CC BY
28
УДК 53
DOI 10.21661/r-541132
М.А. Авдыев
Теорема Ферма на шести гранях деревянного кубика
Аннотация
Великая теорема Ферма доказывается средствами физики, математики, аналитической геометрии в объёме знаний школьной программы. Основные идеи доказательства можно уместить на детском деревянном кубике.
I Ключевые слова: слой, симметрия, Ферма, теория множеств, великая Теорема, гиперкуб, однородность пространства, гиперплоскость.
M.A. Avdyev
Fermats Last Theorem Proof on Six Faces of a Wooden Cube
Abstract
Fermat's Last Theorem has been proved on the basis of school Physics, Mathematics, analytical Geometry. The main conceptions of the proof one can write on a math toy in the form of a wooden cube for children. Six faces of the cube are enough to deliver the main ideas of proof.
I Keywords: symmetry, Fermat's Last Theorem, hypercube, homogeneity of space, layer, hyperplane, set theory.
Ц
1672 г.: 1
ель исследования состоит в поиске наглядного доказательства Великой Теоремы Ферма, сформулированной Пьером же Ферма в
ап+Ьп = сп, (1)
не имеет решений в целых, кроме нулевых значений при п > 2.
Предположим, что искомая тройка чисел (1) существует. Можно сопоставить ей соответствующую фигуру в виде гиперкубов с ребрами а, Ь и с, при этом гиперкубы вписаны друг в друга в пространстве действительных чисел Rn. Хотя ребра гиперкубов - целые числа, но выбор Rn позволяет работать с фигурой, обладающей свойством непрерывности, что будет использовано в дальнейших рассуждениях.
Основные выводы доказательства легко обнаружить, анализируя двумерный и трехмерный случай -квадраты и кубы. Далее, рассуждая по индукции, легко обобщить результаты на многомерный случай, потому что все закономерности выявляются уже для квадратов и кубов [1]. Чтобы облегчить поиск истины, который невозможно прекратить [2; 3], предлагая обществу стосорокастраничное доказательство Великой Теоремы, найденное в 1994 г. проф. математики, деканом факультета математики Принстонского Университета сэром Эндрю Уайлсом, рассмотрим Великую теорему Ферма с позиции аналитической геометрии и теории множеств.
Свойства гиперкуба и его граней-ребер
Точка, отрезок длиной а, квадрат а2, трёх мерный куб а2 тессеракт а4 и т.д. - это гиперкубы соответственно 0-мерного, 1-мерного, 2-мерного, 3-мерного, 4-мерного пространства ... В этом ряду каждая следующая фигура размерности п образуется путем перемещения гиперкуба размерности п-1 на длину ребра а в направлении, поперечном каждому из п-1 других.
Интернет изобилует рисунками и видео клипами с изображением многомерных гиперкубов, их проекциями на двумерную плоскость, расположенную перед глазами обычного человека - существа трехмерного пространства. Благодаря эффекту параллакса можно увидеть достаточно любопытные структуры. Но одного любопытства недостаточно - требуется аналитическое мышление, которое поможет ощутить красоту гиперкуба, и как косвенный результат - «увидеть» наглядное решение Великой Теоремы Ферма. Попробуем?
Гиперкуб обладает свойством симметрии и непрерывности. Если расположить начало координат в центре гиперкуба, то каждая его вершина будет отдалена от начала координат на расстояние ^а^п, что легко вычисляется по теореме Пифагора. Перпендикуляр, опущенный из центра гиперкуба на любую его грань, проходит через её центр и длина образуемого отрезка (высоты любой из совершенно одинаковых из 2п гиперпирамид, на которые рассекается гиперкуб) составляет ^а. Легко убедиться, что грань гиперкуба - это
Рис. 1. Четырехмерный куб или тессеракт, спроецированный на двумерную плоскость с эффектом параллакса
гиперкуб размерности на единицу меньше, также имеющий грани-ребра размерности n-2, n-3 ...вплоть до одномерных ребер и нольмерных вершин (для случая пространства целых чисел роль вершин принимают на себя единичные кубы 1n - для простоты далее обозначаемые как гиперкубики. Грань гиперкуба располагается в гиперплоскости, перпендикулярной только что построенной высоте и проходящей через основание этой высоты - точку пересечения прямой, исходящей из начала координат ортогонально грани гиперкуба, с этой гранью. Образно говоря, с позиции гипотетического n-мерного существа, все грани гиперкуба воспринимаются не как объемные, а как плоские фигуры.
