Температурные напряжения и энергия упругого деформирования в ледовом покрове оз. Байкал Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 539.4, 539.5

Температурные напряжения и энергия упругого деформирования в ледовом покрове оз. Байкал

В.Е. Истомин, А.Д. Дучков

Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А. Трофимука СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

В приближении упругохрупкого поведения участка ледового покрова с характерными размерами и температурой оценены температурные напряжения, температура первого разрушения покрова, а также количество упругой энергии, накапливаемой в объеме льда к началу разрушения. Показано, что достаточно точное согласование теоретических результатов с данными экспериментальных наблюдений возможно только за счет уточнения модели естественной среды, обязательного учета ее физических свойств.

Ключевые слова: ледовый покров, температурные напряжения, энергия упругого деформирования льда

Temperature stress and elastic strain energy in the ice cover of the lake Baikal

V.E. Istomin and A.D. Duchkov

Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia

The temperature stress, the temperature of first fracture of the ice cover, and the elastic energy stored in the ice volume by the onset of fracture were estimated in the approximation of elastobrittle behavior of an ice cover portion of characteristic size and temperature. It is shown that a rather close agreement between theoretical and experimental data is possible only through refining the model and taking into account its physical properties.

Keywords: ice cover, temperature stress, elastic strain energy of ice

1. Введение

Поведение ледового покрова во времени зависит от многих факторов, но в основном связано с колебаниями температуры [1]. Принято считать, что если статическое напряжение в ледовом покрове не превышает предела упругости льда, то его целое и неподвижное состояние может сохраняться неопределенно долго. Однако внутреннее напряжение и прочность льда сильно зависят от температуры, и, когда она достигает некоторых критических значений, разрушение льда всегда наступает довольно быстро [2, 3]. Вместе с тем результаты многочисленных исследований физических характеристик льда и ледового покрова [4] ясно показывают два важных обстоятельства.

Во-первых, механические свойства льда (прочность, модули упругости и др.) сильно зависят от его структуры и условий проведения экспериментов, что приводит к

значительному разбросу результатов измерений одной и той же величины в разных работах.

Во-вторых, температурная неоднородность ледового покрова создает среду с резко меняющимися свойствами, когда идеально хрупкое состояние в верхнем слое меняется до вязкоупругого состояния вблизи контакта с водой. Таким образом, здесь возникает уникальная ситуация, когда изменение температурных условий на разных участках среды приводит к необходимости изменения самого способа количественного описания этих участков.

Из всего сказанного выше следует, что любой анализ температурных напряжений в ледовом покрове и рассмотрение его возможного поведения должны опираться на достаточно обоснованный выбор численных значений параметров льда, соответствующих реальным условиям. В связи с тем что последовательная теория

© Истомин В.Е., Дучков А.Д., 2010

механических процессов в такой среде еще не создана, единственным способом ее теоретического изучения являются количественные оценки, основывающиеся на общих принципах и на экспериментальных характеристиках льда.

В настоящей статье мы дадим прогноз поведения ледового покрова по двум физическим величинам, допускающим количественное сопоставление с данными экспериментальных наблюдений. Сначала мы обратимся к изначально целому (сплошному) состоянию льда, определим температурные напряжения и температуру в ледовом покрове, при которой следует ожидать начало его первого разрушения. Далее оценим упругую энергию, которая может накопиться во льду и затем высвободиться в момент разрушения ледового покрова. Это наиболее простые задачи, в которых адекватность численных оценок может быть проверена в соответствии с наблюдаемым явлением, а физическая прозрачность ответа делает источник возможных недостатков вполне очевидным.

2. Характеристика льда

Из самых общих представлений о ледовом покрове ясно, что его механические свойства (в частности прочность) определяются верхним слоем. Для количественного описания последнего чаще всего используют линейную теорию упругости. В каких-то случаях такие представления могут оказаться слишком грубыми, но они же оказываются достаточно устойчивыми по своему проявлению в более сложных ситуациях. Поскольку смысл основных механических понятий для льда определен в рамках линейной теории, то мы будем широко использовать их в качестве первого приближения.

