CC BY
9
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
тензорная модель для описания распределенной
материи
Архипов Вадим Валентинович
К.ф.-м.н., доцент кафедры физики и нанотехнологий КарГУ им. академика Е.А. Букетова, г. Караганда
Кудусов Арыстан Сатыбалдинович
К.ф.-м.н., доцент кафедры физики и нанотехнологий КарГУ им. академика Е.А. Букетова, г. Караганда
Орымбай Толкын Муратовна
бакалавр, магистрант кафедры физики и нанотехнологий КарГУ им. академика Е.А. Букетова, г. Караганда
АННОТАЦИЯ
В работе исследуется возможность описания распределенной материи в рамках лагранжева формализма. С этой целью вводится антисимметричное тензорное поле 2-го ранга, источниками которого являются 4-токи плотности распределения массы покоя частиц. Электромагнитное взаимодействие может быть включено в модель обычным образом. Показано, что получение корректного уравнения движения требует наложения на вариации поля дополнительного условия. Найденные уравнения движения могут быть использованы для описания бесстолкновительной плазмы.
Ключевые слова: распределенная материя, уравнения движения, поле материи.
Введение
При необходимости описания распределенной материи, характеризующейся плотностью массы или числа частиц, классическая механика встречает определенные затру1не-ния. Использование же методов статистической физики не всегда приемлемо, в силу необходимости состыковки с другими теориями. Соответствующий пример можно найти в космологии, где пылевидная материя описывается через тензор энергии-имплуьса, который затем вставляется в уравнения Общей теории относительности [1]. Записать полное действие для гравитирующей пылевидной материи и непосредственно из него вывести уравнения оказывается невозможным. Попытка реализации такого подхода сделана в книге П. Дирака [2], но приведенное им действие не позволяет получить уравнения движения, и используется только для получения тензора энергии-импульса.
В современных теориях гравитации действие для материи записывается с использованием формализма квантовой теории поля. Такой подход кажется не вполне подходящим, если учесть что основные составляющие космических систем не являются квантовыми объектами.
В представленной работе мы предлагаем некоторое обобщение дираковского подхода, которое позволяет получить уравнения движения для плотности частиц на классическом уровне. Показано, что уравнения движения остаются корректными при введении в модель электромагнитного взаимодействия.
1. Описание пылевидной материи
Действие для системы невзаимодействующих частиц в вакууме может быть записано в виде
5 =-2maC¡d а
а 1
5 = -Е|тас- V /с)2 й
(1)
Перейдем к непрерывному распределению материи в пространстве, введя плотность массы покоя
т¥ = \Рт 0 &
V
Этот интеграл должен браться в некоторый фиксированный момент времени 1 Если упростить систему, потребовав равенства масс всех частиц т0, то можно перейти к более корректной для современной физики величине - плотности частиц р:
Рт = т0Р .
Таким образом, (1) может быть переписано в виде
ч _
5 = -т01 |р(г,г)с- (у(г,г)/с)2 dVdt
или
5 = -т0 ]^(Г7-(Т)
где введен ковариантный 4-ток J * = (/0, У) = (ср, р (2)
Принимая пространство плоским и вводя метрику Мин-
g = dгag (1,-1,-1,-1) ковского в обычном виде , полу-
чим компактные выражения для действия и лагранжиана:
где индекс а нумерует частицы, и интегрирование ведется между двумя пространственно-подобными поверхностями 1 и 2. Если в качестве параметра выбирается мировое время, то можно записать
5 = -то \4gjJ" ^
Л = -то
2
I'
Отметим, что 4-ток ^ не может рассматриваться как динамическая переменная модели, так как лагранжиан не содержит его производных. Кроме того, компоненты 4-тока не являются независимыми. А именно, для невзаимодействующих частиц должен выполняться закон сохранения их числа, то есть
d J1 = 0
(5)
J к =— д. Ф 4п 1
где
Ф1 = -фj
(6)
1 /4П
и множитель введен по анало-
Л = - m°^JgM д1 Ф т д, Фj 4п V " 1 1
(7)
соответствующий формальному требованию зависимости от производных поля. Уравнение Эйлера-Лагранжа
д г
дЛ
дЛ
д(дгФш ) дФ'
= 0
(8)
приводит к уравнениям движения
д.
или
g, J1 J]
= 0
(9)
J
= const
J
1
g1
J1 J1 Vl - V2 / c2
= const
J
V / c
V
g1
J1 J1 Vl - V2/c2
= const
Если рассматривать смесь частиц с разными массами покоя, то, очевидно, (7) должно замениться на
л=-1 mc^д 1Ф: d iФ
где индекс а нумерует сорта частиц.
2. Идеальный газ заряженных частиц Для совокупности заряженных частиц можно ввести электрический 4-ток
j1 =zJ a
где - заряд частицы сорта а. Тогда действие системы
Согласно теореме Нётер каждый закон сохранения ассоциирован с некоторой симметрией системы. Но тождество (5) не связано ни с какими симметриями действия (3). Таким образом, действие должно быть модифицировано, для фиксации условия (5). Это можно сделать определением 4-тока как 4-дивергенции некоторого антисимметричного тензорного поля второго ранга:
(11)
можно записать в виде
2 2 2 5 = -! тас [Т^дФЧФ^ ¿п-2 ^ Г л]дф'а ¿о-— Г ^ ^1 ао
V 4л- •{ ' V 4пс 1 ® пс
откуда
Л = -П¡2та V8ш дIФа д]ф. +2е«А]д,Ф +1 Рк ^■
Используя (8) можно легко получить уравнения движения в виде
mac2 д
V jd j a
- e„ д A = 0
a m n
гии с уравнением Максвелла, для удобства последующих выкладок. Теперь лагранжиан (4) приобретает следующий вид
Чтобы привести это выражение к ковариантной форме его следует антисимметризовать по индексам т и п
(
mac
J
-д.