Гиперкубам с целочисленными рёбрами a, b, c соответственно можно сопоставить подмножества A, Au B, A U B U C в большом гиперкубе cn, вмещающем средний и малый. Будем обозначать cn как основное множество U - универсум. Определим отношение эквивалентности F над U x U, таким образом, что F = { (y, z) | V y e U 3! x e U } - другими словами данное отношение взаимнооднозначно сопоставляет в большом гиперкубе U один гиперкубик другому, что означает равенство их объёмов в силу однородности n-мерного пространства Rn. F тотально и функционально. Если 3 F по отношению к определённым выше подмножествам F: A ^ C или C = F(A), то это означает равенство мощностей этих подмножеств. Теорема Ферма утверждает, что мощности подмножеств |A| и |C| не могут быть равными в пространстве целых чисел, обозначенном в этой публикации как Zn, размерности более двух.
Представим себе вписанные друг в друга гиперкубы с рёбрами, полученными из ряда последовательных натуральных чисел, центры которых совпадают с началом координат, а грани - перпендикулярны осям координат. Гиперкубы ei с рёбрами i на основе последовательного ряда натуральных чисел, вписанные друг в друга, образуют возрастающую цепь и отношения включения в U:
е1 С e2... С ek С ek+1... ek+l С ek+l+1 . с ek+i+m E U (2)
1 U S, U S2 ... U Sk U S... U Sk+I U Sk+I+I ... U Sk+l+m с U K '
n 12 k k+1 k+l k+l+1 k+1+m —
Рис. 2. Для размерности пространства п = 2, квадраты на плоскости, легко увидеть Пифагорову тройку 32+42=52
В этом выражении задано разбиение множества и на попарно непересекающиеся подмножества, именуемые далее слоями, определяемыми как разность подмножеств Si = еш\ е/. Здесь помимо гиперкубика 1п или е1 в центре координат первые к слоёв образуют малый гиперкуб ап, к ним добавляется 1 слоев для формирования среднего гиперкуба Ьп, и наконец еще т слоев для образования сп, который рассматривается как универсум и.
Вместо 1п может быть элемент 2п, в зависимости от чётности, но с учетом отговорок ниже, эта детализация не приводит к качественным отличиям. Фигура в виде композиции гиперкубов «начало координат в вершинах» и «начало координат в центрах гиперкубов» преобразуются друг в друга за счет отражения от гиперплоскостей размерности п-1, препендикуларных осям координат, и масштабирования q, как например для случая на плоскости ниже.
Здесь вершина каждого гиперкуба, выделенного цветом, совпадает с началом координат, в дальнейшем начало координат альтернативно будет помещаться также в центр гиперкуба для удобства анализа. Фигура в виде композиции трех вложенных гиперкубов «начало координат в вершинах» и «начало координат в совмещенных центрах гиперкубов» преобразуются друг в друга за счет отражения от плоскостей, перпендикулярных осям, и масштабирования в целое число раз д. (Если поделить ребро гиперкубика в q раз, то такая смена масштаба приведет лишь к увеличению в qn раз всех алгебраических выражений, но не изменит их вида.)
