CC BY
27
УДК 65.011(075.8)
М. Н. Петров, Н. Г. Треногин
ТЕНЗОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ БИЗНЕС-КОМПАНИЙ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННОЙ ОТРАСЛИ УЗЛОВОЙ ТОПОЛОГИИ
Рассмотрено применение тензорного метода анализа эффективности систем управления бизнес-компаний телекоммуникационной отрасли узловой топологии.
Рассмотрим применение узлового метода тензорного анализа и вывода уравнения для анализа эффективности информационной сети управления организацией узловой структуры, состоящей из восьми ветвей.
Исходная структура управления имеет вид узловой сети систем массового обслуживания (рис. 1). Такое представление для анализа управления в коммерческой деятельности различной сложности было предложено Г. П. Фоминым [1]. Дальнейшие решения будут основываться на результатах работ [2; 3]. Основные положения использования тензорного анализа систем и сетей массового обслуживания представлены в работах [4; 5; 6].
О
НЖгО
.о
о
о
о
о
/1
О—
/2
/8
Ка
О
о—
Д§2
О
*і
Сх-
о—
»о
*2
сх-
о<-
Рис. 2. Структура примитивной узловой топологии
Установим геометрические объекты и уравнения состояния. Геометрические объекты, необходимые для описания примитивной структуры (в соответствии с постулатом первого обобщения), будут следующие:
- X - вектор, компоненты которого представляют собой удельную эффективность управлений, поступающих в соответствующие ветви;
- Lg - вектор, компоненты которого представляют собой эффективность управлений всей организацией, возникающих в соответствующих ветвях под действием поступающего потока удельных значений эффективности;
- N - квадратная матрица размерностью п строк на п столбцов. Элементы главной диагонали представляют собой значения удельных эффективностей на выходе из системы массового обслуживания, соответствующей данной ветви. Остальные элементы матрицы отражают взаимное косвенное влияние систем массового обслуживания друг на друга (использование общих ресурсов и т. д.). В данном примере косвенное влияние между системами массового обслуживания отсутствует, поэтому все недиагональные элементы матрицы N равны нулю:
Рис. 1. Исходная узловая топология
Для того чтобы не загромождать рис. 1, возле каждой ветви приведен лишь ее номер, который подставляется в индексы г соответствующих величин Lgi, N и Х1.
Параметры исходной структуры:
- п = 8 - число ветвей;
- и = 9 - число узлов;
- К = 1 - число подсетей;
- (п - к) = и — К = 9 -1 = 8 - число узловых пар;
- к = п — (п — к) = 8 — 8 = 0 - число контуров.
Так как число контуров равно нулю, то исходная структура является чисто узловой.
В качестве вспомогательной будет использоваться структура примитивной узловой топологии из восьми ветвей (рис. 2).
N =
N1,1 0 0 0 0 0 0 0
0 N 2,2 0 0 0 0 0 0
0 0 N3,3 0 0 0 0 0
0 0 0 N4,4 0 0 0 0
0 0 0 0 N5, 0 0 0
0 0 0 0 0 N.. 6, 6 0 0
0 0 0 0 0 0 N7,7 0
0 0 0 0 0 0 0 N8
18і г* 1
А?2 *2
Ьёз *3
18а Х4
= , Х =
1§5 *5
Ь8б *6
А?7 *7
_ Ьё 8 _ *8
Матричное уравнение состояния примитивной структуры
Ь = N • Lg. (1)
Так как матрица N - диагональная, то эквивалентная система уравнений состояния примитивной структуры может быть получена перемножением соответствующих компонент матрицы N и вектора Lg:
\ = ^,1 • ^
Математика, механика, информатика
^ = N2,2 • ^2>
^ = N/3,3 • 18у \ = N4,4 ^ ^4>
^ = ^,5 ^ ^5>
\ = N,,6 • ^
\ = ^,7 ^ ^7>
\ = N8,8 ^ ^
Определим тензор преобразования. Направления совокупных коэффициентов готовности в выбранных узловых парах (открытых путях) будут следующими (рис. 3).
