ТЕНЗОР РИЧЧИ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ ЛОРЕНЦЕВЫХ МЕТРИК НА ГРУППЕ ЛИ, АЛГЕБРА ЛИ КОТОРОЙ ЗАДАНА КОММУТАЦИОННЫМИ СООТНОШЕНИЯМИ [E4,E1]=E1;[E4,E2]=E1+E2;[E4,E3]=E3.

Красильников Михаил Петрович

РАЗДЕЛ IV. МАТЕМАТИКА. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ [MATHEMATICS. MATHEMATICAL MODELING]

УДК: 514.7, 514.82

DOI: 10.24411/2658-4441-2020-10040

М.П. КРАСИЛЬНИКОВ

Тувинский институт комплексного освоения природных ресурсов СО РАН (Кызыл, Россия)

ТЕНЗОР РИЧЧИ ЛЕВОИНВАРИАНТНЫХ ЛОРЕНЦЕВЫХ МЕТРИК НА ГРУППЕ ЛИ, АЛГЕБРА ЛИ КОТОРОЙ ЗАДАНА КОММУТАЦИОННЫМИ СООТНОШЕНИЯМИ

[£?4, 6i] = еi; [ £4, 62] = £?1 + £?2; [i?4, = £?з.

Работа посвящена вычислению тензора Риччи левоинвариашных лоренцевых метрик на четырёхмерной разрешимой группе Ли, алгебра Ли которой задаётся коммутационными соотношениями [ е4,е1] = е1; [е4,е2] = Cj. + е2; [е4>ез1 = ез-Найдены компоненты тензора Риччи и скалярная кривизна для метрик, которые

можно автоморфизмами алгебры Ли привести к виду: ( Qil G ), гДе Gnn ^ 0,

а Ga6 — невырожденная симметричная трёхмерная матрица.

Ключевые слова: левоинвариантная лоренцева метрика, разрешимая группа Ли,

тензор Риччи, скалярная кривизна.

Табл. 1. Библ. 8. назв. С. 73-75.

MP. KRASILNIKOV

Tuvinian Institute for Exploration of Natural Resources of SB RAS (Kyzyl, Russia)

RICCI TENSOR OF LEFT-INVARIANT LORENTZIAN METRICS ON THE LIE GROUP WHERE LIE ALGEBRA IS GIVEN BY COMMUTATION RELATIONS [ e4,e 1] = e 1; [ e4,e 2] = e1 + e2; [ e4,e3] = e3.

Thе paper is devoted to the computation of the Ricci tensor of left-invariant Lorentzi-an metrics on a four-dimensional solvable Lie group whose Lie algebra is given by commutation relations [ e4,e1] = e1; [e4,e2] = e1 + e2; [e4,e3] = e3. The components of the Ricci tensor and the scalar curvature for the metrics are found which can

be reduced by automorphisms of the Lie algebra to the form: ( Q6 r ), where

\ 0 Gnn/

Gnn Ф 0, and Gq6 is a nondegenerate symmetric three-dimensional matrix. Keywords: left-invariant Lorentzian metric, solvable Lie group, Ricci tensor, scalar curvature.

Table 1. References 8. P. 73-75.

Задание в алгебре Ли, отождествляемой с касательным пространством к соответствующей группы Ли в единице, метрики лоренцевой сигнатуры (+, +, +, -)) и разнесение этой метрики по всей группе Ли левыми сдвигами, превращает группу Ли в дифференцируемое лоренцево многообразие или пространство-время.

Вычисление тензора Риччи является одним из этапов общей схемы исследования левоинвариантных лоренцевых метрик на группах Ли (Левичев, 1986,1990). Знание тензора Риччи интересно и само по себе, а также может быть использовано для анализа причинной структуры лоренцева многообразия в силу следующей теоремы:

Теорема. Пусть лоренцево многообразие М диффеоморфно Дп, изотропно полно и в любой его точке Шс(а, а) > 0 при всех световых векторах а Е ТХ(М). Тогда в М нарушается хронологическое условие. Здесь ТХ(М) — касательное пространство к многообразию М в точке x (Левичев, 1986, с. 4).

Ранее нами была исследована причинная структура левоинвариантных лоренцевых метрик на данной группе Ли (Красильников, 1988, 1989), однако без применения этой теоремы. Геодезическую полноту мы исследовали в работе (Красильников, 1990), а в работе (Красильников, 2019) нами в явном виде были найдены уравнения геодезических для двух из десяти возможных метрик.

В случае, если метрика автоморфизмами алгебры Ли может быть приведена к виду ( 0 С0 ), где 0 — (п — 1)-мерная матрица, Спп — скаляр, тензор Риччи и скалярная кривизна многообразия могут быть вычислены по следующим матричным формулам (Левичев, 1986; Гаврилов, 1984): Р = (в ■ В + Вт ■ в)/2,

^аЬ

Р), Дпп = —г(М2), Д = —Спп(сг2(М) + гг(М2)). Здесь R— скалярная кривизна, а

ДаЬ о* " 1

п /?

0 Кпп' \0 0 V соотношений алгебры Ли исследуемой группы Ли.