Заметим, что объёмы наших подмножеств совпадают с их мощностями:
ап = V = |А|, Ьп = V + V = |А| + |В|, (3) сп = V\ + Vв + V = |А| + |В| + |С|, при этом все объёмы отличны от нуля в силу иррациональности ^2, условия позволяющего упорядочить гиперкубы по нарастающей а < Ь < с, не меняя общности. Что происходит при рассечении описанной выше фигуры из трёх вписанных друг в друга гиперкубов любой осью координат? Наблюдатель увидит ряд вложенных друг в друга отрезков длины 1, 3, 5, 7... и так далее. Поскольку через две прямые проходит лишь одна плоскость (аксиома геометрии работает и для многомерно-
Рис. 3. Слои многомерного гиперкуба, ^ I, т пересекаясь с двумерной плоскостью, проходящей через центр координат и оси х1, х2, образуют сечение,
где видны слои S1, S2... Si. Проекция создана без эффекта параллакса, в отличие от Рис. 2. Фигура рассечена на 2п идентичные гиперпирамиды
го пространства), путём логических рассуждений легко понять что в результате рассечения описанной фигуры двухмерной плоскостью, проходящей через начало координат и две произвольные оси координат, образуются вложенные друг в друга квадраты с центром в начале координат. Это сечение не зависит от размерности фигуры при п > 2. Любопытно узнать, почему Пифагоровы тройки существуют только для п = 2, но не для п > 2? В геометрической форме теорема Ферма формулируется так, что не существует трех вписанных друг в друга гиперкубов с целочисленными ребрами а, Ь, с для которых согласно определению (3) VA =Ув
Структуру и множество элементов слоя (2) легко понять из разложения в ряд по биноминальным коэффициентам разности последовательно следующих гиперкубов с целочисленными рёбрами:
5. = (i +1)п - Г = у7=п-1 i 7 С3 • 1"~7 (4)
1 \ / 7=о п
из этого разложения легко заметить, что размерность слоя на единицу меньше охватываемого им п-куба. Объём слоя в первом приближении аппроксимируется как площадь гиперповерности гиперкуба, равная пап-1, но помимо элементов п-1 степени содержит ряд более низких размерностей. (Мысленно разделим один кубометр трехмерного пространства на 106 кубическим сантиметров, затем увеличим масштаб в 10 раз до миллиметров, итого 109 кубических миллиметров.) Как при этом изменится вид формулы (4)? Каждый элемент вида ^ увеличится в qj раз, а сомножитель 1п-р не изменится - изменится сама геометрия слоя, который станет тоньше относительно его большого ребра ^ из чего следует, что слой содержит элементы последовательного ряда размерностей от нуля или 1 п - аналога точки в Rn пространстве до ребер а1п-2, граней а4п-3 и гиперграней наибольшей размерности 10.
В терминах теории множеств вместо знака суммы может использоваться знак и, при условии, что 1п-
интерпретируется как геометрическая фигура - параллелепипед с ребрами i и 1 в n-мерном пространстве, а биноминальный коэффициент - как повторение идентичной копии фигуры определенное число раз.
Возвращаясь к ранее определенному отношению эквивалентности заметим, что хотя слои образуют возрастающую цепочку, что указывает на наличие отношений сравнения, обладающего свойствами рефлексивности, антисимметричности, транзитивности само по себе это обстоятельство ещё не исключает возможности нахождения отношений эквивалентности (рефлексивности, симметричности, транзитивности) во всём U, включая подмножество - ограничения до конкретного слоя, например: F = {x, y | y. = -x. } это отношение, в целом, связывает отношением эквивалентности каждый гиперкубик с его «антиподом» в результате центральной симметрии или отражение от гиперплоскости, ортогональной оси xn, проходящей через начало координат: F = {x, y | yn =- xn л yp = -xp : p < n }, либо разнообразные преобразования, подобные вращению n-мерного кубика Рубика - все это представляет собой широкий спектр отношений эквивалентности, и это легко понять из общих соображений симметричности фигуры и однородности Rn, его изотропности.
Условие равенства мощностей подмножеств |A| и |C| или VA = VC равносильно наличию отношения эквивалентности F ç C х A, данное отношение тотально, функционально, сюрьективно и инъективно, y=F(x) являетсябиекцией. Спозиции сравненияобъёмов V = VC нас интересуют только операции между слоями из разных подмножеств.
