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 1: Механика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 560 с.
11. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 3: Электричество. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 656 с.
12. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 616 с.
13. Терлецкий Я.П., Рыбаков Ю. П. Электродинамика. М.: Высшая школа, 1990. 352 с.
14. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 5: Электричество и магнетизм. М.: Едиториал
УРСС, 2004. 304 с.
15. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6: Электродинамика. М.: Едиториал УРСС,
2004. 352 с.
16. Эйнштейн А. Сущность теории относительности. М.: Издательство иностранной литературы, 1955. 160 с.
17. Poynting J.H. "On the Transfer of Energy in the Electromagnetic Field." Phil. Trans. R. Soc. Lond. 175 (1884): 343-361.
Цитирование по ГОСТ Р 7.0.11—2011:
Малыгин, В. М. Теорема Умова-Пойнтинга и вектор плотности потока электромагнитной энергии: разные условия, разные решения / В.М. Малыгин // Пространство и Время. — 2015. — № 3(21). — С. 103—109. Стационарный сетевой адрес: 2226-7271provr_st3-21.2015.27.
1 Иродов И.Е. Указ. соч. С. 301.
2 Тамм И.Е. Указ. соч. С. 244.
3 Иродов И.Е. С. 303.