Результаты вычислений компонент тензора Риччи и скалярной кривизны представлены в таблице 1, где мы придерживаемся классификации метрик на данной группе из работы (Астраков и др., 1987).

F = (G -В-ВТ ■ G)/2, М = G-1 -Р, N = G-1 ■ F, Rab = Gnn(F -М-Р -N - tr(B)

P), Rnn = -tr(M2), R = -Gnn(tr2(M) + tr(M2)). Здесь R— скалярная кривизна, £

(R 0 \ П 1 0\ тензор Риччи имеет вид ( ^ ß В = (0 1 О) — матрица коммутационных

Таблица 1. Результаты вычислений компонент тензора Риччи и скалярной кривизны

№ Метрика Тензор Риччи Скалярная кривизна

1 /1 0 0 0\ 0 р 0 0\ (0 р 1 0)р>°<<7<° \0 0 0 q/ Ч2р-3) -2q 0 0 -2q q(-^-3P) 0 0 0 0 -3q 0 1 0 0 0 -3- — V 2р -q{12+ip)

2a 1 0 0 0 0 р 0 0 I0 0 -1 0) 0 0 0 q p,q> 0 fq(h-3) -\q 0 0 ^ —q q{-1-3p) 0 0 0 0 3q 0 1 ( 0 0 0 -3 - 2р) -q{12+ip)

2b -1 0 0 0 0 р 0 0 1 0 010) \ 0 0 0 qj р, q > 0 Ч2р+3) b 0 0 ^ 3q q{2-3p) 0 0 0 0 -3q 0 1 ( 0 0 0 -3+Тр) А12-тР)

Продолжение табл. 1

2c /0 0 0 1\ 0 1 0 0 \ (1000) \0 0 0 q/ q > 0 / 0 0 —3q 0 \ 0 —3q — 3q 0 3 1 —3q —^q ^ 0 V 0 0 0 —3) —12q

3 1000 / 0 р 0 0 \ (0 0 1 0) 000 q р < 0, q > 0 М2Н -2q 0 0 \ -3q q(-1-3P) 0 0 0 0 —3q 0 1 ( 0 0 0 —3 — 2р/ —q(12+2rp)

4a 1000 0010 (0100) 000 q q > 0 /—3q —3q 0 0 \ 3 1 ^q —^q —3q 0 0 —3 q 0 0 \ 0 0 0 —3/ —12q

4b /0 1 0 0\ 1000 (0010) 000 q q > 0 0 -3 q 0 0 —3q —3q 0 0 \ ( 0 0 —3q 0 ) V 0 0 0 —3/ —12q

ЛИТЕРАТУРА

Астраков СН., Левичев А.В., Репнин А.Е. Канонический вид левоинвариантых лоренцевых метрик на одной четырёхмерной группе Ли // Сиб. мат. журн. - 1987. - Т. 28. - 21 с. - Деп. в ВИНИТИ 05.12.86 № 8331-В.

Гаврилов С.П. Левоинвариантные метрики на односвязных группах Ли, содержащих абелеву подгруппу коразмерности 1 // Гравитация и теория относительности: Вып. 21. - Казань: КГУ, 1984. - С. 13-47.

Красильников М.П. Причинная структура геодезически полных левоинвариантных лоренцевых метрик на одной четырёхмерной группе Ли // Сиб. мат. журн. - 1988. - Т. 29. - 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 09.03.88, № 2997-В88.

Красильников М.П. Причинная структура левоинвариантных лоренцевых метрик на одной четырёхмерной группе Ли // Топологические пространства и их отображения. - Рига, 1989. - С. 81-85.

Красильников М.П. Геодезические левоинвариантных Лоренцевых метрик на одной четырёхмерной группе Ли // Ленинское идейно-теоретическое наследие и перестройка системы народного образования: Тез. докл. Респ. науч.-практ. конф., посвящ. 120-летию со дня рожд. В.И. Ленина (16-20.04.1990, Кызыл). - Кызыл, 1990. - С. 117-118.

Красильников М.П. Геодезические двух левоинвариантных лоренцевых метрик на группе Ли, алгебра Ли которой задана коммутационными соотношениями [ е4,е1] = [ е4,е2] = е 1 + е2; [ е4,е3] = е3 // Природные ресурсы, среда и общество: Вып. 1 / Отв. ред. канд. социол. наук Т.М. Ойдуп [Электрон. ресурс: 2019]. - Кызыл: ТувИКОПР СО РАН, 2019. - C. 6669. - Режим доступа: http://tikopr-journal.ru/, свободный.

Левичев А.В. Некоторые методы исследования причинной структуры однородных лоренцевых многообразий. - Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1986. - 40 с. (препринт № 20).

Левичев А.В. Методы исследования причинной структуры однородных лоренцевых многообразий // Сиб. мат. журн. - 1990. - Т. 31. - № 3. - С. 39-54.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Красильников Михаил Петрович

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Красильников Михаил Петрович

RICCI TENSOR OF LEFT-INVARIANT LORENTZIAN METRICS ON THE LIE GROUP WHERE LIE ALGEBRA IS GIVEN BY COMMUTATION RELATIONS [E4,E1]=E1;[E4,E2]=E1+E2;[E4,E3]=E3.