Не меняя общности, представим F как суперпозицию отношений: F = G * H, где H = {(x, y) | x e {S.} л y e {S.} }, G = {(x, y) | x e {S.} л y e {Sj} : i }. Другими, словами бинарное отношение может быть определено как над одним конкретным слоем, так между разными слоями. Удобно различать первое от второго.
Доказательство теоремы Ферма сводится к вопросу: существует ли отношение эквивалентности между разными слоями G для исследуемой фигуры? И как следствие этого, возможно ли задать функцию A = G(C)?
Сфокусируем внимание на ограничении отноше-ни G|Si = {(x, y)| x e {S.} л y e {Sj} л x e C, y e A }. Из соображений симметричности фигуры и виде трех вложенных гиперкубов, а также идентичной структуры каждого слоя, следует, что результат работы функции y = G(x) представляет собой множество слоёв в A или все подмножества А. В самом деле, поскольку гиперкубки в n-мерном пространстве Rn однородны, пространство изотропно, а фигура симметрична, обмен эквивалентным составом элементов не должен изменить саму фигуру (само U) и его фундаментальных свойств. Следовательно, V слой из С может быть эквивалентен либо множеству слоёв в А либо всему этому множеству - всё зависит от соотношения мощностей подмножеств |Si| и |А|.
Известно, что если на некотором множестве A определено отношение эквивалентности, то существует такое разбиение множества A на непустые подмножества, при котором каждый класс разбиения состоит
Гипотетический пример: слой Б6 53 и 56 Б2 отношение эквивалентности, разбиение подмножества Б6 на классы в соответствии с размерностью. Возможно ли это?
6 5 4 3 2 1
Рис. 4. Схематическое представление классов разбиения подмножеств А и С. По вертикали - слои S, нумерация от центра координат к периферии фигуры. По горизонтали - классы размерности р в диапазоне от 1 до п -1.
из всех попарно сравнимых элементов. Обратно, для любого разбиения A на непересекающиеся непустые классы существует такое отношение эквивалентности на A, что классы разбиения будут классами попарно сравнимых элементов [3].
V слой S. из U может быть разбит на попарно непересекающиеся классы d - соответствующих размерностей p:
S = u di V d. П dj = 0 , (5)
где в качестве класса выступает уже знакомый параллелепипед d. = ip 1n-p, при этом мощность этого подмножества равна соответствующему биноминальному коэффициенту. Поскольку все слои имеют один и тот же набор классов, можно составить таблицу соответствия для отношения G как на рисунке 4.
Выше приведены множество классов попарно сравнимых элементов или фактор-множества для A, C по отношению эквивалентности G, а именно: A/G и C/G. Два элемента сравнимы тогда и только тогда, когда они принадлежат к одному классу - сравнения между слоями возможны только по классам dp= ip 1n-p.
Если функция A = G(C) существует, то она должна оперировать с попарно сравнимыми элементами отдельно по каждому классу разбиения подмножеств A и C. Поскольку мощность каждого следующего слоя больше предыдущего (2), для обеспечения эквивалентности Sj e А потребуется несколько слоёв для V Si e C. Исходя из условия сохранения свойства симметричности фигуры необходимо обеспечить равенство |S; | = |Sj |+|Sk |+... - целое число слоев. Слои j, k должны следовать непрерывно, чтобы сохранить свойство непрерывности фигуры. Напомним, что мощность S - это число гиперкубиков в слое, то есть его объём в Rn. Из рисунка 4 легко понять, что обеспечить одновременное соответствие элементов слоя больше, чем по одному классу невозможно. Все классы имеют разные размерности одного и того же ребра параллелепипеда ip, сомножитель 1n-p можно отбросить как безразмерный коэффициент в силу рассуждений выше, и поэтому равенство по одному классу исключает равенство по-другому. Следовательно, для n = 2, где отношение y =G(x) ограничивается только на классе одномерных
рёбер, Пифагоровы тройки существуют, а для n = 3, где отношение эквивалентности работают на классах граней и рёбер одновременно - нет. Аналогичный вывод о невозможности отношения эквивалентности A = G(C) имеет место и для n-мерного случая, где сравнивается элементы из классов общим числом n-1. Это значит, что искомой функции G не существует, что |A| ф |C| арифметические операция с объёмами VK и Vc недопустимы в силу отсутствия отношений эквивалентности (лишено смысла сравнение неоднородных объектов) -теорема Ферма доказана.