7
Тогда выражения эффективности управления в ветвях примитивной структуры через совокупные эффективности в открытых путях исходной структуры и матрица преобразования будут
а 1 ь 1 с 1 й * /1 8 к
- Ь8ь + ь8е. 1 -1 1 0 0 0 0 0
^«2 = ■ 1 0 0 0 0 0 0 0
^3 = - + Ь«ь - + Ь«к, -1 1 0 0 0 0 -1 1
II 0 0 0 1 0 0 0 0
Ь«5 = - , Л = 0 0 0 1 -1 1 0 0
= -Ь«І + ^ - ^ , 0 0 0 -1 0 -1 1
^7 = , 0 0 0 0 0 0 0 1
^ - , 0 0 0 0 0 0 1 -1
а транспонированная матрица преобразования -
1 \ Ьв'с
/ 1 1 -1 0 0 0 0 0
/ -1 0 1 0 0 0 0 0
/ ' 5 0 0 0 0 0 0 0 0
/ > г Ат = 0 0 0 1 1 -1 0 0
/ 0 0 0 0 -1 1 0 0
Л 0 0 0 0 1 0 0 0
/ і і і 0 0 -1 0 0 -1 0 1
/ > к.і і і 0 0 1 0 0 1 1 -1
Рис. 3. Открытые пути в исходной структуре
Найдем геометрические объекты, соответствующие исходной системе.
Эффективность управления в открытых путях исходной системы (между двумя узлами узловой пары) определим по формуле:
*' = АТ •* =
1 1 -1 0 0 0 0 0 *1 *1 + * 2 - *3
-1 0 1 0 0 0 0 0 *2 -*1 + *3
0 0 0 0 0 0 0 0 *3 *1
0 0 0 1 1 -1 0 0 *4 = * 4 + *5 - * 6
0 0 0 0 -1 1 0 0 *5 -*5 + *6
0 0 0 0 1 0 0 0 *6 *5
0 0 -1 0 0 -1 0 1 *7 -*3 - *6 + *8
0 0 1 0 0 1 1 -1 * со * 5 + * 6 + * 7 - *8
Значения эффективности управления в открытых путях (между узлами узловых пар) исходной системы получим по следующей формуле:
Ы' = Ат • N • А. (2)
Для экономии места применим следующее правило: при умножении любой матрицы М на диагональную
(если такое умножение возможно) эта матрица сохраня-
■ М,
умножается на диагональный элемент
N.
в соответ-
ствующем столбце. Таким образом, после проведения первого умножения получим:
N = АТ • N • А =
N1,1 N 2,2 - N3,3 0 0 0 0 0 1 -1 1 0 0 0 0 0
- N1,1 0 N3,3 N 4,4 N5,5 - N6,6 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
N1,1 0 0 0 - N5,5 ,6 йТ 0 0 -1 1 0 0 0 0 -1 1
0 0 0 0 N5,5 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 -1 1
0 0 - N3,3 0 0 - N6,6 0 N8,8 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 N3,3 0 0 ,6 йТ N7,7 - Т8,8 0 0 0 0 0 0 1 -1
N1.1 + N2,2 + Тз,з - fef’ - N1,1 О О О Гз,з -N3,3
- - N1,1 + N„ - N1,1 О О О - Гз,з N3,3
Nl l - N1,1 N1,1 О О О О О
О О О N4,4 + N5,5 + + N6,6 -N5,5 - N6,6 N5,5 N6,6 - N6,6
О О О - - N5,5 + N6,6 - N5,5 - N6,6 N6,6
О О О N5,5 - N5,5 N5,5 О О
N„ - N„ О N6,6 - N6,6 О Гз,з + N6,6 + N8,8 -Тз.з - N6,6 -- N8,8
- N„ О - N6,6 N6,6 О йГ - йГ - йГ - Тз,з + N6,6 + + N7,7 + N8,8
В заключение найдем уравнение состояния исходной структуры. Согласно постулату второго обобщения [2], уравнение состояния исходной структуры, записанное в матричной форме, имеет тот же вид, что и уравнение состояния примитивной структуры:
Х' = NLg'. (3)
Эквивалентная система уравнений состояния исходной структуры будет
Х1 + Х2 - Х3 = (ЛГ1.1 + N2,2 + N3.3 ^’а +
+(- N1.1 - N3,3) Lg'b+ (Nii)Lg'c
+( N3.3) ^ g + (- N3,3)Lg'h.