J
Л
Jja njj,
= eF
(12)
В принципе, это уравнение для совокупности невзаимодействующих частиц одинаковой массы является корректным. Действительно, имея в виду определения (2), нетрудно видеть, что оно согласуется с законами сохранения энергии и импульса:
Очевидно, что уравнения движения для 4-потенциала
А
1 дадут уравнения Максвелла обычного вида
д 1F * = 4п] * с .
Нетрудно проверить, подставляя определение (2), что
уравнение (12) является некорректным. Дело в том, что не-
ф1
посредственное варьирование по полю не учитывает некоторых ограничений, которые должны накладываться на
эту процедуру. То есть &ф не может быть произвольного вида.
Рассмотрим вариацию поля как следствие инфинитези-
1 к П 1 . г 1
С- X ^ X = X +й
мального преобразования координат .
Соответствующее преобразование поля будет иметь вид
Ф'1 (х*) = Фп дп£] + Ф^ дт£г -£*д*Ф1
Правая часть представляет собой скобку Схоутена [3], задающую в пространстве антисимметричных контравари-антных тензоров структуру супералгебры Ли.
Еще одним принципиальным моментом процедуры вариации, в рассматриваемом случае, является отсутствие источ-
к
ников у поля ^ , то есть
д¿к =0.
Это условие можно рассматривать как аналог требования гладкости варьиаций траекторий отдельных частиц. Таким образом, для вариации 4-тока (6) будем иметь
11 = I * д д * I
д
т
Варьирование действия (11) с учетом полученного результата приводит к корректному уравнению следующего вида
(
J„ д.
J.
|J J
-- JIд m
J
Л
|J a I
= e F Jn
C л1 m ^
a \J
(13)
где у имеет смысл плотности частиц
(или плотности вероятности обнаружить частицу) в системе покоя относительно выбранного элемента объема.
Нетрудно убедиться, принимая во внимание (1), что это уравнение соответствует определению силы Лоренца, дей-
ствующей на отдельную частицу с зарядом
= eaE + ea [V X H]
± maV
d Vl - (v/c)2
Отметим, что уравнение (13) является уравнением механики и, в отличии от кинетического уравнения А.А. Власова для бесстолкновительной плазмы, не описывает эволюцию вероятностной функции распределения. Мы предполагаем, что использованный в работе подход может оказаться полезным в астрофизике, для описания динамики газопылевой материи.
Благодарности: Работа выполнена при финансовой поддержке гранта МОН РК №2074/ГФ4.
Список литературы:
1. Ландау Л.Д., Лифшиц Л.Д. Теория поля: учебное пособие. М.: Наука, 1988. - 512с.
2. Дирак П.А.М. Лекции по теоретической физике: учебное пособие. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 240с.
3. Карасев М.В., Маслов В.П. Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование. - М.: Наука, 1991. - 368с.
3. Заключение
Итоговое уравнение (13) описывает эволюцию плотностей числа частиц, с учетом их электромагнитного взаимодействия, но без учета возможных столкновений. Примером такой системы может являться сильно разряженная плазма.
2
maC
e
a
новый подход к расчету
магнитогидродинамических движителей
Буров Анатолий Викторович
профессор, докт. тех. наук, ВУНЦ ВМФ «ВМА», г. Санкт-Петербург
АННОТАЦИЯ
Целью настоящей работы является разработка усовершенствованной физической теории МГД-движителей каналового типа за счет более аккуратного учета гидравлического сопротивления рабочего канала. Результатом работы является построение расчетного алгоритма для определения важнейших характеристик МГД-движителя. Применение данного алгоритма проиллюстрировано на конкретном примере.
ABSTRACT
The purpose of the article is the development of a refined physical theory of the channel type MHD thru^er due to a more accurate hydraulic resi^ance of the operating channel appreciation. The result of the paper is the development of an algorithm for calculating the mo& important characterises of the MHD thru^er. Application of this algorithm is inSantiated.
Ключевые слова: гидравлическое сопротивление, КПД, МГД-движитель, МГД-канал, физическая теория МГД-движи-теля.
Keywords: hydraulic resi^ance, efficiency factor, MHD thru^er, MHD channel, physical theory of MHD thru^er.
Известен целый ряд публикаций [1, 2, 3 — 9, 12], так или иначе связанных с разработкой теории МГД движителей. Общий недостаток этих работ состоит в приближенности учета гидравлического сопротивления рабочего канала. В настоящей работе предлагается уточненная физическая теория МГДД каналового типа.
Как известно [1], МГДД каналового типа представляет собой разновидность водометного движителя, в котором в качестве насоса используется МГД-машина. В настоящее время известны различные конструкции МГД-насосов, которые различаются, в основном, формой рабочего канала, конфигурацией магнитной системы и способом возбуждения тока в электропроводной жидкости, заполняющей канал. Мы ограничимся здесь рассмотрением простейшего
варианта прямолинейного МГД-канала постоянного прямоугольного сечения, заполненного несжимаемой электропроводной жидкостью (рис. 1). Магнитную индукцию в поперечном сечении канала примем постоянной по сечению (рис. 1). Поток в канале будем считать однофазным, т.е. предполагать, что приложенное напряжение не приводит к заметному электролизу и насыщению канала пузырьками газа. Поскольку в реальном МГД-канале осуществляется, как правило, режим развитого турбулентного течения, можно считать, что профиль скорости в каждом сечении канала
достаточно плоский, и ввести скорость ^ , усредненную по сечению канала.