С позиции аналитической геометрии Помимо доказательства в терминах теории множеств, изложим основные моменты доказательства с позиции аналитической геометрии и физике - это позволит получить более наглядное представление. Отношение эквивалентности
y = G(x) с точки зрения физики - это, например, принцип несжимаемости объёма жидких и твёрдых тел и закон сохранения массы вещества при химических реакциях.
Легко убедиться, что при n > 2 объёмов множества слоёв гиперкубов вписанных друг в друга в уравнении Ферма: an = cn - bn или условие VA =VB (см. 3), и свойство симметрии фигуры в пространстве целых чисел взаимно исключают друг друга.
Поскольку центры каждого из созданных гиперкубов совпадают с началом координат, в силу принципа изотропности n - мерного пространства и очевидной симметрии гиперкуба, можно эти гиперкубы рассечь на 2n правильные гиперпирамиды, боковые грани которых образуются путём проведения двумерных плоскостей через центр координат и каждой пары соседних вершин гиперкуба. Рёбрами гиперпирамид будут являться 2n прямых линий, описываемых уравнениями:
X1 X 2 X'n (6)
+1 = +1 = "' + Г
где в знаменателе коэфф. принимают значения -1 или 1.
Они соединяют начало координат с двумя смежными вершинами гиперкуба (всего их также 2n), каждого слоя S. в силу симметрии фигуры и принципа изотропности
пространства. (Через три этих точки можно провести лишь одну двумерную плоскость.) Отрезок из центра координат, перпендикулярен гиперплоскости размерности п-1, упирается в центр грани гиперкуба и является высотой гиперпирамиды.
Равенство объёмов подмножеств равносильно утверждению о том, что 3 отношение у= G(x) имеющее свойство эквивалентности: рефлексивности, симметричности, транзитивности над множеством и. Каждому гиперкубику х из подмножества А соответствует гиперкубик в С и наоборот. Евклидова геометрия и Rn постулирует однородность пространства: все гиперкубики в множестве и эквивалентны. Вместе с тем, слои являются однородными для случая двумерного пространства и неоднородными для п > 3 в п- мерном пространстве целых чисел 2п. Этот нетривиальный вывод легко получить из свойства конгруэнтности: одна п-мерная фигура конкруэнтна другой тогда и только тогда, когда конгруэнтны все образующие фигуру элементы младших размерностей. Для гиперкуба это налагает требование конгруэнтности каждой гиперграни размерности р, где р - целое, пробегающее значение от 1 до п-1. Говоря проще, два куба равны между собой, если и только если, равны все грани, рёбра младших размерностей. (Вспомним, что два элемента сравнимы, когда они принадлежат одному классу.)
Внимательный взгляд на сечение вложенных друг в друга гиперкубов, образуемых на основе ряда натуральных чисел, показывает, что каждый слой является уникальным в том смысле, что Sj = Sk о ) = к. Слои были бы подобны друг другу лишь в том случае, когда все их линейные размеры возрастали бы в равной пропорции по мере отдаления от начала координат и увеличения ребра т Но толщины слоёв остаются постоянными, из чего следует: слои изоморфны, но не подобны друг другу. Поэтому В а такого чтобы геометрические фигуры были связаны коэффициентом подобия: Sj = аSk. (Вместе с тем 3 в для выражения соотношения объёмов = Р^к).)