-Х1 + Х3 = (-^ц - N'33 )^'а +
+(N1,1 + N3,3) Lg’b+(- N1,1) Lg; +
+(-N3.3 )Lgg + (N3,3 )Lg’h,
Х = (N1,1)^ + (-N,1^ + (N11^:.
Х4 + Х5 -Х6 = (N4.4 + N5.5 + N6.6 +
+(- N5.5 - N6,6^;+(N5,5) Lg ; +
+(N6.6 ^ g + (-N6^
-Х5 + Х6 = (-^,5 - N6,6)Lgd +
• +(N5. 5 + N6. 6^ + (-N5. 5^ +
+(-N6. 6Ы + (N^1
Х5 = (N5.5) Lg'd+ (-N,5^ +
+( N5. 5^
-Х3 -Х6 + Х8 = (N3.3 )^'а +
+(-N3. 3 + (N6. 6^;+(-N6. 6 +
+(N3.3 + ^,6 + N8.8)Lgg +
+(-^3.3 - N6.6 - N8.8)Lgh.
Х5 + Х6 + Х7 - Х8 = (-N3,3 )Lga +
+(N3. 3 ^+(-N6. 6^;+(N6. 6 ^ +
+(-N3. 3 - ^6,6 - N8.8 +
+(3. 3 + ^, 6 + N'7.7 + N8,8 ■
В зависимости от условия задачи после решения системы уравнений необходимо воспользоваться формулами для расчета удельных эффективностей и суммарной эффективности в ветвях исходной структуры.
Библиографический список
1. Фомин, Г. П. Системы и модели массового обслуживания в коммерческой деятельности : учеб. пособие / Г. П. Фомин. М. : Финансы и статистика, 2000.
2. Крон, Г. Тензорный анализ сетей / Г. Крон ; пер. с англ. под ред. Л. Т. Кузина, Г. П. Кузнецова. М. : Сов. радио, 1978.
3. Петров, М. Н. Вероятностно-временнные характеристики в сетях и системах передачи интегральной информации / М. Н. Петров ; Краснояр. гос. техн. ун-т. Красноярск, 1997.
4. Петров, М. Н. Тензорная методология исследования нагрузки в информационных сетях / М. Н. Петров, Е. В. Веревкина, О. А. Корякина ; под ред. проф. М. Н. Петрова ; НИИ систем упр., волновых процессов и технологий. Красноярск, 2004.
5. Веревкина, Е. В. Тензорная методология в информационных сетях / Е. В. Веревкина, М. О. Захарченко, М. Н. Петров ; под ред. проф. М. Н. Петрова ; НИИ систем упр., волновых процессов и технологий. Красноярск, 2001.
6. Распределенные информационные системы управления в телекоммуникационной отрасли / М. Н. Петров, Н. Г. Треногин ; под ред. проф. М. Н. Петрова ; НИИ систем упр., волновых процессов и технологий. Красноярск, 2006.
M. N. Petrov, N. G. Trenogin
A TENZOR METHOD OF THE ANALYSIS OF EFFICIENCY OF INFORMATION CONTROL SYSTEMS OF BUSINESS-COMPANIES OF TELECOMMUNICATION BRANCH OF CENTRAL TOPOLOGY
Application of the tenzor method of the analysis of efficiency of control systems of business-companies of telecommunication branch of central topology is considered.
ll