Как известно, реакция льда на механическое воздействие сильно зависит от скорости нагружения, поэтому экспериментальные значения физических величин зависят от способа измерений. Например, поликристал-лический лед при медленном нагружении (в статическом методе) имеет эффективный модуль упругости Е = = 1.3 ГПа, а из данных по скоростям упругих волн (в динамическом методе) Е = 7.73 ГПа [5]. В то же время в монокристалле льда статический модуль Е = 8.34 ГПа не так сильно отличается от динамического Е = 9.8 ГПа [4].

Поэтому далее для интерпретации медленно протекающих процессов в ледовом покрове мы будем опираться на результаты изучения температурной зависимости прочности а при не слишком быстром нагружении. Оказалось, что таких (вполне подходящих для нашей цели) данных имеется совсем немного.

Так, температурная зависимость прочности льда на сжатие имеет вид [2]:

ас(МПа) = 0.796 - 0.0744Т, (1)

где Т — температура льда, изменяющаяся от -30 до 0 °С.

Прочность льда на растяжение имеет аналогичную зависимость [4]:

а ((МПа) = 0.9 - 0.03 Т, (2)

где Т изменяется от -20 до 0 °С.

Однако последняя формула построена по не очень точным данным, полученным при кратковременном приложении нагрузки. По-видимому, из-за этого обстоятельства прочность ас, вычисленная по формуле (1), при температурах более 2.3 °С оказывается меньше, чем ст(, вычисленная по формуле (2), хотя существует эмпирическое правило: ст( < ас, не зависящее от Т. Далее мы будем использовать формулу (2), как дающую максимально возможные значения ст(.

По другим данным, прочность льда на растяжение в температурном интервале -30 °С < Т < 0 °С вообще не зависит от температуры. Этим вариантом поведения можно воспользоваться для выбора минимального значения ст(. В качестве такового мы будем использовать величину ст( = 0.8 МПа, которая к тому же хорошо согласуется с надежно установленной формулой (1).

3. Температурное напряжение и разрыв ледового покрова

Как ранее отмечалось [3], самое первое разрушение новообразованного ледового покрова происходит только при понижении температуры и начинается с появления неглубоких трещин на его поверхности. В приповерхностном слое льда температурное напряжение аТ можно представить как сумму двух разрывных напряжений. Одно из них, а1 связано с уменьшением линейных размеров покрова при понижении температуры, другое а2 — с неоднородностью температуры по толщине покрова:

а = Еа(Т - т),

а2 = -3Яа(Т - Т0 ), где т1 — температура приповерхностного слоя льда перед ее понижением; Т — температура после понижения; т0 — температура внутри ледового покрова, где отсутствуют напряжения; Е—модуль Юнга; а — коэффициент линейного расширения; Я = Е/3(1 - 2ц), ц — коэффициент Пуассона.

При не слишком низких температурах (Т = -10 °С) можно предполагать, что Т - Т1 ~ Т - Т0. Поэтому результирующее разрывное напряжение равно

аТ =а1 +а2 =-Р(Т - ТД (3)

где Р = Е а (2 - 2ц)/(1 - 2ц), а = 5-10-5 °С-1, ц = 0.2.

Обычно температура в слое льда изменяется достаточно медленно, а сам лед является поликристалличес-ким. Поэтому для модуля Юнга мы будем использовать эффективное значение Е = 1.3 ГПа. С указанными величинами получаем р = 0.173 МПа°С-1.

Таким образом,

аТ (МПа) = -0.173(Т - Т0). (4)

Условием разрушения, т.е. началом появления трещин, можно считать выполнение равенства аТ = а. Если использовать верхнюю оценку прочности по формуле (2), то получаем: -0.173(7^. -Т0) = 0.9-0.03Т., где Т& — температура начала разрушения.

Предполагая, что напряжение отсутствует в середине слоя и Т0 = Т&/2, получаем: Т& = -16 °С и а = = 1.38 МПа. Отсюда находим относительную деформацию разрушения е& = а/ Е = 1.06 • 10-3. Аналогично для нижней оценки а имеем: -0.173 Т& /2 = 0.8 МПа, что дает Т. = -9 °С и е& = 0.62 • 10-3.