«Уникальность» слоя может быть сформирована условием: В натуральных ^ j, к при которых V(Si) = V(Sj) ± V(Sk). Объемы слоёв не обладают свойством аддитивности - это ещё одно свидетельство в пользу отсутствия отношении эквивалентности слоёв. В формуле (2), переписанной в выражении объёмов:
1П + + ^2)... = (7)
^+1+1) + ...
исключаются операции по сокращению объёмов слоев (за счёт арифметических операций с переносом в другую часть уравнения) в подмножествах А и С, как необходимого условия обеспечения равенства V = V в рассматриваемой фигуре. Легко рассчитать, что объёмы 1п, равно как и 2П несравнимо меньше разности любых слоев [4], а это значит, что гиперкубик в начале координат не сможет нивелировать дисбаланс в объёме слоёв подмножеств А, С, т.е. расчет на «счастливый случай» когда каждый слой в С не находит эквивалентности в А, но все вместе слои в С будут эквивалентны А, не проходит. Кроме того, такой гипотетический
счастливый случай стал бы зависеть от масштаба q, а это недопустимо.
В самом деле, равенство объёмов в левой и правой части уравнения Ферма: ап = сп - Ьп означает возможность сопоставления однородных элементарных ги-беркубиков между разными частями фигуры УА = V,. В силу свойства симметричности фигуры и равенства объёмов, допустимы операции перемещения, обмена, вытеснения путем замены на эквивалентные элементы в слоях Si из С в Sj в А подмножества и наоборот. Это является физической имплементацией отношения эквивалентности G.
Между тем, для обеспечения симметричности фигуры один или множество слоёв из подмножества С должен / должны последовательно уложиться целое число раз в подножествам А и образовать целое число слоев, иначе возникнет неустранимый дефект симметрии фигуры в п-мерном пространстве целых чисел, обозначаемом как 2п, разрывы в следовании слоёв также не допускаются - они следуют непрерывно. Ближайшее целое свыше единицы - это двойка. На практике оказывается, что отношение эквивалентности возможно лишь на двухмерной плосклоскости, где применима формула трапеции для расчета площади через длину серединной линии и высоту трапеции (толщину множества слоёв).
Зафиксировав в метрах размеры сравниваемых под-ножеств слоёв, обозначаемых через серединную линию трапеций и можно путем масштабирования добиться целого соотношения между высотами сравниваемых трапеций и в обратной пропорции им - толщинами анализируемых множеств слоев в нанометрах (при масштабировании q = 2*109 основания обоих трапеций становятся чётными, а серединные линии - целыми числами). Это обеспечит равенство площадей трапеций -другими словами для V ^ у 3 отношение эквивалентности G = {(х, у) | х е {&} л у е {Я} : i ^ } на всем и \ 1п, который можно рассматривать как 0 в предельном значении при q а": вклад в объём единичного гиперкубика стремится к нулю.
Вместе с тем, для п > 3 условие симметричности фигуры в 2п предполагает решение системы уравнений
Рис. 5. Для двумерного случая п =2 объем множества
слоёв рассчитывается по формуле трапеции: полусумма верхнего и нижнего основания умножить на высоту Ы и Ьу соответственно
Рис. 6. Развёртка куба с доказательством Великой Теоремы Ферма
для всех элементов младших размерностей гиперкуба р: п -1, п-2 .... - для каждого класса отдельно, а именно:
уы = кп-1 + (к-1)п-1 + .
(8)
как минимум два слагаемых или более. Формула:
уп-2 = кп-2 + (к-1)п-2 + ..., как минимум два слагаемых или более.
(Эта система уравнений продолжается до вторых и первых степеней, т.е. двумерных граней и одномерных ребер.)
Где слои Sj и Sk взяты из множеств С и А соответственно. Слои в А следуют последовательно и заполняются от периферии к центру (предполагается, что элементы из А вытесняются эквивалентными элементами из С.)
Система уравнений (8) неразрешима в R при п > 2. Например, условие равенства суммы квадратов катетов квадрату гипотенузы и одновременно суммы длин катетов самой гипотенузе прямоугольного треугольника выполняется лишь в том случае, когда длина хотя бы одного из катетов равна нулю. Поэтому не существует действительных чисел, удовлетворяющих системе уравнений для п = 3 (легко понять что для п > 3, одновременное сопоставление сумм объёмов гиперкубов и (гипер)площадей их проекций на гиперплоскость размерности п-1, приводит к необходимому условию равенства высот каждого рассматриваемого параллелепипеда, но кубы у, к, к-1 имеют разные рёбра - высоты). Следовательно, никакое изменение масштаба координат пространства не обеспечит свойства симметричности фигуры, когда: один или множество сло-ёв из подмножества С должен / должны уложиться целое число раз (равносильно: рациональное число за счёт смены масштаба) в подножестве А.
Легко добиться равенства объёмов V = V нарушив симметрию фигуры, непрерывность следования слоёв. Для случая п > 2 слои гиперкуба можно лишь
упорядочить: по линейной цепочке (2), но арифметические операции причиняют геометрии фигуры неустранимый дефект: лишь наибольший элемент в линейно возрастающей цепочке слоев в и может быть добавлен или удалён как одно целое, но не более того. Все остальные операции разрушают симметричность фигуры в пространстве целых чисел 2п. Теорема Ферма может быть доказана лишь путём внимательного наблюдения за неоднородностью слоёв единичной толщины в пространстве целых чисел, размерностью более трёх, каждый из которых уникален. Арифметические операции над объёмами слоёв гиперкуба в целых числах при п > 3 не допустимы без разрушения слоя, как геометрической фигуры и причинения неустранимого дефекта симметрии фигуры в 2п.
В продолжение иллюстрации наглядного доказательства Великой теоремы, обратимся к интересному явлению, заключающемуся в изоморфизме слоя (4) дефектному кубу 2п -1 - фигуре с отсутствующей вершиной, которая безразлична к любым преобразованиям, т.е имеет неустранимый дефект и размерность п-1 в пространстве 2п. Формула слоя (4) и формула (1+1)п - ', разложенная в ряд по биноминальным коэффициентам, будут идентичны. Переходя к системе гиперкубов с общей вершиной в начале координат и применяя масштабирование, легко понять, что в этой системе, где рассматривается например гиперквадрант лишь неотрицательных значений, слой имеет неустранимый дефект симметрии, равно как и фигура, соответствующая выражению ап -1. Последнее возникает при разложении по биноминальным коэфф. разницы слоя и дефектного куба 2п -1 (Иногда ошибочно полагают см [5; 6], что симметрию можно восстановить за счёт отражения от плоскостей, перпендикулярных осям, но дефект проявится в разрыве слоёв,
в образовании пустот, что вступает в конфликт с фундаментальными свойствами рассматриваемой фигуры.)
Также легко убедиться, что разница слоёв Si - Sj - Sk, разложенная в ряд по биноминальным коэффициентам, содержит выражения в виде разницы многомерных параллелепипедов вида 1п-р (ip - ур - kp), где размерность р пробегает диапазон от 0 до п-1, умноженных на биномиальный коэффициент, т. е идентична формуле слоя (4). Поскольку тождественность выполняется для каждой размерности отдельно, из этого следует, что объёмы слоёв могут находится в соотношении эквивалентности Si = Sj + Sk тогда и только тогда, когда обеспечивается равенство ^ = ур + kp гиперкубов одновременно для всех р от 1 до п-1, другими словами, Пифагоровы тройки возможны на плоскости, где сравниваются лишь одномерные рёбра, но заведомо невозможны при п > 2.