Таким образом, при заданных параметрах льда разрыв ледового покрова можно ожидать при Т = -9... -16 °С. Интервал возможных относительных деформаций е& = (0.62...1.06)-10-3 по порядку величин соответствует деформациям разрушения идеально хрупких тел.

Отметим, что представленная оценка применима только для первого разрушения. Но именно здесь легче всего проверить адекватность исходных предположений и численных значений используемых параметров. Сейчас трудно судить о степени грубости такого рассмотрения, поскольку для этого нужно проанализировать большое число достаточно точных данных. Мы считаем, что представленный расчет дает вполне разумный результат, который можно улучшить, особенно за счет использования уточненных характеристик льда.

4. Накопление упругой энергии

Оценка упругой энергии, накопленной в ледовом

покрове, важна тем, что эта величина непосредственно

определяет сейсмическую энергию, выделяемую при

саморазрушении ледового покрова. Для такой оценки

необходимо обратиться к напряжениям сжатия, достигающим особенно высоких значений при дневном повышении температуры и при замерзании воды в трещинах. Точный теоретический расчет таких напряжений на данный момент не представляется возможным, поскольку для этого потребуется учет дополнительных вкладов с неизвестными параметрами. Более того, результаты такого расчета пока не с чем сопоставить. В этой ситуации мы рассмотрим способ оценки энергии упругого деформирования ледового покрова, основывающийся на состоявшемся факте сейсмологического события — хрупком разрушении льда при известной температуре. Для такого случая разрушающее напряжение сжатия можно найти по экспериментальной зависимости (1).

Этого вполне достаточно для оценки нужной нам величины — предельно возможной энергии упругого деформирования целого участка ледового покрова, находящегося при температуре Т. По известному соотно-

шению, к моменту начала хрупкого разрушения в единице объема однородно деформированной области накопится энергия

Щ = ас %/2, (5)

где ас определяется по формуле (1). Относительную деформацию е&, в отличие от ас, можно считать не зависящей от Т. Последнее отражает эмпирический факт постоянства величины е&, которая имеет близкие значения (е & = 10-3) при хрупком разрушении образцов различного химического состава. Поэтому в дальнейшем будем считать, что найденная при Т = -10 °С величина е& =ас/ Е = 1.18 -10-3 будет приблизительно такой же и при других температурах. Таким образом, если разрушение льда происходит при Т = -10 °С, то Щ = = 0.91 -103 Дж/м3. Аналогично при Т = -20 °С Щ = = 1.35 -103 Дж/м3 и при Т= -30 °С Щ = 1.79 -103 Дж/м3.

Для установления характерного масштаба энергетических величин рассмотрим цельный участок ледового покрова площадью 51 = 1 км2, толщиной хрупкой части 0.5 м и объемом V = 0.5 • 106 м3. Для простоты предполагаем, что весь участок однородно нагружается до разрушения при Т = -10 °С. Тогда полная упругая энергия, накопленная в этом блоке, равна Щ0 = Щу = 4.55 • 108 Дж. Основная часть Щ0 уйдет на разрушение ледового покрова с появлением отдельных фрагментов и лишь совсем малая часть преобразуется в сейсмическую энергию Щ8. Последнюю можно найти из эмпирического соотношения для среды средней плотности [6]:

= 1.42-10.75, (6)

где и Щ0 выражены в эргах. Подставляя сюда Щ0, получаем Щ = 3.02 • 104 Дж и Щ8/Щ0 = 0.664-10-4 = = 0.664 • 10-2 %. При площади участка в 10 раз большей (51 = 107 м2) имеем: Щ0 = 4.55 -109 Дж, = 7.95 • 105 Дж и Щ, / Щ0 = 1.75 • 10-2 %, а при 51 = 108 м2 получаем: Щ0 = = 4.55-1010 Дж, = 2.09-107 Дж и Щ8/ Щ0 = 4.59-10-2 %.

Если воспользоваться аналогичным уравнением для рыхлой среды:

lgWs = 1.18^ Щ - 6.55, (7)

получаем = 8.5-104 Дж , т.е. порядок величин сохраняется.