Следующие аргументы в пользу доказательства теоремы Ферма касается только случая п > 3, фигуры, описываемые выражениями: 2п-1, ап -1, сп - Ьп в простран-
стве 7п объединяет общее: неустранимый дефект симметрии/непрерывности и размерность таких фигур равна п - 1. В выражении (1) слева ап - это симметричный гиперкуб размерности п, справа сп - Ьп в пространстве 2п. Нельзя сравнивать литры с квадратными дюймами. Что можно сказать о неком геометрическом объекте, относительно фундаментальных свойств которого даются взаимоисключающие утверждения? По правилу логики, исключающего третьего такого объекта не существует, -нет тройки целых чисел, удовлетворяющей выражению Великой Теоремы Ферма при п > 2.
По словам Альберта Эйнштейна «фактов в жизни предостаточно - не хватает лишь немного фантазии». Междисциплинарный подход позволил отыскать креативное доказательство, основные идеи которого можно разместить как на широких полях Диофантовой математики, по выражению Пьера де Ферма, так и на гранях обычного деревянного кубика.
Литература
1. Авдыев М.А. // Обучение и воспитание детей и подростков: от теории к практике: коллективная монография / отв. ред. А.Ю. Нагорнова. - Ульяновск: Зебра, 2020. - С. 330-348 [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://yadi. sk/i/WegCuVdJ6ujvDQ (дата обращения:11.06.2020).
2. Коновко А.В. Великая теорема Ферма доказана или нет? // Новости науки и техники / Академия государственной противопожарной службы МЧС России. [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://cyberleninka.ru/ article/n/velikaya-teorema-ferma-dokazana-ili-net/viewer (дата обращения: 18.05.2020).
3. Белова Л.Ю. Элементы теории множеств и математической логики // Теория и задачи: учебное пособие / Ярославский госуниверситет. - 2012 - С. 26-27. - ISBN 978-5-8397-0878
4. Avdyev M. Fermat's Last Theorem on the faces of wooden made cube // Роль инноваций в трансформации и устойчивом развитии современной науки / коллектив авторов (Омск, 03 июня 2020 г.). - Стерлитамак: АМИ, 2020. - С. 20 [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://yadi.sk/i/1UV6gKV1uhdTZA (дата обращения: 11.06.2020).
5. Смотрите полемику, презентацию, видеоклипы вебинара по теме публикации [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://emediator.ru/index.php/foundation/discovery ссылка доступна (дата обращения: 19.05.2020).
6. Avdyev M. Fermat's Last Theorem form the Eye of Physicist // Вопросы науки и практики - 2020: 2 сессия: сборник статей V Международной научно-практической конференции (Москва, 15 мая 2020 г.). - 2020. - ISBN 978-5-6044784-1-7.
References
1. Avdyev, M. A. (2020). Obuchenie i vospitanie detei i podrostkov: ot teorii k praktike: kollektivnaia monografiia, 330-348. Ul'ianovsk: Zebra. Retrieved from https://yadi.sk/i7WegCuVdJ6ujvDQ
2. Konovko, A. V. Velikaia teorema Ferma dokazana ili net?. Novosti nauki i tekhniki. Retrieved from https:// cyberleninka.ru/article/n/velikaya-teorema-ferma-dokazana-ili-net/viewer
3. Belova, L. Iu. (2012). Elementy teorii mnozhestv i matematicheskoi logiki. Teoriia i zadachi: uchebnoe posobie, S. 26.
4. Avdyev, M. (2020). Fermat's Last Theorem on the faces of wooden made cube. Rol' innovatsii v transformatsii i ustoichivom razvitii sovremennoi nauki, 20. Sterlitamak: AMI. Retrieved from https://yadi.sk/i/1UV6gKV1uhdTZA
5. Smotrite polemiku, prezentatsiiu, videoklipy vebinara po teme publikatsii. Retrieved from https://emediator.ru/index. php/foundation/discovery
6. Avdyev, M. (2020). Fermat's Last Theorem form the Eye of Physicist. Voprosy nauki i praktiki, prakticheskoi konferentsii (Moskva, 15 maia g.), (15).