Рассмотренные оценки позволяют достаточно ясно отразить общий подход. Конечно, в действительности мы всегда имеем дело с более сложными и неоднородными телами, причем в каких-то местах напряжение сжатия будет меньше прочности на сжатие. Однако в таких случаях можно всегда ввести физически разумное «разбиение» ледового покрова на совокупность более мелких и однородно нагруженных «единиц» с общим объемом 105-108 м3 и с поправками на используемые параметры, т.е. фактически перейти к более точной модели.

Вместе с тем для реальных сейсмологических событий в ледовом покрове оз. Байкал инструментальным методом установлено [7], что наблюдаемые сейсмические процессы по энергиям достигают значений 104105 Дж. Этот масштаб, как было показано выше, вполне соответствует интервалу энергий в рассмотренной физической модели температурно активированных процессов во льду.

Следует заметить, что зависимости (6) и (7) получены для интервала энергий 1013 Дж < W < 1017 Дж, а мы их экстраполировали в область энергий на 5 порядков меньших, поскольку на данный момент для льда подобных зависимостей нет. Тем не менее, при всей грубости оценки найденный степенной порядок ее величины является важным показателем, который должен содержаться в любой математической модели.

5. Заключение

В данной работе мы рассмотрели поведение ледового покрова в самом простом приближении, как в части неоднородности температурного поля и формы напряженного состояния, так и в части элементарности количественного рассмотрения.

Результаты показывают, что используемая система параметров (Е, а, Т, V) в формулах (1) и (2), характеризующая состояние льда, и выполненные по ним оценки в целом правильно отражают температурные напряжения во льду, температуру начала разрушения ледового покрова и энергетику происходящих там сейсмологических событий.

В принятом подходе должны быть обязательно заложены данные о свойствах естественной среды (например ее температура и приблизительные размеры). От этой ситуации невозможно уйти, поэтому достаточно точное и подробное согласование теоретических расчетов с данными экспериментальных наблюдений возможно только за счет уточнения модели естественной среды (задание полей температур и напряжений, геометрической формы блоков и т.п.).

Исследование поддержано Междисциплинарным интеграционным проектом СО РАН № 20.

Литература

1. Сокольников В.М. Вертикальные и горизонтальные смещения и деформации ледяного покрова Байкала // Труды Байкальской лимнологической станции XVIII. - М.: Изд-во АН СССР, 1960. -C. 291-350.

2. Ружич В.В., Черных Е.Н., Борняков С.В. Моделирование сейсмотектонических процессов в ледовом покрове оз. Байкал // Тезисы Всерос. конф. «Геодинамика и напряженное состояние недр Земли», 2-5 октября 2007 г. - Новосибирск: Изд-во ИГД СО РАН, 2007. - С. 89.

3. Истомин В.Е., Дучков АД. Начальные стадии термически активированного разрушения ледового покрова оз. Байкал // Физ. мезо-мех. - 2008. - Т. 11. - № 4. - С. 61-66.

4. Богородский В.В., Гаврило В.П. Лед. Физические свойства. Совре-

менные методы гляциологии. - Л.: Гидрометеоиздат, 1980. - 383 с.

5. Епифанов В.П., Юрьев РВ. Вязкость разрушения пресного льда // ДАН. - 2006. - Т. 406. - № 2. - С. 187-191.

6. Садовский М.А. Геофизика и физика взрыва. Избранные труды. -М.: Наука, 2004. - 440 с.

7. Ружич В.В., Псахье С.Г., Черныгх Е.Н. Деформации и сейсмические

явления в ледовом покрове озера Байкал // Геология и геофизика. -2009. - Т. 50. - № 3. - С. 289-299.

Поступила в редакцию 01.06.2009 г., после переработки 27.10.2009 г.

Сведения об авторах

Истомин Владимир Ефимович, к.ф.-м.н., снс ИНГГ СО РАН, ipgg@ipgg.nsc.ru Дучков Альберт Дмитриевич, д.г.-м.н., гнс ИНГГ СО РАН, DuchkovAD@ipgg.nsc.ru